2020-2021學(xué)年浙江省紹興市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2020.2021學(xué)年浙江省紹興市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.）

1.已知集合加={兄-2<%<5},N={R-3WxW3},則A/nN=()

A.{x|-2W}B.{R-34W-2}C.{x\-3<x^5}D.{x|3Vx<5}

2+i

2.復(fù)數(shù)z=（其中i為虛數(shù)單位）的實(shí)部是（

i

A.-2B.-1C.1D.2

2°

3.雙曲線工__y2=l的漸近線方程是（)

2丫

B-尸土冬

A.y=±-^-xC.y=±2xD.產(chǎn)土揚(yáng)

x-y+1^0

若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件|x+y-l《O,

4.則z=2x-y的取值范圍是（)

y)0

A.[-2,0]B.[0,2]C.[-2,2]D.[2,+8)

5.已知向量￡（3,-D，b=（i,o），則；在E方向上的投影是（）

A.1B.0C.1D.3

6.“a=30°”是“sina=L”的（）

2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.函數(shù)y=|x|?sinx+x?|cosx|在區(qū)間［-IT,互］上的圖象可能是（）

8.已知正方體ABC。-AiBiCid,E是棱BC的中點(diǎn)，則在棱CG上存在點(diǎn)F,使得（）

A.AF//D1EB.AFl.DiE

C.AF〃平面GDiED.A凡L平面CDE

9.已知a,b&R,當(dāng)xe[T,2]時(shí)恒有（|x+a|-b）（x2+x-2）20,貝!J（）

A.aWlB.心1C.bWlD.b卻

10.已知遞增數(shù)列｛a〃｝的前100項(xiàng)和為Swo,且m>0,aioo=2,若當(dāng)1?產(chǎn)100時(shí)，勾

-3仍是數(shù)列｛斯｝中的項(xiàng)（其中小i,jeN*），貝ij（）

A.且Sioo=lOOB.且Sioo=lOl

5050

C.czi=-^-,且Sioo=lOOD.且Sioo=lOl

4949

二、填空題（本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分）

11.圓（XT）2+（y-3）』2的圓心坐標(biāo)是,半徑長(zhǎng)是.

12.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用“勾股圓方圖”巧妙地證明了勾股定理，成就了我國(guó)古代數(shù)學(xué)

的驕傲，后人稱之為“趙爽弦圖”.如圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)

小正方形拼成的一個(gè)大正方形.已知大正方形的面積為20,小正方形的面積為4,則一

個(gè)直角三角形的面積是,直角三角形中最小邊的邊長(zhǎng)是.

13.已知某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖均為等腰三角形,

則該幾何體的體積是cm\側(cè)面積是C52.

14.已知實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=l,則N+4xy的最大值是.

15.在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃，b,c.若。=J7b=2,A=60°,則

sinB=,c=.

16.已知平面向量a，b滿足la1=Ibl=apb=2,則I入a+bl+l(1--)a-bI(入ER)的

最小值是.

\-ln(x+a),

17.已知〃>-l,函數(shù)/(%)=<99.若函數(shù)y=/(x)-1有三個(gè)不同的

x-ax+a，x<1

零點(diǎn)，則〃的取值范圍是.

三、解答題(本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

18.已知函數(shù)/(x)=sina)x+cosu)x(u)>0).

(I)當(dāng)3=2時(shí)，求f(二L)的值；

0

(II)若/(X)的周期為8,求/(%)在區(qū)間［0,4］上的最大值和最小值.

19.如圖，四棱錐P-ABC。中，底面ABC。是梯形，AB//CD,BC±CD,△PAB是等邊

三角形，E是棱AB的中點(diǎn)，AB^PD=2,BC=CD=1.

(I)證明：PEL平面ABC。；

(II)求直線PA與平面PCD所成角的正弦值.

20.已知等差數(shù)列｛斯｝滿足“1=1,42+。4=。3+5,71GN*.

(I)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

99

(II)若數(shù)列｛包｝滿足加=1,bn+ian+2=bnan(neN*),求數(shù)列｛瓦｝的前〃項(xiàng)和.

21.如圖，已知直線/與拋物線M：/=4伊和橢圓M.+x2=l(a>l)者B相切，切點(diǎn)分別

a

為A,B.

(I)求拋物線M的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

(II)若A(4,4)，尸是橢圓N上異于8的一點(diǎn)，求△PAB面積的最大值.

19

22.已知awR,函數(shù)/(x)——x-ax+41n(x+l).

