空間向量與立體幾何-學易金卷：2023年高考真題和模擬題數(shù)學分項匯編（解析版）

專題13空間向量與立體幾何

（新課標全國I卷）1.下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽

略不計）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

【答案】ABD

【詳解】對于選項A：因為0.99m<lm,即球體的直徑小于正方體的棱長，

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；

對于選項B：因為正方體的面對角線長為0m，且血>1.4，

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；

對于選項C：因為正方體的體對角線長為也m，且6<1.8，

所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C正確；

對于選項D：因為可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，

如圖，過4G的中點。作OE，AC1,設?！?AC=E,

可知AC3CC3OA邛，則tanNC案噬

1OE

即耳，解得。￡=也r，

T4

2

399八々即逅>0.6,

且=-=—>—=0.6*

824254

故以AG為軸可能對稱放置底面直徑為1.2m圓柱，

若底面直徑為1.2m的圓柱與正方體的上下底面均相切，設圓柱的底面圓心。口與正方體的下底面的切點為

M,

可知：AG_LaM，a〃=0.6,則tanNCAG=^=要，

ACA。］

10.6_廣

即U=~AO，解得AO'=0,6夜，

根據(jù)對稱性可知圓柱的高為道-2*0.6夜“1.732-1.2x1.414=0.0352>0.01,

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確;

故選：ABD.

（新課標全國1卷）2.在正四棱臺中，AB=2，A耳=1,/見=3,則該棱臺的體積為

【答案】皚/

【詳解】如圖，過A作A"_LAC,垂足為M,易知AM為四棱臺ABCD-ABCQ的高，

因為A8=2,4耳=1,44=72,

則AG=ga￡=￥，4O=gAC=gxV￡4B=&,

故AM=g（AC-AG）=等，則AM=JM_4M2=,；=

所以所求體積為V=1x（4+1+百萬）x邁=辿.

326

故答案為：友.

6

（新課標全國I卷）3.如圖，在正四棱柱ABC。-ABC。中，AB=2,A4,=4.點4，B2，C2,3分別在棱

AA],BB[,CC\tDDX上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

GB\

⑵點尸在棱8片上，當二面角為150。時，求B2P.

【答案】（1）證明見解析；

（2）1

【詳解】（1）以C為坐標原點，CD,C8,CG所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖,

B2C2=(0,-2,1),3=(0,-2,1),

62c2〃&4,

又BG，42不在同一條直線上，

B2C2//A2D2,

(2)設P(0,2,2)(04244),

則&G=(-2,-2,2),PC2=(0,-2,3-2),￡>2C2=(-2,0,1),

設平面PA2C2的法向量”=(x,y,z),

n-AC=-2x-2y+2z=0

則22

n-PC2=-2>'+(3-2)z=0'

令z=2,得y=3—2,x=4—l,

n—(4—1,3—4,2),

設平面4G。2的法向量m=(a,b,c),

m?A>C=-2a-2h+2c=0

則

m,D2c2=-2a+c=0

令a=\,得Z?=l,c=2,

...in=(1,1,2),

Icos(n,斜=-rj—=]-----$-----=|cos150°|=—,

I\71廚4+(f，+(3--)2112

化簡可得，矛-4/1+3=0，

解得；1=1或2=3,

P(0,2gP(0,2,3),

：.B2P=\.

(新課標全國n卷)4.已知圓錐的頂點為P,底面圓心為0,48為底面直徑，ZAPS=120°,%=2,點

C在底面圓周上，且二面角P-AC-0為45。，則().

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側(cè)面積為467t

C.AC=2叵D.△PAC的面積為G

【答案】AC

【詳解】依題意，ZAPB=120°,24=2,所以。尸=1,。4=03=6，

A選項，圓錐的體積為gx7TX(6)xl=7t,A選項正確；

B選項，圓錐的側(cè)面積為兀xgx2=2百it,B選項錯誤：

C選項，設。是AC的中點，連接ODP。，

則AC_LOZ),AC，P。，所以Z/YX?是二面角P-AC—。的平面角，

則NP￡>O=45。，所以OP=QD=1,

故A。=C￡)=^/J口=0,則AC=2J5,C選項正確；

D選項，PD-Vl2+12=72-所以SPAC=；x2j5x正=2,D選項錯誤.

