線性代數(shù)習(xí)題及復(fù)習(xí)資料復(fù)旦版

線性代數(shù)習(xí)題及答案

習(xí)題一

1.求下列各排列的逆序數(shù).

(1)341782659；(2)987654321；

(3)n(n1)…321；(4)13…

(2〃1)(2〃)(2〃2)-2.

【解】

(1)r(341782659)=11;

(2)r(987654321)=36;

(3)T(77(721)…3,2*1)=0+1+2+???+(〃1)=；

2

(4)T(13…(2/71)(2/2)(2/72)…2)=0+1+…

+(7?1)+(/?1)+(z?2)+…+1+0=〃(〃1).

2.略.見教材習(xí)題參考答案.

3.略.見教材習(xí)題參考答案.

5x123

4.本行列式2=：:1:的綻開式中包含V和一的項(xiàng).

12x3

x122x

解：設(shè)D&=E(T產(chǎn)熊&M,2aM4,其中強(qiáng)，，3，乙分別為不同

列中對(duì)應(yīng)元素的行下標(biāo)，則2綻開式中含Y項(xiàng)有

2綻開式中含一項(xiàng)有

5.用定義計(jì)算下列各行列式.

02001230

()00100020

7(2)

30003045

00040001

【解】⑴氏(1)"23⑷4!=24;(2)P=12.

6.計(jì)算下列各行列式.

214-1

ab—ac-ae\

⑴3T2-1

⑵-bdcd-de

123-2

-bf-cf-ef

506-2

001234

-102341

(4)

c-13412

1d4123

506-2

【解】(1)；［=0；

123-2

506-2

1-1-1

(2)D=abcdef-11-1=-4abcdef

-1-1-1

7.證明下列各式.

a2abb~

(1)2aa+b2b=(a-b)2;

111

a2(a+1產(chǎn)(a+2)2(a+3)2

b23+1)23+2)2("3)2

(2)=0;

c2(c+1)2(C+2)2(C+3>

d2(J+l)2(d+2)2(d+3)2

1a2a31aa2

⑶1b2力=(ab+be+cd)1bb2

1c2c*1c2

a00b

ab0

-{ad-bey;

cd0

1+q1

（5）；"4

=普令

an

lz=iiyi=\

11

【證明】(1)

2a+l4a+46a+9a22a+126

七通/h22h+\48+46b+9h22h+]26=o=右端.

⑵左橘=,

C3fCq-3c2c2

q-q2c+l4c+46c+92c+l26

d22J+14d+46d+9d22J+126

(3)首先考慮4階范德蒙行列式:

從上面的4階范德蒙行列式知，多項(xiàng)式f(x)的x的系數(shù)為

但對(duì)(*)式右端行列式按第一行綻開知x的系數(shù)為兩者應(yīng)相等,

故

(4)對(duì)幾按第一行綻開，得

據(jù)此遞推下去，可得

(5)對(duì)行列式的階數(shù)〃用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)上2時(shí)，可直接驗(yàn)算結(jié)論成立，假定對(duì)這樣的〃1階行

列式結(jié)論成立，進(jìn)而證明階數(shù)為〃時(shí)結(jié)論也成立.

按〃，的最終一列，把〃，拆成兩個(gè)n階行列式相加：

但由歸納假設(shè)

從而有

8.計(jì)算下列〃階行列式.

122…2

X11

222…2

1X1

⑴2=⑵2232

11V

222???n

Xy0…00

0Xy...00

⑶D.=。，，=同其中

000…Xy

y00…0X

%="/(，，j=L2,…;

210???00

121???00

⑸2=012???00

000???21

000???12

【解】(1)各行都加到第一行,再從第一行提出X+51),得

將第一行乘(1)后分別加到其余各行，得

12222

10000

⑵0100按第二行綻開

0020

1000???n-2

2222

0100

-0020=-2(n-2)!.

000n-2

(3)行列式按第一列綻開后，得

(4)由題意，知

21000200-??00010-??00

1210012100121???00

01200012???0001200

⑸D”==+

??.??