(I)當(dāng)〃=0時(shí)，求曲線/(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

(II)若/(%)在區(qū)間(0,+8)上存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，

(i)求〃的取值范圍；

(ii)若當(dāng)了20時(shí)恒有/(x)>/成立，求實(shí)數(shù)方的取值范圍.(參考數(shù)據(jù)：/旗心0.69,

歷35.10)

參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.）

1.已知集合A/={x|-2＜尤＜5},N={x|-3WxW3},則A/AN=（）

A.[x\-2＜x^3}B.{x|-3WxW-2}C.{x\-3＜x^5}D.{x[3＜xW5}

解：:?集合M={x|-2＜尤＜5},N={R-3WxW3},

...MCN={x|-2cxW3}.

故選：A.

2.復(fù)數(shù)z="（其中i為虛數(shù)單位）的實(shí)部是（）

1

A.-2B.-1C.1D.2

解：因?yàn)閦=2：i=（2?）.（；i）=i_2i,

iil-iJ

所以復(fù)數(shù)Z的實(shí)部為1,

故選：C.

2c

3.雙曲線2__y2=l的漸近線方程是（）

2y

A.y=±《xB.vzt"2xC.y=±2x

D.尸土后

22

2-

解：雙曲線孑-爐=1的。=赤，6=1,

22

由雙曲線號(hào)-4=i的漸近線方程為>=土與，

a2b2a

則所求漸近線方程為y=±冬?

故選：B.

'x-y+l》0

4.若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件<x+y-1<0）則z=2尤-y的取值范圍是（）

y>0

A.[-2,0]B.[0,2]C.[-2,2]D.[2,+8）

解：由約束條件作出可行域如圖,

由圖可知，A（-1,0）,8（1,0）,

作出直線y=2x,由圖可知，平移直線y=2x至A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最

小值為-2；

平移直線y=2x至8時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為2.

...z=2x-y的取值范圍是［-2,2］.

故選：C.

5.已知向量；=（3,-1），b=d,0），則之在E方向上的投影是（）

A.1B.0C.1D.3

_a*b_3_3V_10

解：a-b=3-cos<a,b>

一iZllELxiio-

...向量？在向量E方向上的投影為l』cos<Z,%>=6x*0=3.

故選：D.

6.“a=30°”是“sina=2”的（）

2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解：因?yàn)閟in30°=口,而sina=工時(shí)，可得a=30°+H360°，依Z,

2

或者a=150°+6?360°，於Z,

則“a=30°”是“sina=》的充分不必要條件,

故選：A.

7.函數(shù)y=|R?sinx+%?|cos%|在區(qū)間［-mn］上的圖象可能是（）

解：函數(shù)y=|x|?sinx+xrcosx|在區(qū)間[-n,n]上是奇函數(shù)，花(0,用時(shí)，函數(shù)值恒大于0,

排除選項(xiàng)A、B、C,

故選：D.

8.已知正方體4BC￡?-4BiCbDi,E是棱BC的中點(diǎn)，則在棱CG上存在點(diǎn)E使得()

A.AF//D1EB.AF±DiE

C.AF〃平面GAED.AFJ_平面CiDiE

解：正方體4BCD-AICbDi,E是棱BC的中點(diǎn)，在棱CG上存在點(diǎn)片

設(shè)正方體ABC。-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,

以。為原點(diǎn)，D4為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

對(duì)于A,DE與平面ACG相交，AFu平面ACG,尸與ZhE不平行，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)F為CCi中點(diǎn)時(shí)，A(2,0,0),Di(0,0,2),￡(1,2,0),F(0,2,

1),

而=(-2,2,1),D]E=(1,2,-2),

■?印=-2+4-2=0,：.AF±DiE,故8正確;

對(duì)于C,C(0,2,0),C1(0,2,2),Di(0,0,2),￡(1,2,0),

設(shè)廠(0,2,t),(0W/W2),

而=(-2,2,t),ED[=(-1,-2,2),EC[=(-1,0,2),

設(shè)平面GDiE的法向量;=(無(wú)，y,z),

npECi=-x+2z=0

則_，取Z=l,得7=(2,0,1),

,,

nED1=-x-2y+2z=0

??,0W/W2,?.?而?［=-4+/W0,?,?A/與平面CD而不平行，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，由。得標(biāo)=(-2,2,力，平面CLDLE的法向量｝=(2,0,1),

而與7不平行，.??A/與平面歸不垂直，故。錯(cuò)誤.

故選：B.

