蘇教版高中數學選擇性必修第一冊第3章圓錐曲線與方程專題強化練4含答案

專題強化練4圓錐曲線的離心率1.(2024江蘇連云港調研)已知雙曲線E:x2A.2B.2C.2.(2024四川成都第七中學期中)已知橢圓C:x2a2+y2bA.33.(2024湖南名校聯合體期中)已知雙曲線C:y2a2?x2b2=1(a>0,b>0)的上、下焦點分別為F1,FA.44.(2023江蘇南通如東月考)已知橢圓C1和雙曲線C2有相同的左、右焦點F1,F2,若C1,C2在第一象限內的交點為P,且滿足∠POF2=2∠PF1F2,設e1,e2分別是C1,C2的離心率,則e1,e2的關系是()A.e1e2=2B.e1C.e5.(2024湖南長沙雅禮中學期中)已知橢圓方程為x2a2的范圍是()A.29C.336.(多選題)(2024廣東廣州天河中學月考)已知F1,F2是橢圓x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和雙曲線x2a2A.a12C.e12+e7.(2023北京清華附中朝陽校區(qū)期中)如圖所示,橢圓E的中心為坐標原點O,頂點分別是A1,A2,B1,B2,左、右焦點分別是F1,F2,延長B1F2交A2B2于點P,若∠B1PA2是鈍角,則橢圓E的離心率e的取值范圍是.

8.(2024江蘇徐州期中)已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,點P在C上,且PF2⊥x軸,過點F2作∠F1PF2的平分線的垂線,與直線PF1交于點A,若點A在圓O:x2答案與分層梯度式解析專題強化練4圓錐曲線的離心率1.B不妨設左焦點為F1,由題意可知∠MOF=∠NOF1,又因為M是FN的中點,OM⊥FN,所以∠MOF=∠MON,所以3∠MOF=π,所以∠MOF=π3又雙曲線的漸近線方程為y=±ba所以ba=tan∠MOF=3,因為a2+b2=c2,所以e=ca=1+2.B不妨設A1(-a,0),A2(a,0),M(x0,y0),則x02a則A1P=|x0+a|,A2P=|x0-a|,MP=|y0|,所以MP易知x02<a2,所以y02a代入橢圓方程可得a2-3y02則離心率e=ca故選B.3.A由已知得F1(0,c),F2(0,-c),漸近線方程為y=±abx.過點F2作F2E⊥則EF2=bca由雙曲線的定義可得MF1-MF2=2a,故MF1=MF2+2a,所以MD+MF1=MD+MF2+2a≥EF2+2a=b+2a,即MD+MF1的最小值為2a+b,當且僅當F2,M,D三點共線時取等號,因為MD>F1F2-MF1恒成立,所以MD+MF1>F1F2恒成立,即2a+b>2c恒成立,所以b>2c-2a,即b2>4c2+4a2-8ac,即c2-a2>4c2+4a2-8ac,所以3c2+5a2-8ac<0,即3e2-8e+5<0,解得1<e<53.故選A4.D因為∠POF2=∠PF1F2+∠F1PO,∠POF2=2∠PF1F2,所以∠PF1F2=∠F1PO,所以OF1=OP=OF2=c,所以PF1⊥PF2,記橢圓的長半軸長為a1,雙曲線的實半軸長為a2,PF1=m,PF2=n,則由橢圓和雙曲線的定義可得m+n=2a1①,m-n=2a2②,①2+②2可得2(m2+n2)=4(a1由勾股定理知m2+n2=4c2,代入上式可得2c2=a1整理得a12c2+故選D.5.C不妨設矩形為ABCD,對角線AC所在直線的方程為y=kx(k>0),聯立x2a2+y所以矩形ABCD的面積S=4|xy|=4a2b所以72b2≤2ab≤92b2,則74b≤a≤94b,即4916b2≤a2所以4916(a2-c2)≤a2≤8116(a2-c即a故e∈337故選C.6.AC不妨設P在第一象限.對于A,由橢圓和雙曲線的定義得P由余弦定理得PF12+PF22-2·PF1·所以(a1+a2)2+(a1-a2)2-2×(a1+a2)×(a1-a2)×12=4c2,化簡可得a12+3a2對于B,因為a又因為a12+3a22=4c2,所以b12+c對于D,因為a12+3a22=4c對于C,由D可知14e12+34e22=1,所以e12+e7.答案5解析結合題圖易知∠B1PA2是向量B2則B2A2=(a,?b),F2B1=(-c,-b),∵∠B1PA2為鈍角,∴-ac+b2<0,又b2=a2-c2,∴a2-ac-c2<0,∴e2+e-1>0,解得e<-1-528.答案3解析由題意知F2(c,0),將x=c代入x2得c2a2?y2b由PF2⊥x軸可知P在雙曲線右支上,則PF1-PF2=2a,故PF1=2a+b2設PQ為∠F1PF2的平分線,由題意知F2A⊥PQ,則PA=PF2,即PA=b2a,而PF1=PA+AF1=2a+故AF1=2a,由點A在圓O:x2+y2=a2上,得OA=a.又OF1=c,所以cos∠PF1F2=F1在△AOF1中,OA2=OF12+AF12-2OF1·AF1cos即a2=c2+4a2-2c·2a·2c2a+b2a即得3a4-4a2c2+c4=0,即e4-4e2+3=0,解得e2=3或e2=1(舍),故e=3(負值舍去),即C的離心率為3.解題技法求橢圓或雙曲線的離心率的方法(1)定義法:由已知條件列出關于a、c的式子或找出a,b,c之間的關系,求得a、c的值,再代入e=ca求解(2)齊次式法:由