高中數(shù)學(xué)第二章平面向量小題狂刷新人教A版必修

第二章平面向量

課時12.1平面向量的實際背景及基本概念

刷基礎(chǔ)

1.下列物理量:

①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程，其中是向量的有

A.2個B.3個

C.4個D.5個

2.關(guān)于零向量，下列說法正確的是

A.零向量有確定的方向B.零向量沒有方向

C.零向量的方向是任意的D.零向量的模不確定

3.如圖，在正六邊形/WCW中，點。為其中心，則下列判斷錯誤的是

A.AB^OCB.AB//DE

C.\AD\=\BE\D.AD=FC

4.下列命題中正確的是

A.若a與b共線,6與c共線，則a與c也共線

B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一個平行四邊形的四個頂點

C.若a與6不共線，則a與6都是非零向量

D.有相同起點的兩個非零向量不平行

5.兩列火車從同一站臺沿相反方向開去,走了相同的路程,設(shè)兩列火車的位移向量分別為a和b,則下列說法

中錯誤的是

A.a與b為平行向量B.a與。為模相等的向量

C.a與6為共線向量D.a與b為相等的向量

6.已知圓心為。的?上有三點點B、C,則向量是

A.有相同起點的相等向量B.長度為1的向量

C.模相等的向量D.相等的向量

7.如圖所示，。是正三角形力園的中心；四邊形40W和四邊形4Q%均為平行四邊形,則與向量而相等的向

量有；與向量m共線的向量有；與向量m的模相等的向量有.（填圖中所畫出

的向量）

8.已知四邊形被力是等腰梯形,仍〃%下列各式:①福虎;②彳慶近;③|萬戶BDl;@lABl^）DCl;

⑤而〃而其中所有正確的式子的序號是.

9.以下說法正確的是

A.零向量沒有方向B.單位向量都相等

C.共線向量又叫平行向量D.任何向量的模都是正實數(shù)

10.如圖所示，點尸是正六邊形/比兩的中心，圖中所標(biāo)向量與C4共線的向量有

A.1個B.2個

C.3個D.4個

11.給出下列命題:

①零向量的長度為零,方向是任意的；

②若a,6都是單位向量,則

③向量與與瓦彳相等；

④若非零向量Z萬與不是共線向量,則A,B,C,。四點共線.

則所有正確命題的序號是

A.①B.③

C.①③D.①④

12.下列命題正確的是

A.|a|=\b\=>a=bB.|a|>\b\=>a>b

C.a〃b=a=bD.同=0=a=0

13.如下圖，在菱形4%力中，ZDAB=X20，則以下說法錯誤的是

A.與AB相等的向量只有一個（不含A3）

B.與AB的模相等的向量有9個（不含A3）

C.8。的模恰為D4模的百倍

D.C5與D4不共線

14.把同一平面內(nèi)所有模長不小于1,不大于2的向量的起點，移到同一點0,則這些向量的終點構(gòu)成的圖

形的面積等于.

CCDCDCCCADI)

1.C【解析】向量既有大小又有方向，所以速度、位移、力、加速度均是向量，顯然C正確.

2.C【解析】根據(jù)零向量的概念，知零向量的模為0,方向是任意的.

3.D【解析】由圖可知，I而|=正|,但彳萬、正不共線，故而W定，故選D.

4.C【解析】由于零向量與任一向量都共線,所以當(dāng)6為零向量時,a與c不一定共線，所以A不正確；

由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量,所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上,而此時就構(gòu)不成四邊形,

所以B不正確；

向量的平行只要求方向相同或相反,與起點是否相同無關(guān),所以D不正確；

對于C,假設(shè)a與6不都是非零向量,即a與b中至少有一個是零向量,而由零向量與任?向量都共線,可

知a與6共線,這與已知a與6不共線矛盾,所以假設(shè)不成立，即a與6都是非零向量,C正確.故選C.

