【吃透中考數(shù)學(xué)29個(gè)幾何模型】模型06 半角模型

專(zhuān)題06半角模型

一、單選題

1.如圖所示，在R3ABC中，AB=AC,D、E是斜邊上的兩點(diǎn)，且/D4E=45。，將AAOC繞點(diǎn)A按

順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。后得到△AFB,連接EF,有下列結(jié)論:①BE=DC；②NBAF=ZDAC；③NFAE=/DAE；

?BF=DC.其中正確的有（）

A.①②③④B.②③C.②③④D.③④

【答案】C

【分析】

利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得△ABE四△ACD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】

解：：△AOC繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到△AFB,

：.AABF^AACD,

：.ZBAF=ZCAD,AF=AD,BF=CD,故②④正確，

AZEAF=ZBAF+ZBAE^ZCAD+ZBAE=ABAC-NZME=90°-45°=45°=N￡）AE故③正確

無(wú)法判斷BE=C。，故①錯(cuò)誤，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

二、解答題

2.如圖，等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,A8=AC,點(diǎn)N在邊BC上，且/M4N=45。.若BM=1,

CN=3,求MN的長(zhǎng).

710

【分析】

過(guò)點(diǎn)C作CELBC,垂足為點(diǎn)C,截取CE,使CE=BM.連接AE、EN.通過(guò)證明△ABM之Z\ACE(SAS)

推知全等三角形的對(duì)應(yīng)邊AM=AE、對(duì)應(yīng)角/BAM=/CAE；然后由等腰直角三角形的性質(zhì)和/MAN=45。

得到NMAN=/EAN=45。，所以△MAN咨AEAN(SAS),故全等三角形的對(duì)應(yīng)邊MN=EN；最后由勾股

定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2.

【詳解】

解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CELBC,垂足為點(diǎn)C,截取CE,使CE=BM.連接AE、EN.

VAB=AC,ZBAC=90°,

；./B=NACB=45°.

VCE±BC,

.".ZACE=ZB=45°.

AB=AC

在4ABM和4ACE中|NB=NACE,

BM=CE

：.△ABMACE(SAS).

.\AM=AE,ZBAM=ZCAE.

：/BAC=90°,/MAN=45°,

ZBAM+ZCAN=45°.

于是，由/BAM=/CAE,得/MAN=NEAN=45。.

AM=AE

在^MAN和4EAN中|ZMAN=ZEAN,

AN=AN

：.AMAN^AEAN(SAS).

；.MN=EN.

在RtAENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2.

.*.MN2=BM2+NC2.

VBM=1,CN=3,

.\MN2=l2+32,

.,.MN=7IO.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，掌握三角形的

全等的判定定理是解題關(guān)鍵.

3.在/M4N內(nèi)有一點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。分別作。DC±AN,垂足分別為8,C.且80=0,點(diǎn)E,尸分

別在邊AM和AN上.

圖2

(1)如圖1,若/BED=NCFD,請(qǐng)說(shuō)明?！?。下；

(2)如圖2,若NBOC=120。，ZEDF=60°,猜想EF,BE,CP具有的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的結(jié)論成立的理

由.

(1)說(shuō)明見(jiàn)解析；(2)EF=FC+BE.理由見(jiàn)解析.

【分析】

(1)根據(jù)題目中的條件和/BED=NCFD,可以證明△BDE絲ACDF,從而可以得到DE=DF；

(2)作輔助線，過(guò)點(diǎn)D作NCDG=NBDE,交AN于點(diǎn)G,從而可以得到△BDE04CDG,然后即可得到

DE=DG,BE=CG,再根據(jù)題目中的條件可以得到△EDF四Z\GDF,即可得到EF=GF,然后即可得到EF,

BE,CF具有的數(shù)量關(guān)系.

【詳解】

(1)DBLAM,DCLAN,

ZDBE=ZDCF=90°.

在48?！旰?C。尸中,

ZBED=ZCFD,

?：<ZDBE=ZDCF,

BD=CD,

：.ABDE^ACDF(AAS).

，DE=DF.

(2)過(guò)點(diǎn)。作NCDG=N2DE,交AN于點(diǎn)G.

在48?！旰?CQG中，

ZEBD=ZGCD,

'：<BD=CD,

ZBDE=ZCDG,

：.△BDE^/XCDG(ASA)

：.DE=DG,BE=CG.

VZBDC=\20°,NEDF=60。,

ZBDE+ZCDF=60°.

：.ZFDG=ZCDG+ZCDF=60°.

：.ZEDF=ZGDF.

在4￡八尸和4GO尸中,

DE=DG,

<ZEDF=ZGDF,

DF=DF,

：.△EDF沿4GDF(SAS).

Z.EF=FG.

：.EF=FC+CG=FC+BE.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定、解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

4.如圖，AB=AD^BC^DC,NC=/D=ZABE=/BAD=90。，點(diǎn)、E、尸分別在邊BC、CD±,

NE4F=45。，過(guò)點(diǎn)A作NG4B=NE4D,且點(diǎn)G在CB的延長(zhǎng)線上.

