高考數(shù)學二輪復習第2部分 大綜合測5解析幾何(含解析)

5解析幾何

時間120分鐘，滿分150分。

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的）

1.（2015,鄭州市質檢）"a=l"是"直線ax+y+l=0與直線（a+2）x—3y—2=0垂

直”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

［答案］B

［解析］兩直線垂直的充要條件為a（a+2）—3=0,解得a=—3或a=l,故選B.

2.（文）已知圓。的方程是8x—2y+10=0,則過點”（3,0）的最短弦所在的直線

方程是（）

A.x+y-3=0B.X—y—3—O

C.2,x~y-6=0D.2x+y—6=0

［答案］A

［解析］圓。的方程是/+7—8x—2y+10=0,即(x—4)?+(y—1>=7,

圓心。(4,1),設過點M3,0)的最短弦所在的直線為1,,:k0尸1,

的方程為：y=—l?（x—3）,即x+y—3=0.

（理）已知動圓。經過點尸（0,1）并且與直線y=-l相切，若直線3x—4y+20=0與圓C

有公共點，則圓C的面積（）

A.有最大值為“B.有最小值為Ji

C.有最大值為4nD.有最小值為4”

［答案］D

［解析］如圖所示，由圓，經過點尸（0,1）,并且與直線y=-1相

切，可得點C的軌跡為拋物線x?=4y,顯然以拋物線x,=4y上任一點為

圓心可作出任意大的圓與直線3x—4y+20=0相交，且此圓可無限大，

即圓。的面積不存在最大值，設圓。與3x—4y+20=0相切于點4其

圓心為（照，㈤，則由可得d="°—?+2。=%+1（點。在直線

3x—4p+20=0的右方），即包~~；+4+1,解得照=—2或照=學（舍去），當照=一

34o

2時，圓心C坐標為（-2,1）,此時圓C的半徑為2,即可得圓C的面積的最小值為4”，故

應選D.

3.（文）（2015?江西上饒三模）已知點欣一6,5）在雙曲線C,l(a>0,6>0)上,

雙曲線C的焦距為12,則它的漸近線方程為（）

A.尸土吟B.尸土當

,2,3

C.y=±-xD.y=±~x

o

［答案］A

(a=4,

［解析］由條件知才+公。25b=2季,

lc=6.

、c=6,

???漸近線方程為尸土坐X.

（理）（2015?新課標H理，11）已知48為雙曲線￡的左，右頂點，點〃在￡上，△/陰

為等腰三角形，且頂角為120。，則￡的離心率為（）

A.mB.2

C.小D.^2

［答案］D

［解析］考查雙曲線的標準方程和簡單幾何性質.

x2y2

設雙曲線方程為F—S=l（a〉0,6〉0）,如圖所示，26=剛，//陰=120°,過點〃

ab

作腑J_x軸，垂足為“在Rt△砌V中，|刎=a,|列=/a,故點〃的坐標為〃（2a,小

a）,代入雙曲線方程得#=左=/—a?,即/=2/，所以e=鏡，故選D.

4.拋物線C的頂點為原點，焦點在x軸上，直線x—y=0與拋物線，交于46兩點,

若P（1,D為線段46的中點，則拋物線C的方程為（）

A.y—2,xB.y—2x

C.x=2,yD.y=—2.x

［答案］B

^=2pxi

［解析］設/（X1,%）,6（如72）,拋物線方程為y=2px,則,兩式相減

/=2p照

可得2'=‘—-X（yi+j2）=^X2=2,即可得4=1,???拋物線。的方程為_/=2x,故應選

X1-X2

B.

5.（文）（2015?新課標I文，5）已知橢圓E的中心在坐標原點，離心率為aE的右焦

點與拋物線G/=8x的焦點重合，A,夕是C的準線與￡的兩個交點，則4引=（）

A.3B.6

C.9D.12

［答案］B

［解析］拋物線/=8x的焦點坐標為（2,0）.因為￡的右焦點與拋物線焦點重合，所以

cl

橢圓中C=2,離心率e=-=w，所以3=4,

a2

22

所以^=@2—C2=i6—4,則橢圓方程為*+￡=1,因為拋物線的準線方程為x=-2,

1612

當X=-2時，y=±3,則冽=2X3=6.故本題正確答案為B.

