第1章 集合與常用邏輯用語(yǔ)（基礎(chǔ)、典型、新文化、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)考試滿分全攻略（人教A版2019必修第一冊(cè)）（解析版）

第1章集合與常用邏輯用語(yǔ)（基礎(chǔ)、典型、新文化、壓軸）

分類專項(xiàng)訓(xùn)練

【基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2022?云南昆明?高一期末）已知集合用={-1,1,2,3},N={-1,1},下列結(jié)論成立的是（）

A.MQNB.N={-1}

C.=MD.&N={1,2,3}

【答案】C

【分析】利用集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算進(jìn)行判斷.

【詳解】因?yàn)镸={—1,1,2,3},N={-1,1},所以N=故A錯(cuò)；

MN={-1,1},故B錯(cuò)；gN={2,3},故D錯(cuò).

故選：C.

2.（2022.浙江省義烏中學(xué)高一期末）已知集合人={川犬=3〃+1,”wN},集合3={3,4,5,6,7,8,10},則A8

中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)交集的定義求出AB,即可得出答案.

【詳解】解：因?yàn)榧?={川了=3“+1,”wN},集合3={3,4,5,6,7,8,10},

所以Ac3={4,7,10},

所以AB中元素的個(gè)數(shù)為3個(gè).

故選：C.

3.（2022?云南昆明?高一期末）若全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,4},8={1,3,5},則A。8）=（）

A.{1,2,3,4,5}B.{3,5}C.{2,4}D.{2,3,4,5,6}

【答案】C

【分析】根據(jù)集合的交補(bǔ)集運(yùn)算求解即可

【詳解】由題意,。6={2,4,6},故A他3)={2,4}

故選：C

4.(2022.河南新鄉(xiāng).高一期末)設(shè)全集。={—2,—1,1,2},集合A={-1,2},8=-3x+2=o},則電(AB)=

()

A.{1}B.{-2}C.{-2,1}D.0

【答案】B

【分析】先求集合B,然后利用并集和補(bǔ)集定義進(jìn)行運(yùn)算即可.

【詳解】B={X|X2-3%+2=0}={1,2},集合A={-1,2},所以AU3={-1,1,2},

全集。={-2,—1,1,2},B)={—2}.

故選：B

5.(2022.湖南.高一期末)設(shè)集合M={x|x=2","eZ},N=1X|X=2/?4-1,HGZ1,P={x|x=4〃,〃eZ},則

()

A.MUPB.PUMC.NCPK0D.MN亍0

【答案】B

【分析】利用交集的定義和相等集合的定義即可直接得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)镸={x|x=2〃，〃eZ},

N={x|x=2〃+1,〃eZ},

P=^x=4n,?eZ|,

所以MHP,P(jM,NP=0,MN=0.

故選：B

6.(2022?江蘇南通?高一期末)設(shè)集合A={x|-5W爛2},B={x|lx+3]<3},則AUB=()

A.f-5,0)B.(-6,2]C.(-6,0)D.[-5,2)

【答案】B

【分析】解出集合B,由集合的并集運(yùn)算求解即可.

【詳解】解：由1尤+3|<3可得一3<X+3<3,解得一6<X<0,

所以B={x|-6<x<0},

所以AUB={A|-5<x<2}u{x|-6<x<0}={x|-6<x<2},

故選：B.

7.(2022.海南.嘉積中學(xué)高一期末)已知集合4=3|》<-2或x>3},{-3,-2,-1,0,1,2,3},則(QA)B=

()

A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1,2,3}

C.{-2-1,0,1}D.{-3,-2,-1,0,1,2}

【答案】B

【分析】先求QA,再由交集的運(yùn)算的定義求他A)B.

【詳解】因?yàn)锳={x|x<-2或x>3},

所以4A={x|-24x43},又3={-3,—2,-1,0,1,2,3},

所以(QA)B={-2,-1,0,1,2,3),

故選：B.

8.(2022.四川達(dá)州.高一期末(理))已知集合A={x[-2<x<5},B={x|-3<x<3},則AB=()

A.{-3,-2-1,0,12,3,4}B.{-1,0,1,2,3}

C.[-3,5)D.(-2,3]

【答案】D

【分析】利用交集的定義直接求解即可

【詳解】因?yàn)锳={x[—2<x<5},B={x\-3<x<3],

所以A8=(-2,3],

故選：D

9.(2021.江西?豐城九中高一階段練習(xí))荀子曰：“故不積蹉步，無(wú)以至千里；不積小流，無(wú)以成江海這

句來(lái)自先秦時(shí)期的名言闡述了做事情不一點(diǎn)一點(diǎn)積累，就永遠(yuǎn)無(wú)法達(dá)成目標(biāo)的哲理.由此可得，“積蹉步”

是“至千里”的()

A.充分條件B.必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)描述知：要達(dá)成目標(biāo)必須一點(diǎn)一點(diǎn)積累，結(jié)合必要條件的定義判斷關(guān)系.

【詳解】根據(jù)“做事情不一點(diǎn)一點(diǎn)積累，就永遠(yuǎn)無(wú)法達(dá)成目標(biāo)”，即要達(dá)成目標(biāo)必須一點(diǎn)一點(diǎn)積累,

所以“積度步''是“至千里”的必要條件.

故選：B

10.（2022?江蘇?高一）設(shè)命題>4,則一尸為（）

A.VneN,n2>4B.Bn￡N,n2<4

C.X/neN,n2<4D.3ne/V,w2=4

【答案】C

【分析】存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，需要注意格式的寫(xiě)法和對(duì)?其結(jié)論的否定.