5.I）【解析】由題意知,a與6方向相反，長度相等，所以a〃?？?a.=|引，故A,B,C正確；對于D,由a和6

方向不同可知其錯誤.

6.C【解析】圓的半徑r=|BO|=|OC|=|OA|,不一定有尸1,故選C.

7.OCDC,EBOB,OC,DC,FB,AD【解析】：。是正三角形的中心，，力=仍=比；結(jié)合相等向

量及共線向量定義可知I：與而相等的向量有無;與M共線的向量有比，麗;與M的模相等的向量有

OB,OC,DC,

EB,AD.

8.③④⑤【解析】解題時必須正確區(qū)分“向量相等”與“向量的模相等”這兩個概念，注意向量是否平行

與向量的模無關(guān).在等腰梯形ABCDZ,AB〃DG但AB^DC,:.湘于灰；AD=B&但AD與6。不平行，

AD^BC'.此外③④⑤都正確.

9.C【解析】由向量的概念，知零向量的方向是任意的，故A錯；

單位向量只是模長為1的向量，故B錯誤；

共線向量又叫平行向量,故C正確；

零向量模長為0,故D錯誤.

綜上，選C.

10.C【解析】圖中與C4共線的向量有AC，F(xiàn)D，DF，共計3個.

11-A【解析】根據(jù)零向量的定義可知①正確;

根據(jù)單位向量的定義可知,單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個單位向量不一定相等,故②錯

誤；向量費與瓦?互為相反向量,故③錯誤；

由于方向相同或相反的向量為共線向量,故近與麗也可能平行，即4B,c〃四點不一定共線,故④錯

誤.

故選A.

12.D【解析】A中，兩個向量的模相等，但是方向不一定相同,所以不正確；

B中，兩個向量不能比較大小,所以錯誤；

C中，向量平行只是方向相同或相反,不能得到向量相等,所以錯誤；

D中，如果一個向量的模等于0,則這個向量是0.

13.D【解析】兩相量相等要求長度（模）相等，方向相同.兩向量共線只要求方向相同或相反.零向量和任

意向量共線.D中，CB，D4所在直線平行，向量方向相同，故CB，D4是共線向量.

14.3K【解析】這些向量的終點構(gòu)成的圖形是一個圓環(huán)，其面積為?！?-兀.12=r3兀.

要

世有

，

只

上

恒

想

J有

.

紀(jì)

沒

者

持

有

用

有

專

之

收

不

磨

注

以

獲

勞

深

恒.

而

難

就

,入

獲

才

要

，

的

能

自

有^

鐵

折

妹

恒

桿

首

不

心

迸

燒

應(yīng)?

針

課時22.2平面向量的線性運算

基礎(chǔ)

1.點C是線段AB的中點，AB=XAC，那么；I等于

A.-2B.0

C.1D.2

2.已知關(guān)于%的方程有3（。+x）=第則后

33

A.-aB.--a

2

C3^D.無解

3.化簡正-前+而-萬得

A.ABB.DA

C.BCD.0

4.設(shè)勺,e?是兩個單位向量，則下列結(jié)論中正確的是

A.-e2B.e}//e2

e=-e

C.]2D.|e,|=|e2|

5.如圖，在正六邊形4BCDEF中，瓦彳+而+而等于

A.0

C.ADD.CF

6.在平行四邊形4BCD中,AC與BD交于點0,E是線段。。的中點,4E的延長線與CD交于點F,若

AC=a,BD=。，則而

1111

A，4a+2bB-2a+4d

2112

C-3a+3bD-3a+3b

7.已知向量通=a-kb,CB=2a+b,CD=3a-b,若三點共線,則實數(shù)k的值等于

A.10B.-10

C.2D.-2

8.若?為△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足方+麗+正=萬瓦則點尸的位置為

A.P在△ABC的內(nèi)部B.〃在△ABC的外部

C.P在46邊所在的直線上D.。在力C邊所在的直線上

I刷尊3J

9.下列四式不能化簡為血的是

A.（A6+CD）+FCB.（AD+MB）+（BC+CM）

C.MB+AD-BMD.OC-OA+OD

10.如圖，已知43=。,4。="5。=3。。，用4溥表示彳萬則而=

313

A.a+B.-a+-b

44

1131

C-4a+4dD.4a+46

1iUUBuun21aHi

11.在△ABC中，N是〃■邊上一點，且AN=-NC,P是8V上的一點，若AP=mAB+-AC,則實數(shù)

229

m的值為

1

A.-B.