22

（理）過原點。作直線/交橢圓X下+6V=1（。＞力0）于點46,橢圓的右焦點為用，離心率

ab

為e.若以/夕為直徑的圓過點長，且sinN4S^=e,則e=（）

-1\/2

A."B.~~

C盅D

L-3亞2

［答案］B

［解析］記橢圓的左焦點為修依題意得|朗=2c,四邊形陽在為矩形，sinNABB

===e，=2ce＞22222

TOT^Tl^l\AFi\=（2a-\AF2\y=（2a-2ce）,\AFl\+\AF2\=\FlF2\,

、歷

（2a—2ce）2+（2ce）"=（2c）2,由此解得6=學,選B.

6.半徑不等的兩定圓4、。沒有公共點，且圓心不重合，動圓。與定圓。和定圓。都

內切，則圓心。的軌跡是（）

A.雙曲線的一支B.橢圓

C.雙曲線的一支或橢圓D.雙曲線或橢圓

［答案］C

［解析］設。。、。&、。。的半徑分別為八象、R,且以＞打〉o,當。a與。。外離時,

由條件知。。與。。都內切于。。，AIoa\^R-n,\oa\^R-n,:.\oa\-\oa\^n-

四0〈右一々〈laal，...點。的軌跡是以a、a為焦點的雙曲線靠近a點的一支；當。a內含

于。a時，應有。。內切于。a,。。內切于。a

：.\Oa\^r-R,\oa\^R-r2,||+|弦|=八一小與2不重合，且小

...點。的軌跡為以a、。為焦點的橢圓，故選C.

X22V

7.(文)已知L—方K程2攵一表1示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是

()

A.(1,2)B.(1,+8)

C.(1,2)D.(1,1)

［答案］C

［解析］由題意可得，2?—1>2—4>0,

{2k—1>2—k,

即解得1<衣2,故選C.

[2—k>0,

XVxv

(理)(2014?廣東文,8)若實數(shù)“滿足0〈人5,則曲線句打尸與曲線語一11

的()

A.實半軸長相等B.虛半軸長相等

C.離心率相等D.焦距相等

［答案］D

［解析］：0〈人5,.,.兩方程都表示雙曲線，由雙曲線中?=/+而得其焦距相等，選口.

X2V2

8.(2014?大綱全國理，6)已知橢圓。：F+S=1(〃>6>0)的左、右焦點為￡、否，離心

ab

率為號，過用的直線，交C于48兩點，若△/片8的周長為六P，則C的方程為()

O

X2,V2X2,

A.—+—=1B.—+y?=1

J乙O

2222

r—X—I——V1I)—X—I——V=1

128124

［答案］A

［解析］根據條件可知且4a=44，.》=/,c=l,"2,橢圓的方程為］

9.（文）已知產點是/+/=/+芥與雙曲線C：百一方=l（a>0,力0）在第一象限內的交

點，A、K分別是C的左、右焦點，且滿足I陽1=3|陽則雙曲線的離心率6為（）

A.2B.當

「迎亞

2n2

［答案］C

［解析］設］也|=x,則I期|=3x,

???出￡「=|陽」+|網2=10/=4上

?—迎

??c—2x，

由雙曲線的定義知，2a=\PFi\-\PH\=2x,

a=x,e=-=~^-,故選C.

a2

X2V2

（理）已知雙曲線=—0=1（a>0,6>0）的左、右焦點分別為￡、點/在雙曲線上，且

ab

軸，若奈=|，則雙曲線的離心率等于（）

A.2B.3

C.^/2D.小

［答案］A

［解析］設］/￡|=3x,則|"!|=5x,

|F1F21=4x,c=2x,

由雙曲線的定義知,2a=由川一|通|=2￡,

..c

、?a—x,??e———2.

a

10.（文）過拋物線/=2px（o>0）的焦點廠的直線/與拋物線在第一象限的交點為4直

線，與拋物線的準線的交點為8點/在拋物線的準線上的射影為C,若蘇=礪，BA-BC=

36,則拋物線的方程為（）

A.y=&xB.y=3x

C.y=12xD.y=2y［3x

［答案］D

［解析］wg,0）,設Z（xo,㈤，%>0,則。（一與珀，B（p-xo,一為），由條件知夕

__P._3p

—XQ——2，..劉一2-

.,.后=2。?^=3/?2,.,.yo=\[3p,~y[3p),/(券,小加,C~gy[3p),.,.BA?BC

=(2.p,2-\[3p)?(0,2鎘p)=12/=36,:.p=(,

???拋物線方程為y=2y[3x.