【詳解】存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，即的

否定格式為：VxeMJp（x）,所以B,D的量詞格式錯(cuò)誤，

而A選項(xiàng)未對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定，其正確的寫(xiě)法為<4,

故選：C.

11.（2022.黑龍江.大慶外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一階段練習(xí)）命題“引eR,x?-2x+2,0”的否定是（）

A.R,x2-2x+2..OB.3xeR,x2-2x+2>0

C.VxeR,x2-2x+2>0D.VxeR,x2-2%+2,,0

【答案】C

【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷即可；

【詳解】解：命題"hwR,x?-2x+2,0”為存在量詞命題，其否定為：VxeR,x2-2x+2>0;

故選：C

二、多選題

12.（2022?江蘇?高一）若{1,2}q8{1,2,3,4},則B=（）

A.{1,2}B.{1,2,3}C.{1,2,4}D.{1,2,3,4}

【答案】ABC

【分析】根據(jù)題意可知集合8最少包含I，2兩個(gè)元素，最多包含1,2,3或1,2,4三個(gè)元素.

【詳解】V{1,2}cB{1,2,3,4},

2}或8={1,2,3}或8={1,2,4).

故選：ABC.

13.（2022?全國(guó)?高一）下列關(guān)系式錯(cuò)誤的是（）

A.0e{O}B.{2}c{l,2}C.D.OeZ

【答案】AC

【分析】由元素和集合之間的關(guān)系以及集合和集合之間的關(guān)系判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】A選項(xiàng)由于符號(hào)e用于元素與集合間，0是任何集合的子集，所以應(yīng)為0g{O},A錯(cuò)誤：

B選項(xiàng)根據(jù)子集的定義可知正確；

C選項(xiàng)由于符號(hào)=用于集合與集合間，C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)Z是整數(shù)集，所以O(shè)eZ正確.

故選：AC.

三、解答題

14.（2021?廣東?梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)人={-1,2,4-1,42},8={9,4-5,1-。},已知

Ac3={9},求a的值，并寫(xiě)出集合A、B.

【答案】a=10；A={<2,9,100},3={9,5,-9}.

【分析】根據(jù)AcB={9}可知964,據(jù)此求出。的值即可得答案.

【詳解】：AcB={9},.?.9dA,，。一1=9或°2=9,

。=10或。=±3,

當(dāng)a=3時(shí)，a-1=2,不滿足集合元素的互異性，

當(dāng)。=一3時(shí)，a-1-4,不滿足集合元素的互異性，

當(dāng)a=l（）時(shí)，a-5=5,l-a=-9,滿足條件，

故斫10,此時(shí)A={T,2,9,100},B=,9,5,-91.

15.（2022?全國(guó)?高一專題練習(xí)）求集合A={xlx?一*_2=0}的子集和真子集.

【答案】子集是0，{T}，{2},{-1,2},真子集是0,{-1},{2}

【分析】根據(jù)二次方程的解法可得A={-1,2},根據(jù)子集和真子集的定義求解即可

【詳解】集合A={小2-X-2=0}={-1,2},

集合A={-1,2}的子集是0,{T},{2},{-1,2},共4個(gè);

集合A={-1,2}的真子集是0,{-1b{2},共3個(gè).

16.(2022?全國(guó)?高一專題練習(xí))設(shè)集合4={菱形},3={矩形},判斷正方形與A3的關(guān)系.

【答案】正方形eAuB

【分析】求出AB,然后根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷.

【詳解】A8={菱形或矩形},正方形是四個(gè)內(nèi)角為直角的菱形，也是四邊相等的矩形，

所以正方形={菱形或矩形}

17.(2021?湖北?車城高中高一階段練習(xí))設(shè)集合U={x|x44},A={x|-1<x<2},8={x|lW}.求：

⑴AB；

⑵&A)&

⑶(楸)c(VB\

【答案】⑴{x|lW2}；

⑵{x|x4-l或14x44}；

⑶{x|x4-l或3<x44}.

【分析】(1)(2)(3)根據(jù)集合交并補(bǔ)計(jì)算方法計(jì)算即可.

(1)Ac3={x|14x42}；

(2)."=如4-1或2vx44},

(2A)uB=3x4-1或}；

(3),4A={x|x4—l或2vx44},距8={x^V1或3<.曰},

物i)l(㈤={x|x4-l或3<x44).

18.(2021?廣東?陽(yáng)春市第二中學(xué)高一階段練習(xí))(1)己知。=R,且4=閨口<%<4},3={x|xVl或x*3},

求AB-

(2)^>4={xeZ|-6<x<6},3={1,2,3},C={3,4,5,6},求A(Q,(3C)).

【答案】(DAc8={x|-4<xSl或34x<4}；(2)A弧伊C))={-6,-5,-4,-3-2-1,0}.

【分析】（I）利用集合的交運(yùn)算即可求解AB：

（2）根據(jù)已知集合的描述，應(yīng)用集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算求A（6.（3C））.

【詳解】（1）Ac3={x|-4<x<4}c{x|xVl或xN3}={x|-4<xWl或3Vx<4}.

（2）由題意,A={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},且3={1,2,3},C={3,4,5,6},

所以3uC={l,2,3,4,5,6},則a（8C）={-6,-5,-4-3,-2-1,0}.

所以A（dA（BC））={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0}.

