蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第4章數(shù)列4-1數(shù)列練習(xí)含答案

第4章數(shù)列4.1數(shù)列基礎(chǔ)過關(guān)練題組一對數(shù)列概念的理解1.下列說法中正確的是()A.一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列就是遞減數(shù)列B.數(shù)列1,0,-1,-2與-2,-1,0,1是相同的數(shù)列C.數(shù)列n+1n的第k項(xiàng)為1+1k,k,nD.數(shù)列0,2,4,6,…可記為{2n},n∈N*2.(2024甘肅白銀月考)下面四個(gè)數(shù)列中,既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是()A.1,12B.sinπ7C.-1,-12D.1,2,3題組二數(shù)列的通項(xiàng)公式3.(2024河北承德月考)已知數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-1)n·2n+a,且a3=-5,則實(shí)數(shù)a等于()A.1B.3C.-1D.-34.(2024河北邢臺(tái)質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的前4項(xiàng)分別為-1+12A.an=(-1)nn+(-1)n2nB.an=(-1)nn-(-1)n2C.an=(-1)nn-(-1)n-12nD.an=(-1)nn+(-1)n-125.(2023河南周口鄲城期末)觀察下圖,并閱讀圖形下面的文字,像這樣10條直線相交,交點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多為()2條直線相交,最多有1個(gè)交點(diǎn)3條直線相交,最多有3個(gè)交點(diǎn)4條直線相交,最多有6個(gè)交點(diǎn)A.40B.45C.50D.556.根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.(1)12(2)0.3,0.33,0.333,0.3333,…;(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…;(4)-11+17.(教材習(xí)題改編)已知數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=n2-7n+6.(1)這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少?(2)150是不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)?若是,求出它是第幾項(xiàng);若不是,請說明理由;(3)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開始各項(xiàng)都是正數(shù)?題組三數(shù)列的遞推公式8.(2024江蘇鹽城八校期中)如圖所示,九連環(huán)是我國傳統(tǒng)民間智力玩具,以金屬絲制成9個(gè)圓環(huán),解開九連環(huán)共需要256步,解下或套上一個(gè)環(huán)算一步,且九連環(huán)的解下和套上是一對逆過程.把玩九連環(huán)時(shí),按照一定的程序反復(fù)操作可以將九個(gè)環(huán)全部從框架上解下或者全部套上.將第n個(gè)圓環(huán)解下最少需要移動(dòng)的次數(shù)記為an(n≤9,n∈N*),已知a1=1,a2=1,按規(guī)則有an=an-1+3an-2+2(n≥3),則解下第5個(gè)圓環(huán)最少需要移動(dòng)的次數(shù)為()A.15B.21C.27D.319.(2024北京東城景山學(xué)校月考)已知斐波那契數(shù)列{an}滿足:a1=a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*),若a1+a3+a5+a7+a9+…+a59=ak,則k=()A.2022B.2023C.59D.6010.(2024江蘇無錫江陰普通高中抽測)已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an,0≤an<1A.111.(2023江蘇南通海安期中)已知數(shù)列{an}滿足an+1=(-1)nan,且a1=1,則a18+a19=()A.-2B.0C.1D.212.(2024江蘇蘇州吳江中學(xué)月考)在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=3,anan+2=1,則a2023+a2024=.

13.(2024福建泉州普通高中測試)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an-an+1=anan+1n(n+1)(n題組四數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系14.(多選題)(2023山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)二診)若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則{an}的通項(xiàng)公式可能為()A.an=n2-3n+1B.an=-1C.an=n+215.(2024湖北仙桃田家炳實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)期中)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n×23n,則{aA.2B.3C.2或3D.416.(2024四川聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,且an=(2aA.117.(2023上海曹楊二中期中)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=6n-313n-17能力提升練題組一數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用1.大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論,主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程中曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和,是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.已知該數(shù)列的前10項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,則此數(shù)列的第20項(xiàng)與第21項(xiàng)的和為()A.380B.410C.420D.4622.(2024山西懷仁第一中學(xué)期中)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n+1,{bn}的通項(xiàng)公式為bn=n2,若將數(shù)列{an},{bn}中相同的項(xiàng)按從小到大的順序排列后構(gòu)成數(shù)列{cn},則484是數(shù)列{cn}中的第()A.12項(xiàng)B.13項(xiàng)C.14項(xiàng)D.15項(xiàng)3.(多選題)(2023江蘇宿遷泗洪洪翔中學(xué)檢測)若數(shù)列{an}滿足:?i,j∈N*,若i<j,則ai<aj,稱數(shù)列{an}為“鯉魚躍龍門數(shù)列”.則符合“鯉魚躍龍門數(shù)列”的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可以為()A.an=n2-4n+1B.an=nC.an=sinnπD.an=lnn4.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史,圖(1)(2)(3)(4)為最簡單的四個(gè)圖案,這些圖案都由小正方形構(gòu)成,小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同),設(shè)第n個(gè)圖案包含f(n)個(gè)小正方形,則f(6)=.