故選：AC.

（新課標全國n卷）5.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2,高

為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為.

【答案】28

【詳解】方法一：由于2:=1而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

42

所以正四棱錐的體積為:x（4x4）x6=32,

截去的正四棱錐的體積為:x（2x2）x3=4,

所以棱臺的體積為32-4=28.

方法二：棱臺的體積為:x3x（16+4+71數(shù)）=28.

故答案為：28.

（新課標全國H卷）6.如圖，三棱錐A—58中，DA=DB=DC,BDLCD,NADB=ZA￡>C=60,E

（1）證明：BCYDA-,

（2）點尸滿足EF=￡）A，求二面角O-AB-F的正弦值.

【答案】⑴證明見解析；

⑵卓,

3

【詳解】（1）連接AE，DE,因為E為BC中點，DB=DC,所以①，

因為D4=￡>5=DC,=NAQC=60，所以.ACD與△ABO均為等邊：角形,

:.AC=AB,從而A￡_L8C②，由①②，AE\DE=E,4￡?！?lt;=平面人?！?

所以，BC1平面ADE,而AT>u平面ADE,所以BC_LD4.

（2）不妨設ZM=DB=￡＞C=2,BD1CD,:.BC=2g,DE=AE=E.

.-.AE2+DE2=4=AD2^:.AE1DE,又AE上BC,DE\BC=E,OE,8Cu平面BQ），A￡_L平面BCD.

以點E為原點，EC,EB,EA所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：

y

設￡＞（＞/2,0,0）,A（0,0,V2）,8（0,女,0）,￡（0,0,0）,

設平面ZM3與平也1ABF的一個法向量分別為4=（X],y,Z]）,%=（尤2,當，z?）

二面角。一A8-尸平面角為仇而A8=（0,夜,一夜），

因為EF=D4=（-夜,0,忘），所以F（-夜,0,應），即有AF=（-五,0,0）,

f-\/2x+V2z.=0

???[宿一缶=0'取X□'所以”=（卬）

｛啜-[”=0,取力=1,所以叼=（0,1,1）,

所以，際。|=和=后"3?從而sm"R=三

所以二面角O-AB-尸的正弦值為立.

3

（全國乙卷數(shù)學（理）（文））7.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該

零件的表面積為（）

11111111111111

11111111111111

r--r-~|i—i--1r--r-i|—r-■r--1

1■一-「--ir-r-~l—-1--1

!””！irrrtrri

t1111111111111

11111111111111

iiiiiii

iiiiiii

~~PT-]

『十七廿[T

??????t

???????

???????

???????

A.24B.26C.28D.30

【答案】D

【詳解】如圖所示，在長方體4BCD-A8CQ中，AB^BC=2,AAt=3,

點K為所在棱上靠近點穌G,A,A的三等分點，O,L,M,N為所在棱的中點，

則三視圖所對應的幾何體為長方體AB8-A4GP去掉長方體ON/C；q之后所得的幾何體,

該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形，

其表面積為：2x（2x2）+4x（2x3）-2x（lxl）=30.

故選：D.

（全國乙卷數(shù)學（文））8.己知點S,AB,C均在半徑為2的球面上，.ABC是邊長為3的等邊三角形，SA1

平面AfiC,則SA=.

【答案】2

【詳解】如圖，將三棱錐S-ABC轉(zhuǎn)化為直三棱柱SMN-ABC.

設,ABC的外接圓圓心為。一半徑為,，

2；.：AB_3.2石

則sinZACB遮，可得r=G，

~2

設三棱錐S-ABC的外接球球心為。，連接040。，則04=2,0。=，SA,

2

因為。12=00：+0汗，即4=3+1SA2,解得S4=2.

故答案為：2.

(全國乙卷數(shù)學(理)(文))9.如圖，在三棱錐P-ABC中，ABJ.BC,AB=2,BC=20，PB=PC=46,

BP,AP,BC的中點分別為。，E,O,AD=y[5DO,點尸在AC上，BFVAO.