【典型】

一、單選題

1.（2022?山東濰坊?高一期末）命題“任意xeR,都有的否定為（）

A.存在x°eR,使得*40

B.不存在xeR,使得"40

C.存在x°eR,使得源>0

D.對(duì)任意xeR,都有e*40

【答案】A

【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題，改量詞，否結(jié)論，即得答案.

【詳解】命題“任意xeR,都有">0”的否定為“存在%￡R,使得140”，

故選：A

2.（2022?湖南?高一課時(shí)練習(xí)）下列語(yǔ)句不是全稱量詞命題的是（）

A.任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以零都等于零

B.自然數(shù)都是正整數(shù)

C.高二（一）班絕大多數(shù)同學(xué)是團(tuán)員

D.每一個(gè)學(xué)生都充滿陽(yáng)光

【答案】C

【分析】根據(jù)全稱量詞的定義進(jìn)行判定.

【詳解】A中的量詞為“任意一個(gè)”，是全稱量詞；B中的量詞為“都是”，是全稱量詞：D中的量詞為“每一

個(gè)“，是全稱量詞；

C中的量詞為“絕大多數(shù)”，是存在量詞命題，不是全稱量詞.

故選：c.

3.（2022?廣東深圳?高一期末）已知集合4={-2,1},B={x|?x=2},若A8=8,則實(shí)數(shù)。值的集合為（）

A.{-1}B.{2}C.{-1,2}D.{-1,0,2）

【答案】D

【分析】AB=B.可以得到B=求出集合4的子集，這樣就可以求出實(shí)數(shù)。值集合.

【詳解】4門(mén)8=5=3=4,/1={-2,1}的子集有0,{—2},{1},{-2,1},

當(dāng)8時(shí)，顯然有。=0；當(dāng)8={-2}時(shí)，-〃=2=。=一1；

當(dāng)8={1}時(shí)，〃.l=2=a=2；

當(dāng)8={-2,1},不存在。符合題意，

實(shí)數(shù)〃值集合為{-1,0,2},

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了通過(guò)集合的運(yùn)算結(jié)果，得出集合之間的關(guān)系，求參數(shù)問(wèn)題.重點(diǎn)考查了一個(gè)集合的子集,

本題容易忽略空集是任何集合的子集這一結(jié)論.

4.（2022?北京?清華附中高一階段練習(xí)）已知集合&={刈》-340},5={0,2,4},則AB=（）

A.{0,2}B.{0,2,4）C.{x|x<3}D.{x|0<x<3}

【答案】A

【解析】利用交集的定義運(yùn)算求解即可.

【詳解】集合A={x|x—3<0}={X|X<3},B={0,2,4},則AB={0,2}

故選：A

5.（2022?全國(guó)?高一期末）己知全集。=R，集合A={x|0<x<8,xeR}和8={x|-3<x<5,xcZ}關(guān)系的韋恩

圖如圖所示，則陰影部分所表示集合中的元素共有

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)

【答案】A

【分析】由圖可知，陰影部分表示集合「（AI5）,根據(jù)題意，求出集合B,利用集合的交運(yùn)算求出集合AB,

再利用補(bǔ)集的定義求出集合C?（AI8）即可判斷.

【詳解】由題意知，集合8={-2,—1,0,1,2,3,4},

因?yàn)榧螦={x[0<x<8,xwR},

由集合的交運(yùn)算可得，ACB={1，2,3,4},

故陰影部分所表示集合為a（Ac3）={-2,-l,0},

其中的元素共有三個(gè).

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查韋恩圖和集合的交補(bǔ)運(yùn)算；考查識(shí)圖能力和運(yùn)算求解能力；屬于基礎(chǔ)題.

6.（2022?廣西南寧.高一期末）已知集合A={6,8,9},貝ij（）

A.6GAB.7eAC.8把AD.9任A

【答案】A

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，求解即可.

【詳解】集合A={6,8,9}

6GA,7任A,8eA,9eA

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查元素與集合的關(guān)系，屬于容易題.

b1L1

7.（2022?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知集合〃=3%=5+工,&€2}4=3》=^+5，氏€M）,若々€加，則與與

N的關(guān)系是（）

A.或B.x<>eNC.x<>走ND.不能確定

【答案】A

【分析】用列舉法表示集合M,N,最后可以選出正確答案.

【詳解】M={x|x=：+]keZ}=[I

24[44444J

N={x|x=[+；,k€N"}=1?』,q，m，1,當(dāng)與但X。任N,

3

當(dāng)天=全￡M，有七eN.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了列舉法表示集合，考查了元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

8.(2022?山東濟(jì)寧?高一期末)x>2是x2-2x>0的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】解不等式/-2x>0得出解集，根據(jù)集合之間的包含關(guān)系得出兩條件的充分必要性.

【詳解】由解得：x<0或x>2,卜H>2}：卜,〈0或q2},

因此，%>2是*2一2*>0的充分不必要條件，故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判斷，一般利用集合的包含關(guān)系來(lái)判斷兩條件的充分必要性：

(1)AUB,貝廣xeA”是“xeB”的充分不必要條件；

(2)AYB,則“xeA”是“xeB”的必要不充分條件;

(3)A=8，則“xeA”是“xeB”的充要條件.

二、填空題

9.(2022.全國(guó)?高一專題練習(xí))已知集合4=卜|爐—7x78=0},8={水'-1=0}.若AuB=A,則實(shí)數(shù)

的值組成的集合為.

【答案】{。，-割)

【分析】計(jì)算集合4={-2,9},根據(jù)AuB=A得到BqA,代值計(jì)算即可.

