浙教版七年級數(shù)學(xué)下冊全冊教學(xué)設(shè)計

浙教版七年級數(shù)學(xué)下冊全冊教案

1.1平行線..............................................................2

1.2同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角...........................................3

1.3平行線的判定........................................................6

1.4平行線的性質(zhì)........................................................9

1.5圖形的平移.........................................................12

2.1二元一次方程.......................................................14

2.2二元一次方程組.....................................................19

2.3解二元一次方程組..................................................21

2.4二元一次方程組的應(yīng)用..............................................24

2.5三元一次方程組及其解法（選學(xué)）....................................26

3.1同底數(shù)基的乘法.....................................................29

3.2單項式的乘法.......................................................34

3.3多項式的乘法.......................................................38

3.4乘法公式...........................................................40

3.5整式的化簡.........................................................45

3.6同底數(shù)基的除法....................................................48

3.7整式的除法.........................................................51

4.1因式分解...........................................................53

4.2提取公因式法.......................................................56

4.3用乘法公式分解因式................................................58

5.1分式...............................................................61

5.2分式的基本性質(zhì).....................................................63

5.3分式的乘除.........................................................65

5.4分式的加減.........................................................67

5.5分式方程............................................................72

6.1數(shù)據(jù)的收集和整理..................................................75

6.2條形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖............................................79

6.3扇形統(tǒng)計圖.........................................................81

6.4頻數(shù)與頻率.........................................................84

6.5頻數(shù)直方圖.........................................................87

1.1平行線

教學(xué)目標(biāo)：

1.理解平行線的意義，了解同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系；

2.會根據(jù)幾何語句畫圖，會用直尺和三角板畫平行線；

3.了解“三線八角”并能在具體圖形中找出同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角；

教學(xué)重點、難點：

重點：平行線的概念與平行公理；

難點：對平行公理的理解.

教學(xué)過程：

一、新課導(dǎo)入：

1.相交線是如何定義的？

2.平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系除相交外，還有哪些呢？

二、解決新知：

L平行線概念：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.直線a與b平行，記作

a/7b.（畫出圖形）

2.同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有兩種：（1）；（2）.

3.對平行線概念的理解：

兩個關(guān)鍵：一是“”（舉例說明）；二是“”.

一個前提：對直線而言.

4.平行線的畫法：

平行線的畫法是幾何畫圖的基本技能之一，在以后的學(xué)習(xí)中，會經(jīng)常遇到畫平行線的問題.方

法為：

一“落”（三角板的一邊落在已知直線上），

二“靠”（用直尺緊靠三角板的另一邊），

三“移”（沿直尺移動三角板，直至落在已知直線上的三角板的一邊經(jīng)過已知點），

四“畫”（沿三角板過已知點的邊畫直線）.

5.平行公理：

過點B畫直線a的平行線，能畫出幾條？再過點C畫直線a的平行線，能畫出兒條？

.C

.B

m

回憶垂線性質(zhì)：___________________________________________________________

平行公理：.

上圖中過點C畫直線a的平行線，它和前面過點B畫出的直線平行嗎？

平行公理推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

即：如果b〃a,c〃a,那么___cba

三.拓展應(yīng)用

1.讀下列語句，并畫出圖形：

(1)點P是直線AB外一點，直線CD經(jīng)過點P,且與直線AB平行；

(2)直線AB,CD是相交直線，點P是直線AB,CD外的一點，直線EF經(jīng)過點P且與直線AB

平行，與直線CD相交于點E；

2.如圖，直線a,b被直線c所截，形成的8個角中，其中同位角有一對，內(nèi)錯角有一對，

同旁內(nèi)角有一對.

1.2同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

教學(xué)目標(biāo)

1、理解同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念；

2、會識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角.

教學(xué)重、難點

重點：同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念與識別;

難點：識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角.

教學(xué)過程

一、引課：

問題：平面上，兩條直線有幾種位置關(guān)系？（相交與平行）

本節(jié)課我們要討論兩條直線和第三條直線相交的關(guān)系.

二、新授：

1、兩條直線人七被第三條直線A所截，（教師畫圖）構(gòu)成了8個角.（標(biāo)出8個角）

問：這8個角有多種關(guān)系，如N1與N3,N2與N4,N5與N7,N6與N8分別是什么角？

（對頂角）

2、觀察N1與45的位置，它們有什么樣的特征？（它們都在第三條直線Z）的同旁，并且

分別位于直線4、&的相同一側(cè)

引出：這樣的一對角叫做同位角

練習(xí)：圖中還有哪幾對同位角？一共有幾對？

3、/2與/7在哪一條直線的兩旁？分別在哪兩條直線之間？

內(nèi)錯角的意義：當(dāng)兩條直線被第三條直線所截，在一條直線的兩旁，且在另兩條直線之間，

位置交錯的一對角叫做內(nèi)錯角.

練習(xí)：圖中還有哪幾對內(nèi)錯角？一共有幾對？

4、N2與N3在哪一條直線的同旁？分別在哪兩條直線之間？

同旁內(nèi)角的意義：兩條直線被第三條直線所截，在一條直線的同旁，且在另兩條直線之間，

這樣位置的一對角叫做同旁內(nèi)角.

練習(xí)：圖中還有幾對同旁內(nèi)角？一共有幾對？

5、用小黑板顯示這三類角的特征：

角的名稱基本圖形在一條直線在另兩條直線

同位角同旁同側(cè)

內(nèi)錯角兩旁之間

同旁內(nèi)角土同旁之間

說明：（1）同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角都是兩條直線被第三條直線所截而得到的角.

（2）判別這些角的關(guān)鍵是找到三條直線的位置關(guān)系和這些角在三條直線中所處的位

置.