(1)證明：所〃平面A。。：

(2)證明：平面AOOL平面BEF；

⑶求二面角O-AO-C的正弦值.

【答案】⑴證明見解析；

⑵證明見解析；

⑶也.

2

【詳解】(1)連接。E，OF,設AF=MC,則8尸=&4+4/=(1-，)84+18。，AO=-BA+^BC,BFLAO,

貝iJBF-A0=[(l_f)BA+/BC]-(_BA+5BC)=(/_l)BA+-/BC2=4(r-l)+4/=0,

解得f=g，則/為AC的中點，由RE,O,尸分別為尸仇尸A,8cAe的中點，

于是。E//4aDE=-AB.OF//AB,OF=-AB,即DEIIOF,DE=OF,則四邊形ODEF為平行四邊形，

22

EFHDO,EF=DO,又所0平面的0,。0匚平面月。0,

所以EF〃平面A。。.

P

(2)由(1)可知EF//OD,則AO=#,OO=漁，得4。=石。0=畫，

22

因此O￡>2+AO2=A￡>2=",則O￡>，AO,有斯，AO,

2

又AOLBRBFEF=F,BF,EFu平面BEF,

則有AO_L平面B￡F,又AOu平面A￡>0,所以平面4)0_L平面BEF.

(3)過點。作OH〃8尸交AC于點H,設A。BE=G,

由AOJ.8尸，得〃O_LAO,且尸"

3

又由(2)知，ODLAO,則NOO〃為二面角。-AO—C的平面角，

因為DE分別為P8,產(chǎn)A的中點，因此G為qF48的重心，

1113

即有。G=—A￡),GE=—8E,又FH=-AH,即有￡>"=—GF

3332

3_15

+)4+6―PA.~7

cosZABD=-----五=2x2乂瓜'解得PA=&Z，同理得=

2X2XT

/1/AY(/AYs

于是冊+獷3?，即有皿呼,則談=+島,

從而前"日'的=1考=孚'

在△DO”中，OH=-BF=昱"=見孫=叵,

2222

63_15

3廠W

于是cosZ.DOH=

2x----x—

22

所以二面角。-AO-C的正弦值為也.

2

（全國乙卷數(shù)學（理））10.已知圓錐PO的底面半徑為6,。為底面圓心，用,PB為圓錐的母線，ZA（?B=120°,

若二R48的面積等于竽，則該圓錐的體積為（）

A.nB.X/6TTC.37rD.3瓜兀

【答案】B

【詳解】在“A08中，403=120。，而04=08=6,取A8中點C,連接。CPC,有OCJ_4?,PC_LAB,

如圖，

/ABO=30，OC=—,AB=2BC=3,由47MB的面積為噸,^-x3xPC=—,

2424

解得PC=手，于是尸o=\IPC2-OC2=1(當了-(^2=瓜，

所以圓錐的體積丫=g兀xOA:xPOug兀x（百）2、后=布兀.

故選：B

（全國乙卷數(shù)學（理））11.已知MC為等腰直角三角形，A8為斜邊，△A83為等邊三角形，若二面角

C-AB-。為150。，則直線CZ）與平面ABC所成角的正切值為（）

【答案】C

【詳解】取AB的中點E,連接CE,OE,因為?ABC是等腰直角三角形，且AB為斜邊，則有CE/AB,

又△42是等邊三角形，^DE.LAB,從而NCED為：面角C-的平面角，即NCE￡>=150,

顯然CEc￡)￡'=E,CE,r>Eu平面C￡)￡',于是平面C￡)E,又A8u平面ABC，

因此平面CDE，平面ABC,顯然平面CDEc平面ABC=CE,

直線CDu平面CDE，則直線8在平面ABC內(nèi)的射影為直線CE,

從而/DCE為直線C。與平面43c所成的角，令43=2,則CE=1,DE=百，在CDE中，由余弦定理得:

CD=>JCE2+DE2-2CE-DEcosZCED=+3_2xlxgx(一爭=近，

DECD即疝〃3回嗯=卓，

由正弦定理得

sinZDCEsinZCEDV72V7

顯然NQCE是銳角,cosZDCE=Vl-sin2ZDCE=

所以直線co與平面ABC所成的角的正切為B.

