專題08拋物線 解析版

Page2Page1專題08拋物線知識總結(jié)：1、拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（其中定點不在定直線上）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．2、拋物線的數(shù)學表達式：(為點到準線的距離).3、拋物線的標準方程設(shè)，拋物線的標準方程、類型及其幾何性質(zhì)：標準方程（）（）（）（）圖形范圍，，，，對稱軸軸軸軸軸焦點坐標準線方程頂點坐標離心率通徑長4、拋物線的通徑(過焦點且垂直于軸的弦)長為.5、拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準距）（1）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（2）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則；（3）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（4）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則.題型歸納【題型01拋物線定義的理解】【題型02利用拋物線定義求方程】【題型03拋物線上點到定點與焦點距離的和（差）最值】【題型04根據(jù)拋物線方程求焦點和準線】【題型05拋物線的焦半徑公式】【題型06求拋物線方程】【題型07直線與拋物線的位置關(guān)系】【題型08拋物線的弦長】【題型01拋物線定義的理解】【典例1】（2023秋·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）若拋物線上一點到軸的距離為，則點到拋物線的焦點的距離為．【答案】4【詳解】由題意可得，，P縱坐標為，由其解析式可得P橫坐標為，由拋物線定義知.故答案為：4【題型02利用拋物線定義求方程】【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知動點的坐標滿足，則動點的軌跡方程為．【答案】【詳解】設(shè)直線，則動點到點的距離為，動點到直線的距離為，又因為，所以動點M的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，其軌跡方程為．故答案為：【題型03拋物線上點到定點與焦點距離的和（差）最值】【典例1】（2023秋·陜西·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線：的焦點為，拋物線上有一動點，且，則的最小值為（

）A．8 B．16 C．11 D．26【答案】C【詳解】因為拋物線：，所以拋物線的準線為，記拋物線的準線為，作于，如圖所示：因為，，所以當，，共線時，有最小值，最小值為.故選：C.【題型04根據(jù)拋物線方程求焦點和準線】【典例1】（2023春·四川·高二統(tǒng)考期末）拋物線的焦點坐標是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由得，故焦點為，故選：B【典例2】（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期末）拋物線的準線方程是．【答案】【詳解】因為拋物線的方程為，所以拋物線的準線方程是.故答案為：.【題型05拋物線的焦半徑公式】【典例1】（2023春·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線上的點到其焦點的距離為，則點的橫坐標是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)點的橫坐標為，拋物線的標準方程為，該拋物線的準線方程為，因為拋物線上的點到其焦點的距離為，則，解得.故選：C.【題型06求拋物線方程】【典例1】（2023春·四川南充·高二四川省南充高級中學?？计谥校示€方程為的拋物線的標準方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)題意，拋物線的準線方程為，即其焦點在軸負半軸上，且，得，故其標準方程為：.故選：D.【典例2】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習）經(jīng)過點的拋物線的標準方程是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【詳解】設(shè)拋物線的方程為或，將點代入，可得或，解得或，故拋物線的標準方程為或，故選：C【題型07直線與拋物線的位置關(guān)系】直線與拋物線的位置關(guān)系設(shè)直線:,拋物線:（）,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于的方程(1)若,當時,直線與拋物線相交,有兩個交點;當時,直線與拋物線相切,有一個切點;當時,直線與拋物線相離,沒有公共點.(2)若,直線與拋物線有一個交點,此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.因此直線與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.【典例1】（2023·全國·高三專題練習）直線與拋物線的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】A【詳解】直線過定點，∵，∴在拋物線內(nèi)部，∴直線與拋物線相交，故選：A．【題型08拋物線的弦長】過拋物線（）的焦點的一條直線與它交于兩點，，則；【典例1】（2023秋·四川成都·高二?？计谀┮阎獟佄锞€，其焦點到其準線的距離為，過焦點且傾斜角為的直線交拋物線于兩點，（1）求拋物線的方程及其焦點坐標；（2）求.【答案】（1），焦點坐標為；（2）8.【詳解】解：（1）拋物線的焦點到其準線的距離為，得，所以拋物線的方程為，焦點坐標為.（2）過焦點且傾斜角為的直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組消去可得，則，所以.同步練習一、選擇題1.（2023春·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學?？茧A段練習）拋物線C與拋物線關(guān)于軸對稱，則拋物線C的準線方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵拋物線C與拋物線關(guān)于軸對稱，∴拋物線C的方程為，∴拋物線C的準線方程是.故選：C.2.（2023·全國·高三專題練習）對拋物線，下列描述正確的是（

）A．開口向上，焦點為 B．開口向上，焦點為C．開口向右，焦點為 D．開口向右，焦點為【答案】A【詳解】由題知，該拋物線的標準方程為，則該拋物線開口向上，焦點坐標為.故選：A.3.（2023·四川成都·四川省成都列五中學?？既＃┤魭佄锞€上的點P到焦點的距離為8，到軸的距離為6，則拋物線的標準方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由拋物線定義可得：，解得，所以拋物線的標準方程為.故選：C

4.（2023春·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為，點在上，若到直線的距離為7，則.【答案】【詳解】由拋物線的焦點為，準線方程為，因為點在上，且到直線的距離為，可得到直線的距離為，即點到準線的距離為，根據(jù)拋物線的定義，可得點到焦點的距離等于點到準線的距離，所以.故答案為：.5.（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學?？级＃┮阎獮閽佄锞€上一點，點到的焦點的距離為，則的焦點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可知，，所以又知拋物線的準線方程為，根據(jù)拋物線的定義可知，，整理得，解得，所以的焦點坐標為，故選：C．6.（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線與直線有且僅有一個交點，則（

）A．4 B．2 C．0或4 D．8【答案】C【詳解】聯(lián)立得：，當時，交點為，滿足題意；當時，由，解得，綜上可知：或，故選：C二、填空題1.（2023秋·廣東廣州·高二?？计谀┮阎獟佄锞€的一條切線方程為，則的準線方程為．【答案】【詳解】由，消去得，由題意，解得，則拋物線方程為：，所以拋物線的準線方程為：，即．故答案為：．2.（2023秋·高二單元測試）已知拋物線的焦點為F，點M（3，6），點Q在拋物線上，則的最小值為．【答案】【詳解】拋物線的準線方程為，過作準線的垂線，垂足為，則，所以.當且僅當與準線垂直時，取等號.所以的最小值為.

故答案為：.三、解答題1.（2023秋·高二課時練習）根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程：（1）焦點是；（2）準線方程是；（3）焦點到準線的距離是．【答案】（1）；（2）；（3）或.【詳解】（1）由題意可知拋物線的焦點在軸的正半軸上，設(shè)拋物線的標準方程為，則，可得，所以，拋物線的標準方程為；（2）由題意可知拋物線的焦點在軸的正半軸上，設(shè)拋物線的標準方程為，則，可得，因此，拋物線的標準方程為；（3）拋物線的焦點到準線的距離為，所以，拋物線的標準方程為或.2.（2023秋·高二課時練習）直線與拋物線交于兩點，求線段AB的長．【答案】．【詳解】解：拋物線，直線，將直線方程代入到拋物線方程中，得：，整理得：，設(shè)