00021000???21000???21

000120001200012

即有D,.~-D"一2=?,?=D?-D、=1

由（，「%）+（%-。"-2）+…+（。2-A）=〃-1得

9.計(jì)算〃階行列式.

【解】各列都加到第一列，再從第一列提出1+之4,得

i=l

將第一行乘（1）后加到其余各行，得

10.計(jì)算〃階行列式（其中a#0,i=l,2,.

【解】行列式的各列提取因子4七曰,2,???,〃），然后應(yīng)用范德蒙行

列式.

11.已知4階行列式

試求4+4及A43+A44,其中演為行列式￡的第4行第J個(gè)元素

的代數(shù)余子式.

【解】

同理At3+444=T5+6=-9.

12.用克萊姆法則解方程組.

%+%2+%3=5,

⑴2x,+x2-x3+x4=l,⑵

x]+2X2-毛+x4=2,

x2+2七+3X4=3.

5X]+6X2=1,

玉+5X2+6X3=0,

{x2+5X3+6X4=0,

x3+5尤4+6X5=0,

x4+5X5=1.

【解】方程組的系數(shù)行列式為

故原方程組有惟一解，為

13.幾和〃為何值時(shí)，齊次方程組

有非零解

【解】要使該齊次方程組有非零解只需其系數(shù)行列式

即

故〃=0或%=1時(shí)，方程組有非零解.

14.問：齊次線性方程組

有非零解時(shí)，H,6必需滿意什么條件？

【解】該齊次線性方程組有非零解，a,6需滿意

即31）2=46.

15.求二次多項(xiàng)式/（X）=%+4/+4工2，使得

【解】依據(jù)題意，得

這是關(guān)于四個(gè)未知數(shù).嗎嗎,％的一個(gè)線性方程組，由于

故得%=7,q=0,出=-5,%=2

于是所求的多項(xiàng)式為

16.求出訪一平面上三個(gè)點(diǎn)（芯,乂）,（々,必），（七，為）位于同始終線上的

充分必要條件.

【解】設(shè)平面上的直線方程為

ax+by+c=G(a,8不同時(shí)為0)

按題設(shè)有

則以a,b,c為未知數(shù)的三元齊次線性方程組有非零解的充分必

要條件為

上式即為三點(diǎn)（公兇）,（林力）,（%丹）位于同始終線上的充分必要條

件.

習(xí)題二

1.計(jì)算下列矩陣的乘積.

1

50oir1'

⑴=；[32一10];

(2)031-2;

023_

3

1210][1031

0101012-1

002100-23

3_||_000

000-3

【解】

32-10

'5'

-3-210

⑴；(2)-3(3)(10);

64-20

-1

96-30j1

33

q/：++(a+)%%3+

a22x[+a33x^+(al2+a2l)x,x2l3(a23+a32)x2x3=￡agXj

i=\j=l

-1252

aa

\\\2。12+%3

012-4

〃22+“23

⑸a2\。22(6)

00-43

.為。32“32+33

。000-9

-11r-121

2.設(shè)4=-111,B=13-1

1-11_214

求⑴AB-2A；⑵AB-BA;(3)(A+B)(A-B)=A2-B2

242440

【解】(1)AB-2A=400(2)AB-BA^5-3-1

024-31-1

(3)由于四^胡，故(2+為(4由次#E.

3.舉例說明下列命題是錯(cuò)誤的.

⑴若4?=。，則4=0;(2)右A2=A?則4=0或

A=￡;

(3)^AX=AY,AwO,貝ljx=y.

【解】

'oor

(1)以三階矩陣為例，取A=oo0,A2=0,但4W0

000

1-10

⑵令4=000則才=4但Z#0且AWE

001

1

⑶令4=0

-1

則41匕4匕但腎匕

12

4.設(shè)4=-，求才，4,.

01

■A77Yo124a13A.