【詳解】A={^X2-7X-18=0}={-2,9}

由AuB=A,知BqA,則8=0,{-2},{9}

當(dāng)5=0時(shí)，所以a=0

當(dāng)5={—2}時(shí)，，所以_2a—l=0=a=_；

當(dāng)8={9}時(shí)，所以9a-l=0=>“=1

9

所以〃

故答案為：

10.（2022?甘肅.甘南藏族自治州合作第一中學(xué)高一期末）。=1”是“/-3犬+2=0”的條件.

【答案】充分不必要

【分析】解方程f_3x+2=0,即可判斷出。=1”是“9-3犬+2=0”的充分不必要條件關(guān)系.

【詳解】解方程d-3x+2=0,得x=l或x=2,

因此，“x=l”是“Y—3x+2=0”的充分不必要條件.

故答案為充分不必要.

【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的判斷，一般轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系來(lái)判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)

題.

三、解答題

11.（2022?青海海東?高一期末）已知集合人={削a<x<2。},3={x|x4Y或x23}.

⑴當(dāng)a=2時(shí)，求

（2）若4求。的取值范圍.

【答案】（1）{引一4<》<4}；Q）[—]

【分析】（1）由補(bǔ)集和并集的定義可運(yùn)算求得結(jié)果；

（2）分別在A=0和A*0兩種情況卜，根據(jù)交集為空集可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.

（1）由題意得A={H2cx<4},8={x|x4-4或xN3},

.,.46={才-4vxv3},故AD&6）={X-4<X<4}.

⑵當(dāng)。40時(shí)。，A=0,符合題意，

3

當(dāng)a>0時(shí)，山2aW3,得0〈。工一，

2

故”的取值范圍為.

12.（2022?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知集合4="|%2—依+“2—19=0},B={x|x2-5x+6=0},是否存在a使

A,B同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：

（1）AKB；

（2）AUB=8；

⑶OUAHB.

若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】不存在實(shí)數(shù)。使得A,B滿足條件，理由見(jiàn)解析.

【分析】先求得集合8={2,3},再根據(jù)(1)(2)(3)得到AOB,AH0,4={2}或{3}.分類討論，注意

檢驗(yàn)，即可得到結(jié)論.

【詳解】假設(shè)存在。使得A,8滿足條件，

由題意得8={2,3}.

"：AUB=B,及

由條件(1)A聲B,可知4GB.

XV0UAnB,：.A^0,即4={2}或{3}.

當(dāng)4={2}時(shí)，代入得/—2a—15=0,即a=-3或a=5.

經(jīng)檢驗(yàn)：”=—3時(shí)，A=[2,-5),與人={2}矛盾，舍去；

a=5時(shí)，A={2,3},與4={2}矛盾，舍去.

當(dāng)4={3}時(shí)，代入得/—3a—10=0,即a=5或.=—2.

經(jīng)檢驗(yàn)：a=—2時(shí)，A={3,—5},與4={3}矛盾，舍去；

。=50■寸，A={2,3},與4={3}矛盾，舍去.

綜上所述，不存在實(shí)數(shù)。使得48滿足條件.

13.(2022?陜西安康?高一期末)已知集合4={x[l<x<3},集合3={x|2〃?<x<1-機(jī)}.

(1)當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，求AB-

(2)若4=8,求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

【答案】⑴{x|-2<x<3}:(2){m\m<-2}.

【解析】(1)先分別求出A,8,然后根據(jù)集合的并集的概念求解出A8的結(jié)果；

(2)根據(jù)Au5得到8X0,由此列出不等式組求解出，〃的取值范圍.

【詳解】⑴當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，B={x\-2<x<2],

Aufi-|x|-2<x<3}；

(2)VAcB,：.B^0,則有：

2m<\—m

-2/n<1,解之得：m<-2.

1-7?7>3

.??實(shí)數(shù)用的取值范圍是

【點(diǎn)睛】本題考查集合的并集運(yùn)算以及根據(jù)集合的包含關(guān)系求解參數(shù)范圍，難度一般.根據(jù)集合間的包含關(guān)

系求解參數(shù)范圍時(shí)，要注意分析集合為空集的可能.

14.（2022.新疆維吾爾自治區(qū)喀什第六中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）設(shè)集合A={x|OMx+aG},B={x|a-1<x<0},

其中awR,求AB.

【答案】。<0或時(shí)，A03=0；

°=0或°=1時(shí)，AB={0}

0<a<g時(shí)，AB={x|-a<x<0}

時(shí)，AB={x|a-1<x<0}

【分析】B=0時(shí)，A8=0；時(shí)，分五種情況a—l=0；-a>0：-a=0：a-1<-a<0--a<a-\

進(jìn)行討論，畫(huà)數(shù)軸求解，即可.

【詳解】當(dāng)a-l>0即。>1時(shí)，8=0時(shí)，A5=0；

當(dāng)a-l=0即a=l時(shí)，A={x|-l<x<0},8={0},則A8={0}

當(dāng)。-1<0即a<l時(shí)，l-a>0

若一a>0即a<0時(shí)，如卜,圖所示，AB=0.

o-10yl-a

若一a=0即a=0時(shí)，如下圖所示，A={x|0<x<l},^={x|-l<x<0},則AB={0}

若。一1〈一。<0即0<a<g時(shí)，如下圖所示，AB={x|-?<x<0}.

若一一1即時(shí)，如下圖所示，ApB={x|a-l<x<0}.