9.已知。，bwR,當(dāng)2］時(shí)恒有(|x+〃|-b)(N+x-2)20,貝lj()

A.a^lB.心1C.b^lD.心1

解：令f(x)=N+x-2,

所以x￡［-l,1］時(shí),f(x)<0,則以+〃|-6W0,即(\x+a\)max①

xE［l,2］時(shí)，f(x)>0,則|x+〃|-/?20,即(\x+a\)加加②，

若當(dāng)在［-1,2］時(shí)恒有(|x+〃|-Z?)(x2+x-2)20,

則①②必須同時(shí)滿足,

令h(%)=以+〃|,

當(dāng)。=0時(shí)，h(x)=\x\,

h(x)在［-1,1］上，最大值為1,所以821,

h(x)在［1,2］上，最小值為1,所以

所以b=l,

當(dāng)〃>0時(shí)，

h(x)在［-1,1］上，最大值為|1+。|=1+〃，所以Z?21+m

h(x)在［1,2］上，h(x)=x+a,最小值為|1+。|=1+"，所以Z?Wl+m

所以b=l+a>l,

當(dāng)〃V0時(shí)，

h(x)在［T,1］上,最大值為|-1+。|=1-〃，所以心1-a>0,

h(x)在［1,2］上，h(x)最小值為0或(1)=|1+Q|或%(2)=\2+a\,

所以bWO或8W|l+a|或6W|2+〃|,

但是1-〃>0,1-1-4>|2+Q］,

所以此時(shí)①②不能同時(shí)滿足，

綜上所述，

故選：D.

10.已知遞增數(shù)列｛斯｝的前100項(xiàng)和為S100,且。1>0,。100=2,若當(dāng)IWiVjWlOO時(shí)，勾

-勿仍是數(shù)列｛斯｝中的項(xiàng)(其中幾，。JeN*),貝U()

A.且Sioo=100B.且Sioo=lOl

5050

11

C.ai=---,且5ioo=lOOD.ai=——,且Sioo=lOl

4949

解：由題意可得：3V???<4100,

<2100-〃99<〃100-<〃100-〃1，

???當(dāng)IWiVjWlOO時(shí)，勾?仍是數(shù)列｛斯｝中的項(xiàng)，

...QlOO-499、4100-〃98、***>。100-都在｛“〃｝中，

二?QiooWaioo-41,.'QIOO-VQIOO,

?\〃1=4100-〃99,〃2=〃100-。98,***,。99=〃100-〃1，

S100=〃l+〃2+*,?+Q100

=2X100-(Sioo-2)

—202-Sioo,

/.Sioo=101,

又〃1+〃99=。2+。98=***=。49+。51=〃100=2,

??2〃50==2,??50〃i=:。50==1,??ci\~~,

50

故選：B.

二、填空題(本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分)

11.圓(％-1)2+(y-3)2=2的圓心坐標(biāo)是(1,3),半徑長(zhǎng)是一遍.

解：根據(jù)題意，圓(X-1)2+(y-3)2=2,其圓心為(1,3),

半徑廠=?;

故答案為：（1,3）,

12.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用“勾股圓方圖”巧妙地證明了勾股定理，成就了我國(guó)古代數(shù)學(xué)

的驕傲，后人稱之為“趙爽弦圖”.如圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)

小正方形拼成的一個(gè)大正方形.已知大正方形的面積為20,小正方形的面積為4,則一

個(gè)直角三角形的面積是4,直角三角形中最小邊的邊長(zhǎng)是2

解：設(shè)直角三角形的直角邊長(zhǎng)度為：，"，a（m>?>0）,

m=4

m2+n2=20

由題意可得：11據(jù)此可得：4n=2

4X（Wmn）+4=201,

■^inn=4

即：一個(gè)直角三角形的面積是4,直角三角形中最小邊的邊長(zhǎng)是2.

故答案為：4,2.

13.已知某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖均為等腰三角形,

則該幾何體的體積是—等_C〃，側(cè)面積是—代冗_(dá)c/"2.

解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為底面半徑為1,高為2的圓錐;

如圖所示：

故吟?兀.干嗎上藍(lán)；S惻十2兀?而可^=灰丹?

故答案為：/；；遙兀?

O

14.已知實(shí)數(shù)％,y滿足x+y=l,則N+4孫的最大值是—暫_.

O

解：實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=l,

貝ljN+4xy=X2+4x（1-x）=4x-3x2,

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)工="|■時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為：4X-^--3X4=4-

3393

故答案為：寺

15.在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若。=有，6=2,A=60°,則

sinB=2/H,。=3.

-7~-----

解：?.?在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.

