空間中的距離教案

1.2.5空間中的距離

學習目標核心素養(yǎng)

1.掌握向量長度計算公式.(重點)

2.會用向量方法求兩點間的距離、點到平面的通過學習空間距離的求解，提

距離、直線到平面的距離和面到面的距離.(重升邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng).

點'難點)

情境趣味導學情境導學。探新知預習素養(yǎng)感知

畬情境引入?助學助教

“距離”在生活中隨處可見，其概念是從生活中的具體問題中抽象出來的.

義務教育階段已經(jīng)學過點與點之間的距離，那么在空間中兩個圖形之間的距離又

是怎樣呢？

知初探…

1.空間中兩點之間的距離

空間中兩點之間的距離指的是這兩個點連線的線段長.

思考1：在空間中怎樣求兩點之間的距離？

［提示］利用向量法轉(zhuǎn)化為求向量的模.

2.點到直線的距離

給定空間中一條直線/及/外一點A,因為/與A能確定一個平面,所以過A

可以作直線/的一條垂線段,垂線段的長稱為點4到直線I的距離.

3.點到平面的距離

(1)給定空間中一個平面a及a外一點A,過A可以作平面a的一條垂線段,

垂線段的長稱為點A到平面a的距離.

提醒：點到平面的距離是這個點與平面內(nèi)點的最短連線的長度.

(2)一般地，若A是平面a外一點，3是平面a內(nèi)一點，〃是平面a的一個法

向量，則點A到平面a的距離為1=察1.

提醒：若點A是平面a內(nèi)一點，則約定A到平面a的距離為0.

4.相互平行的直線與平面之間、相互平行的平面與平面之間的距離

(1)當直線與平面平行時，直線上任意一點到平面的距離稱為這條直線與這

個平面之間的距離，如果直線/與平面a平行，〃是平面a的一個法向量，A、B

分別是/上和a內(nèi)的點，則直線I與平面a之間的距離為1=端?.

(2)當平面與平面平行時，一個平面內(nèi)任意一點到另一個平面的距離稱為這

兩個平行平面之間的距離.

如果平面a與平面夕平行，”是平面用的一個法向量，A和5分別是平面a

和平面夕內(nèi)的點，則平面a和平面夕之間的距離為后喑k

思考2：線面距、面面距與點面距有什么關系？

提示：

一

|直線與它的平行平面的距離卜7兩

點

之

點到平面的距離間

的

距

亙

I兩個平行平面的距離卜」

E初試

1.思考辨析(正確的打“，錯誤的打“x”)

(1)可以用1誦1=加加求空間兩點A、§的距離.

()

(2)設"是平面a的法向量，A是平面a內(nèi)一點，A3是平面a的一條斜線，

則點B到a的距離為.()

(3)若直線/與平面a平行，直線/上任意一點與平面a內(nèi)任意一點的距離就

是直線/與平面a的距離.()

［答案］(1)V(2)V(3)X

［提示］(1)7(2)V

(3)X直線上任意一點到平面a的垂線段的長度.

2.設A(3,3,l),3(105),C(O,1,O),則A3的中點M到點C的距離|CM|等于

()

「應n近

J22

C［-：M點坐標為(2,I，3),.?.|MC|=Y(2—0)2+(1—l)+(3—0)2=

苴1］

2,J

3.在四面體P-A3C中，PA,PB,PC兩兩垂直，M是平面ABC內(nèi)一點，

且點M到其他三個平面的距離分別是2,3,6,則點M到頂點P的距離是()

A.7B.8C.9D.10

A［以P為坐標原點，PA,PB,元:的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向

建立空間直角坐標系(圖略)，由題意，得也。|=隹存工不=7.］

4.已知平面a的一個法向量”=(1,0,1),點A(—1,1,0)在a內(nèi)，則平面外點

P(—1,1,1)到平面a的距離為.

，［亦=(0,0,1),“=(1,0,1),4=^^=古=坐］

疑難問題解惑合作探究。釋疑難學科素養(yǎng)形成

、類型1空間兩點間的距離

【例1】如圖所示，正方形ABC。，A3ER的邊長都是1,而且平面A3CD,

ABER互相垂直，點般在AC上移動，點、N在BF上移動,若CM=BN=a(0<a<\［2).

(1)求MN的長；

(2)a為何值時，MN的長最小？

［思路探究］建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，利用兩點間距離公式求

解.

［解］(1)建立如圖所示的空間直角坐標系,

則A(1,O,O),"1,1,0),

c(o,o,i).

因為CM=BN=a(0<a<g,且四邊形ABCD,ABEF為正方形,

所以，乎a,0,1一日，，N［乎a,田氏°)，

所以A/N=(o,坐a,坐。一1

所以2Vl=\la2—yf2a-\-1(0<a<6).

MN=^.

(2)由(1)知MN=

即當a=乎時，MN的長最小，最小值為坐.

「.....規(guī)法?.......

計算兩點間的距離的兩種方法

(1)利用⑷2=a?a,通過向量運算求⑷，如求A,3兩點間的距離，一般用|誦

(2)用坐標法求向量的長度(或兩點間距離)，此法適用于求解的圖形適宜建立

空間直角坐標系時.