(1)AG鉆與AE4D全等嗎？為什么？

(2)若。尸=2,BE=3,求所的長(zhǎng).

(1)AGAB^/\FAD,理由見(jiàn)解析；(2)EF=5

【分析】

(1)由題意可得/ABG=ND=90。，進(jìn)一步即可根據(jù)ASA證得△

(2)由(1)的結(jié)論可得AG=AF,GB=DF,易得/BAE+/D4F=45。，進(jìn)而可推出/GAE=/EAF然后利

用SAS即可證明^GAE^AFAE,可得GE=EF,進(jìn)一步即可求出結(jié)果.

【詳解】

解：(1)/D=/A3E=90。，點(diǎn)G在CB的延長(zhǎng)線上,

ZABG=ZD=90°,

在^GAB^DA￡4。中，

VZGAB=ZFAD,AB=AD,ZABG=ZD,

二.△GAB注△FAD(ASA)；

(2)'：/\GAB^/\FAD,

：.AG=AF,GB=DF,

VZBAD=90°,/E4F=45。，

ZBAE+ZDAF=45°,

：.ZBAE+ZGAB=45°,即NGAE=45°,

ZGAE=ZEAF,

在404石和八曲E中，

\'AG=AF,ZGAE=ZEAF,AE=AE,

：./\GAE^/\FAE(SAS),

GE=EF,

'：GE=GB+BE=DF+BE=2+3=5,

：.EF=5.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于?？碱}型，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

5.如圖，在四邊形ABCD中，ZB=ZD=90°,E,尸分別是BC,CD上的點(diǎn)，連接AE,AF,EF.

(1)如圖①，AB=AD,ZBAD=120°,ZEAF=60°.求證：EF=BE+DF

（2）如圖②，ZBAD=120°,當(dāng)AER周長(zhǎng)最小時(shí)，求/4EF+NAFE的度數(shù)；

（3）如圖③，若四邊形ABC。為正方形，點(diǎn)、E、P分別在邊8C、CD上，且㈤產(chǎn)=45。，若BE=3,

DF=2,請(qǐng)求出線段石尸的長(zhǎng)度.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）ZAEF+ZAFE=120°■,（3）EF=5.

【分析】

（1）延長(zhǎng)ND到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,首先證明ABEmADG,則有AE=AG,NBAE=ZDAG,

然后利用角度之間的關(guān)系得出NE4/=NE4G=60°,進(jìn)而可證明AEA產(chǎn)也,則

EF=FG=DG+DF,則結(jié)論可證;

(2)分別作點(diǎn)A關(guān)于和CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A',A",連接AA',交BC于點(diǎn)、E，交CD于點(diǎn)F,根據(jù)軸

對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)有AE=AE,A'F=AF，當(dāng)點(diǎn)A'、E、F、A"在同一條直線上時(shí)，AA'即為AEF周

長(zhǎng)的最小值，然后利用ZAEF+ZAFE=ZEAA+ZEAA+ZFAD+ZA'求解即可；

(3)旋轉(zhuǎn)△ABE至△ADP的位置，首先證明△出尸會(huì)△￡〃，則有所=尸尸，最后利用

EF=PF=PD+DF=6E+DF求解即可.

【詳解】

(1)證明：如解圖①，延長(zhǎng)ED到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,

在ZkABE和ADG中，

AB=AD,

<ZABE=ZADG,

BE=DG,

ABE名ADG(SAS).

:.AE=AG,NBAE=/DAG,

ZBAD=120°,ZEAF^60°,

ZBAE+ZFAD=ZDAG+ZFAD=60°.

:.ZEAF=ZFAG=a)°,

在AEAF和G4F中,

AE=AG,

<ZEAF=NGAF,

AF=AF,

EAF^GAF(SAS).

：.EF=FG=DG+DF,:.EF=BE+DF-.

(2)解：如解圖，分別作點(diǎn)A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A',A",連接AA",交BC于點(diǎn)E，交CD于

點(diǎn)戶.

由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得AE=AE，A"F=AF，

,此時(shí)A石廠的周長(zhǎng)為A石+郎+A尸=A'6+所+A'/=A'A”.

二當(dāng)點(diǎn)A'、E、F、A"在同一條直線上時(shí)，AA"即為A石尸周長(zhǎng)的最小值.

ZZMS=120°,

NA4'E+NA"=180?！?20°=60°.

AEAA=ZEAA',ZFAD=NA〃，ZEAA+ZEAA=ZAEF,ZFAD+NA"=ZAFE,

ZAEF+ZAFE=ZEA^A+ZEAA+ZFAD+ZAV=2(ZA4'E+ZA")=2x60°=120°；

(3)解：如解圖，旋轉(zhuǎn)△ABE至△ADP的位置,

...NPAE=ZDAE+ZPAD=ZDAE+ZEAB=90°,

AP=AE^/PAF=/PAE—/FAF=90°—45°=45°=/EAF.

在和△應(yīng)W中，

AP=AE,

<ZPAF=NEAF,

AF=AF,

:.^PAF^^EAF(SAS).

:.EF=FP.