綜上所述：

。<0或。>1時(shí)，A\B=0；

。=0或。=1時(shí)，AB={0}

0<a<：時(shí)，AB={x|-a<x<0}

14a<1時(shí)，，AB={x|tz-l<x<0}

2

【點(diǎn)睛】本題通過(guò)求交集運(yùn)算，考查分類討論思想，注意分類的標(biāo)準(zhǔn).屬于難度較大的一道題.

【新文化】

一、單選題

1.（2022?河北石家莊?高一期末）祖曬原理也稱祖氏原理，一個(gè)涉及幾何求積的著名命題.內(nèi)容為：“暴勢(shì)

既同，則積不容異”."幕"是截面積，’‘勢(shì)''是幾何體的高.意思是兩個(gè)等高的幾何體，如在等高處的截面積

相等，體積相等.設(shè)A,8為兩個(gè)等高的幾何體，p：A、8的體積相等，q：A、8在同一高處的截面積相等.根

據(jù)祖胞原理可知，p是〃的（）

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)P與。的推出關(guān)系判斷

【詳解】已知48為兩個(gè)等高的幾何體，由祖胞原理知9=>〃，而。不能推出4，可舉反例，兩個(gè)相同的

圓錐，一個(gè)正置，一個(gè)倒置，此時(shí)兩個(gè)幾何體等高且體積相等，但在同一高處的截面積不相等，則P是4的

必要不充分條件

故選：C

2.（2022?湖南?長(zhǎng)沙市雨花區(qū)教育科學(xué)研究所高一期末）王昌齡是盛唐著名的邊塞詩(shī)人，被譽(yù)為“七絕圣手”,

其《從軍行》傳誦至今“青海長(zhǎng)云暗雪山，孤城遙望玉門(mén)關(guān).黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷,

最后一句“返回家鄉(xiāng)”是“攻破樓蘭”的（）

A.必要條件B.充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要

【答案】B

【分析】山題意，“不破樓蘭”可以推出“不還”，但是反過(guò)來(lái)“不還”的原因有多種，按照充分條件、必要條件

的定義即可判斷

【詳解】由題意，“不破樓蘭終不還”即“不破樓蘭”是“不還”的充分條件，即“不破樓蘭”可以推出“不還”，但

是反過(guò)來(lái)“不還”的原因有多種，比如戰(zhàn)死沙場(chǎng)；

即如果已知"還”，一定是已經(jīng)“破樓蘭”，所以“還”是“破樓蘭”的充分條件

故選：B

3.（2022?內(nèi)蒙古赤峰?高一期末）某國(guó)近日開(kāi)展了大規(guī)模COV7CM9核酸檢測(cè)，并將數(shù)據(jù)整理如圖所示，其

中集合S表示（）

感染者未發(fā)病者

A.無(wú)癥狀感染者B.發(fā)病者C.未感染者D.輕癥感染者

【答案】A

【分析】由5=413即可判斷S的含義.

【詳解】解：由圖可知，集合S是集合4與集合8的交集，

所以集合S表示：感染未發(fā)病者，即無(wú)癥狀感染者，

故選：A.

二、多選題

4.（2022.黑龍江綏化.高一期末）由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)?直到1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家

戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù)（史稱戴德金分割），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)

格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危

機(jī)?所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空的子集M與N,且滿足MuN=Q,McN=0,

"中的每一個(gè)元素都小于N中的每一個(gè)元素，則稱（M,N）為戴德金分割.試判斷，對(duì)于任一戴德金分割

下列選項(xiàng)中，可能成立的是（）

A.M沒(méi)有最大元素，N有一個(gè)最小元素

B.歷沒(méi)有最大元素，N也沒(méi)有最小元素

C.M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素

D.M有一個(gè)最大元素，N沒(méi)有最小元素

【答案】ABD

【分析】舉特例根據(jù)定義分析判斷，進(jìn)而可得到結(jié)果.

【詳解】令知=口1》<10,》€(wěn)。},N={x|xN10,xeQ},顯然集合河中沒(méi)有最大元素，集合N中有一個(gè)最

小元素，即選項(xiàng)A可能；

☆M={x|x<&,xeQ},N={x\x>y/2,xeQ),顯然集合M中沒(méi)有最大元素，集合N中也沒(méi)有最小元素,

即選項(xiàng)B可能；

假設(shè)答案C可能，即集合M、N中存在兩個(gè)相鄰的有理數(shù)，顯然這是不可能的；

令"={x|x410,xe。},N={x|x>10,xeQ},顯然集合M中有一個(gè)最大元素，集合N中沒(méi)有最小元素，

即選項(xiàng)D可能.

故選：ABD.

【壓軸】

一、單選題

1.(2021?河南?南陽(yáng)中學(xué)高一階段練習(xí))在整數(shù)集Z中，被4除所得余數(shù)上的所有整數(shù)組成一個(gè)“類"，記為上],

即閃={4〃+4〃eZ},*=0,1,2,3.給出如下四個(gè)結(jié)論:①2015叩]；(2)-2e[2]；(§)Z=[0]31]32]33上

④“整數(shù)〃，人屬于同一‘類的充要條件是〃40]”.其中正確的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)“類”的定義計(jì)算后可判斷①②④的正誤，根據(jù)集合的包含關(guān)系可判斷③的正誤，從而可得正確

的選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)?015=503x4+3,故2015W3],故①錯(cuò)誤，

而-2=4+2,故-2e[2],故②正確.