（理）過雙曲線眩V—南=1的左頂點/作斜率為2的直線1,若/與雙曲線〃的兩條漸

近線分別相交于點6、C,且詼=2誦，則雙曲線〃的離心率是（）

A.乖B.A/10

C."D.^37

［答案］C

［解析］由條件知/（—1,0）,；./：y=2（x+l）,雙曲線漸近線方程為y=±6x,;衛(wèi)C=

y=x+

2AB,二夕在4C之間,得'(—7T?7+2)!

y=—bx,

y=x+

_y=bx.

再由應l=2位得6=4,.*.6=717.

11.若拋物線/=2px上恒有關于直線x+y—1=0對稱的兩點4B,則0的取值范圍

/3、

B.(0,-)

/2、

C.(0,-)

0

［答案］c

［解析］設直線46：y=x+b,代入/=2,X中消去X得，y-2py+2pb=QfAyi+j^

=2,，為+吊=%+度-28=20—26,由條件知線段23的中點（一―,一一），

即（夕一6,4）在直線x+y—1=0上，/.b=2p—l,A=442—846=4/—80（24-1）=一

2.2

12/?+84>0,/.0</?<-

X2V2

12.（2015?鄭州市質檢）已知橢圓p+z=l（a>6>0）的兩焦點分別是否，石，過月的直

ab

線交橢圓于己0兩點，若|必|=出￡|,且2|依|=3|的|,則橢圓的離心率為（）

3也

,5

［答案］A

［解析］由已知得|必|=|F川=2°,

|陽|=2a一|必|=2a—2c,

24224

\QFx\=-^\PFx\=-(a—c),\QF\=2己一I/I=2a--(2a—2c)=-a+^c

oo2JJJ

在△陽月和△必0中，由余弦定理得:

期廣十|"12TA加2

cos/FzPQ=

2\PF,\?\PF2\

%2+|/「T小」

一1\PQ\?\PF2\

即-a—2cy__￡

a-2cc

'1010\?

Ja~~c)+c-（1。+壬2

io"""io-

-a——c

oo

整理得5c*2—8己。+3才=0,即5e2—8e+3=0,

/.e=-^e=l（舍）.

5

二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，將正確答案填在題中橫線上）

22

13.（文）已知雙曲線當一系=l（a>O,6>0）與拋物線/=8x有公共焦點，且雙曲線上的

ab

點到坐標原點的最短距離為1,則該雙曲線的離心率為.

［答案］2

22

［解析］..?拋物線/=8x的焦點為（2,0）,.?.雙曲線當一V=l（a〉O,6>0）中c=2,

ab

又H=1,.*.e=~=2.

a

22

（理）過雙曲線當一看=l（a〉O,力0）的一個焦點作一條漸近線的垂線，垂足恰好落在曲線

ab

Y2V2

R+4=1上，則雙曲線的離心率為

ba

［答案］

b

［解析］不妨設雙曲線的一個焦點為（C,。），（C〉。），一條漸近線方程為尸y由

J2b2,224

<匕得垂足的坐標為（"I■，學，把此點坐標代入方程：+?=1，得

y=~x

Ia

2/2

+/1=1,化簡，并由o2=且2+方得a=6,/.e=-1=^/2.

14.（文）設拋物線f=4y的焦點為尸，經過點尸（1,4）的直線/與拋物線相交于4、8兩

點，且點P恰為48的中點，則I詼+|而=.