93

C.1D.3

12.在AABC中，。在上,/O:DB=1:2,E為71C中點,CO、BE相交于點P,連接4P.設(shè)

AP=xAB+yAC（x,

yeR）,則x,y的值分別為

1112

A.——B.——

2'33'3

1211

C?5D，?6

13.設(shè)向量a力不平行，向量為。+b與a+2好行,則實數(shù);I=.

14.設(shè)點。是面積為4的/MBC內(nèi)部一點,且有通+0B+20C=0.則AAOC的面積為.

真題

日日日目M

15.（高考新課標(biāo)I卷）設(shè)。為△ABC所在平面內(nèi)一點，BC=3CD，則

1414

A.AO=——AB+-ACB.AD=—AB——AC

3333

4141

C.AD^-AB+-ACD.AD^-AB——AC

3333

16.（高考福建卷）設(shè)〃為平行四邊形4版對角線的交點，。為平行四邊形48徵所在平面內(nèi)任意一點，則

04+08+0C+。。等于

A.OMB.2OM

C.30MD.4OM

12

17.（高考江蘇卷）設(shè).D,E分別是AABC的邊AB,BC上的點,AD^-AB,BB^BC.若砒A^AB+A.^C（AhA2

為實數(shù)），則九+力的值為

18.（高考北京卷）在AA8C中，點M,N滿足加=2祝,BN=NC.若祈福港萬力工，則產(chǎn);

序創(chuàng)髯”縻孩出，

將龍嘴電若寒

委參考

1234567891011121516

DBDDACCDCBBCAD

1.D【解析】因為點C是線段AB的中點，所以而=而，所以荏=2就，即2=2.故選D.

2.B【解析】向量的線性運算同多項式的合并化簡類似，具體解法如下：由已知得a+*=；?：，則

3

x=--a

3.D【解析】AC-BD+CD-AB-AC-AB+DB+CD-BC+CB=0,故選D.

4.D【解析】根據(jù)單位向量的定義：把模為1的向量稱為單位向量，依題可知同|=口|=1,而這兩個向

量的方向并沒有明確，所以這兩個單位向量可能共線，也可能不共線，所以A、B、C錯誤，D正確.

5.A【解析】由題意，由于正六邊形ABCDEF中，CE〃FB、C舁FB,%

BA+CD+FB=DE+CD+FB=CE+FB=O^選A.

一DFDE1-,1_.

6.C【解析】因為48〃所以二-己=Eg=;所以O(shè)F=jOC，由題意可得

ABEB33

AF

______1______1___11___1/1___1__\2___

=AD+DF=AD+-DC=AO+OD+?(OC-OD)=^AC+-RD+d^AC--FD=^AC

1—.21

+&BD=3。+3b

7.C【解析】因為4B,。三點共線,所以近=屈方=4而-函，所以

a-kb=A(3a-b-2a-b)=A(a-2b),所以4=l,k—2,應(yīng)選C.

8.D【解析】由方+麗+正=近得，方+麗+玩=麗-PX2西=-無，二。在〃'邊

所在的直線上.故選D.

9.C【解析】對于A,(AB+CD)+BC=(AB+BC)+CD^AC+CD=AD；

對于B,(AD+MB)+(BC+CM)=AD+(MB+BC)+CM=AD+MC-MC=AD；

對于D，OC-OA+CD=AC+CD=AD<

對于C，MB+AD-BM^2MB+ADAD

綜上可知，故選C.