EF=PF=PD+DF=BE+DF=3+2=5.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，A6C是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，班)。是頂角為120。的等腰三角形，以點(diǎn)。為頂點(diǎn)作

NMDN=60°,點(diǎn)M、N分別在A3、AC±.

(1)如圖①，當(dāng)MNHBC忖,貝UAAW的周長(zhǎng)為；

(2)如圖②，求證：BM+NC=MN.

A

N

MM

B,cBC

DD

圖①圖②

(1)4；(2)見(jiàn)解析

【分析】

(1)首先證明△BDMgZXCDN,進(jìn)而得出ADMN是等邊三角形，ZBDM=ZCDN=30°,NC=BM=DM=

—MN,即可解決問(wèn)題;

2

(2)延長(zhǎng)AC至點(diǎn)E，使得=連接。E,首先證明△BDM0ZiCDE,再證明

△MDN94EDN,得出MN=NE,進(jìn)而得出結(jié)果即可.

【詳解】

解：(1)A6C是等邊三角形，MN//BC,

ZAMN=ZABC^60°,ZANM=ZACB=?。

：.AAW是等邊三角形，=則5M=NC,

：BDC是頂角ZBDC=120°的等腰三角形,

ZDBC=ZDCB=30°,

:.ZDBM=ZDCN=90°,

在瓦羽和△CDN中,

BM=CN,

<ZMBD=ZDCN,

BD=CD,

:.ABDMm^CDN(SAS),

:.DM=DN,ZBDM=ZCDN,

???ZMDN=60°,

/.OMN是等邊三角形，ZBDM=NCDN=30。,

.-.NC=BM=-DM=-MN,:.MN^MB+NC,

22

AAW的周長(zhǎng)=AB+AC=4.

(2)如圖，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)E，使得CE=BM,連接OE,

,/ABC是等邊三角形，加C是頂角N5DC=120。的等腰三角形,

:.ZABC=ZACB=60°,ZDBC=ZDCB=30°,

:.ZABD=ZACD=90°,

;.NDCE=90。,

在和△CD￡中，

BD=CD,

<ZMBD=ZECD,

BM=CE,

:.ABDM/△CDE(5AS),

:.MD=ED,ZMDB=ZEDC,

ZMDE=1200-ZMDB+ZEDC=120°,

/MDN=60°,

:.ZNDE^60°,

在△MDN和△磯)N中，

MD=ED,

<ZMDN=ZNDE=60°,

DN=DN,

:.AMDNmAEDN(SAS).

:.MN=NE,

又,：NE=NC+CE=NC+BM,

:.BM+NC^MN.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)與

判定，等邊三角形及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.問(wèn)題背景

如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,NB=ZADC=90°,點(diǎn)E,尸分別是BC,CD

上的點(diǎn)，且NEAb=60°,連接石尸，探究線段鹿，EF,。尸之間的數(shù)量關(guān)系.

nD

探究發(fā)現(xiàn)

(1)小明同學(xué)的方法是將ZWE繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。至AOG的位置，使得與A。重合，然后

再證明△AEE烏△AFG,從而得出結(jié)論：；

拓展延伸

(2)如圖②，在四邊形ABCD中，AB=AD,N6+"=180°,點(diǎn)E,尸分別是邊BC,CD上的點(diǎn)，

且NE4/連接族.(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)

2

明理由；

(3)如圖③，在正方形ABCD中，點(diǎn)、E，尸分別是邊BC,CD上的點(diǎn)，且NE4F=45。，連接所，已

知5E=3,DF=2,求正方形ABCD的邊長(zhǎng).

(1)EF=BE+DF；(2)(1)中的結(jié)論石戶=5石+。尸仍然成立.證明見(jiàn)解析；(3)正方形ABCD的

邊長(zhǎng)為6.

【分析】

(1)證明AEF^AGF,可得EF=FG,即可得出結(jié)論；

(2)要探究巫，EF,。產(chǎn)之間的數(shù)量關(guān)系，方法同(1)即可得出結(jié)論;

(3)根據(jù)(1)(2)的結(jié)論和勾股定理，即可求出正方形ABCD的邊長(zhǎng).

【詳解】

(1)解：由旋轉(zhuǎn)得：AE=AG,ZBAE=ZDAG,BE=DG,

,/ZBAD=120°,

：.ZEAG=120°,

'：ZEAF^60°.

?,.ZGAF=ZE4F=60°,

又：AF=AF,

AAFE咨AAFG,

；.EF=GF,

VGF=DG+DF,

：.EF=BE+DF，

故答案為：EF=BE+DF-,

(2)解：(1)中的結(jié)論石戶=鹿+￡)尸仍然成立.

證明：如解圖，將ZkABE繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ADG的位置，使AB與AD重合.

則NADG=/B,DG=BE,AG=AE,/BAE=NDAG，

又「ZB+ZAZ)C=180°,

ZADG+ZADC=1SO°,

：.C,D,G三點(diǎn)共線.

,/ZFAD+ZDAG=ZFAD+ZBAE=/BAD-ZEAF=-ZBAD,

2

NFAG=NEAF,

又：AF=AF,

AEF冬AGF,

：.EF=FG,

又FG=DG+DF=BE+DF,

:.EF=BE+DF；

(3)解：由(1)(2)可知印=3石+。/=3+2=5.