若整數(shù)a,b屬于同一“類”,設(shè)此類為卜](廠￡{0,1,2,3}),

貝lja=4，〃+r,匕=4〃+r,故a-b=4(，”一〃)即a—匕G[0],

若a-匕w[0],故Q-力為4的倍數(shù)，故a,b除以4的余數(shù)相同，故。，b屬于同一“類”，

故整數(shù)。，6屬于同一“類”的充要條件為a-be[0],故④正確.

由“類”的定義可得網(wǎng)31]32]33]aZ,

任意ceZ,設(shè)c除以4的余數(shù)為r(re{0,l,2,3}),則c?r|,

故CWO[31]52]33]，所以Zu網(wǎng)口田口閉口⑶，

故[0]31]32[33]=Z，故③正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于集合中的新定義問(wèn)題，注意根據(jù)理解定義并根據(jù)定義進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，判斷兩個(gè)

集合相等，可以通過(guò)它們彼此包含來(lái)證明.

2.（2021?全國(guó)?高一專題練習(xí)）對(duì)于非空數(shù)集M,定義/（M）表示該集合中所有元素的和.給定集合

5={2,3,4,5},定義集合7={/（A）|AaS,A=0},則集合T的元素的個(gè)數(shù)為（）

A.11B.12C.13D.14

【答案】B

【分析】分別考慮集合A為單元素集、雙元素集、三元素集、四元素集，然后分別計(jì)算出『（A）的取值，由

此確定出集合T中的元素的個(gè)數(shù).

【詳解】當(dāng)集合A為單元素集時(shí)，可取{2},{3},{4},{5},此時(shí)/（A）可取2,3,4,5；

當(dāng)集合A為雙元素集時(shí),可取{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},此時(shí)“A）可取5,6,7,8,9；

當(dāng)集合A為三元素集時(shí),可取{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},此時(shí)/（A）可取9,10,11,12,

當(dāng)集合A為四元素集時(shí)，可取{2,3,45},此時(shí)/（A）可取14,

綜上可知/（A）可取2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,共12個(gè)值，所以7的元素個(gè)數(shù)為12,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查集合中的新定義問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的理解與分析問(wèn)題的能力要求較高，難度較難.解答新定義

的集合問(wèn)題，首先要明確集合中表示元素的含義，其次才是解答問(wèn)題.

二、多選題

3.（202卜江西?進(jìn)賢縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）對(duì)任意ABuR,定義A十8={小eAuB,x￡AcB}.例如,

若人={1,2,3},8={2,3,4},則A十8={1,4},下列命題中為真命題的是（）

A.若ABqR且A十3=3,則A=0B.若且A十3=0,則A=B

C.若ABaR且A十BqA,則AgBD.若則（癡）十8=R（A十8）

【答案】ABD

【分析】根據(jù)定義A十B={x|x€Au3,xmAc3},得到人十臺(tái)二[(疵4)cfi][Ac(宓)],對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一

驗(yàn)證.

【詳解】根據(jù)定義人十臺(tái);[(那4)c可[Ac(/)].

對(duì)于A：若A十8=8,則

&A)B=B,Ac(a8)=0.(蝌)C3=3=8u(/).Ac0/)=0nAu3,.\A=0,故A正確；

對(duì)于B：若A十8=0,貝I](54)8=0,Ac(&3)=0,Ac8=AnAuB.Ac8=8=A,，A=8,故B

正確；

對(duì)于C：若A十B=則A十BuA.Ac脩8)1A.則8aA.故C錯(cuò)；

對(duì)于D：左邊(雅4)十8=(A8)(-?/)，右邊

旗A十8)=[[(糜4)c8][Ac(/)]}=(48)U(懈/)所以左=右.故D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)中的新定義題目解題策略：

(1)仔細(xì)閱讀，理解新定義的內(nèi)涵：

(2)根據(jù)新定義，對(duì)對(duì)應(yīng)知識(shí)進(jìn)行再遷移.

三、填空題

4.(2021.全國(guó).高一單元測(cè)試)設(shè)A是非空數(shù)集，若對(duì)任意蒼”A,都有x+yeA,孫eA,則稱A具有性質(zhì)

P.給出以下命題：

①若A具有性質(zhì)P,則A可以是有限集；

②若A，&具有性質(zhì)P,且AC&H0,則Ac4具有性質(zhì)P；

③若A，4具有性質(zhì)P,則A具有性質(zhì)尸；

④若A具有性質(zhì)P,且AWR,則不具有性質(zhì)只

其中所有真命題的序號(hào)是.

【答案】①②④

【分析】舉特例判斷①；利用性質(zhì)P的定義證明②即可；舉反例說(shuō)明③錯(cuò)誤；利用反證法判斷④，元素0

是關(guān)鍵.

【詳解】對(duì)于①，取集合A={0,1}具有性質(zhì)尸，故A可以是有限集，故①正確；

對(duì)于②，取x,yeAc4,則xeA，又A，&具有性質(zhì)P,+A，町eA,

x+ye&,盯.?.x+yeAc4,AyeAc&,所以Ac4具有性質(zhì)P,故②正確：

對(duì)于③，取A={x|x=2Z,左eZ},A,={x\x=3k,k&Z},2eAt,3e4,但2+3任A,故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，若A具有性質(zhì)P,且A/R，假設(shè)\A也具有性質(zhì)P,

設(shè)OeA,在aA中任取一個(gè)x,xxO,此時(shí)可證得-xeA,否則若-xe^A,由于也具有性質(zhì)P,則

x+(-x)=0e^A,與OeA矛盾，故-xeA,

由于A具有性質(zhì)P,\A也具有性質(zhì)P,

所以(-x)2eA,x2e^A,

而(-x)2=f,這與AcaA=0矛盾，

故當(dāng)0eA且A具有性質(zhì)PB寸，則。A不具有性質(zhì)P,

同理當(dāng)0《備4時(shí)，也可以類似推出矛盾，故④正確.

