高等數(shù)學(xué)教程　下冊　第4版 課件 11.3 三重積分

11.3三重積分11.3.1三重積分的概念問題11.2求非均勻密度的物體的質(zhì)量(1)分割設(shè)某物體占有空間區(qū)域求物體的質(zhì)量M.其體積記為V,

物體將空間區(qū)域任意分成n個(gè)小閉區(qū)域質(zhì)量為

記的體積為上連續(xù),

(2)近似(3)

求和在上任取一點(diǎn)(4)取極限

如果函數(shù),定義將空間區(qū)域任意分成n個(gè)小閉區(qū)域記小閉區(qū)域的體積為在上任取一點(diǎn)存在,則稱函數(shù)在

上可積,設(shè)是空間有界閉區(qū)域

上的有界體積元素三重積分的幾何意義設(shè)被積函數(shù)則區(qū)域V的體積為非均勻密度物體的質(zhì)量可表示為

三重積分的計(jì)算一般是先化為一個(gè)定積分記和一個(gè)二重積分,最后化為三次定積分.相應(yīng)的體積元素為在直角坐標(biāo)系下三重積分可表為在空間直角坐標(biāo)系中,用平行于三個(gè)坐標(biāo)面的平面的來劃分積分區(qū)域11.3.2空間直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算得到的小閉區(qū)域?yàn)殚L方體,1.投影法(先一后二法,先對(duì)積分)設(shè)積分區(qū)域面上的投影為閉區(qū)域過點(diǎn)作直線,的函數(shù),于是則再計(jì)算在閉區(qū)域上的二重積分面x=0,y=0,z=0及平面

x+y+z=1所圍成的四面體.Dxy:x=0,y=0,x+y=1圍成例1計(jì)算三重積分其中

是由坐標(biāo)解Oyx11x+y+z=1所圍成的四面體.思考題:設(shè)

是由坐標(biāo)面x=0,y=0,z=0及平面解由對(duì)稱性于是柱面以及拋物面圍成.例2計(jì)算其中

是由坐標(biāo)面z=0解

在xOy面投影為

Oyx11由積分區(qū)域和被積分函數(shù)的對(duì)稱性,有解

的原函數(shù)不是初等函數(shù),應(yīng)先

x對(duì)積分一定要交換積分次序.例3計(jì)算球面

及拋物面所圍成.先求兩個(gè)曲面的交線

例4計(jì)算三重積分其中

是由上半

解由解得故,

在xOy面投影為

規(guī)定:稱為點(diǎn)M的柱面坐標(biāo).設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點(diǎn),并設(shè)點(diǎn)M在xOy面上的投影P的極坐標(biāo)為則這樣的三個(gè)數(shù)注:直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系為

在柱面坐標(biāo)下2.積分區(qū)域

是由柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)拋物面、平

常用柱面坐標(biāo)計(jì)算1.若被積函數(shù)形如三重積分在柱面坐標(biāo)系下的表達(dá)式為通?；癁橄葘?duì)z、再對(duì)r、后對(duì)的三次積分.面或球面所圍成.2.截面法(先二后一法，后對(duì)積分)(紅色部分)得投影區(qū)間(3)計(jì)算二重積分(4)最后計(jì)算定積分即(1)把積分區(qū)域

向某軸(如z軸)投影,截面法(先二后一法)解例5計(jì)算三重積分其中

為三個(gè)原式坐標(biāo)面及平面所圍成的閉區(qū)域.解與平面所圍成的錐臺(tái)體.可看出如先對(duì)z積分,

積不出來.這里應(yīng)先對(duì)

積分,最后對(duì)z積分.例6計(jì)算其中

是由錐面三重積分對(duì)稱性質(zhì):若f關(guān)于變量z是奇函數(shù),即1.設(shè)積分區(qū)域

關(guān)于xOy坐標(biāo)面對(duì)稱.為

在xOy坐標(biāo)面的上半部分區(qū)域.則若f關(guān)于變量z是偶函數(shù),即則類似地,若f關(guān)于變量

x是奇函數(shù),即2.設(shè)積分區(qū)域

關(guān)于yOz坐標(biāo)面對(duì)稱.為

在

yOz坐標(biāo)面的前半部分區(qū)域.則若f關(guān)于變量

x是偶函數(shù),即則若f關(guān)于變量

y是奇函數(shù),即3.設(shè)積分區(qū)域

關(guān)于xOz坐標(biāo)面對(duì)稱.為

在

yOz坐標(biāo)面的右半部分區(qū)域.則若f關(guān)于變量

y是偶函數(shù),即則例設(shè)

為則則必有()設(shè)空間區(qū)域C記投影向量與x軸正方向的規(guī)定:正方向間的夾角為設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點(diǎn),向xOy平面投影,夾角為11.3.3利用球坐標(biāo)系計(jì)算三重積分稱為點(diǎn)M的球面坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系為2.積分區(qū)域

是由球面、錐面或平面所圍成.

常用球面坐標(biāo)計(jì)算因此

在球面坐標(biāo)下1.若被積函數(shù)形如SρM

yz

x0ρ=常數(shù):

=常數(shù):球面S動(dòng)點(diǎn)M(ρ,

,

)球面坐標(biāo)下的三坐標(biāo)面分別為

Cρ=常數(shù):球面S

=常數(shù)::S半平面P動(dòng)點(diǎn)M(ρ,

,

)M

yz

x0

P

=常數(shù):錐面Cρ

dρd

ρsin

xz

y0圓錐面

ρd

球面ρ圓錐面+d

球面ρ+dρ元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：d

ρsin

d

球面坐標(biāo)下的體積元素半平面

及+d

；

半徑為ρ及ρ+dρ的球面圓錐面

及+d

ρ

dρd

xz

y0d

ρd

元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：ρsin

d

ρ2sin

dρd

d

dVdV=半平面

及+d

；

半徑為ρ及ρ+dρ的球面；圓錐面

及+d

三重積分在球面坐標(biāo)系下的表達(dá)式為通常化為先對(duì)再對(duì)

后對(duì)

的三次積分.例7計(jì)算其中

是由錐面

與平面所圍