可得到：三線八角中，有4對同位角，2對內(nèi)錯角，2對同旁內(nèi)角.

去掉多余的線，同位角形如“〃’，內(nèi)錯角形如，同旁內(nèi)角形如“夕（教師示范畫圖）

在截線的同旁找同位角和同旁內(nèi)角，在截線的不同旁找內(nèi)錯角，再利用圖形的結(jié)構(gòu)特征（區(qū)

Z、U）問題就迎刃而解了.

三、例題講解

例1、如圖，直線龐截AC,構(gòu)成8個角.指出所有的同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角.

此題比較容易，讓學(xué)生自己直接口答完成.

四、合作學(xué)習(xí)

如圖，兩只手的食指和拇指在同一平面內(nèi)，它們構(gòu)成的一對角可以看成是什么角？類似地,

你還能用兩只手的手指構(gòu)成同位角和同旁內(nèi)角嗎？

學(xué)生討論試驗后演示.

五、例題講解

例2、如圖，直線％交乙4宛的邊刃于點￡如果內(nèi)錯角N1與N2相等，那么同位角N1

與相等，同旁內(nèi)角N1與N3互補.請說明理由.

要求學(xué)生說出理由，教師示范板書.

小結(jié)：本節(jié)研究了一條直線分別與另兩條直線相交，所得的八個角的位置關(guān)系，掌握辨別這

些角位置關(guān)系的關(guān)鍵是分清哪條是截線，哪兩條是被截線.在截線的同旁找同位角和同旁內(nèi)

角，在截線的不同旁找內(nèi)錯角.只要找出這三條線中的主線一一截線，就能正確識別這三類

角.

六、布置作業(yè)

1.3平行線的判定

教學(xué)目標(biāo)

1、理解平行線的判定方法

2、能運用所學(xué)過的平行線的判定方法，進行簡單的推理和計算.

教學(xué)重點、難點

教學(xué)重點：三個判定方法的發(fā)現(xiàn)、說理和應(yīng)用.

教學(xué)難點：問題的思考和推理過程是難點.

教學(xué)過程

【活動1】合作動手實驗引入

復(fù)習(xí)畫兩條平行線的方法.

【活動2】平行線的判定方法1

由上面，同學(xué)們你能發(fā)現(xiàn)判定兩直線平行的方法嗎？

語言敘述：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡單

地說：同位角相等，兩直線平行.

幾何敘述：=.?.九〃/2（同位角相等，兩直線平行）

【活動3】例題講解

例已知直線力，12被/3所截，如圖，Zl=45°,N2=135。，試判斷人與人是否平行.并

說明理由.

解：k、一％

2

3

11

'2

理由如下：

,.,/2+N3=180°,/2=135°

.,.Z3=180°-Z2=180°-135°=45°

VZ1=45°

.*.Z1=Z3

（同位角相等，兩直線平行）

思路：

（1）判定平行線方法.

（2）圖中有無同位角（注N3位置）

（3）能說明N3=N1嗎?

（4）結(jié)論.

（5）N3還可以是其它位置嗎？你能說明嗎？

例2如圖1-10,AB1.EF,CDLEF,E,/分別為垂足.直線45與切平行嗎？請說明理由.

解：ABUCD.理由如下：

由已知CDLEF,

根據(jù)垂直的意義，得Nl=N2="fN.

7/W（根據(jù)什么？）

得出：垂直于同一條直線的兩條直線平行.

【活動4］從原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)提出問題

如圖，問4與乙平行的條件是什么？

再問：三線八角分為三類角，

當(dāng)同位角相等時，兩直線平行，

那么內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角具有什么關(guān)系時，也能判定兩直線平行呢？這就是我們今天要學(xué)

習(xí)的問題.

將內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角設(shè)法轉(zhuǎn)化為利用同位角相等.

【活動5】運用特殊和一般的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)新的判定方法

1.通過合作學(xué)習(xí)，提出猜想.

①若圖中，直線力力與切被直線仔所截，若/3=N4,則49與繆平行嗎？

你可以從以下幾個方面考慮：不

(1)我們已經(jīng)有怎樣的判定兩直線平行的方法？

(2)有/3=/4,能得出有一對同位角相等嗎？

由此你又獲得怎樣的判定平行線的方法？

要求學(xué)生板書說理過程，在此基礎(chǔ)上.將“猜想”更改成判定方法二：

兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，則兩條直線平行.

教師并強調(diào)幾何語言的表述方法

,/Z3=Z4----------+——

5(內(nèi)錯角相等，兩條直線平行)//

然后，完成“做一做”—7―7―

Zl=121°,Z2=120°,Z3=120°.

說出其中的平行線，并說明理由.

②若圖中，直線與儀械直線的截，若N2+N4=180°，貝?8與龍平行嗎？

你可以由類似的方法得到正確的結(jié)論嗎？

由此又獲得怎樣的判定平行線的方法？

要求學(xué)生板書說理過程，在此基礎(chǔ)上.將“猜想”更改成判定方法三：

兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，則兩條直線平行——,L-------

強調(diào)幾何語言的表述方法/

VZ2+Z4=18007

.?"8〃切(同旁內(nèi)角互補，兩條直線平行)/

引導(dǎo)學(xué)生猜想：同旁內(nèi)角互補，兩條直線平行.

【活動6】例題教學(xué)，體驗新知

例2.如圖，AC+AA=AAEC.判斷46與切是否平行，并說明理由.

分析：延長紙交AB于點F,則直線切，/質(zhì)直線麗截.這樣，我們可以通過判斷內(nèi)

錯角NC和N力尸，是否相等，來判定46與。堤否平行.

提問：能否用不一樣的方法來判定48與跡否平行？

提示：連結(jié)力C.