題組二數(shù)列的遞推公式及其應(yīng)用5.(2023江蘇常熟王淦昌中學(xué)月考)已知數(shù)列{an}滿足an+1an=A.an=2C.an=16.(2023湖北荊門期中)數(shù)列{an}的構(gòu)成法則如下:a1=1,若an-2為自然數(shù)且之前未出現(xiàn)過,則用遞推公式an+1=an-2,否則用遞推公式an+1=3an,則a6=()A.7B.3C.15D.817.已知數(shù)列{an}滿足a1=12,an+1A.5C.18.(多選題)(2024湖北荊州沙市中學(xué)月考)如果一個(gè)人爬樓梯的方式只有兩種,一次上一級臺(tái)階或一次上兩級臺(tái)階,設(shè)爬上n級臺(tái)階的方法數(shù)為an,則下列結(jié)論正確的有()A.a6=13B.an+2=an+an+1C.a1+a2+…+a7=51D.a12+a22+…+9.(多選題)(2024山東濰坊期中)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1=1,an=naA.a2=5-12B.{aC.an+1-an>1題組三數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系及其應(yīng)用10.已知數(shù)列{an}對任意的n∈N*都有an+1<an+an+22,且aA.數(shù)列{an+1-an}為遞減數(shù)列,且a5>1B.數(shù)列{an+1-an}為遞增數(shù)列,且a5>1C.數(shù)列{an+1-an}為遞減數(shù)列,且a5<1D.數(shù)列{an+1-an}為遞增數(shù)列,且a5<111.(多選題)(2024重慶名校聯(lián)盟期中)設(shè)函數(shù)f(x)=x-1,x≤0,x2-2xA.當(dāng)a1=32時(shí),1<anB.若{an}為常數(shù)列,則a1=1或a1=2C.若{an}為遞減數(shù)列,則1<a1<2D.當(dāng)a1=3時(shí),1a1+12.已知數(shù)列{an}滿足?m,n∈N*,am+n=aman,且a1=23(1)求a4的值;(2)數(shù)列{n2·an}中的最大項(xiàng)為第幾項(xiàng)?13.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n2+kn+4.(1)若k=-5,則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)?n為何值時(shí),an有最小值?并求出這個(gè)最小值;(2)若對任意的n∈N*,都有an+1>an,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

答案與分層梯度式解析第4章數(shù)列4.1數(shù)列基礎(chǔ)過關(guān)練1.C對于A,數(shù)列還可以為常數(shù)列或擺動(dòng)數(shù)列,A錯(cuò)誤;對于B,兩個(gè)數(shù)列的單調(diào)性不同,故不是相同數(shù)列,B錯(cuò)誤;對于C,設(shè)an=n+1n,則當(dāng)n=k時(shí),ak=k+1k=1+1k,k,n對于D,數(shù)列中的第一項(xiàng)不能用2n,n∈N*表示,D錯(cuò)誤.故選C.2.C觀察可知A中數(shù)列是遞減數(shù)列,B中數(shù)列是擺動(dòng)數(shù)列,D中數(shù)列是有窮數(shù)列,均不符合題意.故選C.3.B把n=3代入數(shù)列的通項(xiàng)公式,得-23+a=-5,解得a=3.故選B.4.D觀察可知數(shù)列前4項(xiàng)的整數(shù)部分分別為-1,2,-3,4,可寫成(-1)n·n,分?jǐn)?shù)部分分別為122,?342,562,?7825.B由題圖得,交點(diǎn)個(gè)數(shù)的最大值構(gòu)成數(shù)列1,3,6,…,即1×22,2×32,3×42,…,則猜想該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=n(n+1)6.