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x,

則CE=x—3,CF=x-2,

在RfCEF中，EF2=CE~+CF2，

25=(X-3)2+(X-2)2,

解得占=6,%=T(不合題意，舍去)，

故正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6.

【點(diǎn)睛】

此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)，解題中注意類(lèi)比方

法的運(yùn)用，同樣的類(lèi)型題可以運(yùn)用同樣的思路及方法進(jìn)行證明.

8.如圖，ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，班)C是等腰三角形，且NH￡>C=120。，以。為頂點(diǎn)作一

個(gè)60。角，使其兩邊分別交A5于點(diǎn)”，交AC于點(diǎn)、N,連接求AAW的周長(zhǎng).

D

【答案】

的周長(zhǎng)為6.

【分析】

要求AAMN的周長(zhǎng)，根據(jù)題目已知條件無(wú)法求出三條邊的長(zhǎng)，只能把三條邊長(zhǎng)用其它已知邊長(zhǎng)來(lái)表示，所

以需要作輔助線，延長(zhǎng)AB至F,使BF=CN,連接DF,通過(guò)證明△BDF咨Z\CDN,及△DMN也△DMF,

從而得出MN=MF,△AMN的周長(zhǎng)等于AB+AC的長(zhǎng).

【詳解】

解：?.?△BDC是等腰三角形，且NBDC=120。

ZBCD=ZDBC=30°

AABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形

ZABC=ZBAC=ZBCA=60°

ZDBA=ZDCA=90°

延長(zhǎng)AB至F,使BF=CN,連接DF,

在RtABDF和RtACND中，BF=CN,DB=DC

.".△BDF^ACDN,

AZBDF=ZCDN,DF=DN

ZMDN=60°

ZBDM+ZCDN=60°

/.ZBDM+ZBDF=60°,ZFDM=60°=ZMDN,DM為公共邊

.,.△DMN^ADMF,

/.MN=MF

AAMN的周長(zhǎng)是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6.

【點(diǎn)睛】

此題主要利用等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)來(lái)證明三角形全等，構(gòu)造另一個(gè)三角形是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，已知：正方形ABCD,點(diǎn)E，產(chǎn)分別是BC,DC上的點(diǎn)，連接AE,AF,EF，且NE4F=45。,

求證：BE+DF=EF.

見(jiàn)解析.

【分析】

將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AADG,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得GD=BE,AG=AE,ZDAG=ZBAE,然

后求出NFAG=NEAF,再利用“邊角邊”證明△AEF^AAGF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=FG,

即可得出結(jié)論.

【詳解】

如解圖，將/XABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ADG的位置，使A3與AD重合.

AG=AE,ZDAG=ZBAE,DG=BE.

"："4^=45°.

ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=90°-45°=45°,

，ZEAF=ZGAF.

在4GF和AEF中,

AG=AE

<ZGAF=ZEAF,,

AF=AF

：.△AGF^AAEF(SAS).

：.EF=GF.

*/GF=DG+DF=BE+DF,

?*.BE+DF=EF.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于利用旋轉(zhuǎn)變換作出全等三角

形.

10.如圖，正方形ABC。中，E、尸分別在邊8C、CD±,且NEAF=45。，連接跖，這種模型屬于“半角模

型''中的一類(lèi)，在解決“半角模型''問(wèn)題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的分析思路.例如圖中下與AABG可以看作

繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90。的關(guān)系.這可以證明結(jié)論尸，，請(qǐng)補(bǔ)充輔助線的作法，并寫(xiě)出證明過(guò)程.

(1)延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G,使BG=,連接AG；

(2)證明：EF=BE+DF

【答案】見(jiàn)解析.

【分析】

將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AADG,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得GD=BE,AG=AE,ZDAG=ZBAE,然

后求出/FAG=/EAF,再利用“邊角邊”證明△AEFffAAGF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=FG,

即可得出結(jié)論.

【詳解】

如解圖，將/XABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至ADG的位置，使AB與AD重合.

AAG=AE,NDAG=NBAE,DG=BE.

ZE4F=45°.

ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=90°-45°=45°,

：.ZEAF=ZGAF.

在AG歹和AE"中，

AG=AE

<ZGAF=ZEAF,,

AF=AF

：.△AGF^^AEF(SAS).

：.EF=GF.

*/GF=DG+DF=BE+DF,

BE+DF=EF.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于利用旋轉(zhuǎn)變換作出全等三角

形.

11.(1)如圖1,在四邊形ABC。中，AB=AD,ZBAD=IOQ°,ZB=ZADC=90°.E,尸分別是BC,CD

上的點(diǎn).且NE4尸=50。.探究圖中線段所，BE,即之間的數(shù)量關(guān)系.