【解】A2=,A3=，…，屋

0101

210

5.A=021,求心屋并證明:

002

儲(chǔ)221A33A232

【解】A2=0A224A3=0233萬

00A200A3

今歸納假設(shè)

那么

所以，對(duì)于一切自然數(shù)人都有

6.已知4P=PB,其中

求A及屋.

【解】因?yàn)閨尸|=1#0,故由/產(chǎn)冏得

而

ahcd

b-acl-c

7.設(shè)4=求I

da-b

-d-cha

解：由已知條件，4的伴隨矩陣為

又因?yàn)锳*4=|A|E,所以有

-(a2+^2+c2+iZ2)A2=\A\E,且同＜0,

即\-(a2+b2+c2+d2)A2\=(a2+b2+c2+^2)4|A||A|=|A|4|E|

于是有

|A|=-yj(a2+b2+c2+J2)4=-(a2+h2+c2+d2)2.

8.已知線性變換

利用矩陣乘法求從Z],Z2,Z3到再,Z，七的線性變換.

【解】已知

從而由4*2*3到西,%2，%3的線性變換為

9.設(shè)A,B為”階方陣，且A為對(duì)稱陣，證明：3ZB也是對(duì)稱

陣.

【證明】因?yàn)椤A方陣2為對(duì)稱陣，即H=4

所以(夕AB)'二夕A'B^B'AB,

故"A3也為對(duì)稱陣.

10.設(shè)48為〃階對(duì)稱方陣，證明：形為對(duì)稱陣的充分必要

條件是AB-BA.

【證明】已知4=49;B,若四是對(duì)稱陣，即(M'=AR

貝ijAB=(AB)'二夕A'=胡，

反之，因冊(cè)胡，則

(M'=B'A'=BA^AB,

所以，血為對(duì)稱陣.

11.4為〃階對(duì)稱矩陣，3為〃階反對(duì)稱矩陣，證明：

(1)#是對(duì)稱矩陣.

(2)AB胡是對(duì)稱矩陣，四<■的是反對(duì)稱矩陣.

【證明】

因H=49=人故

(石)'=B'?9=小(而二歷

(ABBA)'=(M'(BA)'=B'A'A'B'

=BAA>{B)=ABBA-,

(AB+BA)'=(M'+(胡":B'A'+A1B'

=物+/?(面=(AB+BA).

所以力是對(duì)稱矩陣，AB物是對(duì)稱矩陣，A5俎4是反對(duì)稱矩陣.

12.求及小；；可交換的全體二階矩陣.

【解】設(shè)及/可交換的方陣為『則由

ca

得

由對(duì)應(yīng)元素相等得c=0,*a,即及A可交換的方陣為一切形

如卜1的方陣，其中a,6為隨意數(shù).

0a

-100-

13.求及4=012可交換的全體三階矩陣.

01-2_

【解】由于

'000'

4=4002,

01-3_

而且由

可得

由此又可得

所以

00

即及4可交換的一切方陣為ob22b3其中q也也為隨意數(shù).

ob3b2-3b3

14.求下列矩陣的逆矩陣.

[123

⑴12；(2)012

25??

1000

1200

(4)

2130

1214

5200

2100

（6）a~.（《，/，…，。，尸。），

0083

0052

未寫出的元素都是0（以下均同，不另注）.

1-21

5-2

⑴(2)01-2

-21

001

000

602

4-1(4)」

14-2-2

w_J_1

_824-124.

0

-20

00-3

00

15.利用逆矩陣，解線性方程組

【解】因o1,而0

故

16.證明下列命題：

(1)若4夕是同階可逆矩陣，則(AB)*=

(2)若/可逆，則4可逆且(4)]=(J1)*.

(3)若材=￡則⑺'=(/)\

【證明】(1)因?qū)﹄S意方陣c,均有。*用。。*=|。]￡而48均可

逆且同階，故可得

\A\?㈤?BA=\AB\E^A)

二(屈)*AB(H4)=(AB)*力(班)A

二(MlfA\B\EA^\A\?,B\{AB)*.