10.B【解析】由題意,得:而=說+BD=AB+；麗=a+-a)=：a+故選B.

uuur]uu?umui?2ui皿mu7uumuun7uum

11.B【解析】如圖，因為AN=-NC,所以AP=〃2A8+—AC=mA3+—x3AN=mA5+—AN,

2993

21

又6,夫,“三點共線，所以加+—=1,則加=一.

33

_1_,_,1_

12.C【解析】因為4D:DB=1:2,E為力C中點，所以而=丞18,4￡1*3=夕4。；因為。、P、C三點共線，所以

O4

存在實數(shù)〃，使得加=nDC=〃(m-AD)=AP-而，所以

AP=nAC+(1-4)同=式1-〃)m+〃下;因為E、P、B三點共線，同理存在實數(shù)3,使得

■2

(-)

_1_213"=S1一2_

AP^a)AB+-(1-3)4C；所以‘，解得1；所以+牙4。,而

-〃)=3w=-55

5

——.一12

AP=xAB+yAC，所以％=-,y=耳.選C.

17=〃

13.-【解析】因為向量；la+b與a+2b平行,所以4a+b=k(a+2b),所以f二2依則2=2,故答案

2

吊

14.1【解析】設(shè)AB邊的中點為。，因為石？+礪+2沆^=0,所以。是中線CD的中點，所以

11

SAACD=/AABC=2'S4/oc=/△力。。=1，即AA℃的面積為1.

1114

15.A【解析】由題知AO=AC+CO=AC+-BC=AC+-(AC—A8)==——AB+-AC,故選A.

3333

16.D【解析】因為〃為平行四邊形/1比》對角線的交點，。為平行四邊形48位所在平面內(nèi)任意一點，所以

由向量加法的平行四邊形原則得Q4+OC=2OM，OB+OD=2OM,所以

OA+OB+OC+OD=40M?選D-

11—,2_.1—.21_.2一12

17.2【解析】由題意得6,3”,所以小=_6,小=3,

1

即儲+42=2

11

18.2-6【解析】由題中條件得

—,1一1__.1_11-,1_11

---*---*C*N=—A「-C*R=—AC*——>—>—R——AC,—?—?———

MN=MC；3+23\2^AB-AC)=26斗8少4￡所以產(chǎn)2,產(chǎn)6

或rr我走得很慢

但我徙未停下

課時32.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

基礎(chǔ)

1.已知向量a=(2,1)力=(-3,4),則a+b=

A.(6,—3)B.(8,—3)

C.(5,-1)D.(-1,5)

2.已知平面向量荏=(1,2)，前；=(3,4)，則向量方=

A.(-4,-6)B.(4,6)

C.(—2,—2)D.(2,2)

3.已知向量a=(l,2)力=(2,3-6)，且?！◤哪敲磳崝?shù)m的值是

A.-1B.1

C.4D.7

4.已知荏=(2,5),下=(3,4),而=(1,6),且前1=aAB+pAD,則

A.a+/?=-1B.a+[i=0

C.a+p=1D.a+p=2

5.如圖，在△OAB中，P為線段AB上一點,OP=xOA+yOB,且麗=3PA,則

1331

c-x=4-y=4D-x=4，y=4

6.已知平面向量a=(2m+1,3)力=(2,m),且a與b反向，則|a+b|等于

K15_不

A.^2B.

1510泰

C.——D.——

27

7.已知4(2,3),B(3,0),且前=-2CB,則點C的坐標(biāo)為.

8.設(shè)向量a=(1,2)力=(-2,m),且a〃向,則2a+3b=.