小明同學(xué)探究的方法是：延長(zhǎng)ED到點(diǎn)G,使DG=8E,連接AG,先證明△ABE0AAOG,再證明

AAEF^AAGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論是(直接寫(xiě)結(jié)論，不需證明)；

(2)如圖2,若在四邊形4BCO中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,尸分別是BC,C￡＞上的點(diǎn)，＞2ZEAF

=ZBAD,上述結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖3,四邊形A8CZ)是邊長(zhǎng)為7的正方形，/EBF=45°,直接寫(xiě)出的周長(zhǎng).

【答案】(1)DF；(2)見(jiàn)解析

【分析】

(1)由于△AOF與△ABG可以看作繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90。的關(guān)系，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知BG=DF,從而得到輔助線

的做法；

(2)先證明△尸0/XAgG,得到AG=AF,ZGAB=ZDAF,結(jié)合NEAF=45。，易知/GAE=45。，再證明

△AGE^AAFE即可得至ljEF=GE=BE+GB=BE+DF

【詳解】

解：(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知BG=DF,從而得到輔助線的做法：延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G,使BG=DF,連接AG；

(2):四邊形ABCD為正方形,

，AB=AD,ZADF=ZABE=ZABG=90°,

在△AO尸和△A8G中

AD=AB

<ZADF=ZABG

DF=BG

：.AADF^AABG(SAS),

；.AF=AG,NDAF=/GAB,

,/ZEAF=45°,

ZDAF+ZEAB=45°,

.".ZGAB+ZEAB=45°,

；./GAE=/EAF=45。，

在△AGE和△AFE中0

AG=AF

<ZGAE=ZFAE

AE=AE

(SAS),

；.GE=EF,

EF=GE=BE+GB=BE+OF

【點(diǎn)睛】

本題屬于四邊形綜合題，主要考查正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利

用旋轉(zhuǎn)方法提示構(gòu)造全等三角形，屬于中考?？碱}型.

12.如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，連接DE,將DE繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到EG,過(guò)

點(diǎn)G作GFLCB,垂足為F,GH±AB,垂足為H,連接DG,交AB于I.

/

FBEC

(1)求證：四邊形BFGH是正方形；

(2)求證：ED平分NCEI；

(3)連接IE,若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為30,則ABEI的周長(zhǎng)為.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)60

【分析】

(1)先證根據(jù)NF=/GHB=/ABF=90。證得四邊形BFGH為矩形，再證明ADCEZAEFG進(jìn)而可證得

BF=FG,根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形即可得證；

(2)延長(zhǎng)EC到點(diǎn)M,使得CM=AL連接DM,先證△ADI0ACDM可得DI=DM,ZADI=ZCDM,

進(jìn)而可證4EDM^AEDI得/DEI=NDEC,即可得證；

(3)由(2)可知IE=EM=EC+CM=EC+AL則△BEI的周長(zhǎng)為BI+BE+IE=BI+BE+EC+AI=AB

+BC,由此可求得答案.

【詳解】

(1)證明：：將DE繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到EG,

；.DE=EG,ZDEG=90°,

.".ZDEC+ZGEF=90°,

:在正方形ABCD中

.".ZC=ZABC=ZABF=90°,BC=CD,

.".ZDEC+ZCDE=90°,

.".ZCDE=ZGEF,

VGFXCB,GH±AB,

.".ZF=ZGHB=90°,

.*.ZF=ZGHB=ZABF=90°,

四邊形BFGH為矩形，

在4口?￡與4EFG中，

一NF=NC

<NCDE=NGEF

GE=DE

/.△DCE^AEFG(AAS)

；.EF=CD,FG=CE,

；.EF=BC,

；.EF—BE=BC—BE,

即BF=CE,

；.BF=FG,

...矩形BFGH為正方形；

(2)證明：如圖，延長(zhǎng)EC到點(diǎn)M,使得CM=AL連接DM,

;在正方形ABCD中

ZADC=ZA=ZDCE=ZDCM=90°,AD=CD,

在公ADI-^ACDM中,

AD=CD

<NA=/DCM

Al=CM

.*.△ADI^ACDM(SAS)

ADI=DM,ZADI=ZCDM,

?lDE=EG,ZDEG=90°,

:.NEDG=ZEGD=45°,

又,.,NADC=90。，

.*.ZADI+ZCDE=45°,

NEDM=NCDM+NCDE=45。，

???NEDM=NEDG,

在△EDM與△EDI中，

ED=ED

</EDM=/EDI

DM=DI

.*.△EDM^AEDI(SAS)

???NDEI=NDEC,

二?DE平分NIEC；

(3)解：由(2)可知△EDM2△EDI,

???IE=EM=EC+CM,

又?.?CM=AI,

???IE=EC+CM=EC+AL

，ABEI的周長(zhǎng)為BI+BE+IE=BI+BE+EC+AI=AB+BC,

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3V2，

：.ABEI的周長(zhǎng)為AB+BC=60，

故答案為：6J5.