??,㈤WO,㈤WO,

Z.(M*="

(2)由于AA=\A\E,故A=\A\A\從而CT)

MAl\(A])MA\'A.

于是

/(Ji)*=|441?\A\'A=E,

所以

(Ai)*=(/)\

(3)因44'=E,故力可逆且4l=A'.

由(2)(4)i)*，得

(/)[(4)*=(/)'.

17.已知線性變換

求從變量看,物工3到變量X，%，%的線性變換?

【解】已知

且4=1/0,故才可逆，因而

所以從變量3,々，馬到變量凹,外,%的線性變換為

18.解下列矩陣方程.

124-6

(1)X=

1321

21-121-1

(2)x210210

1-111-11

14203

X

-12-110-1

0101000-43

⑷100x00120-1

0010101-20

124-63-2

【解】⑴令左\B=.由于A-：

1321-11

故原方程的惟一解為

同理

100■jr2-10

(2)后010;(3)不;；(4)后03-4

—1U0

001L4_10-2

19.若屋=。("為正整數(shù))，證明：

【證明】作乘法

從而￡/可逆，且

20.設(shè)方陣4滿意才一4—2￡=0,證明Z及4+2￡都可逆，并求

A1及及+2上\

【證】因?yàn)?A2比0,

故

由此可知，力可逆，且

同樣地

由此知,4+2￡可逆,且

一423'

21.設(shè)4=110,AB=A+23,求5.

-123

【解】由物力+2B得C42皮后4

而

即42￡可逆，故

22.設(shè)p"=/.其中尸=『14|,/°1,求⑷。.

11J102

【解】因尸7可逆，且PT=，14，故由A=P/PT

3[-1-1

得

m

23.設(shè)加次多項(xiàng)式/(x)=C%+%工+???+ClmX,記

/(A)=/E+qA+…+/4",/⑷稱為方陣A的加次多項(xiàng)式.

⑴4=竹L證明

(2)設(shè)4=尸/尸，證明5*=P屋PL/(5)="(4)尸7.

【證明】

(1)A2=R°]/=B°]即公2和公3時(shí)，結(jié)論成立.

0萬」[0右一

今假設(shè)

那么

所以，對(duì)一切自然數(shù)k都有

而

(2)由⑴及走尸?郎得

FPAP\

且

力二(PAP')=PAP\

又

24.A=ab,證明矩陣滿意方程/-(a+d)x+ad-/?c=O.

cd

【證明】將/代入式子x2~(a+d)x+ad-be得

故力滿意方程x?-(a+d)x+ad-/?c=O.

25.設(shè)〃階方陣A的伴隨矩陣為A*,

證明：⑴若IAI=0,則IA*1=0;

(2)|A*|=A"T.

【證明】(1)若|4|=0,則必有|劃=0,因若|4|70,則有

/(/)1=6由此又得

A^AE-AA\/)1=|Jl(-0,

這及I41W0是沖突的，故當(dāng)|4|=0,則必有|A|=0.

(2)由4片=|4￡,兩邊取行列式，得

n

\A\|A\=\A\t

若|川WO,則|A\=\A\n1

若川=0,由（1）知也有

I劃=1就）

26.設(shè)

求⑴43；（2）64；⑶A":⑷I4I*（攵為正整數(shù)）.

【解】

-23200O-19800一

(1)AB=10900⑵BA=301300

004613003314

_00329005222_

-

'1-200

⑶/\A)=-2500(4)lAl*=(-1/■.

00-23

005-7

27.用矩陣分塊的方法，證明下列矩陣可逆，并求其逆矩陣.

12000

-003-1

25000

0021

(1)00300；(2)

2100

00010

-2300

00001

20102

02013

(3)00100

00010

00001

【解】(1)對(duì)2做如下分塊A=

其中

A，4的逆矩陣分別為

所以Z可逆，且

同理⑵

(3)

習(xí)題三

1.略.見教材習(xí)題參考答案.

2.略.見教材習(xí)題參考答案.

3.略.見教材習(xí)題參考答案.