例3如圖N4+N班NGN9=360°,且AB=AD,

那么AB"CD,AD//BC.請說明理由.

先讓學(xué)生思考，以小組為單位進行討論，然后派出代表發(fā)言，學(xué)生基本上都能想到，用

同旁內(nèi)角互補，兩條直線平行的判定，但書寫難度較大，教師要加以引導(dǎo)說理過程.

【活動7】應(yīng)用舉例，變式練習(xí)(講與練結(jié)合方式進行教學(xué))

如圖

(1)則GC〃/氏依據(jù)是；

(2)N3=/5,則環(huán)〃/氏依據(jù)是；

(3)N2+N/=180°,則比〃4?,依據(jù)是；

(4)Z1=Z4,則GC〃跖依據(jù)是；

(5)NGN比180°,則比〃48依據(jù)是；

(6)Z4=ZJ,則加〃依據(jù)是.

探究活動：有一條紙帶如圖所示，如果工具只有圓規(guī)，怎樣檢驗紙帶的兩條邊沿是否平

行？如果沒有工具呢？請說出你的方法和依據(jù).

1.4平行線的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)

1.結(jié)合圖形用符號語言來表示平行線的三條性質(zhì)的條件和結(jié)論，并能靈活運用平行線的性

質(zhì)定理解決有關(guān)問題.

2.經(jīng)歷探索平行線的性質(zhì)定理的證明，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析和進行簡單的邏輯推理能力.

3.通過對互逆命題、互逆定理的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受事物是可以互相轉(zhuǎn)化的辨證觀點.

重點、難點

重點：

平行線的性質(zhì)

難點：

如何理解互逆命題、互逆定理的關(guān)系

教學(xué)設(shè)計

一、巧設(shè)情境，引入新課

上節(jié)課我們證明了平行線的判定定理，知道它們的條件是角的大小關(guān)系，其結(jié)論是兩直線平

行，如果我們把平行線的判定定理的條件和結(jié)論互換之后得到的命題是真命題嗎？

這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)平行線的性質(zhì)定理(板書課題)

二、講授新課

問題1:如圖a〃6,直線c與a、6相交，/I與N5有什么關(guān)系？你有什么猜想？

問題2：如圖，直線a〃兒直線c與a、5相交，圖中其它同位角之間有什么關(guān)系？

1.實驗觀察，發(fā)現(xiàn)平行線第一個性質(zhì)

請學(xué)生畫出下圖1進行實驗觀察.設(shè)h//h,A與它們相交，請度量/I和/2的大小，你

能發(fā)現(xiàn)什么關(guān)系？請同學(xué)們再作出直線4,再度量一下N3和N4的大小，你還能發(fā)現(xiàn)它們

有什么關(guān)系？

圖1

平行線性質(zhì)1(公理)：兩直線平行，同位角相等.

我們知道："兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等”這個真命題是公理，這一公理可

以簡單說成：兩直線平行，同位角相等.

大家議一議：利用這個公理，你能證明哪些熟悉的結(jié)論？

兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等.

(D你能作出相關(guān)的圖形嗎？

(2)你能根據(jù)所作的圖形寫出已知、求證嗎？

(3)你能說說證明的思路嗎？

已知，如圖，直線a〃6,N1和N2是直線a、6被直線，截出的內(nèi)錯角.

求證：Z1=Z2.

分析：要證明內(nèi)錯角/1=N2,從圖中知道/I與N3是對頂角，所以Nl=/3,由此可知：只

需證明/2=/3即可，而/2與/3是同位角，這樣可根據(jù)平行線的性質(zhì)公理得證.

寫出證明過程，哪位同學(xué)上黑板來書寫呢？

（學(xué)生舉手，請一位同學(xué)上黑板來書寫）

證明：:a〃從己知）

；./3=N2（兩直線平行，同位角相等）

對頂角相等）

等量代換）

通過證明證實了這個命題是真命題，我們把它稱為平行線的性質(zhì)定理一，這樣就可以把它作

為今后證明的依據(jù).

兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補.

請一位同學(xué)上黑板來給大家板演，其他同學(xué)寫在練習(xí)本上.

己知，如圖，直線a〃方，/I和/2是直線a、6被直線c截出的同旁內(nèi)角.

求證：Nl+N2=180°.

證明：：a〃4已知）

.?.N3=N2（兩直線平行，同位角相等）

VZ1+Z3=18O°（1平角=180°）

.,.Zl+Z2=180°（等量代換）

思考：還有其他方法嗎？

法二證明：：a〃從己知）

...N3=N2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

VZ1+Z3=18O°（1平角=180°）

.-.Zl+Z2=180°（等量代換）

通過推理的過程得證這個命題“兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補”是真命題，

我們把它稱為平行線的性質(zhì)定理二，以后可以直接應(yīng)用它來證明其他的命題.

3.原命題與逆命題

觀察“同位角相等，兩直線平行”、“兩直線平行，同位角相等”這兩個命題，你發(fā)現(xiàn)什么？

歸納：這兩個命題中，第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第

二個命題的條件.

兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個

命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.

思考：如果原命題是真命題，它的逆命題一定是真命題嗎？舉例說明.

如“對頂角相等”是真命題，而“相等的角是對頂角”是假名題.

引導(dǎo)學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)：一對互逆命題的真假性不一定相同.

如果一個定理的逆命題是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一

個定理稱為另一個定理的逆定理.

如“同位角相等，兩直線平行”、“兩直線平行，同位角相等”這兩個定理就是一對互逆定

理.

三、課堂練習(xí)

四、小結(jié)

1.平行線的性質(zhì)：

公理：兩直線平行，同位角相等.

