【二次函數(shù)強(qiáng)化練習(xí)】(六)的四種常見綜合應(yīng)用【部編 人教 湘教 蘇教版】

專題訓(xùn)練(六)二次函數(shù)的四種常見綜合應(yīng)用

＞應(yīng)用一幾何圖形與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

1.2018?黃石如圖6-ZT-1,在RfZXPMN中，ZP=90°,PM=PN,MN=6cm,在矩

形ABCD中，AB=2c/n,BC=10cm,點(diǎn)C和點(diǎn)M重合，點(diǎn)B,C(M),N在同一直線上，令

/^△PMN不動(dòng)，矩形ABCD沿MN所在直線以每秒1。"的速度向右移動(dòng)，至點(diǎn)C與點(diǎn)N重

合為止.設(shè)移動(dòng)xs后，矩形ABCD與△PMN重疊部分的面積為yew?,則y關(guān)于x的大致圖

象是()

BC(M)N

圖6-zr-i

圖6-ZT-2

2.如圖6-ZT-3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，4ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,

A(l,0),B(0,2),拋物線y=$2+bx—2過點(diǎn)C.求拋物線的解析式.

圖6-ZT-3

3.如圖6—ZT—4,二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)0,經(jīng)過點(diǎn)A(l,|).點(diǎn)F(0,1)在y軸

上，直線y=-1與y軸交于點(diǎn)H.

(1)求二次函數(shù)的解析式;

(2)P是(1)中函數(shù)圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線與直線y=-1交于點(diǎn)M,連接FM,

求證：FM平分NOFP；

(3)當(dāng)aFPM是等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖6-ZT-4

-應(yīng)用二幾何變換與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

4.已知拋物線y=x?+bx+c經(jīng)過點(diǎn)(2,-3)和(4,5).

(1)求拋物線的函數(shù)解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)將拋物線沿x軸翻折，得到圖象G,求圖象G的函數(shù)解析式；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)一2<x<2時(shí)，直線y=m與該圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的取值范

圍.

5.如圖6—ZT-5,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax?+bx+5經(jīng)

過點(diǎn)M(l,3)和N(3,5).

(1)試判斷該拋物線與x軸的交點(diǎn)情況；

(2)平移這條拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(—2,0),且與y軸交于點(diǎn)B,同時(shí)滿

足以A,O,B為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，請你寫出平移過程.

＞應(yīng)用三其他代數(shù)知識(shí)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

6.已知實(shí)數(shù)x,y滿足x?+3x+y—3=0,則x+y的最大值為.

7.設(shè)X”X2是關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的兩實(shí)數(shù)根，當(dāng)a為何值

時(shí)，X/+X2?的值最??？最小值是多少？

?應(yīng)用四二次函數(shù)的存在性問題

8.如圖6—ZT-6,拋物線y=ax?+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(—1,0),B(5,—6),C(6,0).

(1)求拋物線的解析式.

(2)在直線AB下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使四邊形PACB的面積最大？若存在，請

求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖6-ZT-6

9.已知：如圖6-ZT-7所示，拋物線y=-x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(l,

0),B(3,0).

(1)求拋物線的解析式.

(2)設(shè)點(diǎn)P在該拋物線上滑動(dòng)，則滿足條件SAPAB-I的點(diǎn)P有幾個(gè)？并求出所有點(diǎn)P的

坐標(biāo).

(3)設(shè)拋物線交y軸于點(diǎn)C,該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)M,使得AMAC的周長最

?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖6-ZT-7

詳解詳析

1.AI解析]⑴當(dāng)點(diǎn)D位于PM上時(shí),x=2.當(dāng)04V2時(shí)，重疊部分是等腰直角三角形，

尸上2,圖象是頂點(diǎn)為(0,0)且開口向上的拋物線的一部分.⑵當(dāng)點(diǎn)。位于PN上時(shí)，x=4.

當(dāng)2WxW4時(shí)，重疊部分是直角梯形，y=3x(x—2+x)X2=2x-2,圖象是直線的一部分；

11cl.

(3)當(dāng)4<xW6時(shí)，重疊部分是一個(gè)五邊形，y=]X(2+6)X2-](6-X)2=8—](6一4，圖象

是頂點(diǎn)為(6,8)且開口向下的拋物線的一部分.故選A.

2.解：如圖，過點(diǎn)C作CQ_Lx軸于點(diǎn)。，則ND4C+NOC4=90。.

又,:ZOBA+/O4B=90°,ZOAB+ZDAC=90°,

二ZOAB=ZDCA,ZOBA=ZDAC.

5L'：AB=AC,.,.△AOBdCDA,：.OA=CD^1,AO=OB=2,

：.OD=OA+AD=3,；.C(3,1).

?.?點(diǎn)C(3,1)在拋物線產(chǎn)52+反一2上，.-.l=1x32+3fe-2,

...拋物線的解析式為產(chǎn)學(xué)—5—2.

3.解：(1)；二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O,

.??設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=o?

將4(1，力代入尸加，求得“=*.二次函數(shù)的解析式為尸首.

(2)證明：?點(diǎn)P在拋物線y=%;2上，.?.可設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(〃?，

如圖，連接FM,過點(diǎn)尸作PBLy軸于點(diǎn)B,則必=|舛

在RCBP尸中，PF=y]B產(chǎn)+PB?=q(1m2-l)2+/M2=1/H2+1.