［跟進訓練］

1.如圖所示，在120。的二面角a-ABf中，ACUa,BD^/3且AC±AB,

BD±AB,垂足分別為A,B,已知AC=AB=3D=6,試求線段CD的長.

［解］'：AC±AB,BD±AB,

：.CAAB=Q,RDAB=Q,

又?.?二面角的平面角為120。,

<CA,BD)=60°,

.,.|CD|2=|CD|2=(CA+AB+Bb)2

=CA2+AB2+Bb2+2(^AB+CABb+5bAB)

=3X62+2X62XCOS60°=144,

.\CD=12.

"型2/點到直線的距離

［探究問題］

1.如何理解與認識點到直線的距離？

［提示］點到直線的距離，即點到直線的垂線段的長度，由于直線與直線外

一點確定一個平面，所以空間點到直線的距離問題可轉(zhuǎn)化為空間某一個平面內(nèi)點

到直線的距離問題.

(1)點在直線上時，點到直線的距離為0.

(2)點在直線外時，點到直線的距離即為此點與過此點向直線作垂線的垂足

間的距離.即點到直線的距離可轉(zhuǎn)化為兩點間的距離.

2.如何用向量法求點到直線的距離？

［提示］設出點在直線上的射影，利用垂直關系求出射影的坐標轉(zhuǎn)化為求向

量的模.

【例2】已知直三棱柱ABC-ALBICI中，AAi=l,AB=4,BC=3,/ABC

=90°,求點B到直線AiCi的距離.

［思路探究］建立空間直角坐標系，利用向量法求解.

［解］以3為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.

則Ai(4,0,l),Ci(0,3,l),

所以慶1=(-4,3,0).

設E滿足4寶=14工1,且BEXA1C1,

則屈=威|+疵=(4,0,1)+，一4,3,0)=(4一4九3九1),又靛，慶i,

.,.(4—4/1,3A,1)-(—4,3,0)=0,.*.A=1|.

.,.屈=(4-4X1|,3x1|,1),

：.B到直線AiCi的距離為笠.

［母題探究］

1.（變問法）條件不變，試求3到AG的距離.

［解］建系如本例解法元〕=（—4,3,1）,設M滿足啟=力D1且前?/1=0,

則俞=或+嬴=(4,0,0)+2(—4,3,1)=(4一4九3九A).

又赤尼1=0,.,.(4—42,3九A)?(-4,3,1)=0,

.,_8_

..兒一⑶

.一(8X48X38V<2024_8_A

..BM=I4—~13j=ll3;13;13

'.B到ACi的距離為生曹

2.（變條件）若將本例中的條件改為“正三棱柱ABC-451cl且所有棱長均為

2"，如何求3到4G的距離.

［解］以3為原點，分別以R4,過3垂直于B4的直線，BB、為x,y,z軸

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則3（0,0,0）,4（2,0,2）,Ci（l,小,2）,BAi=（2,0,2）

所以ACi的方向向量慶i=（—1,小，0）,而說1=（1,小，2）,

設E滿足4寶=2慶1且BE±AiCi,

BE=BAi+A^E=（2,0,2）+2（-1,小，0）=（2一九4九2）,

又踵，AlbiI.(2一九小九2).(-1,小,0)=0,

.,.A—2+3A=0,.'.BE=\

麗=AJ(1)+閨S=巾,

...3到AC1的距離為由.

1........規(guī)律方法，

求點M到直線A3的距離的方法與步驟

(1)建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，在已知直線A3上取一點E,

點E滿足兩個條件：①命=丸港，@MELAB.

(2)利用(1)中的兩個等量關系求出丸的值，進而求出點E的坐標，求出向量|施

|的模即為〃點到A3的距離.

、類型3點到平面的距離

【例31如圖所示，已知正方體ABCD-AiBiCiDi的棱長為a,求點A到

平面ALBD的距離.

［思路探究］本題可以利用等體積法求解，也可以通過建系利用向量法求

解.

［解］法一：設點A到平面ALBD的距離為上則

VB-AAiD=^XaXa=13

6°

VA-AiBD=-jXhX^-X(y[2a)2=^-a2h,

"：VA-AiBD=VB-AAiD,

：.h=^a,.?.點A到平面AiBD的距離為看a.

法二：如圖所示，建立空間直角坐標系Bixyz,則Ai(a,O,O),A(a,O,a),D(a,

a,a),3(0,0,a),

則3￡>=(a,a,0),AiD=(0,a,a),AB=(—tz,0,0).

設平面AiBD的一個法向量〃=(x,y,z),

n-BD=0,

則<_

n-AiD=0,

ax~\~ay=0,x+y=0,

即1

、ay+az=0,j+z=0.

令y=-1,則x=z=l,

.\n=(l,-1,1).

.".ABn=(—tz,0,0)-(1,—1,1)=—a.

???點A到平面AiBD的距離d=邛駕

I川勺33

「......,規(guī)Sc75法.......................