FBEC~

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)圖形

的判定及性質(zhì)以及作出正確的輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

13.請(qǐng)閱讀下列材料：

己知：如圖（1）在RtAABC中，/BAC=90。，AB=AC,點(diǎn)。、E分別為線段8c上兩動(dòng)點(diǎn)，若/。AE=

45°.探究線段80、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系：

BDECDBE

ADEB

圖（1）圖（2）圖（3）

（1）猜想3。、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式,直接寫(xiě)出你的猜想;

（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)￡在線段BC上，動(dòng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)在線段C8延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖（2）,其它條件不變，（1）中探究

的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明你的猜想并給予證明；

（3）已知：如圖（3）,等邊三角形ABC中，點(diǎn)。、E在邊上，且NQCE=30。，請(qǐng)你找出一個(gè)條件，使

線段。E、AD,殖能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，并求出此時(shí)等腰三角形頂角的度數(shù).

【答案】（1）DE^BA+EC2；（2）關(guān)系式仍然成立，詳見(jiàn)解析；（3）當(dāng)AZ）=BE時(shí)，線段

DE、AD.E8能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，且頂角4DFE為120。.

【分析】

（A）D-BU+EC2,將△AQB沿直線AD對(duì)折，得△AFD,連FE,得到△然后可以得到

AF=AB,FD=DB,ZFAD=ABAD,ZAFD=ZABD,再利用已知條件可以證明△APE咨△&（?￡1,從而可

以得到/。尸￡=/4即+/4/石=45。+45。=90。，根據(jù)勾股定理即可證明猜想的結(jié)論；

（2）根據(jù)（1）的思路一樣可以解決問(wèn)題；

（3）當(dāng)AO=8E時(shí)，線段。E、AD.E8能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形.如圖，與（1）類(lèi)似，以CE為一邊，作

ZECF=ZECB,在CF上截取CF=CB,可得△CFE咨LCBE,△DCF^/\DCA,然后可以得到AD=。居

EF=BE.由此可以得到/￡＞在=/1+/2=/4+/8=120。，這樣就可以解決問(wèn)題.

【詳解】

解：（1）D^BD-+EC1-

證明：如圖，將AAD8沿直線對(duì)折，得△AED,連PE,

△AFD/LABD,

：.AF=AB,FD=DB,ZFAD=ZBAD,ZAFD=ZABD,

VZBAC=90°,ZDAE=45°

：.ZBAD+ZCAE=45°,ZFAD+ZFAE=45°,

：.ZCAE=ZFAE

又AE=AE,AF=AB=AC

???AAFE^AACE,

???ZDFE=ZAF￡>+ZAFE=45°+45o=90°,

：.DE1=FD2+EF1

:.DSBD2+EC1；

（2）關(guān)系式仍然成立.

證明：將△ADB沿直線AO對(duì)折，得連尸E

JAAFD^AABD,

：.AF=AB,FD=DB,

ZFAD=ZBAD,ZAFD=ZABD,

XVAB=AC,

：.AF=AC,

丁ZFAE=/FAD+/DAE=ZM￡>+45°,

ZEAC=ZBAC-ZBAE=90°-(ZDAE-ZDAB)=450+NDAB,

：.ZFAE=ZEAC,

又：AE=AE,

AAFE^AACE,

：.FE=EC,ZAFE=ZACE=45°,ZAFD=ZABD=\8Q°-ZABC=135°

ZDFE=ZAFD-ZAF￡=135°-45°=90°,

.,.在RSOPE中，。尸+莊2=。廬，

即DE1=BD2+EC1；

(3)當(dāng)時(shí)，線段。E、AD,能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形.

如圖，與(2)類(lèi)似，以CE為一邊，作/ECF=NECB,在CF上截取CF=CB,

可得△CFE^/XCBE,△DCF^/\DCA.

：.AD=DF,EF=BE.

：.4DFE=Z1+N2=NA+NB=120°.

若使A￡＞也為等腰三角形，只需DF=EF,即AO=BE,

.?.當(dāng)AO=BE時(shí)，線段DE、AD,仍能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，且頂角NDEE為120。.

【點(diǎn)睛】

此題比較復(fù)雜，考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，此題關(guān)

鍵是正確找出輔助線，通過(guò)輔助線構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，要掌握輔助線的作圖根據(jù).

14.（2020?錦州模擬）問(wèn)題情境：已知，在等邊AABC中，N8AC與/ACB的角平分線交于點(diǎn)。點(diǎn)M、N

分別在直線AC,AB上，且/MON=60。，猜想CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系.

方法感悟：小芳的思考過(guò)程是在CM上取一點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，從而解決問(wèn)題；

小麗的思考過(guò)程是在A8取一點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，從而解決問(wèn)題；

問(wèn)題解決：（1）如圖1,M、N分別在邊AC,AB上時(shí)，探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）如圖2,M在邊AC上，點(diǎn)N在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你在圖2中補(bǔ)全圖形，標(biāo)出相應(yīng)字母，探索CM、

MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】（1）CM=AN+MN,詳見(jiàn)解析；（2）CM=MN-AN,詳見(jiàn)解析

【分析】

（1）在AC上截取CD=AN,連接OD,證明△CDOQAANO,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OD=ON,ZCOD

=ZAON,證明得到。M=MN,結(jié)合圖形證明結(jié)論；

（2）在AC延長(zhǎng)線上截取CD=AN,連接OD,仿照（1）的方法解答.