5

故選：C

（全國甲卷數(shù)學（文））12.在三棱錐P-A8C中，43c是邊長為2的等邊三角形，PA=PB=2,PC=巫,

則該棱錐的體積為（）

A.1B.73C.2D.3

【答案】A

【詳解】取AB中點E,連接PE,CE,如圖，

ABC是邊長為2的等邊二角形，PA=PB=2,

:.PE1.AB,CEVAB,又尸E,C￡u平面PEC,PECE=E,

AB工平面PEC,

乂PE=CE=2XL=BPC=瓜,

2

故PC2=PE2+CE2,即PELCE,

所以U=%“EC+匕AB=gxgx>/5x百x2=l,

故選：A

（全國甲卷數(shù)學（文））13.在正方體ABCO-ABCQ中，48=4。為AG的中點，若該正方體的棱與球。

的球面有公共點，則球。的半徑的取值范圍是.

【答案】[2夜,2石]

【詳解】設球的半徑為R.

當球是正方體的外接球時，恰好經(jīng)過正方體的每個頂點，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會包

含正方體，導致球面和棱沒有交點，

222

正方體的外接球直徑2R'為體對角線長AC}=V4+4+4=46，即2R'=4百,R'=2下>,故?1ax=28：

分別取側(cè)棱叫，網(wǎng)，CG，DD,的中點M”,G,N,顯然四邊形MNGH是邊長為4的正方形，且。為正方形

M7VGH的對角線交點，

連接MG,則MG=40，當球的一個大圓恰好是四邊形MNGH的外接圓，球的半徑達到最小，即R的最

小值為2夜.

綜上，7?e[2>/2,2>/3].

故答案為：[2近,26]

（全國甲卷數(shù)學（文））14.如圖，在三棱柱A3C-4月G中，A。，平面ABC,44c8=90。.

（1）證明：平面ACGA，平面88。。；

（2）設AB=AB,AA=2,求四棱錐A-BBCC的高.

【答案】（1）證明見解析.

（2）1

【詳解】（1）證明：因為AC，平面ABC,BCu平面ABC,

所以ACLBC,

又因為NAC8=90,即AC13C,

40。＜=平面40；4，ACcAC=C,

所以8c1平面4CGA，

乂因為BCu平面BCG4,

所以平面ACC0J_平面BCC4

（2）如圖，

因為平面ACCM平面5CC￡,平面4CCM平面8CC￡=C0,AQu平面ACQA,

所以A。，平面BCCg,

所以四棱錐A-BB￡C的高為4。.

因為AC1平面ABC.AC,BCu平面ABC,

所以AC，8C,4C，AC,

又因為AB=AB,BC為公共邊，

所以A5c與AABC全等，所以AC=AC.

設AC=AC=x,則AG=x,

所以。為CG中點，00=3例=1,

又因為4。，4。,所以4。2+4（72=例2,

即4+4=22,解得x=0,

所以qo=Jqcj-oc：=｛（何一1?=i,

所以四棱錐a-8B￡C的高為1.

（全國甲卷數(shù)學（理））15.在四棱錐P—A8CO中，底面ABCD為正方形，A8=4,PC=p。=3,NPCA=45°,

則.PBC的面積為（）

A.2>/2B.3五C.4垃D.5叵

【答案】C

【詳解】法一：

連結(jié)AC,8〃交于。，連結(jié)P。，則。為AC,8D的中點，如圖，

因為底面ABCD為正方形，AB=4,所以AC=8O=4&，則。0=。0=2立，

又PC=PD=3,PO=OP,所以3P￡)0二PC。，則NPDO=NPCO,

又PC=PD=3,AC=BD=4丘,所以，P￡)B=PC4,則R4=P8,

在△PAC中，PC=3,4C=40,NPCA=45°,

則由余弦定理可得PA2=AC2+PC2-2AC-PCcosNPCA=32+9-2x4x3x立=17,

2

故PA=VF7,則PB=Vi7,

故在PBC中，PC=3,PB=y/n,BC=4,

PC2+BC1-PB19+16-17

所rri%以lcosNPCB=-----------------------=--------------

2PCBC2x3x44

又。<NPCB<n,所以sinNPCB=Jl-cos?NPCB=辿

3

所以PBC的面積為S=；PC?BCsinNPCB=Jx3x4x孚=472.