JZ,I能力

I平」目目田上

9.若向量年(1,1),1),詼(4,2),則廣

A.3a~bB.3a~\-b

C.—a+36D.a+3b

10.已知向量a=(1,2)力=(-2,%).若a+。與a-b平行,則實數(shù)%的值是

A.4B.1

C.-1D.-4

11.已知4(-3,0),8(0,2),。為坐標(biāo)原點，點。在N4仍內(nèi)，且乙40c=45°，設(shè)

OC=AOA+(1-A)OF(AeR).貝〃的值為

12.已知向量Q=(2cos0,2sin。),b=(3耶),且a與b共線,6e[0,2TT),則』=

13.與向量a=(3,4)平行的單位向量的坐標(biāo)為,

14.如圖,在6X6的方格中，已知向量a,b,c的起點和終點均在格點,且滿足向量c=xa+yb(x,y6R),那

么x+y=

15.(高考新課標(biāo)I卷)已知點A(0,1),8(3,2),向量AC=(-4,—3),則向量BC=

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

16.（高考新課標(biāo)H卷）已知向量a=（R,4）,I6=（3,-2）,且@〃6,則好.

17.（高考江蘇卷）已知向量左（2,1）,左（L-2）,若〃吠"爐（9,-8）（mjieR）,則m-九的值為

18.（高考北京卷）向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c=/la+“6（4,〃GR）,則

4

群參考上嗓

123456910111215

DCACDAADCDA

1.D【解析】因為向量Q=(2,1)力=(-3,4),所以a+b=(2,1)4-(-3,4)=(-1,5).

2.C【解析】而=詬-而=(1,2)-(3,4)=(-2,-2),選C.

3.A【解析】因為向量Q=(1,2)力=(2,3-6),且a〃瓦所以1x(3-m)=2x2,所以m=-1.故選

A.

4.C【解析】，：AC=aAB+pAD>(3,4)=a(2,5)+B(1,6)=(2a+j3,5。+6￡),

2a+/?=3

5a+6/?=4f化為。+￡=1.

5.D【解析】因為

麗=3萬，所以而-市=36T-3而，HfJ40P=307+05,AOP=^OA+-rOBr又因為

44

_,_._>_31

OP=xOA+yOB^所以％==4.故f選D.

6.A【解析】因為a與b反向，所以存在實數(shù)；I使得a=，>(；1<0),即/勺可就，解得

771=-2(3

；)=_三或爪=2，因為；1<0，所以m=-2,所以向量a=(-3,3)力=(2,-2)，所以

2[2=2

\a+b\=|(-3,3)+(2,-2)|=|(-1,1)|=@所以選A.

7.(4,-3)[解析】設(shè)點C(x,y),則由下=-2CB,得。-2,y-3)=-2(3-x,-y),即

「一y-3=2y~^解得｛/==為故填(4-3).

8.(-4,-8)【解析】由a〃〃得，1xzn+2x2=0,解得m=-4,所以

。=(-2,-4),2a+3b=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8).

9.A【解析】由題意知，向量a=(l,1),ZF(-1,1),b(4,2),設(shè)c=xa+y6,則4=k匕2=產(chǎn)外解得產(chǎn)3,片T,

故答案為A.

10.D【解析】a+b-(-1,2+x),a-b=(3,2-x),由a+b與a-b平行，得3(2+x)+(2-%)=0,解

得4=-4.故本題正確答案為D.

11.C【解析】??2AOC=45°，設(shè)C?-x)，則沆:=(%,-%)，又4(-3,0),8(0,2),根據(jù)向量的坐

y__032

(T三_24=5,

12.D【解析】因為a與b共線，所以2cos9X\5-2sin6x3=0,cos。=T^sin。，所以

tan0=—―又因為。W[0,2IT),所以。=z或-尸

cos0366

13.(|,[或(-|,【解析】由題意，設(shè)與向量<1=(3,4)平行的向量6=/1(3,4)=(3；1,4/1),由單位

1

向量的模長為1，得(3/1)2+(42)2=1,..2=±故與向量a=(3,4)平行的單位向量的坐標(biāo)為

5

14.3【解析】分別設(shè)方向向右和向上的單位向量為上，則Q=2i-j,b=l+2j,c=4i+3j,又因為

c=xa+yb=(2x+y)i+(2y-%)/,所以｛|；吆1解得仁Z；，所以4+y=3.故答案為3.

