初中數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何模型專項(xiàng)訓(xùn)練

初中數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何模型

幾何問(wèn)題

初中幾何常見(jiàn)模型解析

A模型一：手拉手模型-全等

?條件：均為等邊三角形

A結(jié)論：①AO4C*AOBD:②"IEB-60\③OE『分乙4￡。.

a條件：A°/8，A"C￡)均為等腰有角二角形

A結(jié)論：！AO4C?AOBD:②LAEB=90°；tOE、|，分乙血).

(3)任意等展三角形

yOE十分心1E0.

（2）全等型-120°

a條件：①乙4。8=2乙DCE=12O°；②OC平分乙408；

a結(jié)論：①8-C￡,②。D+6￡-（K\③%m"Sg，+$儂一

a證明提示：①可參考“午等甲-90?！弊C法-）

②如圖:在?！股先↑c(diǎn)”,使01=0（.，證明AOCF為等邊二角形,

?當(dāng)〃）CE的一邊交A。的延長(zhǎng)戰(zhàn)丁心。時(shí)（如上圖石）；

原結(jié)論變成，①____________________________________:

②，

③________________________________1

可參考上述第②種方法進(jìn)行證明.

a結(jié)論，①℃平分乙408]+OE=2OC?cosa,③§甌￡=+S&OCE=Tina.cosa

a*ROCE的一邊交力。的延長(zhǎng)線丁點(diǎn)。時(shí)（如右上圖）；

原結(jié)論變成：①_____________________________________；

③___________________

O請(qǐng)思考初始條件的變化對(duì)模型的影響.

...結(jié)論③得證

A對(duì)角互撲模型總結(jié)，

①常見(jiàn)初始條件：四邊形對(duì)向互補(bǔ)I

注意兩點(diǎn)：四點(diǎn)共囪及宜用二角形斜邊中線：

②初始條件“用T,分線”?！皟蛇呄嗟取钡膮^(qū)別：

③兩種常見(jiàn)的輔助線作法；

卜圖中OC平分L.4OB時(shí)，LCDE-LCED-LCOA-LCO相等是如何指導(dǎo)的？

Ajl型四：角含半角模型90。

（1）角含半角模型90*-1

?條件：①正方形W8CO：②4E/F=45°：

?結(jié)論：i，EF?D尸+8￡：之ACE5的皮長(zhǎng)為k方形48C。周長(zhǎng)的一半:

也可以這樣：

a條件,八川：方心4BCD：.力EF?DF+BE

?結(jié)論，4￡.4F-45°

(2)角含半角模型9<r-2

>條件：七訐方彬X8S：②乙￡""-45,

a結(jié)論：EF-DF-BE

?輔助線如下圖所示，

<3)角含半角模型90*-3

條件，①RT&4BC*②乙D.4E=4S\

結(jié)論，心+C6血'

若LDAE旋找到MBC外部時(shí)，結(jié)論BIT+CE'-DE:仍然成

（2）倍長(zhǎng)中線類模型-2

a條件：0平行四邊形XBCC；；,BC-2AB.AM-DM,4,CE1AD.

》結(jié)論8人EMD-3ZJW￡4

輔助線：布平懺.西〃CP,有中點(diǎn)

建長(zhǎng)EA/?構(gòu)造?連接CM構(gòu)

遣等腰^EAfC.&UCF

通過(guò)構(gòu)造8字￡孑葩段敦世及但工夫系?痢的大

小樣化

a模型六：相似三角形360°旋轉(zhuǎn)模型

（1）相似三角形（等腰直角）360°旋轉(zhuǎn)模型-倍長(zhǎng)中線法

輔助班:些長(zhǎng)D尸到點(diǎn)G,?FG-DF.連

MCG,BG、BD證明WX,為等樓面南

突At點(diǎn)；&W9MBG

^點(diǎn)：法明NZUD-4CG

a條件：?MDE、&4伙’均為等腰內(nèi)角二角形；？/『?（'"

》結(jié)論：i0產(chǎn)-B/7：②/）尸J.8尸

（1）相似三角形（等展宜用）360-旋轉(zhuǎn)模型斗卜全法

a條件：Q2DE、&4BC均為安腰山用二角形；￡EF=CF；

a結(jié)論：1加7-8尸；②?！?BF

輔助線：構(gòu)造等犢直商AJEG、&IHC

輔助線思路：將。尸與8F轉(zhuǎn)化到CG與EH

(2)任意相似宜角三角形360°旋轉(zhuǎn)模型-補(bǔ)全法

A條件：！^AB^ODC\23AB=LODC=90".@/?E=CE.

a結(jié)論：i-DE；⑵乙〃0-2Z.ABO

輔財(cái)線■:坦長(zhǎng)艮d到點(diǎn)G?使.出三妗,延長(zhǎng)

CD好點(diǎn).H便DH=CD,林全ACXiB?