法二：

連結(jié)AC,B￡）交于0,連結(jié)P。，則。為AC,BD的中點，如圖，

因為底面ABCD為正方形，AB=4,所以AC=BO=4&，

在中，PC=3,NPCA=45°,

則由余弦定理可得PA?=AC2+PC2-2AC-PCCOS/PCA=32+9-2X4&X3XL=17,故PA=炳,

2

所以8,4公"+%—*17+設32=_立,

2PAPC2x717x317

P4-PC=|PA||Pc|cosN4PC=ax3x]-*)=—3,

不妨記PB=m,NBPD=?,

因為尸0=；(PA+PC)=g(P8+P￡)),所以(PA+PC『=(PB+P3『，

日口，2222

即PA+PC+2PAPC=PB+PD+2PBPD，

則17+9+2x(—3)=w2+9+2x3x；ncos0,整理得m2+6〃7cos6—11=0①，

又在/\PBD'I',BD2=PB2+PD2-2PB-PDcosNBPD，即32=>+9_6/ncos6，則病-6〃?cos。-23=0②,

兩式相加得2府-34=0，故P8=機=后，

故在PBC中，PC=3,PB=?BC=4,

PC2+BC1-PB29+16-17I

所以cosNPCB=

2PCBC-2x3x4-5

又0<NPCB<n,所以sinNPCB71-cos?2PCB=迪

3

所以PBC的面積為S=』PC?8CsinNPCB=-x3x4x述=4五-

223

故選：C.

（全國甲卷數(shù)學（理））16.在正方體ABC。-ABC。中，E,F分別為CQ,4A的中點，則以EF為直徑

的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為

【答案】12

【詳解】不妨設正方體棱長為2,EF中點為0,取AB,8用中點G,M,側(cè)面BB℃的中心為N,連接

FG,EGQMQN,MN,如圖，

由題意可知，。為球心，在正方體中，EF=\JFG2+EG2=V22+22=2V2>

即R=0，

則球心。到的距離為OM=，ON2+MN?==叵,

所以球。與棱相切，球面與棱只有1個交點，

同理，根據(jù)正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點，

所以以E尸為直徑的球面與正方體每條樓的交點總數(shù)為12.

故答案為：12

（全國甲卷數(shù)學（理））17.在三棱柱ABC-AB?中，M=2,A。，底面ABC,ZACB=90。，A倒平面

8CC4的距離為1.

（2）若直線AA與BB1距離為2,求ABt與平面BCC網(wǎng)所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

【詳解】（1）如圖,

.,.AC1BC,又8C，AC,ACACu平面4CCM,AlCnAC=C,

.?.BCJL平面ACC*/,乂BCu平面8CG4，

,平面ACGA_L平面BCGB」

過A作A,01CC,交CC,于。，又平面ACC,4(］平面BCC、B、=CC,,AtOu平面ACC^,

A01平面8CC百

A到平面5CGB1的距離為1,，AO=1,

在Rt/\ACG中，AC，AG，CG=例=2,

設CO=x,貝|JCQ=2-X,

△AOC,ZXAOC，,AACG為直角三角形，且cq=2,

222222

CO+A.O=AtC,A,O+0C；=GA：,A,C+A。；=C,C,

:.l+x2+l+(2-x)2=4,解得尤=1,

AC=AyC=AG=\p2,

AC=A。

(2).AC=\CVBC±A1C.BC±AC,

*.RtAACB^RtA^CB

/.BA=B\,

過3作BOLAA，交A4于￡>,則。為AA中點,

由直線AA與§崗距離為2,所以8。=2

4。=1,BD=2,：.A]B=AB=y/5?