［答案］10

［解析］設/（xi,yi）,8（x2,㈤，由題意知xi+xz=2,且京=4%，裝=4%,兩式相減

整理得，匚更=受要=<，所以直線加的方程為x—2y+7=0,將戶2-7代入V=4y

X\—X242

整理得4/—32p+49=0,所以k+度=8,又由拋物線定義得|//|+|跖|=%+乃+2=10.

22

（理）橢圓r.今+%=l（a>6〉0）的左、右焦點分別為￡、&焦距為2c,若直線尸:

abv

（x+c）與橢圓廠的一個交點〃滿足/%兆=2/姐R,則該橢圓的離心率等于.

［答案］73-1

［解析］本題考查了橢圓離心率的求解.

15.（2015?濰坊市模擬）拋物線C,4=2四（0〉0）的焦點為凡點。是坐標原點，過點0、

尸的圓與拋物線C的準線相切，且該圓的面積為36n，則拋物線方程為.

［答案］/=16x

［解析］由圓的面積為36兀，得圓的半徑r=6,圓心到準線的距離為苴+：=6,得0=

8,所以拋物線方程為/=16x.

16.（文）（2015?蘭州市診斷）橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，若橢圓。的離心率

等于右且它的一個頂點恰好是拋物線丁=隊門了的焦點，則橢圓C的標準方程為.

22

［答案］條+{=1

1612

［解析］由題設知拋物線的焦點為（0,2餡），所以橢圓中6=2線.因為e=￡=2所以

a乙

22

a=2c,又因為才一方=/,聯(lián)立解得。=2,@=4,所以橢圓。的標準方程為土+￡=］.

1612

（理）（2014?安徽理，14）若尤、石分別是橢圓A3+臺=1（0＜次1）的左、右焦點，過

b

點￡的直線交橢圓￡于A6兩點.若|/用=3出固，ZKLx軸，則橢圓￡的方程為.

［答案］/+|y=l

［解析］如圖，由題意，/點橫坐標為c,

又4+02=1,：.y=lj,：.\AF2\=k),

又川=3|跖I，

51

工8點坐標為（一可。--Z?2）,

OO

代入橢圓方程得,

方程為x°+|/=l.

三、解答題（本大題共6個小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（本題滿分10分）（2015?唐山市二模）已知拋物線￡：x?=4y,m,〃是過點/（a,—

1）且傾斜角互補的兩條直線，其中0與￡有唯一公共點6,〃與￡相交于不同的兩點GD.

(1)求0的斜率A的取值范圍；

(2)當〃過￡的焦點時，求6至的距離.

［解析］⑴血y+l="(x—a),n：y+l=—A(x—a),分別代入I=4y,得

4Ax+44a+4=0①，

x+4^—4^a+4=0②，

由/1=0得萬一ka—1=0,

由z>2>0得A'+Aa—l>。，

故有242—2>0,得孑2>1,即“<一1或A>1.

(2)￡的焦點戶(0,1),k^—=~k,所以a"=2.

Aa

?，?女2=公+1=3,8(2A,必),

br.,,.|3好一ak-\-11|―11

所以夕至u〃的距禺d=-石了了—=vm5=4,

18.(本題滿分12分)(2015?石家莊市一模)在平面直角坐標系xOy中，一動圓經過點

(1,0)且與直線x=-1相切，設該動圓圓心的軌跡為曲線E.

(1)求曲線6的方程；

JI

(2)已知點A(5,0),傾斜角為彳的直線/與線段力相交(不經過點?；螯c/)且與曲線￡

交于以”兩點，求△加加面積的最大值，及此時直線/的方程.

［解析］(1)由題意可知圓心到點(1,0)的距離等于到直線x=—l的距離，

由拋物線的定義可知，圓心的軌跡方程：y=4x

(2)解法一：由題意，可設/的方程為y=x—如其中0<卬<5

(y=x—/n

由方程組2，消去力得3—(2/+4)x+加2=0①

L/=4X

當0V%V5時，方程①的判別式/=(2/+4)2—4痛=16(1+%)>0成立.

設〃(汨，yi),N〈X2,㈤則為+照=4+2如xi?X2=好,

|MN\=鏡|不一用|=4y/2+2m

耳—m

又因為點/到直線1的距離為d=F

/.S^AMN=2(5-4.1+%=2.——9君+15刃+25.