解析(1)易知該數(shù)列中每一項(xiàng)的分子比分母少1,且分母可依次寫成21,22,23,24,25,…,故所求數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=2n-12n,n(2)因?yàn)閿?shù)列0.9,0.99,0.999,0.9999,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為bn=1-110n,而數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的每一項(xiàng)都是上面數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)的13,所以所求數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=131-(3)原數(shù)列可變形為1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…,所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=n+1+(-1)n2,n∈(4)該數(shù)列中各項(xiàng)的分子都是1,分母是n2+1,第n項(xiàng)的符號可以用(-1)n來表示,所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-1)n·1n2+1,n∈7.解析(1)a4=42-7×4+6=-6.(2)令an=n2-7n+6=150,即(n-16)(n+9)=0,解得n=16或n=-9(舍去),故150是數(shù)列{an}的第16項(xiàng).(3)令an=n2-7n+6>0,即(n-1)(n-6)>0,解得n<1或n>6,因?yàn)閚∈N*,所以從第7項(xiàng)開始都為正數(shù).8.D由題意可知a3=a2+3a1+2=6,a4=a3+3a2+2=11,a5=a4+3a3+2=31.故選D.9.D由題意得a1+a3+a5+a7+a9+…+a59=a2+a3+a5+a7+a9+…+a59=…=a58+a59=a60=ak,故k=60.故選D.10.B由題意得a2=2a1-1=15,a3=2a2=25,a4=2a3=411.A因?yàn)閍n+1an=(-1)n,所以a2所以a18=-1,所以a19=(-1)18a18=-1,所以a18+a19=-2,故選A.方法技巧若anan-1=f(n)(n≥2,n∈N12.答案4解析因?yàn)閍1=1,a2=3,anan+2=1,所以a1a3=1,a2a4=1,a3a5=1,a4a6=1,……,則a3=1,a4=13,a5=1,a6=3,……,由此可得數(shù)列{an}為1,3,1,1則a2023=a4×505+3=a3=1,a2024=a4×506=a4=13所以a2023+a2024=43規(guī)律總結(jié)已知數(shù)列{an}的遞推公式求an時(shí),若n的值較大,則數(shù)列通常具有周期性,此時(shí)先求出數(shù)列的周期再求an較簡便.13.答案n解析由an-an+1=anan+1n(n所以當(dāng)n≥2,n∈N*時(shí),1a2?累加可得1an?1a當(dāng)n=1時(shí),a1=1符合上式,所以an=n2方法總結(jié)若數(shù)列的遞推關(guān)系是形如an+1-an=f(n)的形式,則可以用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式.14.BD選項(xiàng)A,an+1-an=(n+1)2-3(n+1)+1-n2+3n-1=2n-2,所以a2-a1=0,故{an}不是遞增數(shù)列;選項(xiàng)B,an+1-an=-12n+1選項(xiàng)C,an+1-an=n+1+2n+1?n?2n=(選項(xiàng)D,an+1-an=lnn+1n+2故選BD.15.Ca1=1×23=2當(dāng)n≥4時(shí),an+1-an=(n+1)·23n+1-n·23n所以數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為2或3.故選C.16.D因?yàn)閿?shù)列{an}是遞增數(shù)列,所以2a則a的取值范圍是12,2.故選易錯(cuò)警示分段數(shù)列的單調(diào)性與相應(yīng)分段函數(shù)的單調(diào)性有所不同,如本題中數(shù)列{an}遞增需滿足a5<a6,而函數(shù)f(x)遞增則需滿足(2a-1)×5+4≤(4-a)5-4+15,二者有較大的區(qū)別.17.答案6解析an=6n-313令3n-17>0,得n>173,又n∈N*,故nmin能力提升練1.C設(shè)該數(shù)列為{an},由已知可得該數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為a2n=2n2,奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為a2n-1=2n(n-1),∴a20=a2×10=2×102=200,a21=a2×11-1=2×11×10=220,∴a20+a21=200+220=420,故選C.2.C令an=bm,即3n+1=m2,m,n∈N*.易知a1=4,b2=4符合題意.若m=3k,則bm=9k2?