用向量法求點面距的方法與步驟

(1)建坐標系：結(jié)合圖形的特點建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；

(2)求向量：在坐標系中求出點到平面內(nèi)任一點對應的向量贏；

(3)求法向量：設出平面的法向量，利用向量垂直的條件轉(zhuǎn)化為求解方程組,

求出法向量M；

(4)得答案：代入公式1=嚙包求得答案.

提醒：用向量法求點到平面的距離的關鍵是確定平面的法向量.

［跟進訓練］

2.如圖所示，已知△ABC是以N3為直角的直角三角形，SA，平面ABC,

SA=BC=2,AB=4,M,N,。分別是SC,AB,BC的中點，求點A到平面SND

的距離.

［解］建立如圖所示的空間直角坐標系,則N(0,2,0),5(0,0,2),￡)(-1,4,0),

：.NS=[0,—2,2),⑦=(—1,4,-2).

設平面SND的法向量為n=(x,yl).

??n，NS=0,n,SD=0,

―2y+2=0,

「x+4y-2=0,

x=2,

Vi.

??.”=(2,1,1),VA5=(0,0,2).

|n-AS|_2_^6

??.點A到平面SND的距離為

3?

、類型4線面平行、平行平面間的距離

【例4】如圖，矩形ADRE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB//CD,

ZABC=ZADB=90°,CD=1,BC=2,DF=1.

(1)求證：BE〃平面OCT；

(2)求點B到平面DCF的距離.

rAE//DF,

AB//DC,

AEHAB=A,

［解］(1)證明：由已知可得5今平面ABE〃平面

DFCDC=D,

AE,ABU平面ABE,

、DF,DCU平面DRC

DFC,

,?3EU平面ABE,：.BE〃平面DCF.

(2)如圖，以。為原點，建立空間直角坐標系.

,JAB//CD,ZABC=ZADB=90°,

則AADBs△BQ)=后=可,

nCCzJ

'：CD=1,BC=2.：.BD=\[5,

：.AD=2y[5,AB=5,/.F(O,O,1),

￡>(0,0,0),A(2小，0,0),3(0,小，0),《一哀，卡，o],/=(0,一小,

D，落七-志"虎=卜泉44

設平面ZXT的法向量為“=(X,y,z),

-21,

n,DC=O,TfLF+z=°'

則<

2,1八

n-CF=O,

—忑X+F=°，

令x=l,y=2,z=0..*.n=(l,2,0).

\BF.n\

4=笠1l=2....B到平面OCR的距離為2.

1........規(guī)津方法............................

求直線與平面間的距離，往往轉(zhuǎn)化為點到平面的距離求解，且這個點要適當

選取，以求解最為簡單為準則，求直線到平面的距離的題目不多，因直線到平面

的距離可以用點到平面的距離求解，但在求點到平面的距離時有時用直線到平面

的距離進行過渡.

［跟進訓練］

3.正方體ABCD-AiBiCiDi的棱長為1,求平面AiBD與平面BiCDi間的距

離.

［解］以。為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則4(1,0,1),5(1,1,0),

01(0,0,1),

ATB=(O,I,-I),Alb=(-i,o,-i),A?bi=(-1,0,0).

設平面AiBD的一個法向量為〃=(x,y,z),

n-AiB=0,[y—z=0,

則彳書

[n-AiD=QC-x-Z=0.

令z=l,得y=l,x=—1,；?"=(-1,1,1).

.?.點Di到平面AiBD的距離詈=去=坐.

?平面AiBD與平面BiCDi間的距離等于點Di到平面AiBD的距離，...平

面A1BD與平面31CD]間的距離為丁.

課堂知識夯實課堂小結(jié)。提素養(yǎng)雙基盲點掃除

K必■備素養(yǎng)G

1.空間中各種距離一般都可以轉(zhuǎn)化為點點距、點線距、點面距，其中點點

距、點線距最終都可用空間向量的模來求解，而點面距則可由平面的法向量來求

解.

2.要熟練地掌握平面法向量的求法，其基本方法是待定系數(shù)法，還要學會

單位法向量的求法.

以致用G

1.已知平面a的一個法向量〃=(—2,—2,1),點A(—1,3,0)在a內(nèi),則P(一

2,1,4)到a的距離為()

A.10B.3

「810

C.2D.

一|AP-?|10

D[AP=(-1,-2,4),d=L-^A=y.]

2.已知平面a的一個法向量〃=(—2,—2,1),點A(x,3,0)在平面a內(nèi)，則

點尸(一2』,4)到平面a的距離為竽，則x=()

A.-1B.-11

c.—1或一11D.-21

C面=(x+2,2,—4),而公粵=?即二I|=當解得

|〃|3<4+4+13

x=-1或一11.］

3.若正四棱柱ABCD-AiBiCiDi的底面邊長為1,ABi與底面ABCD成60°

角，則4G到底面ABCD的距離為()

A.gB.1C.^2D.\［3

D［如圖，4G〃平面A3CD,所以4。到平面A3CD的距離等于點4到

平面ABCD的距離，由ABi與平面A3CD所成的角是60。,43=1.即

點4到平面ABCD的距離為小.］

4.在Rt^ABC中，ZC=30°,ZB=90°.