在Rt/XABC,...BC=>]AB2-AC2=>

延長4C,使AC=CM,連接GM,

由CM〃AG，CM=AG知四邊形ACMG為平行四邊形,

.?<M〃AC,平面ABC,乂AMU平面ABC,

CtM1AM

22

則在RtAAC.M中，AM=24C,GM=A。，；.ACy=7(2AC)+A,C,

在RtZ\AAG中，AC,=y](2AC)2+A.C2,耳￡=8C=后,

AB、=J(2亞尸+(0)2+(省產(chǎn)=岳,

乂A到平面BCCg距離也為1,

1V13

所以4片與平面BCG區(qū)所成角的正弦值為

（新高考天津卷）18.在三棱錐P-ABC中，線段PC上的點M滿足PM=；PC,線段PB上的點N滿足

2

PN=-PB,則三棱錐P-AW和三棱錐P-的體積之比為（）

A.14

BcD.

9-I-I9

【答案】B

【詳解】如圖，分別過M，c作MMUPA,cd1PA,垂足分別為C'.過B作BB'_L平面PAC，垂足為》，

連接P3',過N作MV'J"P8',垂足為N’.

因為88'J_平面PAC，SQu平面PS4,所以平面PBBU平面PAC.

乂因為平面1平面PAC=P8'，NN'1PB''NN'u平面PBB’，所以NMJ_平面PAC,且BB‘"NN’?

PMMM'1

在△PCC中，因為MM'_LPACC*_LPA，所以MW'//CC'，所以后=—T=J，

PCCC3

在△P88'中，因為BB'〃AW'，所以型=也=2

PBBB'3

?NN'

所以孑口PAM3（2J=2

1

^P-ABC^B-PAC-S.RR'-fPACC'XBB'，

3。PACDD

3（2J

故選：B

（新高考天津卷）19.三棱臺ABC-AB?中，若AAJ.面ABC,A8，AC,4B=4C=4A=2,4C=1,M,N

分別是3cBA中點.

(1)求證：AN〃平面GMA；

⑵求平面CMA與平面ACGA所成夾角的余弦值;

⑶求點C到平面CM4的距離.

【答案】(1)證明見解析

（2）1

連接知％,44.由加,'分別是8。,氏1的中點，根據(jù)中位線性質(zhì)，MN//AC,且政7=行=1,

由棱臺性質(zhì)，AG〃4C,于是MN〃A￡,由MN=AG=1可知，四邊形”惚6是平行四邊形，則4N〃

MG，

又AN<Z平面C|MA,MC|U平面GMA,于是A,N〃平面C|MA.

(2)過M作ME_LAC,垂足為E,過E作E尸，ACj垂足為尸,連接MF,GE.

由MEu面ABC,AAJ?面ABC,故又MELAC,ACQAAl=A,AC,A4,u平面ACQA,則

腔，平面47?4.

由A￡u平面ACGA，故MELAC-又EF_L4G，MEcEF=E,ME,Mu平面ME尸，于是AG，平

面MEF,

由MFu平面ME尸，故AC尸.于是平面GAM與平面ACCM所成角即NMF￡

ry122

又ME=w=I,cosNC4C1=布，貝IjsinNCAC1=不，故EF=lxsinNCAG=存，在Rt.中，

(3)［方法一：幾何法】

過G作C/LAC,垂足為尸，作垂足為Q,連接PQPM,過產(chǎn)作PR^GQ，垂足為R.

由題干數(shù)據(jù)可得，CtA=CtC=y［5,GM=KF+PM2=后,根據(jù)勾股定理，GQ=j5-與=當

由C/L平面AMC,AMu平面4WC,則C/LAM，乂GQLAM,QQC/=G,C?,C/u平面弓尸。,

于是平面￡尸。-

乂*?u平面Cf。，則PRL4W,又尸R，G。，GQAM=Q,gQ,AMu平面。陽4,故松，平面GMA.

在R3GPQ中，PR=^-^-=2—^-=^,

2cl3y2.J

F

又C4=2R4,故點C到平面CtMA的距離是p至ij平面QMA的距離的兩倍,

4

即點C到平面CtMA的距離是：.

［方法二：等體積法］

輔助線同方法一.

設點C到平面GMA的距離為h.

xCPx5=x2xx=

K-,-4?c=|14,Wc1^(^)'|>

,1,?1,1/r35/2/;

Vz

C-C,MA=^hxSAMCi=-xhx-Xy/2x-=~.

h24

由%-AMC=%-GMAO]=§，即/?=§.