定理1:兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

定理2：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

2.原命題與逆命題

五、作業(yè)

課本習(xí)題

1.5圖形的平移

教學(xué)目標(biāo)

1、理解平移變換的概念及其性質(zhì)；能按要求進行簡單的平移作圖，會靈.活運用平移變

換思想解決簡單的數(shù)學(xué)問題；

2、經(jīng)歷觀察、操作、實驗等數(shù)學(xué)活動，體驗平移性質(zhì)的探.索過程；在合作與交流中，

獲得良好的情感體驗，感受平彩在日常生活中的運用.

教學(xué)重點、難點

重點：對平移變換性質(zhì)的理解掌握，并應(yīng)用于解決有關(guān)實際問題.

難點：對平移變換概念的理性認(rèn)識，對概念特征的深刻理解.

教學(xué)過程

一“、.創(chuàng)設(shè)情境引入新課

（打投影）觀察圖中纜車、超市電拂上的顧客、傳送帶上的箱子的運動，公園中小火

車、旋轉(zhuǎn)木馬等游樂項目的運動，經(jīng)人以平行移動感覺，由這一，平行移動現(xiàn)象導(dǎo)入課題：

平移變換.

（板書）課題：平移變換

二、合作探究獲取結(jié)掄

1、動手實驗

學(xué)生兩人一組實驗：一人把書本（或文具盒）以一定斜度固定，另一人把一塊三角板

放在斜板上，讓其啟然下滑，觀察其滑動過程；然后換一直尺或其他可滑動的物品再試一

次.

2、議一議

三角板在下滑過程中各頂點的運動方向、運動距離如何變化？

結(jié)論：各頂點向同一方向運動，且運動距離相等.

（投影）概念：由一個圖形改變?yōu)榱硪粓D形，在改變的過程中，原圖形上所有的點都

沿同一方向運動，且運動相等的距離，這樣的圖形改變叫做平移變換（平移）

提問：平移變換的兩個重要條件是什么？

平移變換的，兩個要素：確定運動方向一一定方向

.確定運動距離一一定距離

3、議一.議

I

三角板下滑動過程中，其形狀、大小、方向如何變化？對應(yīng)邊有何特征？

（教師可組織學(xué)生再作試驗一次，要求學(xué)生加強實驗時的團結(jié)、合作精神）

結(jié)論：三角板的形狀、大小和方向均不改變，其對應(yīng)邊平行且相等.

（投影）平移變換的性質(zhì)：

（1）平移變換不改變圖形的形狀、大小和方向；

（2）連結(jié)對應(yīng)點的線段平行且相等.

三、例題教學(xué)鞏固提高

1、例把長方形ABCD沿箭頭所指的方向平移，使點C落在點C'.畫出這一平移后所

得的圖形.

學(xué)生讀題后，教師指導(dǎo)學(xué)生先思考下列問題：

①要作出三角形，關(guān)鍵需先作什么？（作三個頂點）

②要把三角形平移到規(guī)定位置，需要知道平移的哪兩個要素？（定方向、定距

離）

學(xué)生搞清上述問題后，再要求學(xué)生用自己的方法完成作圖.

（教師此時應(yīng)協(xié)助基礎(chǔ)差的同學(xué)作圖，然后要求學(xué)生總結(jié)作圖的方法和步驟）

提問：你認(rèn)為平移作圖的方法是怎樣的？分為哪幾，個步驟？

方法一：連線法一一先找三點再連線；

.方法二：評行法一一過已知點,依次作原三邊的平行線.

2、完成課內(nèi)練習(xí)

3、某廣告公司需要為客戶設(shè)計一個商標(biāo)圖案，你能利用所學(xué)的平移知識，為這個客戶

設(shè)計一個漂亮的圖形螞？請畫.出你的圖形“要求圖形美觀有創(chuàng)意..

（這是學(xué)生展示,創(chuàng)造個性的良機，尤其是那些平時活躍而表現(xiàn)又不太好的同學(xué)在這方

面有著獨特的天賦，教師應(yīng)充分讓他們展示自己的創(chuàng)造才能）

.（如果學(xué)生還有困難，教師可提示設(shè)計方法：先畫一個由幾塊組成的圖形，再把其中的

一塊平移到另一個位置，從而組成一個新的圖形）

變式訓(xùn)練：增加一些已知條件，你所設(shè)計的,圖形能求出它的周長或面積嗎？試試看.

四、小結(jié)

請你用本節(jié)課所得到的收獲完成下面的填空：

1、這節(jié)課我學(xué)到了__________________________________

2、這節(jié)課我體會到了...

3、通過這節(jié)課的學(xué)習(xí).，今后我要,

4、通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，希望老師

五、布置作業(yè)

教學(xué)反思：

創(chuàng)設(shè)問題情景，給學(xué)生一個創(chuàng)造的平臺，鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興

趣，增強學(xué)生問題解決的,自信心，感受數(shù)學(xué)在日常生活中的運用。通過數(shù)學(xué)實驗活動，讓

學(xué)生經(jīng)歷操作過程，體驗到一些初步的實踐活動經(jīng)驗，同時學(xué)生也獲得了良好的情感體驗。

2.1二元一次方程

教學(xué)目標(biāo)：

一、知識與技能目標(biāo)：

1.理解二元一次方程的定義；

2.能夠準(zhǔn)確敘述處二元一次方程的解的概念；

3.能熟練的求出二元一次方程的一個解。

二、過程與方法目標(biāo)：

經(jīng)歷探索二元一次方程的解的過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)交流和歸納猜想的能力;

三、情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：

體會到數(shù)學(xué)推理的奧妙，能用數(shù)學(xué)知識解決實際問題。

教學(xué)重、難點

重點:

1.探索二元一次方程的解的過程；

2.利用一元一次方程求解的方法求二元一次方程的一個解。

難點：

二元一次方程的解的求解。

教學(xué)流程：

一、課前回顧

我們在前面的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)知道了一元一次方程的概念，主要講了一元一次方程的定義

的相關(guān)概念。我們一起回憶一下相關(guān)概念。

一元一次方程是指“含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的的項的次數(shù)為一次的方程”。

例如“x=3x、2x=6x-l、9x-6=2x”都是一元一次方程，特別注意的是這里的一元是

指含有一個未知數(shù)，一次是指未知數(shù)的次數(shù)為一次。

那么如果含有兩個未知數(shù)，那又是什么方程呢？那么這節(jié)課，我們將進一步走近方程，

來學(xué)習(xí)有兩個未知數(shù)的方程的相關(guān)知識。

二、活動探究

同學(xué)們，我們首先探究一下有未知數(shù)的時候該怎么列方程呢？

探究①

大家先看下這個例子：例子里有多少個未知數(shù)，我們又是如何列方程的呢？

學(xué)生活動：看例子并思考問題。

發(fā)現(xiàn)這里有一個未知數(shù)，于是我們根據(jù)“總價=單價X數(shù)量”，可得：20=2X數(shù)量，在

設(shè)數(shù)量為x以后，可以列出方程20=2x。這里有一個未知數(shù)，我們列出了一個一元一次方程。

探究②

大家繼續(xù)看這個例子，仍然思考這里有幾個未知數(shù)，而又該列怎樣的方程？

學(xué)生活動：看例子思考回答問題。

同學(xué)們，根據(jù)“總價=第一種賀卡總價+第二種賀卡總價”可以得到“10.8=2X數(shù)量+

L2X數(shù)量”，這里有兩個未知數(shù)。那如何列出有兩個未知數(shù)的式子呢？

探究③

我們一起繼續(xù)探究，大家繼續(xù)看這個例子，仍然思考剛剛大家思考的問題，并重點思考

怎么設(shè)未知數(shù)怎么列方程呢。

學(xué)生活動：看例子思考回答問題。

很快的，同學(xué)們可以根據(jù)“總價=面額為6角的總價+面額為8角的總價”得到

“3.3=0.6X6角張數(shù)+0.8X8角張數(shù)”，在題目里己經(jīng)設(shè)6角張數(shù)為x,8角張數(shù)為y,所

以可以很快的得到“3.3=0.6x+0.8y"，這里有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都為一次。

探究④

在剛才的探究中，我們接觸了有兩個未知數(shù)的時候，發(fā)現(xiàn)當(dāng)未知數(shù)分別被設(shè)為兩個字母

表示時候，這個式子是可以表示的，現(xiàn)在大家看這一例子，思考一下該怎么列方程。

學(xué)生活動：看例子思考回答問題。

根據(jù)“轎車2小時的路程=卡車3小時的路程+29”可以得到“2X轎車速度=3X卡車速

度+29”，這里有兩個未知數(shù)，因為設(shè)轎車速度為a,卡車速度為b,所以可得到"2a=3b+29”。

探究結(jié)果：

觀察2a=3b+29、3.3=0.6x+0.8y、10.8=2x+1.2y,想一想它們有什么共同點？

觀察后，我們發(fā)現(xiàn)，這些方程都有一個共同點，它們都是整式方程，并且含有兩個未知

數(shù)，并且未知數(shù)的項的次數(shù)都是1次。

三、講授新知

只有一個未知數(shù)且未知數(shù)次數(shù)為一次的方程叫做一元一次方程，那含有兩個未知數(shù)且未

知數(shù)的次數(shù)都為一次的方程叫什么呢？

像剛剛的式子，含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的項的次數(shù)都是一次的方程叫做二元一次

方程。

跟一元一次方程類似地，二元是指兩個未知數(shù)，一次是指未知數(shù)的項的次數(shù)為一次。

四、做一做

L根據(jù)題意列出方程：

(1)甲數(shù)比乙數(shù)大42.設(shè)甲數(shù)為x,乙數(shù)為y；

x=y+42

(2)甲、乙工作一起工作6天，完成零件52件.設(shè)甲每天生產(chǎn)零件x件，乙每天生產(chǎn)y

份；

6x+6y=52

(3)一長方形的周長為30cm.設(shè)長為a,寬為b。

(a+b)X2=30

2.判斷下列各式是否為二元一次方程：

(1)、2/x+b2=23(2)、2/x+y

(3)、l/x+y=0(4)、(l/2)x+6y=20

(5)、(1/2)xy+6y=20(5)、3y+6x=20-x2

解析：(1):未知數(shù)為2個，y的次數(shù)為1,b的次數(shù)為2,不是；(2)：未知數(shù)為2個,

y的次數(shù)為1,x在分母上不為1,且不為等式，不是；(3)x在分母上，次數(shù)不為1次，不

是：(4)：未知數(shù)為2個，y和x的次數(shù)都為1,是；(5)未知數(shù)為2個，且未知數(shù)的次數(shù)為

1的方程，是；(6)未知數(shù)為2個，x的次數(shù)都為2,不是。

小結(jié)：

1.當(dāng)問題里有兩個未知數(shù)的時候，可以列二元一次方程.

2.判斷是否為二元一次方程：

①方程：式子為一個方程，即是等式有等號；

②二元：未知數(shù)的個數(shù)為兩個；

③一次：未知數(shù)的項的次數(shù)為一次。

五、探究理解

對于一元一次方程，使等式兩邊相等的x的值稱為一元一次方程的解。那么對于二元一

次方程，方程的解又是什么呢？

首先我們先探究二元一次方程“8x+6y=20”的解是什么。

二元一次方程Xy

12

22/3

3-2/3

8x+6y=20

4-2

5-10/3

??????