【詳解】

解：⑴CM=AN+MN,

理由如下：在AC上截取CD=AN,連接0。,

圖1

：△ABC為等邊三角形，/54C與/ACB的角平分線交于點(diǎn)0,

：.ZOAC=ZOCA=30°,

：.OA=OC,

在4C￡>。和△ANO中，

OC=OA

<ZOCD=ZOAN,

CD=AN

：./\CDO^/\ANO(SAS)

：.OD=ON,ZCOD=ZAON,

NMON=60°,

：.ZCOD+ZAOM^60°,

'：NAOC=120。，

ZDOM=60°,

在40Mo和小MWO中，

OD=ON

<ZDOM=ZNOM,

OM=OM

：.ADMO^ANMO,

：.DM=MN,

：.CM=CD+DM=AN+MN；

(2)補(bǔ)全圖形如圖2所示:

CM=MN-AN,

理由如下：在AC延長(zhǎng)線上截取CO=AN,連接

在乙CDO和AANO中，

CD=AN

<ZOCD=NOAN=150°,

OC=OA

：./\CDO^AANO(SAS)

：.OD=ON,ZCOD=ZAON,

：.ZDOM=ZNOM,

在40Mo和^MWO中，

OD=ON

<ZDOM=ZNOM,

0M=0M

：.4DMO%ANMO(SAS)

：.MN=DM,

：.CM=DM-CD=MN-AN.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理.

15.(2019秋?東臺(tái)市期末)在等邊△ABC的兩邊A3、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N,。為△ABC外一點(diǎn)，

且NM￡)N=60。，ZBDC^120°,BD=DC.探究：當(dāng)M、N分別在直線A8、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN

之間的數(shù)量關(guān)系及△AMN的周長(zhǎng)Q與等邊△ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM^DN^,BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是

此時(shí)2=

L

(2)如圖2,點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)。時(shí)，猜想(D問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立請(qǐng)直

接寫(xiě)出你的結(jié)論；若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)如圖3,當(dāng)Af、N分別在邊48、C4的延長(zhǎng)線上時(shí)，探索BM、NC、之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出

證明.

2

【答案】(1)BM+NC=MN,--(2)結(jié)論仍然成立，詳見(jiàn)解析；(3)NC-BM=MN,詳見(jiàn)解析

3

【分析】

(1)由。M=ON,ZMDN=60°,可證得△MZW是等邊三角形，又由△ABC是等邊三角形，CD=BD,易

證得RS絲R3CON,然后由直角三角形的性質(zhì)，即可求得BM、NC、A/N之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC

…。2

=MN,此時(shí)—=-；

L3

(2)在CN的延長(zhǎng)線上截取CWi=BM,連接。Mi.可證△DBM咨LDCMi,即可得。肘=OM,易證得NCDN

=ZMDN=60°,則可證得△MLW之然后由全等三角形的性質(zhì)，即可得結(jié)論仍然成立；

(3)首先在CN上截取連接可證△四△OCMi,即可得。0=功0,然后證得NCDN

=ZMDN=60°,易證得△MLW之△MON,則可得NC-BM=MN.

【詳解】

(1)如圖1,BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC=MN.

此時(shí)—

L3

理由：?;DM=DN,/MDN=6U。,

???△MQN是等邊三角形，

△ABC是等邊三角形，

???乙4=60。，

?：BD=CD,ZBDC=120°,

：.ZDBC=ZDCB=30°,

：.ZMBD=ZNCD=90°,

?；DM=DN,BD=CD,

ARtABDM0RtACDN,

：.ZBDM=ZCDN=3009BM=CN,

:.DM=2BM,DN=2CN,

???MN=2BM=2CN=BM+CN；

：.AM=AN,

???△AMN是等邊三角形，

：.AM：AB=2：3,

.Q2

.?—=—?

L3,

(2)猜想：結(jié)論仍然成立.

證明：在NC的延長(zhǎng)線上截取連接DMi.

VZMBD^ZMiC￡>=90°,BD=CD,

：.4DBM沿/XDCMi,

：.DM=DMi,NMBD=NMiCD,MiC=BM,

VZMDN=60°,ZBDC=\20°,

：.NMiDN=NMDN=60。,

：.AMDN沿AMiDN,

：.MN=M\N=MiC+NC=BM+NC,

LAMN的周長(zhǎng)為：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC,

.Q2

..—=一；

L3

(3)證明：在CN上截取CMi=3M,連接。Mi.

VZMBD=ZMiCD=90°,BD=CD,

：.ADBM咨4DCM\,

：.DM=DMi,ZMBD=ZMiCD,MiC=BM,

VZMDN=60°,ZBDC=120°,

：.ZMiDN=ZMDN=60°,

：.AMDN咨AMiDN,

：.MN=MiN.

：.NC-BM=MN.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理.

16.(2019秋?九龍坡區(qū)校級(jí)月考)如圖.在四邊形A5CD中，ZB+ZAZ)C=180°,AB=AD,E、尸分別是

邊BC、延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且NEA尸二LNBAZ),求證：EF=BE-FD.