15.A【解析】'：AB^OB-OA=(3,1).BCAC-AB=(-7,-4),故選A.

16.-6【解析】因為a〃兒所以一2，%-4x3=0,解得〃z=-6.

17.-3【解析】由題意得ma+nh=（2m,7n）+（2一2n）=（2m+nfm-2八）二（9,一8）,即_2幾二8,

解得m=2,n=5,所以m-n=-3.

18.4【解析】可設(shè)8=-1+J,i,/分別為方向向右和向上的單位向量，則b=6/+2J,。=-戶3/由c=

6-2--1九二-2,

4a+〃6=（6〃一入）/+（4+2〃）J,/.*“解得，1—=4.

課時42.4平面向量的數(shù)量積

基礎(chǔ)

日日時也

1.己知向量a=（1,2）力=（-l,m）,若a1b,則租的值為

A.—2B.2

11

C.-D.--

22

TT

2.已知向量出》的夾角為可且|a|=l,|a+川="，則|b|等于

A.2B.3

C.FD.4

3.已知|a|=2,b是單位向量，且a與b的夾角為60°,則。?（。一））等于

A.1B.2-^/3

C.3D.4-^/3

4.若向量a,萬滿足|a|=|b|=l,且。-（4一方）=,，則向量a與b的夾角為

2

5.正三角形力BC中,AB=3,。是邊BC上的點,且滿足就=2BD,則荏-AD=

24

6.已知向量爐(1,2),ZF(1,1).且a與a+的夾角為銳角，則實數(shù)4滿足

55

A.兒〈一-B.4>一一

33

55

C.A>--iL4W0D.A<--M4W-5

7.已知|a=6,b=3,a?Z>=T2,則向量a在向量6方向上的投影是,

]_,,

8.如圖,在邊長為3的正方形力BCD中/C與BD交于點F/E=g4D,則麗-BD=

DC

E

AB

I版「

9.若向量年(1,2),,則2a+6與af的夾角等于

TT7T

A.B.-

~46

n3TT

C.D.—

44

10.在ZVIBC中，若南?路麗?石?=3?彳瓦則該三角形是

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

TT

11.如圖，在平行四邊形ABCD中，^BAD=AB=2,AD=1,若M、N分別是邊BC、CD上的

、BMNC__>―、

點，且滿足萬方=不方=兒其中入W[0,1],則4M,4N的取值范圍是

BCDC

A.[0,3]

C.[2,5]D.[1,7]

12.已知a,瓦c,d為非零向量,S.a+b=c,a-b=d,則下列命題正確的個數(shù)為

⑴若|a|=網(wǎng),則c-d=O⑵若c-d=O,則同=向

⑶若|c|=|d|,則G-b=O(4)若a"=0,則?=|d|

A.1B.2

C.3D.4

_,1—

13.在直角三角形ABC中，NC=90°,AB=2,AC=1,若而=^AB,則CDCB=.

14.若平面向量G力,c兩兩所成的角相等，S.\a\=l,\b\=l,|c|=3,則|a+b+c|等

于.

真題

日目目目四

15.（高考新課標(biāo)HI卷）

A.30°

C.60°D.120°

16.（高考天津卷）已知是邊長為1的等邊三角形，點分別是邊8c的中點，連接OE并

延長到點尸，使得?！?2￡/，則AQ6C的值為

51

A

8-8-

B.

1D.H

C-

48-

17.（高考新課標(biāo)H卷）已知向量。=（1,加），6=（3,-2）,且（a+b）J_b,則爐

A.-8B.-6

C.6D.8

18.（高考新課標(biāo)I卷）設(shè)向量華物1）,左（1,2）,且|3+引12；2+1引2,則加

OJJ-

1234569101112151617

cACBDCCDCDABD

1.C【解析】因為所以-l+2m=0,解得小=；.故選C.