令f(ni)=m—^in+15勿+25,(0<欣5),

f'(4=3皿2—18切+15=3(%一1)(刃一5),(0〈水5)

所以函數(shù)〃而在(0,1)上單調遞增，在(1,5)上單調遞減.

當〃=1時，f(ni)有最大值32,

故當直線1的方程為y=x~1時，△匈W的最大面積為8小.

解法二：由題意，可設/與x軸相交于6(勿,0),/的方程為x=y+m,其中。〈/V5

[x=y-\-m

由方程組24，消去％得/—4y—4%=0①

〔"=4x

??,直線/與拋物線有兩個不同交點乂N,

?,?方程①的判別式/=(—4)2+16勿=16(1+勿)>0必成立，

設欣不，咒),N(X2,刃)則%+丹=4,%?理=—4見

5k=~(5—77?)|%一必|

=1(5—/Z7)勺~yi+y2~之一4%有

=2(5—4也+勿=2yl/n—9/n+15^+25.

令f(ni)=宮一9/+150+25,(0〈水5),

f'(4=3刃2—18必+15=3(%一1)(刃一5),(0〈水5)

所以函數(shù)a4在(0,1)上單調遞增，在a,5)上單調遞減.

當卬=1時，”血有最大值32,

故當直線1的方程為y=x-1時，△力妍的最大面積為8小.

19.(本題滿分12分)(文)設點p是曲線G￥=2%(夕>0)上的動點，點夕到點(0,1)的

距離和它到焦點尸的距離之和的最小值為1

(1)求曲線C的方程；

(2)若點戶的橫坐標為1,過戶作斜率為A("W0)的直線交。于點。交x軸于點弘過

點0且與閭垂直的直線與，交于另一點兒問是否存在實數(shù)A,使得直線與曲線，相切？

若存在，求出A的值；若不存在，請說明理由.

7?51

[解析]⑴依題意知1+，1,解得「=].

所以曲線C的方程為六=y.

(2)由題意直線產。的方程為：y=4(x—1)+1,則點〃(1—q,0).

\y=kx—+1

聯(lián)立方程組彳2，消去y得/—Ax+A—1=0,得0(A—1,(A—I)?).

〔尸x

所以得直線?V的方程為y—(4—1)2=—[(X—4+1).代入曲線方程中，得

X—1+-：—(1—A)2=0.

k

解得Ml—7—k,(1—A—7)2)?

kk

過點”的切線的斜率〃=2（1—4—；）.

K

12

."Z一1

由題思有一;=2（1—A—彳）?

kk

解得仁二1押.

故存在實數(shù)A=-乘使命題成立.

22

（理）（2015?鄭州市質檢）設橢圓GFX+￡V=l（a>6>0）,R,K為左、右焦點，6為短軸

ab

、歷

端點，且S△班K=4,離心率為尊。為坐標原點.

（1）求橢圓。的方程；

（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓C恰有兩個交點KN,

且滿足I刖而=|新而1?若存在，求出該圓的方程；若不存在，說明理由.

221

XV\

［解析］（1）因為橢圓C-.F+R=l（a>0,6〉0）,由題意得S/\BFi^—-X2cXb—4,e

ab2

、歷［a=8,_/y

=一c=乎，/=百十占所以解得所以橢圓。的方程為不+5=1.

a2〔而=4.84

（2）假設存在圓心在原點的圓H+爐=冷使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個交

點四N,因為|刖曲=|為L而，所以有怎?而-0,

設〃（為，％）,NU,姓），當切線斜率存在時，設該圓的切線方程為了=府+如由方程

y=kx+m

組《22

xIP1

一十一=1

84

得x+2（Ax+㈤2=8,即（1+2/）y+44zx+2/—8=0,

則△=1642方一4（1+2。（2?—8）=8（8好一方+4）>0,

即8A2—勿2+4>0,

-4km土、I'6必而一+2—/一

匙2=+2爐

4km_2^72—8

1+2/不7=1+2爐；

m2-4片點_?z?2—8A2

%理=版+血賢+2

(kxi+ni)(A=X\X2~\~kmlx\+xj+nf=1+27l+2p?=1+2-'

2擊_8JJJ__8管

要使應?ON=0,需XIXZ+K刑=0,即1+22+1+2:=°'所以3勿J8如一8=0,所以

,23%2—8

卜=一^20,

ffl>2

又8好一病+4〉0,所以

3，》8

所以序＞|,即乎或屋￡—平.