2

A

【答案】詳見(jiàn)解析

【分析】

在BE上截取8G,使8G=。凡連接AG.根據(jù)SAS1證明△ABG等/得到AG=AF,ZBAG=ZDAF,

根據(jù)/EAF=L/BA。，可知NG4E=/EAF,可證明△AEGg^AEREG=EF,那么EF=GE=BE-BG

2

=BE-DF.

【詳解】

證明：在BE上截取BG,?BG=DF,連接AG.

A

VZB+ZADC=180°,ZADF+ZAr>C=180°,

：.ZB=ZADF.

在△ABG和△A￡)/中,

AB=AD

<ZB=ZADF,

BG=DF

：.△ABG/AADF(SAS),

：.ZBAG=ZDAF,AG=AF.

：.ZBAG+ZEAD=ZDAF+ZEAD=NEAF=-/BAD.

2

:.NGAE=NEAF.

在△AEG和△AEF中，

AG=AF

<ZGAE=ZEAF,

AE=AE

：./\AEG^/\AEF(SAS).

：.EG=EF,

?:EG=BE-BG

:.EF=BE-FD.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件作出輔助線求解.

17.如圖，在正方形ABCD中,E、F是對(duì)角線BD上兩點(diǎn)，將AD尸繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到ABM,

連接EM,AE,且使得NM4E=45°.

(1)求證：ME=EF；(2)求證：EF2=BE2+DF2-

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

(1)直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△AMEg^AFE(SAS),即可得出答案;

(2)利用(1)中所證，再結(jié)合勾股定理即可得出答案.

【詳解】

證明：(1):將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后，得到ABM,

：.MB=DF,AM=AF,ZBAM=ZDAF,

:.MALAF,

ZMAE=45°,

ZEAF=45°,

:.ZMAE=ZFAE,

在4AME和△至石中

AM=AF

<ZMAE=ZFAE,

AE=AE

AME=AFE(SAS),

:.ME=EF；

(2)由(1)得：ME=EF,

在RtMBE中，MB2+BE2=ME2>

又,：MB=DF,

:.EF2=BE2+DF2-

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，正確得出△AME04AFE是

解題關(guān)鍵.

18.(1)如圖1,正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上，ZEAF=45°,延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G,使DG=BE,

連結(jié)EF,AG.求證：①/BEA=/G,②EF=FG.

(2)如圖2,等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)M,N在邊BC上，且/MAN=45。，若

BM=1,CN=3,求MN的長(zhǎng).

【答案】(1)①見(jiàn)解析②見(jiàn)解析(2)回

【分析】

(1)在八ABE和^ADG中，根據(jù)SAS得出△ABE^AADG則ZBEA=/G.然后在△FAE和八GAF中通過(guò)

SAS證明得出△FAE之AGAF,則EF=FG.

(2)過(guò)點(diǎn)C作CELBC,垂足為點(diǎn)C,截取CE,使CE=BM.連接AE、EN.在AABM和AACE中，通

過(guò)SAS證明得出^ABM△ACE,AM=AE,ZBAM+ZCAN=45°.在仆EAN中，通過(guò)SAS證明得

出由勾股定理，得EN?=EC2+NC2得出最終結(jié)果.

【詳解】

(1)證明：在正方形ABCD中，ZABE=ZADG,AD=AB,

AD=AB

在AABE和AADG中，\ZABE=ZADG,

DG=BE

：.AABE^AADG(SAS),ZBEA=ZG

AZBAE=ZDAG,AE=AG,

又/BAD=90°,

/.ZEAG=90°,ZFAG=45°

AE=AG

在AFAE和AGAF中，＜ZEAF=ZFAG=45°,

AF=AF

：.AFAE^AGAF(SAS),

；.EF=FG

(2)

圖2

解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CELBC,垂足為點(diǎn)C,截取CE,使CE=BM.連接AE、EN.

VAB=AC,ZBAC=90°,

.".ZB=ZACB=45°.

VCE±BC,

.".ZACE=ZB=45°.

AB=AC

在4ABM和小ACE中，＜ZB=ZACE,

BM=CE

：.△ABMACE(SAS).

；.AM=AE,ZBAM=ZCAE.

VZBAC=90°,NMAN=45°,

/BAM+NCAN=45°.

于是，由/BAM=/CAE,得/MAN=/EAN=45。.

AM=AE

在4MAN和小EAN中，(AMAN=NEAN,

AN=AN

：.AMAN^AEAN(SAS).

；.MN=EN.

在R3ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2.

.*.MN2=BM2+NC2.

VBM=1,CN=3,

.,.MN2=l2+32,

.,.MN=7IO.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的判定定理、勾股定理，做輔助線是本題的難點(diǎn).

19.如圖所示，在AA5C中，ZA=ZB=30°,ZMC7V=60°,/MOV的兩邊交AB邊于E，尸兩點(diǎn),

將/MCN繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

（1）畫(huà)出A3CF繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。后的AACK；

（2）在（1）中，若AE?+石尸？=3/2,求證：BF=0CF；

（3）在（2）的條件下，若4。=6+1，直接寫(xiě)出硬的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）73

【解析】

【分析】

（1）旋轉(zhuǎn)后CB與CA重合