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文檔簡介

補充:第一型曲線積分的對稱性質(zhì)1.設(shè)積分曲線

L關(guān)于y軸對稱.則曲線積分習(xí)題課若f關(guān)于變量

x是奇函數(shù),即若f關(guān)于變量

x是偶函數(shù),即L1是曲線L落在y軸一側(cè)的部分.則2.設(shè)積分曲線

L關(guān)于

x軸對稱.則若f關(guān)于變量

y是奇函數(shù),即若f關(guān)于變量

y是偶函數(shù),即L1是曲線L落在x

軸一側(cè)的部分.則類似地,例計算其中L是圓周解由對稱性,故解1圓的參數(shù)方程為例1計算其中L:解2圓的極坐標方程為圓的參數(shù)方程為解對稱性例2設(shè)例3計算其中L

為圓周上從點

A(1,1)過點N(3,1)到B(3,3)的弧段.解在第一象限(單連域)內(nèi)因此在第一象限內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān),取折線段ANB為積分路徑例4設(shè)為可微函數(shù),且若曲線積分解設(shè)與路徑無關(guān),求

因曲線積分與路徑無關(guān),所以有

即

是一階線性微分方程.又由于

所以

故

內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),L是上半平面(y>0)內(nèi)的有向分段光滑曲線,其起點為(a,b),終點為(c,d).記(1)證明曲線積分I與路徑L無關(guān);(2)當ab=cd時,求I的值.因所以,在上半平面內(nèi)曲線積分I與路徑L無關(guān).(1)證例5設(shè)函數(shù)(2)解由于曲線積分I與路徑L無關(guān),L是上半平面(y>0)內(nèi)的有向分段光滑曲線,起點(a,b),終點(c,d).所以(2)當ab=cd時,求I的值.練習(xí)題解補折線段BOA,則L+BOA構(gòu)成一封閉曲線,且是所圍區(qū)域D的邊界曲線的負向.1.計算其中L

為圓周在第一象限部分從點A(0,1)到B(1,0)

的弧段.解2.

設(shè)L

為圓周的正向,計算證設(shè)則3.證明:在整個xOy平面除去y的負半軸并求出一個這樣的二元函數(shù).及原點的開區(qū)域G內(nèi)是某個二元函數(shù)的全微分,因此,在整個xOy平面除去y的負半軸及原點的開區(qū)域G

內(nèi)是某個函數(shù)的全微分.取4.設(shè)L為的下半圓周,則5.已知平面區(qū)域L為D的正向邊界.試證:證(1)由格林公式左邊右邊所以因為D關(guān)于對稱,故(2)因由(1)得練習(xí)確定常數(shù)

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