Q=ypj,b=2,A=60°,

由正弦定理得：即近.二二-，

sinAsinBsin60sinB

解得sinB=^X~2~=返1.

~7T~7

由余弦定理得：

2

cos60°=At_S_1L,

2X2c

解得c=3或c=-1（舍），

sin8=^~^,c—3.

7

故答案為：叵，3.

7

16.已知平面向量;,E滿足|l|=|b|=a芯=2,則I入；+E|+1（1"）ZV|（入€R）的

最小值是4.

解：a*b=|aI?lbIcos（a>b）=2-2cos（a,b/>=2=^cos<fa?b）｝,

又覆，b）€[0,兀],所以G，b》^~.

不妨設(shè)Z=（2,0）,b=（l,近），

故入a+b=（2入+1,愿），（1-入）a-b=（l-2入，*V^），

所以Ia+b|+|(1-X)a-b|=V(2^+l)2+3W(l-2^)2+3

2(J(1卷)2+(0+^^+J(［得)2+g_2^_)2)，

設(shè)PC,0),A(卷,乎)，B(1,爭(zhēng)，

x-ln(x+a),

17.已知〃>-1,函數(shù)/(%)=<99.若函數(shù)y=/(x)-1有三個(gè)不同的

x/-ax+a',x<1

零點(diǎn)，則。的取值范圍是(1,2運(yùn)),

一3

解：若函數(shù)y=/(x)-1有三個(gè)不同的零點(diǎn)，

則y=/(%)與y=1有3個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)尤21時(shí)，f(x)=x-In(x+a),

f⑴=1」=也!，

x+ax+a

因?yàn)閍>-1,

所以x+a>0,

令f(x)=0,得x=l-a,

①若1-aWl,即〃20時(shí)，

在(1,+8)上，f(%)>0,f(x)單調(diào)遞增,

所以/(x)mm—\-In(1+(2),

因?yàn)榇藭r(shí)〃20,貝也十〃21,

所以In（1+〃）20,

所以/（x）min=l-In（1+47）Wl,

此時(shí)在［1,+8）上，f（x）與y=l有1個(gè)交點(diǎn)，

②若1-a>\,即a<Q時(shí)，

在（1,1-4）上，f（X）<0,f（X）單調(diào)遞減，

在（1-Q,+8）上，f（x）>0,/（X）單調(diào)遞增，

所以/（x）min=f（1-。）=1-a-In（1-。+〃）=1-4,

止匕時(shí)〃V0,貝u1-a>0,

所以在［1,+8）上，f（x）與y=l沒(méi)有交點(diǎn)，

若y=f（%）與y=1有3個(gè)交點(diǎn)，

則當(dāng)xNl,/G）必然與y=l有一個(gè)交點(diǎn)，即

所以當(dāng)xVl,/（x）只能與y=l有兩個(gè)交點(diǎn)，

22

又當(dāng)xVl時(shí)，f(x)=x-ax+af對(duì)稱軸x=包,

2

2

q（i）>iri-a+a>i

iP222，

所以卜俵）<［|（t）-a（f）+a<l

解得多巨，

3_

所以。的取值范圍為（1,2返）.

3

故答案為：（1,當(dāng)巨）.

3

三、解答題（本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

18.已知函數(shù)/（x）=sin（i）x+cosa）x（a）>0）.

（I）當(dāng)3=2時(shí)，求f（工）的值；

6

（II）若/CO的周期為8,求/（x）在區(qū)間［0,4］上的最大值和最小值.

解：（I）由題意可得，f（x）=sin2x+cos2x,

得“兀、?冗」冗上迎

待f（-rAsirry+c0sl

兀

(II)因?yàn)閒(x)=sin3x+cos3xj/^sin(3%+~鼠),

所以，周期T考二=&解得3/二，

34

TTTT

所以f(x)=Fsinlq-x’-).

因?yàn)?WxW4,

所萌I以、J兀丁《/兀才乂兀守5(5丁兀?

于是，當(dāng)今x+^q，即x=l時(shí)，/(X)取得最大值衣;

當(dāng)一j_~，即x—4時(shí)，f(x)取得最小值-1.

所以，f(x)在區(qū)間［0,4］上的最大值是加，最小值是-1.

19.如圖，四棱錐P-ABC。中，底面A3CD是梯形，AB//CD,BCLCD,△PA8是等邊

三角形，E是棱的中點(diǎn)，AB=PD=2,BC=CD=1.

(I)證明：PE_L平面A8CQ；

(II)求直線PA與平面PCD所成角的正弦值.