{an};若m=3k+1,則bm=(3k+1)2=9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1∈{an};若m=3k+2,則bm=(3k+2)2=9k2+12k+4=3(3k2+4k+1)+1∈{an}.故當(dāng)m=3k+1和m=3k+2,k∈N*時(shí),項(xiàng)bm才能在{an}中出現(xiàn),即為公共項(xiàng).所以公共項(xiàng)為b2,b4,b5,b7,b8,b10,b11,b13,b14,b16,b17,b19,b20,b22,…,令m2=484,得m=22,即b22=484,為數(shù)列{bn}的第22項(xiàng),{cn}的第14項(xiàng).故選C.3.BD對于A,不妨取i=1,j=3,則a1=-2=a3,不滿足ai<aj,故A不符合;對于B,an=n+1n+2=1?1n+2,?i,j∈N*,若i<j,則1i+2>對于C,不妨取i=2,j=4,則a2=0=a4,不滿足ai<aj,故C不符合;對于D,an=lnnn+1=ln1-1n+1,?i,j∈N*,若i<j,則1i+1>1j+1,則1-14.答案61信息提?、偎膫€(gè)對稱圖形;②f(1)=1,f(2)=1+3+1,f(3)=1+3+5+3+1,f(4)=1+3+5+7+5+3+1,從而歸納出f(n).解析由題圖得,f(1)=1,f(2)=1+3+1=2×1+3=2×(2-1)2+3,f(3)=1+3+5+3+1=2×(1+3)+5=2×(3-1)2+5,f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×(1+3+5)+7=2×(4-1)2+7,故f(n)=2(n-1)2+2n-1=2n(n-1)+1.所以f(6)=2×6×5+1=61.5.A因?yàn)閍n+1an=所以anan-1×an-1an-2×…×a故選A.6.C由a1=1,a1-2=-1?N,得a2=3a1=3.又a2-2=1=a1,所以a3=3a2=9.又a3-2=7∈N,所以a4=a3-2=7.又a4-2=5∈N,所以a5=a4-2=5.又a5-2=3=a2,所以a6=3a5=15.故選C.7.B因?yàn)閍n+1=an+1n所以an+1-an=1n則當(dāng)n≥2,n∈N*時(shí),a2-a1=1-12,a3?a2=12?13,……,an-an-1因?yàn)閍1=12,所以an=1-1當(dāng)n=1時(shí),a1=32所以an=32?1n,n8.ABD由題意得爬到第(n+2)級臺(tái)階有兩種方法:從第(n+1)級上一級臺(tái)階或從第n級上兩級臺(tái)階,則an+2=an+an+1,故B正確;易知a1=1,a2=1+1=2,所以a3=2+1=3,a4=3+2=5,a5=5+3=8,a6=8+5=13,故A正確;a7=13+8=21,所以a1+a2+…+a7=1+2+3+5+8+13+21=53≠51,故C錯(cuò)誤;由B選項(xiàng)分析可知a12=1,a22=a2(a3?a1),a32=a則a12+a22+…+an2=1+a2(a3-a1)+a3(a4-a2)+…+an-1(an-an-2)+an(an+1-an-1)=1+a2a3-a1a2+a3a4-a2a3+…+an-1an-an-1an-2+anan+1-anan-1=anan+1-a1a2+1=anan+1-1,當(dāng)n=1時(shí),a12=a1a2-1,滿足上式,故a故選ABD.9.BCD由題意得a1=a22a2+1=1,即a22因?yàn)閧an}為正項(xiàng)數(shù)列,所以a2=1+5因?yàn)閍n+1-an=an+1-nan+12na易知an+1>1,所以an+1-an=an+1nan+1+1>an因?yàn)閍n+1-an=an+1nan+1+1所以a2-a1<1,a3-a2<12,a4?a3<1因此an+1-a1<1+12+13+…+1n,即an+1<1+∑k=110.D∵數(shù)列{an}對任意的n∈N*都有an+1<an∴an+2-an+1>an+1-an,因此(an+2-an+1)-(an+1-an)>0,∴{an+1-an}為遞增數(shù)列.∴a6-a5>a5-a4,即a4+a6>2a5,a7-a6>a4-a3,即a3+a7>a4+a6,同理可得,2a5<a4+a6<a3+a7<a2+a8<a1+a9.∴a1+a2+a3+…+a9=(a1+a9)+(a2+a8)+(a3+a7)+(a4+a6)+a5>9a5,即9a5<9,∴a5<1,故選D.解題模板數(shù)列的單調(diào)性問題可以類比函數(shù)的單調(diào)性問題求解,解題時(shí)一般先分析數(shù)列自身的特點(diǎn),再考慮作差,如an+1-an,判斷其符號,符號為正,則數(shù)列遞增;符號為負(fù),則數(shù)列遞減.11.ABD對于A,當(dāng)a1=32時(shí),a1∈(1,2),∴a2=f(a1)=a12