4.略.見教材習(xí)題參考答案.

5.=%+%，氏=%+%，氏=。3+%，￡4=?4+ai，證明向量組自應(yīng),夕3,4

線性相關(guān).

【證明】因?yàn)?/p>

所以向量組舟,區(qū)血,從線性相關(guān).

6.設(shè)向量組因―，線性無關(guān)，證明向量組4網(wǎng)…血也線

性無關(guān)，這里以=?+a[+???+%..

【證明】設(shè)向量組以，耳，…血線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)

人肉,…,k,,使得

把以=%+%+…+??代入上式，得

又已知…,火線性無關(guān)，故

該方程組只有惟一零解匕=修=-=(=。，這及題設(shè)沖突，故向量

組兒昆，…,后線性無關(guān).

7.略.見教材習(xí)題參考答案.

8.%=(%,如，…,％,),i=l,2,…,〃.證明：假如同HO,那么a“線

性無關(guān).

【證明】已知|4=同。0,故〃(4)二〃,而A是由n個(gè)n維向量

，=i,2,…，〃組成的，所以.,％,…,見線性無關(guān).

9.設(shè)是互不相同的數(shù)，T<〃證明：

?,=(1,乙,…=1,2,…，廠是線性無關(guān)的.

【證明】任取nr個(gè)數(shù)人，…上使力，…，。，*1,…，方〃互不

相同，于是〃階范德蒙行列式

從而其〃個(gè)行向量線性無關(guān)，由此知其部分行向量四,見,…,火

也線性無關(guān).

10.設(shè)%%，…,%的秩為r且其中每個(gè)向量都可經(jīng)%,%線性

表出.證明:囚.%為的一個(gè)極大線性無關(guān)組.

【證明】若a.,a,,--,ar

⑴

線性相關(guān)，且不妨設(shè)

區(qū),見,…,%(t<r)(2)

是(1)的一個(gè)極大無關(guān)組，則明顯(2)是％.的一個(gè)極大無

關(guān)組,這及四,。2,…,a,的秩為T沖突,故多,%…,巴必線性無關(guān)且

為因,a2,…,區(qū)的一1個(gè)極大無關(guān)組.

11.求向量組/=(1,1,1,A),%=(1,1,A,1),%=(1,2,1,1)的秩

和一個(gè)極大無關(guān)組.

【解】把％按列排成矩陣4并對(duì)其施行初等變換.

當(dāng)公1時(shí)，a2,%的秩為2,%%為其一極大無關(guān)組.

當(dāng)時(shí)，/,4,%線性無關(guān)，秩為3,極大無關(guān)組為其本

身.

12.確定向量尸3=(2,勿，使向量組用=(1,1,0),昆=(1」，1)，片及向量組

?1=(0,1,1),

%=(1,2,1),%二(1,0,1)的秩相同，且四可由七,%線性表出?

【解】由于

而M=2,要使A。)=〃(面=2,需a2=0,即a=2,又

要使四可由四,%,%線性表出，需6a+2=0,故a=2,左0時(shí)滿意題

設(shè)要求,即總=(2,2,0).

13.設(shè)a”為一組〃維向量.證明：％線性無關(guān)的充

要條件是任一〃維向量都可經(jīng)它們線性表出.

【證明】充分性：設(shè)隨意〃維向量都可由線性表示，則

單位向量與入…耳，當(dāng)然可由它線性表示，從而這兩組向量等價(jià),

且有相同的秩，所以向量組如q,…,%的秩為〃，因此線性無關(guān).

必要性：設(shè)與線性無關(guān)，任取一個(gè)〃維向量a,則

%,見,…,a”線性相關(guān)，所以a能由線性表示.

14.若向量組(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)可由向量組

a1,a2,入線性表出，也可由向量組B2,B3,線性表

出，則向量組明,八,外及向量組a,3,￡3,￡4等價(jià).