依題意得PM=^m2+1，,PF=PM.

/PFM=ZPMF.

又,?PM//y軸，NMFH=NPMF.

：.NPFM=NMFH,

即尸M平分NOFP.

(3)當(dāng)△尸PM是等邊三角形時(shí)，ZPMF=6Q°,.*.ZFA/W=30°.

則PM=MF=2FH=2X2=4,PB=MH=2p

若點(diǎn)尸在第一象限，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2小，3）；

若點(diǎn)P在第二象限，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（一2小，3）.

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2g,3）或（一25，3）.

4+26+c=-3

4.解:⑴根據(jù)題意得

16+4/?+c=5,

b=~2

解得，

c=-3

.??拋物線的函數(shù)解析式為y=f—2r—3.

Vy=x2-2x-3=(x-l)2-4,

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-4).

(2)如圖，根據(jù)題意，得一y=f—2x—3,

所以y=-X2+2X+3.

(3)y=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,

即圖象G的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4).

若0Wx<2,當(dāng)直線丁=加過圖象G的頂點(diǎn)(1,4)時(shí)，直線丁=加與圖象G有一個(gè)公共點(diǎn)，

此時(shí)y=4,

.??加=4.

若一2VxV0,直線與圖象G有一個(gè)公共點(diǎn)，

當(dāng)》=機(jī)過圖象G上的點(diǎn)(0,3)時(shí)，y=3,

**?=3；

當(dāng)丁=加過圖象上的點(diǎn)(一2,—5)時(shí)，y=—5,

?\m=-5,

/.—5V/nW3.

綜上可知在一2VxV2范圍內(nèi)，當(dāng)直線y=m與該圖象有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，加=4或一5V

加W3.

。+/7+5=3,

5.解：⑴由題意'得%+5=5.

。=1,

解之,得

b=-3.

二拋物線的解析式為—3x+5.

,,J=fe2-4ac=(-3)2-4XlX5=9-20=-ll<0,

.?.拋物線與x軸沒有交點(diǎn).

(2)?.?△AOB是等腰直角三角形，A(-2,0),點(diǎn)8在y軸上,

.?.點(diǎn)3的坐標(biāo)為(0,2)或(0,-2).

設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=f+爾+〃.

①若拋物線過點(diǎn)A(—2,0),8(0,2),

4—2〃?+〃=0,

有.

〃=2.

加二3,

解之，得

幾=2.

???平移后的拋物線的解析式為y=f+3x+2.

.,.該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一3家一?1

而原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Ey).

???將原拋物線先向左平移3個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度即可獲得符合條件的

拋物線.

[4—2次+〃=0,[m=1,

②若拋物線過點(diǎn)A(—2,0),B(0,-2),有.解之，得.

[n=—2.[n=—2.

/.平移后的拋物線的解析式為y=f+x—2.該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一；，-1).

而原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為G3，子11)，

.?.將原拋物線先向左平移2個(gè)單位長度，再向下平移5個(gè)單位長度即可獲得符合條件的

拋物線.

6.[答案]4

[解析]x+y=—$-2%+3=—。+19+4,.?.當(dāng)x=—1時(shí)，x+y有最大值，最大值是4.

7.解：依題意得/=(24)2—4(/+4”-2)>0,

,."i+x2=-2a,汨、2=/+4〃—2,

.'.X|2+%22=(xi+X2)2—2X\X2—4(T—2(a2+4。-2)—2(a—2)2—4.

.,.當(dāng)時(shí)，婷+宣的值最小，

222

此時(shí)X1+JV2=2X(1—2)—4=^,即最小值為方

8.解：(1)設(shè)、=4(*+1)(*—6),把(5,—6)代入解析式，得“(5+1)(5—6)=—6,

解得a=1,...y=(x+l)(x—6)=x?—5x—6.

(2)存在.

如圖，分別過點(diǎn)P,8向x軸作垂線，垂足為M,N.

設(shè)P("i,nr—5m—6),其中一設(shè)四邊形B4C8的面積為S,則PA7=-m2+5n?

+6,AM=m+l,MN=5~m,CN=6-5=1,BN=6,

?1211

?'?S=SA4/WP+S桶形PMNB+SZ\BNC=](一m+5加+6)(加+1)+2(6—相2+5m+6)(5一加)+]

X1X6=-3m2+12m+36=-3(/n-2)2+48,

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，S有最大值為48,這時(shí)〃P—5〃?一6=22—5X2—6=—12,

：.P(2,-12).

—1+力+c=0,

9.解：⑴將(L0),(3,0)代入y=-?+云+的得

-9+3/?+c=0,

b=4,

解得，

c=-3.

?,?該拋物線的解析式為y=-X2+4X-3.

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y).

?；A8=2,S△附B=/AB|y|=1,

/.y=±L

當(dāng)y=l時(shí)，有1=—f+4x—3,

即?一以+4=。-2)2=(),

解得乃=必=2;

當(dāng)y=—1時(shí)，有一1=一/+4/一3,

即f—4X+2=0,

解得尤1=2—5，％2=2+啦.

???滿足條件的點(diǎn)P有3個(gè)，坐標(biāo)分