OCH均造就轉(zhuǎn)根筌.轉(zhuǎn)化AE曷DE媽CG

5RH.艱點(diǎn)在勢(shì)化NJEO

(2)任意相似宜角三角形360,旋轉(zhuǎn)模型■倍長(zhǎng)法

a條件：?bOABsRODC:②L.OAB=L.ODC=90°,aBE=CE.

a結(jié)論：i.4E=/)Ei②乙=2乙480

輔助線：廷長(zhǎng)DE至M，使ME-Z2￡.將紂

論的兩個(gè)條件紂，匕為證明此

為冷點(diǎn),將AJJ仆A.4BC推精樸化再證明

A，利gAA()a使陽(yáng)兩邊應(yīng)比H夫同等

此處端點(diǎn)在證明/JR"=Nja)

A模型七：最短路程模型

flfl：A?S/'+g/Pit餞

Ha:點(diǎn)/'握阿蛇，Kp.XL.^*K

為屈作々〃.收點(diǎn)〃作

JA健論：。4力川點(diǎn)件4優(yōu),45V.itAP停

ry，，，.*R.FV--；JP.iiAl?nM'PQ±AC,帽化小?；力P?過(guò)/B作/C

冷叁蛾與＜產(chǎn)的要點(diǎn)為所求（叁我W如）“鑫及A4r的史也為秋衣

PB^—PA

a問(wèn)題，"為何值時(shí),5最小

oc、sinL.OAC———

a求解方法,①X軸」JRC(2,0),使5.②過(guò)8作8CJ.4C,交J'軸J-點(diǎn)￡,即為所求:

tanLEBO-tanLOAC--_...

③2.mE(OA.l).

"仲；OJ-4,<oc“熠)*紳：(I：aiaat-4.<?r-2

￥?:①和MMJznw-.^b

⑵OB電總OIt早南向360：M②以&tJOH,<X'與f3你?

?OC-2；0；Q4-1i④▲「bBC上3A

③七產(chǎn)?四園*忸+國(guó)“內(nèi)哪(金邊M)-A

R4:的羹大值.it小值分M力多少？（可與嗚丸/分"⑤VJZW授點(diǎn)"殘收

M注2以點(diǎn)。力?心.。3今本僮仲■.加由M<：去/H的**值為iu.時(shí)or-6

結(jié)論：〃4■t（ioa4+o&=i+?4

去AM種改卜值由l,tlOC-3

第京.若樣H4?化由"三il號(hào)眄迪士勺夫于子三

P4*小0*，朋4。/。61|

出.科康之*?小于第三城”?PA約最小值為2.?A/的飄色忍陽(yáng)W

0<R'S2

ata：at^(28：改小值；m-(wX/圖一■的?小K仔#f）HHtAAHk

(6)殿短路程模型三(動(dòng)點(diǎn)在HI上)

國(guó)海T

某件：①正方辦ABCD也邊長(zhǎng)為』：

②G?6的半徑為2:③尸為08上動(dòng)點(diǎn)

RM:求尸D+(/Y'2)最小值

輔助投：這點(diǎn)￡作EM//IK1.取BE中啟N

身,：以或.O為國(guó)心三個(gè)圖,OA,OD?<

轉(zhuǎn)化思訪：將PC2轉(zhuǎn)化ME.將ME轉(zhuǎn)化為

OP統(tǒng)點(diǎn)O茂H

間卷：點(diǎn)。在什么低JL時(shí)，EP+.UB最小MV.因此MD+MN的最小值為DN長(zhǎng)度

住助性：造我3?QC.40.D.「三總結(jié)：產(chǎn)C2的比值不看隨京如出的.而靈圈

點(diǎn)具%時(shí).AP+A必=/K+pC=1>C最小的半徑4BC

A模型八：二倍角模型

8CBC

條性：X4BC4*.&-

觸動(dòng)線,：以8（的垂直牛分隙為紂體觸.作.支

.＜的葉缽層r.連mr?BAI.c.r

射BH為ZABC的麗多分級(jí).

〃么ZM.4/■B（/1這個(gè)小疙）

牝件精財(cái)城的下法是二”南三角■常七的發(fā)財(cái)

ry”A之一，但舁不乏f一出人

（2）相似三角形模型-斜交型

4月R0

BPBBc

科文型Dn幻文型（新交型t

條件：如左面兩個(gè)圍Z1出）。/北8二90

然論：AExAB?dCxAD

.當(dāng)伴：如右面兩個(gè)國(guó)NJ1￡-NJ2R'

結(jié)論：AC^.AEKAB

第舊個(gè)03還存在ABxEC?BCx.M

BC：=RExBA,CE'=BE乂AE

（3）相似三角形模型?一線三角型

條件：左用：乙mC=乙4（1=￡CDE=9CT

中國(guó)：NJ次?乙限7：?47）”?60

右圍：乙出（=乙ICE=CCDE=45"

體論：所有四彩都存在的結(jié)論

①&4BC\CDE:②ABxDE-^x（7）

一我三哥南蛾魚(yú)也經(jīng)常用表建立方穆立晶依美

系

【應(yīng)用上面模型解決如下問(wèn)題】

一、第一次月考

1.（中）如圖，在正方形48CD中.￡為中點(diǎn).八”18￡千點(diǎn)”,連接CH并延長(zhǎng)交AZ）F

點(diǎn)八CP，CF交AO的延長(zhǎng)戰(zhàn)r點(diǎn)P.芥EFT.則。P的改為.