因為直線尸履+卬為圓的一條切線,

所以圓的半徑為卡=\；筏=黑_8=|，r=^2'所求的圓為f+7=

1+8

8

3,

此時圓的切線y=履+而都滿足m辰-羋

O

而當切線的斜率不存在時，切線為x=土縉與橢圓卷+^=1的兩個交點為

oo4

善，±當或［—乎，士明滿足加?注0,綜上，存在圓心在原點的圓/+/=|滿

足條件.

20.(本題滿分12分)(2015?北京文，20)己知橢圓C：V+3/=3.過點2(1,0)且不過

點￡(2,1)的直線與橢圓C交于46兩點，直線/￡與直線x=3交于點〃

(1)求橢圓C的離心率；

(2)若四垂直于x軸，求直線砌的斜率；

(3)試判斷直線陰與直線龍的位置關系，并說明理由.

［分析］本題主要考查橢圓的標準方程及其幾何性質、直線的斜率、兩直線的位置關系

等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，先將橢

圓方程化為標準方程，得到a,b,。的值，再利用e=-計算離心率；第二問，由直線四的

a

特殊位置，設出46點坐標和直線力￡的方程，由直線與x=3相交于〃點，得到〃點坐

標，利用點反點〃的坐標，求直線9的斜率；第三問，分直線28的斜率存在和不存在兩

種情況進行討論，第一種情況，直接分析即可得出結論，第二種情況，先設出直線A6和直

線/￡的方程，將橢圓方程與直線46的方程聯(lián)立，消參，得到荀+也和荀苞，代入到抬產1

中，只需計算出等于。即可證明"破="如即兩直線平行.

Y

［解析］(1)橢圓。的標準方程為勺+/=1.

所以a=＜，b=l,c=y［2.

所以橢圓。的離心率e=￡=涯.

a3

⑵因為46過點2(1,0)且垂直于x軸，所以可設/(I,%),8(1,-yi).

直線力￡的方程為y—1=(1—yi)(jr—2).

令x=3,得〃(3,2—珀.

所以直線砌的斜率力尸?；'”』.

⑶直線砌與直線龍平行.證明如下：

當直線的斜率不存在時，由(2)可知#.=1.

1—0

又因為直線龐的斜率嬴=7^=1，所以砌〃然

當直線48的斜率存在時，設其方程為y=A(x—1)(斤1).

設4(矛1,yi),B1X2,外)，

則直線AE的方程為y—1=3(x—2).

yi+3

令x=3,得點加3,^r).

XL2

x+3y=3,

由

y=kx一

得（1+34/一6左1+3孑2—3=0.

6爐3A2-3

所以Xl+X2=1+3/&X2=1+3?

Ji+Xi-3

-Xi—2―一丹

直線砌的斜率k=-----------------.

BM3一至

因為kBM-1=

k矛i—+4一3—AX2一3一—一4矛i一

-X2X\—

k——矛1用+E+用一3]

~X2X\—

一3■+3,12戶

1+西+1+3尸3」

所以kBM=\—kDE.

所以BM//DE.

綜上可知，直線砌與直線龍平行.

21.（本題滿分12分）（文）（2015?南昌市一模）已知圓E-.丁+卜一92=，經過橢圓C：「

V2

+%=l（a>6〉0）的左、右焦點凡E,且與橢圓C在第一象限的交點為4且凡E,/三點

b

共線，直線/交橢圓，于〃”兩點，且防―4應（4W0）.

（1）求橢圓。的方程;

⑵當三角形力斷的面積取到最大值時，求直線1的方程.

［解析］（1）如圖，圓￡經過橢圓C的左、右焦點左,

'：Fi,E,/三點共線,

為圓￡的直徑，；.K（G0）在圓上,

…（。-汨,

Vc>0,；.c=p

M知2=14川2—出網2=9—8=1,恒網=1,2a=|Z川+|/&=3+1=4,：.a=2,

\9a=/}+c,解得

22

橢圓C的方程X了十V方=1.