故答案為：①②④

【點(diǎn)睛】集合新定義題目，關(guān)鍵是對(duì)集合新定義的理解，及舉反例，特例證明，考查學(xué)生的邏輯推理與特

殊一般思想，屬于難題.

四、解答題

5.(2022?北京朝陽(yáng)?高一期末)若集合A=A5U…紇，其中用%約為非空集合,

B；Bj=0(l<i<j<n),則稱集合{線也，…，紇}為集合A的一個(gè)〃劃分.

⑴寫(xiě)出集合4={1,2,3}的所有不同的2劃分；

(2)設(shè){片,與}為有理數(shù)集Q的一個(gè)2劃分，且滿足對(duì)任意xe與，任意、€層，都有x<y.則下列四種情況

哪些可能成立，哪些不可能成立？可能成立的情況請(qǐng)舉出一個(gè)例子，不能成立的情況請(qǐng)說(shuō)明理由；

①片中的元素存在最大值，當(dāng)中的元素不存在最小值；

②4中的元素不存在最大值，生中的元素存在最小值；

③4中的元素不存在最大值，殳中的元素不存在最小值；

④用中的元素存在最大值，層中的元素存在最小值.

(3)設(shè)集合A={1,2,3,…,16},對(duì)于集合A的任意一個(gè)3劃分{4,馬四}，證明:存在唯{1,2,3},存在a,be月,

使得

【答案】⑴{{1,2},⑶},{{1,3},{2}},{{2,3},{1}}

(2)①可能成立，例子見(jiàn)解析；②可能成立，例子見(jiàn)解析；③可能成立，例子見(jiàn)解析；④不可能成立，證明

過(guò)程見(jiàn)解析；

(3)證明過(guò)程見(jiàn)解析.

【分析】(D根據(jù)題意寫(xiě)出含有3個(gè)元素的2劃分即可：

(2)①②③可以舉出反例，④可以利用反證法進(jìn)行證明；

(3)用反證法進(jìn)行證明，

⑴集合A={1,2,3}的所有不同的2劃分為{{1,2},{3}},{{1,3},{2}},{{2,3},{1}}

(2)①可能成立，舉例如下：S,={xee|x<l},4={xe0x>l}；

②可能成立，舉例如下：B,={xee|x<l},B,={xe<2|x>l);

③可能成立，舉例如下：B^{xeQ\x<y/2],4={xeQ|x>0}；

④不可能成立，證明如下：假設(shè)④成立，不妨設(shè)用中元素的最大值為S,4中元素的最小值為，，由題可知:

s<t,所以s<上也<f,

2

因?yàn)閟為用中元素的最大值，所以辭任隹，

因?yàn)閞為為中元素的最小值，所以手^與，

因?yàn)樗灾蠯Q,

這與學(xué)eQ矛盾，

所以假設(shè)不成立，即④不可能成立；

(3)由于集合4中有16個(gè)元素，所以4,B”名中至少有一個(gè)集合至少包含6個(gè)元素，

不妨設(shè)瓦中至少包含6個(gè)元素，

設(shè)4也也也也也€A，且4V4<b3<b4<b5<b6，

假設(shè)對(duì)任意iw{1,2,3},對(duì)任意。力e耳,都有b—a任與,

那么d-4也一仇,d-d也一%也一么?用,

又因?yàn)?也-4也-4也-包也eA,

所以d-么也一為也一4也一仇也一ae&u&,

則B2,J中必有一個(gè)集合至少包含包-仿也一4也-4也-々也-4中的3個(gè)元素，

不妨設(shè)這3個(gè)元素為4,%，/?<a2<a3,

山假設(shè)可知：/-4，。3-。2，%-4|任修，

對(duì)任意i,j(\<j<i<3),存在m,n(l<m<n<5),

都有4-%=d-超-4+N=々-粼任鳥(niǎo),

又因?yàn)?-4,43-a2，%-4€尾!，而生-4-(a,-4”%-4，與假設(shè)矛盾，

所以假設(shè)不成立，

所以存在於{1,2,3},存在eB,,使得6-aeB,

【點(diǎn)睛】對(duì)于集合新定義證明類題目，要能正確理解題意，再采取合適的方法進(jìn)行求解，列舉法和反證法

是經(jīng)常使用的方法，先假設(shè)條件不成立，再通過(guò)邏輯推理得到矛盾，從而證明出結(jié)論.

6.(2022?北京朝陽(yáng)?高一期末)已知非空數(shù)集A={4,%,,%}(〃wN),設(shè)S(A)為集合A中所有元素之和，

集合P(A)是由集合A的所有子集組成的集合.

(1)若集合A={0,l},寫(xiě)出s(A)和集合尸(A)；

(2)若集合A中的元素都是正整數(shù)，且對(duì)任意的正整數(shù)4=1、2、3、L、5(A),都存在集合BwP(A),使

得s(8)=3則稱集合A具有性質(zhì)

①若集合A={1,2,4,8},判斷集合A是否具有性質(zhì)"，并說(shuō)明理由；

②若集合A具有性質(zhì)M,且s(A)=100,求〃的最小值及此時(shí)A中元素的最大值的所有可能取值.