'100'

證明：由已知條件，R110=3,且向量組(1,0,0),(1,

111

1,0),(1,1,1)可由向量組右,。2,線性表出，即兩向

量組等價(jià)，且

又，向量組(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)可由向量組￡

I,￡2,￡3,￡4線性表出，即兩向量組等價(jià)，且

所以向量組。2,。3及向量組B\,B2,B3,￡4等價(jià).

15.略.見教材習(xí)題參考答案.

16.設(shè)向量組apa2,???,?,?及外旦，…血秩相同且ax,a2,--,am能經(jīng)

△，旦，…，氏線性表出.證明4,…及以血，…血等價(jià).

【解】設(shè)向量組

ava,,--,am(1)

及向量組

笈4，…,女(2)

的極大線性無關(guān)組分別為

區(qū)，里,…。，

和

B\，瓦，…,Br

由于（1）可由（2）線性表出，那么（1）也可由（4）線性表出，

從而（3）可以由（4）線性表出，即

因（4）線性無關(guān)，故（3）線性無關(guān)的充分必要條件是

可由（*）解出與（廠1,2,…,「），即（4）可由（3）線性表出，從而

它們等價(jià)，再由它們分別同（1）,（2）等價(jià)，所以（1）和（2）

等價(jià).

17.設(shè)/為/X7?矩陣，9為sXA矩陣證明：

【證明】因43的列數(shù)相同，故4*的行向量有相同的維數(shù)，矩

陣可視為由矩陣A擴(kuò)充行向量而成，故A中任一行向量均可

由［：］中的行向量線性表示，故

同理

故有

又設(shè)AG4）=r,是4的行向量組的極大線性無關(guān)組,KB）

=k,%,外,.-0*是B的行向量組的極大線性無關(guān)組.設(shè)a是中

的任一行向量，則若a屬于Z的行向量組，則a可由%,如,…,a,,表

示，若a屬于，的行向量組，則它可由劣I?…,4.線性表示，故

中任一行向量均可由%,七,…,名,%,%，…,外線性表示，故

所以有

18.設(shè)Z為sX〃矩陣且4的行向量組線性無關(guān)，《為rXs矩陣.

證明：8=后行無關(guān)的充分必要條件是不(用二r.

【證明】設(shè)

4-(4s,PsxsS)),

因?yàn)?為行無關(guān)的sX〃矩陣，故s階方陣4可逆.

(n)當(dāng)區(qū)后行無關(guān)時(shí)，8為矩陣.

片以⑸:R(KA)&R(K),

又｛為rXs矩陣R(K)Wr,：.R⑺=r.

(u)當(dāng)廣〃(用時(shí)，即力行無關(guān)，

由B=KA=K(A“Rxs◎)二(用”—

知A(而寸，即8行無關(guān).

19.略.見教材習(xí)題參考答案.

20.求下列矩陣的行向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組.

-25311743'11221-

7594531320215-1

⑴；(2)

759454134203-13

25322048_1104-1

【解】(1)矩陣的行向量組的一個(gè)極大無關(guān)組為名,4,4;

⑵矩陣的行向量組的一個(gè)極大無關(guān)組為四.9.

?3

%

21.略.見教材習(xí)題參考答案.

22.集合/=｛(芭,々，…,X")I斗士,…,X“ER且巧+電+…+%=0｝是

否構(gòu)成向量空間為什么

【解】由(0,0,…，0)￡%知匕非空，設(shè)

a=(Xi，*2,…,X“)GK，尸=(5,%，…，貝U

因?yàn)?/p>

所以a+以匕也.，故匕是向量空間.

23.試證:由區(qū)=(1,1,0),%=(1，0])，4=(0/，1),生成的向量空間恰為

R3.

【證明】把四,%,%排成矩陣2=(四,%,。3),則

所以%,4,%線性無關(guān)，故是R的一個(gè)基，因而四,見,火生

成的向量空間恰為R3.

24.求由向量a=(1,2,1,0),%=(1,1,1,2),4=(3,4,3,4)a=(1,1,2,1)所生的

向量空間的一組基及其維數(shù).