:金2023年高考模擬題

一、多選題

1.（2023?河北滄州??？寄M預測）如圖所示，該幾何體由一個直三棱柱ABC-ABC和一個四棱錐

。-ACC4組成，AB=BC=AC=AA,=2,則下列說法正確的是（）

A.若AO_LAC,則

B.若平面4CQ與平面AC。的交線為/,則AC〃/

C.三棱柱ABC-AgG的外接球的表面積為手

D.當該幾何體有外接球時，點。到平面ACC0的最大距離為應

【答案】BD

【詳解】對于選項A,若仞，AC,又因為AA1平面ABC,

但是。不一定在平面ABC上，所以A不正確；

對于選項B,因為AG〃AC,所以AC〃平面AC。，

平面AGDC平面A8=/,所以AC/〃，所以B正確；

對于選項C,取AA8C的中心。，A4|B|G的中心。|,

。。的中點為該三棱柱外接球的球心，所以外接球的半徑R=F'￥'=浮，

7Q

所以外接球的表面積為4萬尸=r,所以C不正確；

對于選項D,該幾何體的外接球即為三棱柱ABC-ABC的外接球，

。。的中點為該外接球的球心，該球心到平面ACC4的距離為坦，

3

點、D到平面ACGA的最大距離為R_B=且二叵，所以D正確.

33

故選：BD

2.（2023?廣東深圳?深圳市高級中學?？寄M預測）在四棱錐P-ABC。中，底面A8CD為矩形，AB=2日

BC=y/2>PA=PB=a，PC=PD=2.下列說法正確的是()

A.設平面P/Wc平面PC￡>=/,則〃/AS

B.平面XM)_L平面PBC

C.設點、MGBC,點、NePD,則MN的最小值為6

D.在四棱錐P-ABCD的內(nèi)部，存在與各個側(cè)面和底面均相切的球

【答案】AB

【詳解】該四棱錐如圖.

P

對于A：設平面平面PC￡>=/,因為A8CD為矩形，AB//CD,平面PC。,

C￡>u平面PCD,所以43〃平曲PC￡>,

乂平面平面PC￡>=/,ABu平面所以〃/AB,所以A對：

對于B：；BC=&，PB=8,PC=2,BC-+PC-=PB2,所以8C_LPC,

又底面ABC。為矩形，所以AD//BC,ADLPC,

因為PC=2=PD,CD=2s/2,BPCD2=PC2+PD',所以PC_LP”

而ADIPD=D,4Q,POu平面「仞，所以PCL平面PAO,PCu平面P8C,

所以平面尸BC_Z平面PAD,故B對；

對于C：由B選項可知MV的最短距離就是PC=2,所以C錯：

對于D：取A3、C￡>的中點E,F,連接EF、PF、PE,

則與平面E4B、平面PC￡>、平面ABCD都相切的球的半徑即為！的的內(nèi)切圓半徑，

因為EF=&，PF=&，PE=y]PB2-BE2=2>

所以P尸+￡尸=丑￡,則尸產(chǎn)J_EF,

設！際的內(nèi)切圓半徑為則g(PE+PF+EF)n=gEFPF,解得弓=啦-1,

同理與平面PA。、平面PBC、平面A8CD都相切的球的半徑即為的內(nèi)切圓半徑,

設，PCD的內(nèi)切圓半徑為4，

因為PC=PO=2,CD=20所以g（PC+PO+CO）4=gpCP。，解得五=2-&,

所以4WR,所以D錯.