探究結(jié)果：

可以發(fā)現(xiàn)，對于二元一次方程，使得方程兩邊的值相等的未知數(shù)有很多對。例如：從探究

結(jié)果可以方程使8x+6y=20成立的值有很多對。

那么，這些使得二元一次方程的等號成立的這些未知數(shù)的值叫做什么呢？

對于二元一次方程，使二元一次方程兩邊的值相等的一對未知數(shù)的值，叫做二元一次方

程的一個解。

特別說明：二元一次方程的解有很多對，但是每一對是唯一的。

六、例題講解

例1已知方程3x+2y=10.

(1)用關(guān)于x的代數(shù)式表示y.

(2)求當(dāng)x=-2,0,3時對應(yīng)的y值，并寫出3x+2y=10的三個解.

分析：要用關(guān)于x的代數(shù)式表示y,只要把3x+2y=10看做未知數(shù)是y的一元一次方程.

解：⑴移項，得2y=10-3x.

(2)當(dāng)x=-2時，y=5-3/2X(-2)=8；

當(dāng)x=0時，y=5-3/2X0=5；

當(dāng)x=3時，y=-3/2X3=1/2。

由二元一次方程的解的意義，可以得到x=2,y=8；x=0,y=5；x=3,y=l/2

都是方程3x+2y=10的解.

例2已知二元一次方程2x"，y"”=6,求m、n的值.

解：?；2/旺丫1=6是二元一次方程

未知數(shù)x和y的次數(shù)都得為1

.*.n-2=Lm+l=l

解得n=3；m=0

.*.n=3；m=0.

例3如果x=l,y=3是方程6x+2by=6的一個解，求b的值.

解：：x=l,y=3是6x+2by=6的一個解

，這一對值滿足方程6x+2b廠6

，6X2+2XbX3=6

即12mb=6

解得b=-l

Ab-1.

七、達標(biāo)測評

1.檢驗下列各組數(shù)是不是方程2a-3b=20的解。

(1)a=4,b=3；(2)a=5,b=-10/3；(3)a=100,b=60.

解：(1)將a=4帶入方程得2X4-3b=20,解得b=-4W3,所以不是方程解.

(2)將a=5帶入方程得2X5-3b=20,解得b=-10/3=-10/3,所以是方程的解.

(3)將a=100帶入方程得100X2-3b=20,解得b=60=60,所以是方程的解.

2.已知二元一次方程2x+3y=2.

(1)用關(guān)于y的代數(shù)式表示x.

(2)根據(jù)給出的y值，求出對應(yīng)的x的值，填入表內(nèi).

y02-22/31???

X1-241/2-1/2???

解：⑴2x=2-3y

即x=l-3/2y

(2)填入表格內(nèi).

3.已知二元一次方程2x"+3y"-2=2.

(1)求n和m的值.

(2)當(dāng)y=10時，求出對應(yīng)的x的值.

解：(1)???方程為二元一次方程，未知數(shù)的項的次數(shù)為1

m-2=l

.*.n=l,m=3.

(2)..?方程為二元一次方程

，方程為2x+3y=2

，當(dāng)y=10時，帶入方程得2x+30=2

...此時x=-14.

八、體驗收獲

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了二元一次方程的相關(guān)知識，現(xiàn)在我們一起再來回憶一遍：

1.二元一次方程是指：含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的項的次數(shù)都是一次的方程。

2.而二元一次方程的解是指：使二元一次方程兩邊的值相等的一對未知數(shù)的值，

叫做二元一次方程的一個解。

3.特別注意的是：二元一次方程有無數(shù)個解，求解的關(guān)鍵是將二元一次方程轉(zhuǎn)換

為一元一次方程，即“消元法”。

2.2二元一次方程組

教學(xué)目標(biāo)

知識與技能

1.了解二元一次方程組和二元一次方程組的解.

2.會判斷一組未知數(shù)的值是否為二元一次方程組的解.

過程與方法

通過實例，認(rèn)識二元一次方程和二元一次方程組都是反映數(shù)量關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.

情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)學(xué)生樂于探究、勇于實踐的精神.

重點難點

重點：理解二元一次方程、二元一次方程組的定義及它們解的含義

難點：二元一次方程的解與二元一次方程組的解的區(qū)別與聯(lián)系.

教學(xué)設(shè)計

一、問題引入：

有若干只雞和兔子，它們共有50個頭和140只腳，問雞和兔子各多少只？

教師提出：這是一個非常有意思的問題，它曾在好幾個世紀(jì)里引起過人們的興趣，我想

這個問題也一定會使在坐的每一名同學(xué)感興趣.那么，現(xiàn)在我們怎樣來解答這個問題呢？

解法一：在分析時，可提出如下問題：

1、50只動物都是雞，對嗎？（不對，因為50只雞有100只腳，腳數(shù)少了）

2、50只動物都是兔子嗎？（不對，因為50只兔子共有200只腳，腳數(shù)多了）

3、一半是雞，一半是兔子對嗎？（不對，因為25只雞，25只兔共有150只腳，多10

只腳）.怎么辦？

4、若增加一只雞，減少一只兔，那么動物總只數(shù)，腳數(shù)分別怎樣變化？（當(dāng)增加一只

雞，減少一只兔時，動物的總只數(shù)不變，腳數(shù)比原來少兩只）

5、現(xiàn)在你是否知道有幾只雞、幾只兔？（若學(xué)生回答還是感到困難，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生