⑵點4的坐標（鏡，1）,：防應（4W0）,

所以直線1的斜率為勺，故設直線1的方程為y^x+m

由《消去得，xm—2=0,

22p

*?y1

一十一=1

142

設欣矛1,Ji),N〈X2,也)

xi+x2=—y/2/n,x\X2=m—2,△=2h2—4痛+8>0,

???一2〈欣2,

SAJW=-1|MN\?d=^\］12—3/nX半|m\

邛弁x匕3=低

當且僅當4—加』，即片土小時，S*取到最大值低直線1的方程為尸享土根

2

（理）（2014?上海八校調研）已知點F、、K為雙曲線a與=1（6〉0）的左、右焦點，

b

過用作垂直于X軸的直線，在X軸上方交雙曲線。于點弘且/加兆=30°.圓。的方程是

2I212

x-\~y=b.

（1）求雙曲線c的方程；

（2）過雙曲線C上任意一點尸作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為R、2,求

PPy?兩的值;

⑶過圓。上任意一點0（劉，為）作圓。的切線/交雙曲線。于/、6兩點，的中點為

M,求證：\AB\=2\ai\.

［解析］（1）設K、〃的坐標分別為（、底了，0）,（尸］，丹）,

2

因為點〃在雙曲線。上，所以1+9—羽=1,

b

即%=±氏所以|磔|=/，

在Rt△磔￡中，/MRFz=30°,|磔|=而,

所以|姐|=2次

由雙曲線的定義可知I姐I—I姐|=爐=2,

2

故雙曲線c的方程為5=1.

（2）由條件可知兩條漸近線方程為h5x-尸0,?y[2x+y=Q.

設雙曲線C上的點戶（劉，丹），兩漸近線的夾角為0,

尸隹了的傾斜角為a,則

sin2a—cos2a2—11

cose=cos（Ji—2a）=~T^----;-----2-=TTT=7

sina+cosa2+13

點戶到兩條漸近線的距離分別為

I掰|=嶼工|四=鳴墳,

<3<3

因為?（劉，㈤在雙曲線a/—y=l±,所以2岔一序=2,

|2言一詞,1、2

=一二?（—§）=一§?

⑶證明：由題意，要證|誦|=2|施，即證》，如.

設4（矛,1Ji）,B〈X"度），切線/的方程為xox+為尸2.

①當KW0時，切線/的方程代入雙曲線。的方程中,

化簡得（24一加/+4劉X一（2j^+4）=0,

4Ab24+4

所以Xl+彩=—77-22，X1劉=—77-22，

2yb—xo2yo-xo

2-XQXI2-XQX21

乂7172=---------[4-劉（xi+至）+岔Xi田]

8—2總

241君

叱」一一,24+4?8—2岔

所以a?如=為b+再刃=一藐二益+曠韭

4—岔+點

一荻二1一=°

②當開=0時，易知上述結論也成立，

即如?0B=X\X2+yij2=0.

綜上所述，OAVOB,所以|花|=2|0|.

22

22.（本題滿分12分）（文）已知橢圓G當+￡=1⑷6〉0）的短軸長為2,且與拋物線產

ab

4/x有共同的一個焦點，橢圓。的左頂點為4右頂點為氏點尸是橢圓C上位于x軸上

方的動點，直線/只在與直線y=3分別交于G、〃兩點.

(1)求橢圓C的方程；

(2)求線段紐的長度的最小值；

(3)在線段掰的長度取得最小值時，橢圓。上是否存在一點T,使得△7K4的面積為1,

若存在求出點7的坐標，若不存在，說明理由.

［解析］(1)由已知得，拋物線的焦點為(十，0),則

又6=1,由可得d=4.

故橢圓C的方程為彳+/=1.

(2)直線2戶的斜率A顯然存在，且A〉0,故可設直線/戶的方程為V=#(￡+2),從而ff(|

一2,3).

y=kx+,

由vf?得(1+441+16爐才+16爐-4=0.