【解】因?yàn)榫仃?/p>

%4，%是一組基，其維數(shù)是3維的.

25.設(shè)4=(1,1,0,0),4=(1,0,1,1),笈=(2,-1,3,3),62=(0,1，T，T)，證明：

【解】因?yàn)榫仃?/p>

由此知向量組四,％及向量組笈血的秩都是2,并且向量組瓦區(qū)可

由向量組%%線性表出.由習(xí)題15知這兩向量組等價(jià)，從而與%

也可由加昆線性表出.所以

26.在距中求一個(gè)向量使它在下面兩個(gè)基

下有相同的坐標(biāo).

【解】設(shè)/在兩組基下的坐標(biāo)均為(和松芻)，即

即

求該齊次線性方程組得通解

X[=k,x2=2k,x3=-3k(4為隨意實(shí)數(shù))

故

27.驗(yàn)證%=(1,T,0),%=(2,1,3),=(3,1,2)為F的一個(gè)基,并把

/=(5,0,7),

四=(-9,-8,-13)用這個(gè)基線性表示.

【解】設(shè)

又設(shè)

即

記作B^AX.

則

因有A―E,故為R，的一個(gè)基，且

即

習(xí)題四

1.用消元法解下列方程組.

%+4々-2&+3%=6,

%+2X2+2X3=2,

(])2須+2X+4X=2,

24(2)

2xl+5X2+2X3=4,

3xl+2X2+2X3-3X4=1,

x1+2X2+4X3=6;

%1+2%+3/-3X4=8;

【解】⑴

得

所以

(2)

Xj+2X+=2

2①

?

2%j+5X2+2X3=4

%+2X2+4X3=6②

解②①X2得Xi2x3-0

③①得2X3=4

得同解方程組

X1+2X+2/=2

2④

x2-2X3=0

j2與=4⑤

⑥

由⑥得用=2,

由⑤得用=2場(chǎng)=4,

由④得為二22天2x2=10,

得(Xi,Xz,x^)-(10,4,2)r.

2.求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.

x}+3X2+2X3=0,

⑴

xl+5X2+=0,⑵

3xj+5X2+8X3=0;

x,-x2+5X3-x4=0,

%/-2X3+3X4=0,

-x2+呢+x4=0,

x}+3X2一居+7/=0;

Xl+%2+2七+2X4+7/=0,

⑶<2Xj+3X2+4X3+5X4=0,(4)

3Xj+5X2+6為+8%=0;

%4-2X2-2X3+2X4-x5=0,

<x}+2X2-W+3X4-2X5=0,

2x14-4X2-7%3+x44-x5=0.

【解】⑴

得同解方程組

得基礎(chǔ)解系為

(2)系數(shù)矩陣為

***其基礎(chǔ)解系含有4-R(A)=2個(gè)解向量.

基礎(chǔ)解系為

得同解方程組

取卜得基礎(chǔ)解系為

Lz」L°JLU

(2,o,i,o,o)T,(i,i,o,i,o).

(4)方程的系數(shù)矩陣為

???基礎(chǔ)解系所含解向量為〃M=52=3個(gè)

取x4為自由未知量

得基礎(chǔ)解系

3.解下列非齊次線性方程組.

%+%2+2工3=L

2x-x+2X=4,

⑴}23(2)

X]-2X2=3,

4%+￡+4%3=2;

2x,+x2-x3+x4=1,

4Xj+2元2-2X3+/=2,

2x}+x2-x3-x4=1;

x,一2X2+x3+x4=1,

%—2X2+X3—X4=-1,(4)

x,-2X2+x3+x4=5;

%+￡+/++毛=7,

3xj+2X2+x34-x4-3X5=-2,

x24-2X3+2X4+6X5=23,

5%+4X2+3X3+3X4-毛=12.

【解】

(1)方程組的增廣矩陣為

得同解方程組

(2)方程組的增廣矩陣為

得同解方程組

即

令％=七=。得非齊次線性方程組的特解

/=(0,1,0,0)1

又分別取

得其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為

...方程組的解為

1-211?11-211I1

-1I-100-2；-2

(3)1-2101

1-211i50000j4

/?(A)75R(A)：.方程組無解.