根據(jù)一半是雞，一半是兔時多10只腳，做出5次如問題4所述的方法進行調(diào)整，即增加5

只兔，減少5只兔，則多出的10只腳就沒有了，故答案是30只雞、20只兔）

此時，教師指出：這個問題是解決了，但它在很大程度上依賴于數(shù)字，50和140比較

小，比較簡單，若它們相當(dāng)大且又很復(fù)雜，那么像上述方法這樣一次次的試算就很麻煩了,

然后提出問題：是否可有其它的方法來解決這個問題呢？

解法二：設(shè)有x只雞，則有（50-x）只兔根據(jù)題意，得2盧4（50-x）=140

追問：對于上面的問題用一元一次方程可解，是否還有其它方法可解？

解法三：設(shè)有x只雞，y只兔，依題意得：戶y=50,2戶4y=140

針對學(xué)生所列出的這兩個方程，提出如下問題：

1、結(jié)合前面的復(fù)習(xí)提問，這兩個方程應(yīng)該叫幾元幾次方程呢？

2、為什么叫二元一次方程呢？

3、什么樣的方程叫二元一次方程呢?

產(chǎn)y=50和2k4y=140是一對數(shù)x,y必須同時滿足的兩個方程，我們合在一起寫成

x+y=50

并稱之為二元一次方程組.

2x+4y=140

x=30

從解法一,我們還知道,x=30,y=20,使方程組中每一個方程成立.所以我們把《

y=20

x+y=50

叫做方程組＜的解.

2x+4y=140

二元一次方程組的解：使二元一次方程組的兩個方程左、右兩邊的值都相等的兩個未知

數(shù)的值.

二、鞏固練習(xí)

籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負(fù)，每隊勝一場得2分.負(fù)一場得1分，某隊為了爭

取較好的名次，想在全部22場比賽中得到40分，那么這個隊勝負(fù)場數(shù)分別是多少？

思考：

這個問題中包含了哪些必須同時滿足的條件？設(shè)勝的場數(shù)是*,負(fù)的場數(shù)是必你能用

方程把這些條件表示出來嗎？

由問題知道，題中包含兩個必須同時滿足的條件：

勝的場數(shù)+負(fù)的場數(shù)=總場數(shù),

勝場積分+負(fù)場積分=總積分.

這兩個條件可以用方程

x+y—22

2%+y=40表示.

上面兩個方程中，每個方程都含有兩個未知數(shù)（x和尸），并且未知數(shù)的指數(shù)都是1,像

這樣的方程叫做二元一次方程.

把兩個方程合在一起，寫成

x+y=22

2x+y=40

像這樣，把兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.

探究：

滿足方程①，且符合問題的實際意義的X、y的值有哪些？把它們填入表中.

表中哪對x、y的值還滿足方程②

一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.

二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

三、課堂小結(jié)

讓學(xué)生回答以下問題：

1、什么叫二元一次方程組？

2、什么叫二元一次方程組的解？

四、布置作業(yè)

2.3解二元一次方程組

教學(xué)目標(biāo)

1.會用代入法解二元一次方程組.

2.初步體會解二元一次方程組的基本思想一一“消元”.

3.通過研究解決問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生合作交流意識與探究精神.

重點難點

重點：用代入法解二元一次方程組.

難點：探索如何用代入法將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”的消元過程.

教學(xué)設(shè)計

復(fù)習(xí)提問：

籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負(fù)，每隊勝一場得2分.負(fù)一場得1分，某隊為了爭

取較好的名次，想在全部22場比賽中得到40分，那么這個隊勝負(fù)場數(shù)分別是多少？

解：設(shè)這個隊勝“場，根據(jù)題意得

2x+(22—x)=40

解得x—18

則22—x=4

答：這個隊勝18場，負(fù)4場.

新課：

在上述問題中，我們可以設(shè)出兩個未知數(shù)，列出二元一次方程組，

設(shè)勝的場數(shù)是x,負(fù)的場數(shù)是必

x+y=22

2x+y=40

那么怎樣求解二元一次方程組呢？上面的二元一次方程組和一元一次方程有什么關(guān)

系？可以發(fā)現(xiàn)，二元一次方程組中第1個方程x+尸22說明尸22—將第2個方程2"

+y=40的y換為22-x,這個方程就化為一元一次方程2x+(22—x)=40.

二元一次方程組中有兩個未知數(shù)，如果消去其中一個未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為

我們熟悉的一元一次方程，我們就可以先解出一個未知數(shù)，然后再設(shè)法求另一未知數(shù).這種

將未知數(shù)的個數(shù)由多化少、逐一解決的想法，叫做消元思想.

歸納：

上面的解法，是由二元一次方程組中一個方程，將一個未知數(shù)用含另一未知數(shù)的式子表

示出來，再代入另一方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解.這種方法叫做代

入消元法，簡稱代入法.

例1把下列方程寫成用含“的式子表示y的形式：

(1)3^-y=5(2)3*+2y—l=0

例2用代入法解方程組

7—7=3①

“3x—8y=14②

例3根據(jù)市場調(diào)查，某種消毒液的大瓶裝(500g)和小瓶裝(250g)兩種產(chǎn)品的銷售數(shù)

量比(按瓶計算)為2：5.某廠每天生產(chǎn)這種消毒液22.5噸，這些消毒液應(yīng)該分裝大、小

瓶裝兩種產(chǎn)品各多少瓶？

歸納：用代入消元法解二元一次方程組的步驟：

(1)從方程組中選取一個系數(shù)比較簡單的方程，把其中的某一個未知數(shù)用含另一個未

知數(shù)的式子表示出來.

(2)把(1)中所得的方程代入另一個方程，消去一個未知數(shù).

(3)解所得到的一元一次方程，求得一個未知數(shù)的值.