【答案】—

3

【提示】八不相似+射影定理

2.（二中）如圖.正方形.\BCD的邊長(zhǎng)為3,延長(zhǎng)C8至小M,使BM-L連接M.過(guò)止B作BN±AM.

垂足為M。足時(shí)角線AC、8。的交點(diǎn),連接OM則ON的長(zhǎng)為.

【碎窠】三6

【提示】旋Mr拉「模到建系

3.（八中）如圖,正方形八BCf）的邊K為6,￡足8cl點(diǎn),CE-1BE.將AABE沿AE折曾得到

△4FE,連接OF.則線段OF的長(zhǎng)為.

【答窠】yV5

【揭示】折Q特殊結(jié)論（13鬧i槌構(gòu)成345）/髭系

4.（一外）如圖.在邊長(zhǎng)為4的正方杉A8c。中.點(diǎn)E.F分別為AB、8c邊的中點(diǎn).連結(jié)GC.

/）flDH1GC.垂足為〃,則DH-.

【容臬】y

【提示】It轉(zhuǎn)空■澳京（ffRI）M

5.（育才）如圖.正方形A8CO的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)￡在邊A8上,HAE-2BE.過(guò)點(diǎn)八作CE的延長(zhǎng)線

的垂線AF交CB的延長(zhǎng)線i-.6.H,連接8F.則BF的長(zhǎng)為.

【答案】-4s

5

【提小】旋轉(zhuǎn)手拉丁模型，建系

6.（西大）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形A8CD中.E是八8邊I?點(diǎn)，G是A0延長(zhǎng)線上點(diǎn)，

8E-DG.連接EG,CF_LEG交EG「點(diǎn)，.交A￡>丁點(diǎn)F.連接CE、BH,若BH-S.則FG.

【答案】50

【提示】旋轉(zhuǎn)I'拉丁模型+八字相似/建系

7.(-t')如圖.等腰R"\A8C中.。為斜邊AC的中點(diǎn),NCA8的平分線分別交8。BCTHE,

F.BP1AFT'H.PCLBC.AE-l.PG-.

【答案】0-1

【提示】旋轉(zhuǎn)空翻模型

S(￡■|>)如圖.矩形ABCD中.BE平分NABC交AD「點(diǎn)E.F為BE上一點(diǎn).連接DF.過(guò)F

作R3XDF交BC干點(diǎn)G.連接BD交FG點(diǎn)H.FD-FG.BF=2.BG-3,則FH的長(zhǎng).

【答案】京

【提小】等面枳法+八字相似/建系

11(一外)如圖.在△ABC中，ZABC-90°.AB-1.XC-3.以心、AC為邊向形外作正方形

八8OE和正方形ACFG.連接EG.則EG=.

【答案】2#

1提示】卜箝手拉判

12.(有才)如圖.在正方比八8c。外取?點(diǎn)E,HitA￡.BE.CE.過(guò)點(diǎn)8作8E的垂線交A￡J

*F.連接CF.1\BE=BF=l,CF=遙.則正方形ABCD的面枳為.

【芥案】5+24

【提示】艇M!

13.（兩大）如圖.正方彬ABCD的邊長(zhǎng)為3.iiKCB至點(diǎn)M.WJBMT.連接AM.過(guò)點(diǎn)B作

BNLAM.埠足為N,。足時(shí)用紋AC.BD的交點(diǎn).itRON.則ON的長(zhǎng)為.

【答窠】沙

【提示】1fcMf拉f模型/建系

幾何常見(jiàn)輔助線口訣

?三角形。

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。

也可格圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系斑

角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。

角平分線加垂線，三線合一試試看.

線段垂直平分線，常向兩端把線連。

線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。

線段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。

三角形中有中線，倍長(zhǎng)中線得全等。

?四邊形?

平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn).

梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)槿腔蚱剿?

平移腰，移對(duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。

如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線.

上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。

證相似，比線段，添線平行成習(xí)惜.

等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。

直接證明有困難，等量代換少麻煩.

斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片.

?國(guó)形?

半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來(lái)中間站。

國(guó)上若有一切線，切點(diǎn)國(guó)心半徑聯(lián)。

切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便.

要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨,

是直徑，成半國(guó),想成直角徑連弦.

弧有中點(diǎn)國(guó)心連，垂徑定理要記全。

圖周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。

弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。

要想作個(gè)外接國(guó)，各邊作出中垂線。

還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓。

如果遇到相交圖，不要忘作公共弦。

內(nèi)外相切