【解答】(I)證明：因?yàn)锽E〃C￡),BE=CD=\,所以四邊形BCOE是平行四邊形,

所以DE=BC=\.

在等邊△PA8中，E是48中點(diǎn)，AB=2,所以PEf/i

在△2/)￡|中，PD=2,所以?！?+P￡2=PZA,所以PE_LOE.

又因?yàn)镻E_LA8,ABCiDE=E,所以PE_L平面ABCD

(II)解法1：在△2￡>￡中，作EB_LP。，垂足為足

p

H

JE

D

因?yàn)锳E〃CD,所以AE〃平面PC。,

所以點(diǎn)A,E到平面PC。的距離相等.

因?yàn)镻E_L平面ABCD,所以CDLPE,

又因?yàn)锽C_LC。，BC//DE,所以CD_LOE,

所以CZ)_L平面PDE,CZ)u平面PCD,

所以平面PCD_L平面PDE,

所以￡尸，平面PCD,

所以點(diǎn)A到平面PCD的距離即為EF率.

返

設(shè)直線PA與平面PC。所成角為4貝U.a2M，

qin=-------=-----

PA4

所以直線PA與平面PCD所成角的正弦值為返.

4

解法2：因?yàn)镻E，平面ABCD,所以三棱錐P-ACD的體積為

設(shè)點(diǎn)A到平面PCD的距離為d,又DC±DP,所以三棱錐A-PCD的體積為

VA-PCD亭APCDd4"2"DP-DCd=3-d,

E&VP-ACD=VA-PCD,得^^=^-力所以

設(shè)直線PA與平面PC。所成的角為3貝iJsine=&N^，

PA4

所以直線PA與平面PCD所成角的正弦值為返.

4

解法3：因?yàn)槠矫鍭BC。，DELAB,所以，以片為原點(diǎn)，分別以射線即，EB,EP

為x,y,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-孫z,則A(0,-1,0),

C(1,1,0),D(1,0,0),p(o,0,?),

p

AP=(O,1,Vs);DC=(O,1,0)，DP=(-1,0,如).

設(shè)平面PCQ的一個(gè)法向量為W=(x,y,z).取z=l,得W=(百，o,1).

設(shè)直線PA與平面PCD所成角為0,

貝加8=|cos(^,■卜一四禮平.

|AP||n|4

所以直線PA與平面PCD所成角的正弦值為返.

4

20.已知等差數(shù)列｛如｝滿足〃1=1,〃2+。4=的+5,?GN*.

(I)求數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；

(II)若數(shù)列｛瓦｝滿足歷=1,bn+i*an+2=bn*an(neN*),求數(shù)列｛瓦｝的前〃項(xiàng)和.

解：(I)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為"，

則〃2=l+d,〃3=l+2d,〃4=l+3d.

因?yàn)椤?+以=s+5,

所以2+4d=l+2d+5,

解得d=2.

所以數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為斯=。1+(n-1)d=2n-1.

,bn11an

(II)因?yàn)閎n+l-an+2=bn-〃〃，所以-----=-----.

bnan+2

,b9bqb?aia2軟門-1

所以，當(dāng)〃22時(shí)，b=biX---X----X…X-----=---X----X…X-----,

n1blb2brrla3a4an+l

a1°a9Q、

bn==(n>2)

即anan+1(2n-l)(2n+l)-

又bi=l適合上式，

所以與=(2葉1)(2n+l)'

因?yàn)閎n=(2n-l)(2n+l)節(jié)(2n-l」2n+l)'

數(shù)列｛瓦｝的前n項(xiàng)和為

Sn=b戶2i+W+弓-凱…+(打由］口

21.如圖，已知直線/與拋物線M：N=4y和橢圓N：g+x2=l(a>l)都相切，切點(diǎn)分別

為A,B.

(I)求拋物線M的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

(II)若A(4,4),尸是橢圓N上異于B的一點(diǎn)，求面積的最大值.

解：(I)拋物線N=4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),

準(zhǔn)線方程為y=-1.

2

(II)由y號(hào)得/v

因?yàn)橹本€/與拋物線的切點(diǎn)為A(4,4),

所以直線/的斜率為2,

所以直線/的方程為y=2x-4,

聯(lián)立方程組消去y整理得(4+42)尤2-16/16-〃=0,

因?yàn)橹本€/和橢圓相切，

所以△=162-4(4+〃2)(16-a2)=0,解得〃2=12.

于是，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x==y,

B2(4+a2)2

2

所以，|AB|=V1+2|4-XB

因此，要使得△PAB面積取得最大值，只需橢