工科數(shù)學(xué)分析 課件 6-2 向量及其線性運算

第二節(jié)向量及其線性運算工科數(shù)學(xué)分析北京理工大學(xué)第二學(xué)期向量及其加減法向量與數(shù)的乘法向量的概念向量的加減法向量與數(shù)的乘法小結(jié)向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模長為1的向量.零向量：模長為0的向量.||向量的模：向量的大小.單位向量：一、向量的概念或或與同方向的單位向量可記作或零向量沒有方向，或者說其方向是任意的自由向量：不考慮起點位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.負向量：大小相等但方向相反的向量.向徑：空間直角坐標系中任一點

與原點構(gòu)成的向量，叫做點M的向徑.即向量可以在空間中任意地平行移動，如此移動后仍被看成是原來的向量。本書中考慮的都是自由向量。[1]定義加法：（平行四邊形法則）特殊地：若‖分為同向和反向（平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）二、向量的加減法向量的加法符合下列運算規(guī)律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）[2]定義減法三、向量與數(shù)的乘法數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：（1）結(jié)合律：（2）分配律：兩個向量的平行關(guān)系證充分性顯然；必要性‖兩式相減，得按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一個與原向量同方向的單位向量.例1

化簡解例2

試用向量方法證明：對角線互相

平分的四邊形必是平行四邊形.證與平行且相等,結(jié)論得證.向量的概念向量的加減法向量與數(shù)的乘法（注意與標量的區(qū)別）（平行四邊形法則）（注意數(shù)乘后的方向）四、小結(jié)向量的坐標向量在軸上的投影與投影定理向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標向量的模與方向余弦的坐標表示式小結(jié)一、向量在軸上的投影與投影定理證于是空間兩向量的夾角的概念：類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.空間一點在軸上的投影空間一向量在軸上的投影

數(shù)關(guān)于向量的投影定理（1）證定理1的說明：投影為正；投影為負；投影為零；(4)

相等向量在同一軸上投影相等；關(guān)于向量的投影定理（2）（可推廣到有限多個）特別地，如果把上述向量a在軸上

的投影換成向量a在向量b上的投影,

可得到類似的概念與性質(zhì)：二、向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標由例1知

向量在

軸上的投影

向量在

軸上的投影

向量在

軸上的投影按基本單位向量的坐標分解式：在三個坐標軸上的分向量：向量的坐標：向量的坐標表達式：特殊地：向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運算的坐標表達式解為直線上的點，由題意知：#非零向量的方向角：非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角.三、向量的模與方向余弦的坐標表示式由圖分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向.向量模長的坐標表示式當(dāng)時，向量方向余弦的坐標表示式方向余弦的特征特殊地：單位向量為解所求向量有兩個，一個與同向，一個反向或解例4

設(shè)有向量21PP,已知221=PP，它與x軸和y軸的夾角分別為3p和4p，如果1P的坐標為)3,0,1(，求2P的坐標.解向量在軸上的投影與投影定理.向量在