故選：AB

3.（2023?廣東佛山?統(tǒng)考模擬預測）已知正方形ABC。的邊長為2,P是平面ABC。外一點，設直線必與平

面A8CD所成角為a,三棱錐尸-ABC的體積為V,則下列命題中正確的是（）

A.若平面Q4D_L平面ABCD,則45_LPDB.若平面A4￡>J_平面ABCD,則AD_LPC

7TI

C.若PA+PC=25則a的最大值是；D.若PA+PC=2B則V的最大值是彳

43

【答案】AC

[詳解】對于AB：因為平面PAD，平面ABCD,平面PADo平面ABCD=AD,/W_LAD，ABu平面ABCD,

所以平面PAD,戶Du平面PAO,所以

又ADJ.DC.若ADLPD,則PDc￡）C=。，刊）,。。匚平面尸〃。，所以A。_L平面PDC,

由尸Cu平面POC,則可得AO_LPC,

由于無法得知A。與PQ是否垂直，故無法證明AO與平面9C是否垂直，故A正確，B錯誤；

對于CD：由題意知，點尸為動點，A、C為定點，PA+PC=26

由橢圓的定義知，點尸的軌跡是以AC=2應為焦距，長軸為2b的橢圓，

將此橢圓繞AC旋轉(zhuǎn)-周，得到?個橢球，即點尸的軌跡是一個橢球，

而橢球面為一個橢圓，由2q=262c=,22+2==20，

22

即a=>/3,c=V2,得。=yja-c=1，

當點尸運動到橢球的上、下頂點時，V取到最大值，

1112

此時V=§S械b=§X]x2x2xl=§：

設點P在平面ABCO上的射影為。，貝Utana=黑，

乂0<PQ41,0<BQ40，且PQW8Q,

TT

所以當且僅當PQ=3Q時tana最大，即a取到最大值;，故C正確，D錯誤;

4

4.（2023?廣東?校聯(lián)考模擬預測）如圖，在棱長為1的正方體ABC。-中，M,N分別是45,AO的

中點，尸為線段GA上的動點（不含端點），則下列結(jié)論正確的是（）

A.存在點P,使得與BG異面

B.不存在點P,使得MNLNP

C.直線NP與平面ABCD所成角的正切值的最小值為平

D.過",MP三點的平面截正方體所得截面面積的最大值為邁

4

【答案】CD

【詳解】對于A,連接由正方體的性質(zhì)知，AB//CQ,

所以A,B，G，A四點共面，PM,8。1匚平面486。，故A不正確;

若尸為G2中點，則2。工平面ABC/）,MN在面A8c。內(nèi)，所以PQ_LMN,

在AM/Q中，MN=NQ=JD+（；）=與,MQ=\,

所以MM+NQ2=MQ2,故MN，NQ,PQNQ=Q,PQ,NQu平面NP。,

所以MNL平面NPQ.NPu平面NPQ,所以MNLNP,故B不正確;

對于C,過點尸作平面ABC。，連接NH,

所以直線NP與平面ABCO所成角為NPNH,

PH1

tan2PNH=—

所以NH

DH2+DH-，

2石

(tanZPNH).

\/min行一，故C正確;

對于D,由正方體中心對稱（類比為球體，例N看作弦），故過MN的截面經(jīng)過對稱中心。所得截面最大,

此時截面交棱。2，BB、,8g于中點，尸也為中點,

所以P為GR的中點時，過M、N、戶三點的平面截正方體所得截面最大,

取的中點E,與G的中點尸，8用的中點G,連接NE、EP、PF、FG、GM,

所以過M、N、尸三點的平面截正方體所得截面最大值為正六邊形,

面積為6x立MW2=6x3x1=3叵，故D正確.

4424

故選：CD.

二、單選題

5.（2023?廣東深圳?深圳市高級中學?？寄M預測）已知一個直棱柱與一個斜棱柱的底面多邊形全等，且它

們的側(cè)棱長也相等.若直棱柱的體積和側(cè)面積分別為乂和5,斜棱柱的體積和側(cè)面積分別為匕和52,則（）

匕H>匕i匕H<打

4

KV

M

cA-與苦的大小關(guān)系無法確定

sS

>2

【答案】A

【詳解】設棱柱的底面周長為c,底面面積為S,側(cè)棱長為/,斜棱柱的高為〃,

VV./q

則U=F=—，而匕=S?,斜棱柱各側(cè)面的高均不小于力，所以S2>C/,

d|C,IC

于是，n，所以，

S2chcS]S2

故選：A.

6.（2023?廣東佛山?統(tǒng)考模擬預測）如圖，在平行六面體ABCO-ABC。中，以頂點A為端點的三條棱長

都是m且/AAB=NAAQ=6O。，E為CG的中點，則點上到直線g的距離為（）

c.2D.旦

10543

【答案