（4）把所求得的一個未知數(shù)的值代入（1）中求得的方程，求出另一個未知數(shù)的值，從

而確定方程組的解.

布置作業(yè)

教學(xué)目標(biāo)

知識與技能

1.掌握用“加減法”解二元一次方程組

2.體會解二元一次方程組中的“消元”思想.

過程與方法

經(jīng)歷利用加減消元法解二元一次方程組的過程，體會“化未知為已知”的化歸思想.

情感、態(tài)度與價值觀

在解方程的過程中，學(xué)會與他入合作，體會動手的樂趣和成功的喜悅.

重點難點

重點

正確運用“加減法”解二元一次方程組.

難點

靈活分析方程的系數(shù)特征.

教學(xué)設(shè)計

一、復(fù)習(xí)回顧

1.解二元一次方程的基本思想是什么？

2.用代入法解二元一次方程組的一般步驟是什么？

二、探究新知

5x+3y=16,①

1.出示方程組（

2x-3y=-2.②

師：如何解此方程組？

生：可用代入消元法求解.

師：投影小亮的想法，指出這種整體代入消元法對本題方便易求，完成后，引導(dǎo)學(xué)生思

考：

（1）這個方程組的未知數(shù)的系數(shù)有什么特點？

（2）根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，能否通過別的方法達到消元的目的？

生：思考、討論，然后按自己的想法去解，去交流.

師：交流完成后，出示小紅的想法，并通過求解驗證小紅的想法是正確的.

2.出示做一做

讓學(xué)生獨立完成，并讓學(xué)生先分析應(yīng)消掉哪一個未知數(shù)，怎樣消.

師生對這里的消元過程作出總結(jié)概括：

可以將兩個方程直接相加或相減，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，前提條件

是：兩個方程組中同一未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù).

3.引導(dǎo)學(xué)生探索.

如果仍想用加減消元法來解方程組，應(yīng)怎樣做？根據(jù)是什么？然后讓學(xué)生自己去做.對

學(xué)生的各種解法引導(dǎo)學(xué)生互評、自評，針對不同做法做出相應(yīng)的評判.

師生共同總結(jié)消元過程并板書.

通過將方程組中兩方程相加或相減，消去一個未知數(shù)，得到一元一次方程.通過求解一

元一次方程，再求得二元一次方程組的解.這種解方程組的方法叫加減消元法，簡稱加減法.

三、鞏固練習(xí)

出示教材練習(xí).指定學(xué)生板演，生生互評.

四、課堂小結(jié)

如何用“加減法”達到消元的目的？

五、布置作業(yè)

2.4二元一次方程組的應(yīng)用

教學(xué)目標(biāo)

一、知識與能力.

借助生活中的實例，通過等量關(guān)系能列一元一次方程或一元一次方程組.

二、過程與方法.

1、過程：通過實例找等量關(guān)系.

2、方法：分析各種量之間的關(guān)系.

三、情感、態(tài)度、價值觀.

愿意談?wù)摂?shù)學(xué)話題，制造數(shù)學(xué)模式，找出等量關(guān)系，提高解決問題能力.

重點難點

運用方程的方法，根據(jù)實際問題列出方程.

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情景，談話導(dǎo)入.（學(xué)生思考，小組交流，教師點評）

建立方程（方程組）解決實際問題，是中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用的一個重要方面，我們現(xiàn)實生活中到

處都要應(yīng)用到方程和方程組來解決我們的實際問題.

二、例題解析.

例1、為了適應(yīng)經(jīng)濟的發(fā)展，鐵路運輸提速.如果客車行駛速度每小時增加40千米，提速

后由合肥到北京1110千米的路程只需要行駛10小時，那么，提速前，這趟客車每小時行駛多

少千米？

分析：行程問題中常涉及的量有路程、速度、時間.它們之間基本關(guān)系是：

路程=速度X時間.

解：設(shè)提速前火車每小時行駛就巾，那么提速后火車每小時行駛（戶40）km.火車行駛路程

1110km,速度是每小時（x+40）km.所需時間是10h.根據(jù)題意，可得方程

10X（戶40）=1110

解得A=71km

答：提速前這趟火車的速度是每小時71km.

分析復(fù)雜行程問題中等量關(guān)系，還可以借助直線圖形.如題：

例2、甲、乙兩人相距4km,以各自的速度同時出發(fā).如果同向而行，甲2h追上乙；如果

相向而行，0.5h相遇.試問兩人的速度各式多少？

分析：用圖來表示數(shù)量關(guān)系，比較直觀，便于找到相等關(guān)系.

本例中“同時出發(fā)，同向而行”，可用圖表示.

<-------------------------甲2h行程------------------------?

甲出發(fā)點,甲追上乙

v---------4km-----------------------------乙出發(fā)點乙2h行程-------------?

“同時出發(fā)，相向而行”，可用圖表示.

甲0.5h行程*---------甲0.5h行程----------?

甲出發(fā)點

乙出發(fā)點

?-4km?

解：設(shè)甲、乙速度分別是xkm/h、ykm/h,根據(jù)題意與圖示的兩個相等關(guān)系，得

心『2片4

解得：rx=5

■尸3

答：甲、乙速度分別是5km/h、3km/h.

師：請同學(xué)們找出追擊問題和相遇問題的不同點和相同點.

老師總結(jié)相遇問題是速度相減乘以時間等于路程，追擊問題是速度相加再乘以時間等于

路程.

三、課堂練習(xí).

1、甲、乙兩地相距180km,一人騎自行車從甲地出發(fā)每小時走15km；另一人騎摩托車從

乙地同時出發(fā)，兩人相向而行，已知摩托車速度是自行車的3倍，問多少小時后兩車相遇？

2、某人騎自行車預(yù)定用同樣時間來