(4)方程組的增廣矩陣為

分別令

得其導(dǎo)出組!*+々+%3+&+%=0的解為

-%2—2%3—2/-6%5=0

X3=，4="5=0，

得非齊次線性方程組的特解為：/=(16,23,0,0,0);

方程組的解為

其中4生&為隨意常數(shù).

4.某工廠有三個(gè)車間，各車間相互供應(yīng)產(chǎn)品(或勞務(wù))，今年各

車間出廠產(chǎn)量及對(duì)其它車間的消耗如下表所示.

X

出廠產(chǎn)

總產(chǎn)量

間、量

123(萬

(萬

元)

車間元)

10.10.20.4522矛|

20.20.20.30X2

30.500.1255.6矛3

表中第一列消耗系數(shù)0.1,0.2,0.5表示第一車間生產(chǎn)1萬元

的產(chǎn)品需分別消耗第一，二，三車間0.1萬元，0.2萬元，0.5

萬元的產(chǎn)品；第二列，第三列類同，求今年各車間的總產(chǎn)量.

解：依據(jù)表中數(shù)據(jù)列方程組有

0.9%—0.2々—0.45.=22,

即<0.2x,-0.8X2+0.3^3=0,

0.5X,-0.88X3=-55.6,

X1=100,

解之■馬=70,

x3=120;

5.2取何值時(shí)，方程組

⑴有惟一解，(2)無解，(3)有無窮多解，并求解.

【解】方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣為

|川二(丸—1)2(4+2).

(1)當(dāng)4W1且2#2時(shí)，14WO,E(Z)=A(8)=3.

/.方程組有惟一解

(2)當(dāng)尸2時(shí)，

R(A)手RI*,：.方程組無解.

(3)當(dāng)4=1時(shí)

R(A)=R(B)<3,方程組有無窮解.

得同解方程組

得通解為

6.齊次方程組

當(dāng)2取何值時(shí)，才可能有非零解并求解.

【解】方程組的系數(shù)矩陣為

J|=a-4)a+i)

當(dāng)|4|=0即2=4或2=1時(shí)，方程組有非零解.

⑴當(dāng)a=4時(shí)，

得同解方程組

(ii)當(dāng)4=1時(shí)，

得

/?(3,尤2，%),二4.(2,3,1)1.R

7.當(dāng)a,6取何值時(shí)，下列線性方程組無解，有惟一解或無窮多

解？在有解時(shí)，求出其解.

%+2X2+3X3-x4=1

(])+x2+2X3+3X4=1(2)

3xj-x2-x3-2X4=a

2xl+3X2-X3+如=-6

%+/+七+Z=0

x+2X+2X=1

<234

-x2-(a-S)x3-2X4=b

3%j+2X2+F+ax4--1

【解】方程組的增廣矩陣為

(1)

(i)當(dāng)bW52時(shí)，方程組有惟一解

(ii)當(dāng)爐52,aW1時(shí)，方程組無解.

(iii)當(dāng)於52,8F1時(shí)，方程組有無窮解.

得同解方程組

玉+2尤2+3工3一%4=°

其導(dǎo)出組,/+乜=0的解為

—3/—27元4=。

非齊次線性方程組(*)的特解為

5

r-i3

%

35

取^1=1,"=5.

*323

-冗」

1

???原方程組的解為

(2)

(i)當(dāng)a1#0時(shí)，"(4)=不(4)=4,方程組有惟一解.

(ii)當(dāng)a1=0時(shí)，3#1時(shí)，方程組>a)=2<A(彳)=3,

I.此時(shí)方程組無解.

(iii)當(dāng)a=l,左1時(shí)，方程組有無窮解.

得同解方程組

取

/.得方程組的解為

一112-

8.設(shè)A=224,求一秩為2的3階方陣人使小0.

336