【答案】⑴S(A)=1,P(A)={0,{O},{1},{O,1}};

⑵①有，理由見(jiàn)解析；②〃的最小值為7,所有可能取值是37、38、39、L、50.

【分析】(1)根據(jù)題中定義可寫(xiě)出s(A)與尸(A)；

（2）（i）求得s（A）=15,取4=1、2、3、L、15,找出對(duì)應(yīng)的集合B,使得s（B）=k,即可得出結(jié)論；

（ii）設(shè)4={4，/，不妨設(shè)<??,根據(jù)題中定義分析出6=1、%=2,%416,

4432,%464,a,>37,然后驗(yàn)證當(dāng)k=0、1、2、L、13時(shí)，集合{1,2,4,8,16,19+左,50-％}符合題意,

即可得解.

⑴解：由題中定義可得S（A）=1,P（A）={0,{O},{1},{O,1}}.

（2）解：（i）集合A具有性質(zhì)理由如下：

因?yàn)锳={1,2,4,8},所以s（A）=l+2+4+8=15.

當(dāng)％=1時(shí)，取集合B={1},則s（8）=k；

當(dāng)％=2時(shí)，取集合8={2},則s（8）=Z；

當(dāng)％=3時(shí)，取集合8={1,2},則s（8）=Z；

當(dāng)A=4時(shí)，取集合8={4},則s（8）=k；

當(dāng)左=5時(shí)，取集合8={1,4},則s（8）=Z；

當(dāng)％=6時(shí)，取集合8={2,4},則s（8）=Z：

當(dāng)4=7時(shí),取集合3={1,2,4},貝心（5）=左;

當(dāng)％=8時(shí)，取集合8={8},則s（8）=&；

當(dāng)％=9時(shí)，取集合3={1,8},則s（5）=Z；

當(dāng)％=10時(shí),取集合8={2,8},則s（B）=H；

當(dāng)％=11時(shí)，取集合8={1,2,8},則s（8）=Z：

當(dāng)％=12時(shí)，取集合8={4,8},則s（8）=&；

當(dāng)&=13時(shí)，取集合8={1,取8},則s（B）=A；

當(dāng)％=14時(shí)，取集合8={2,4,8},則s（B）=Z；

當(dāng)次=15時(shí),取集合8={1,2,4,8},則s（8）=%；

綜上可得，集合A具有性質(zhì)";

(ii)設(shè)集合A={q,%,,a?},不妨設(shè)q<a2V<.

因?yàn)?(=1,2,3,,〃)為正整數(shù),所以421,422.

因?yàn)榇嬖贐使得S(B)=1,所以此時(shí)B中不能包含元素/、%、L、4且8工0,

所以B={aJ.所以q=l.

因?yàn)榇嬖贐使得s(B)=2,所以此時(shí)B中不能包含元素4及由、包、L、?！扒?x0,

所以3={%},所以a2=2.

若g25,則425、L、a?>5,而q+/=3,

所以不存在BcP(A),使得s(8)=4,所以由44.

若429,貝！］為29、L、an>9,而％+/+°3《7,

所以不存在BeP(A),使得s(B)=8,所以448.

同理可知出416,a6<32,%464.

若“W6,則5(4)41+2+4+8+16+32=63,所以〃27.

當(dāng)”=7時(shí)，若％N4+%++&+2,

則取左=4+出++4+1，可知不存在BwP(A),使得s(8)=存

所以％4q+a2++4z6+l=100-a7+l,解得%450.

又因?yàn)?00-a,=q+%++a6<63,所以為*37.

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)％=0、1、2、L、13時(shí)，集合{124,8,16,19+*?！史项}意.

所以"的最小值為7,且集合A中元素的最大值的所有可能取值是37、38、39、L、50.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查集合的新定義問(wèn)題，解題時(shí)充分抓住題中的新定義，結(jié)合反證法結(jié)合不等

式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)推導(dǎo)，求出每一項(xiàng)的取值范圍，進(jìn)而求解.

7.(2022?全國(guó)?高一單元測(cè)試)設(shè)A是實(shí)數(shù)集的非空子集，稱集合3=且"工丫}為集合A的生成

集.

⑴當(dāng)A={2,3,5}時(shí)，寫(xiě)出集合A的生成集2；

(2)若A是由5個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集B中元素個(gè)數(shù)的最小值；

(3)判斷是否存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A,使其生成集3={2,3,5,6/0,16},并說(shuō)明理由.

【答案】(1)8={6,10,15},(2)7。⑶不存在，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)利用集合的生成集定義直接求解.

(2)設(shè)人:也,七,4,%,6}，且0<6<的</<。4<%,利用生成集的定義即可求解；

(3)不存在，理由反證法說(shuō)明.

(1)QA={2,3,5),.-.B={6,10,15)

(2)設(shè)4={4，%，6，%,。5}，不妨設(shè)<a2<a3<a4<a5,

因?yàn)閍}a2<ata3<aya4<ata5<a2a5<a3as<a4a5,所以8中元素個(gè)數(shù)大于等于7個(gè)，

又4=口,22,23,2\25},B={23,24,25,26,27,28,29),此時(shí)B中元素個(gè)數(shù)大于等于7個(gè)，

所以生成集B中元素個(gè)數(shù)的最小值為7.

(3)不存在，理由如下：

假設(shè)存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合4={4力,0,〃},使其生成集8={2,3,5,6,10,16},

不妨設(shè)0<a</2<c<d，則集合A的生成集5={a/?,ac,a",6c,6",cz/}

則必有ab=2,c