2019年河南省普通高中自主招生數(shù)學(xué)試卷含解析

2019年河南省普通高中自主招生數(shù)學(xué)試卷（3月份）

一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）

1.（3分）-8的相反數(shù)是（）

11

A.-8B.-C.8D.一卷

88

2.（3分）“厲行勤儉節(jié)約，反對(duì)鋪張浪費(fèi)”勢(shì)在必行，最新統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，中國(guó)每年浪費(fèi)

食物總量折合糧食大約是210000000人一年的口糧.將210000000用科學(xué)記數(shù)法表示為

（）

A.2.1X109B.0.21X109C.2.1X108D.21X107

3.（3分）如圖所示的幾何體的主視圖是（）

C.（2m）3=6m3D.（m+1）2=m2+l

5.（3分）在學(xué)校舉行“陽(yáng)光少年，勵(lì)志青春”的演講比賽中，五位評(píng)委給選手小明的評(píng)分

分別為：90,85,90,80,95,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（）

A.95B.90C.85D.80

6.（3分）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書(shū)中有一個(gè)問(wèn)題：“今有黃金九枚，白

銀一十一枚，稱之重適等.交易其一，金輕十三兩.問(wèn)金、銀一枚各重幾何？”.意思是：

甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），

稱重兩袋相等.兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計(jì)）.問(wèn)

黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據(jù)題意得（）

A（llx=9y

,（（10y+%）—（8%+y）=13

cflOy+%=8%+y

B'(9x+13=lly

c[9x=lly

?1(8%+y)—(lOy+%)=13

n(9x=lly

.((10y+%)—(8%+y)=13

7.（3分）若關(guān)于x的方程/+x-a+搭=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則滿足條件的最小整數(shù)

a的值是（）

A.-1B.0C.1D.2

8.（3分）如圖，將一副三角板疊放在一起，使直角的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O,AB//OC,OC與

08交于點(diǎn)E,則/。E0的度數(shù)為（）

A.85°B.70°C.75°D.60°

9.（3分）如圖.在直角坐標(biāo)系中，矩形A3co的邊。4在x軸上，邊0C在y軸上，點(diǎn)、B

的坐標(biāo)為（1,3）,將矩形沿對(duì)角線AC翻折，B點(diǎn)落在。點(diǎn)的位置，且AO交y軸于點(diǎn)

E.那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）

C.（一會(huì)的D.（一|,第

10.（3分）如圖，在△ABC中，ZABC=60°,ZC=45°，點(diǎn)。，E分別為邊AB,AC1.

的點(diǎn)，KDE//BC,BD=DE=2,CE=|,BC=動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)2出發(fā)，以每秒1個(gè)單

位長(zhǎng)度的速度沿B-D-EfC勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止.過(guò)點(diǎn)P作尸。_LBC于點(diǎn)Q,

設(shè)△3尸。的面積為S,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3則S關(guān)于f的函數(shù)圖象大致為（）

A

」~V/__X.

C.01』D.01

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）

11.（3分）計(jì)算：（—I）<-遮=.

12.（3分）將拋物線y=-57先向左平移5個(gè)單位.再向下平移3個(gè)單位，可以得到新的

拋物線是：

13.（3分）在一個(gè)不透明的紙箱里裝有2個(gè)紅球、1個(gè)黃球、1個(gè)藍(lán)球，這些球除顏色外完

全相同，小明從紙箱里隨機(jī)摸出1個(gè)球，記下顏色后放回，再由小亮隨機(jī)摸出1個(gè)球，

則兩人摸到的球顏色不同的概率為.

14.（3分）如圖，在口48。中，以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑的圓恰好與CD相切于點(diǎn)C,

7T

交AD于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BA與。&相交于點(diǎn)立若麗的長(zhǎng)為則圖中陰影部分的面積為

15.（3分）如圖，矩形ABC。中，AB=4,A￡>=6,點(diǎn)E為中點(diǎn)，點(diǎn)尸為線段AB上一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EP,將AAPE沿PE折疊得到△尸PE,連接CE,CF,當(dāng)△ECF為直角三

角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為

三、解答題（本大題共8小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

16.（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+y）（x-y）+y（x+2y）-（尤-y）2,其中x=2+V5,y=

2-V3.

17.（9分）為弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，我市某中學(xué)決定根據(jù)學(xué)生的興趣愛(ài)好組建課外興趣小組，

因此學(xué)校隨機(jī)抽取了部分同學(xué)的興趣愛(ài)好進(jìn)行調(diào)查，將收集的數(shù)據(jù)整理并繪制成下列兩

幅統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中的信息，完成下列問(wèn)題：

（1）學(xué)校這次調(diào)查共抽取了名學(xué)生；

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“戲曲”所在扇形的圓心角度數(shù)為；

（4）設(shè)該校共有學(xué)生2000名，請(qǐng)你估計(jì)該校有多少名學(xué)生喜歡書(shū)法？

18.（9分）如圖所示，半圓O的直徑AB=4,CD=BD,DELABE,DF_LAC于凡連

接CDDB,OD.

（1）求證：LCDF咨ABDE；

（2）當(dāng)AD=時(shí)，四邊形AODC是菱形；

（3）當(dāng)AD=時(shí)，四邊形AEDF是正方形.

AOEB

19.（9分）某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組實(shí)地測(cè)量湛河兩岸互相平行的一段東西走向的河的寬度，在河

的北岸邊點(diǎn)A處，測(cè)得河的南岸邊點(diǎn)B處在其南偏東45°方向，然后向北走20米到達(dá)

點(diǎn)C處，測(cè)得點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東33°方向，求出這段河的寬度.（結(jié)果精確到1米，

參考數(shù)據(jù)：sin33°=0.54,cos33°釜0.84,tan33°=0.65,V2

（分）如圖，反比例函數(shù)（）的圖象過(guò)格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）P.

20.9y=[x>0

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）在圖中用直尺和2B鉛筆畫(huà)出兩個(gè)矩形（不寫(xiě)畫(huà)法），要求每個(gè)矩形均需滿足下列兩

個(gè)條件：

①四個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，且其中兩個(gè)頂點(diǎn)分別是點(diǎn)O,點(diǎn)尸；

②矩形的面積等于上的值.

21.（10分）小王是“新星廠”的一名工人，請(qǐng)你閱讀下列信息：

信息一：工人工作時(shí)間：每天上午8：00-12：00,下午14：00-18：00,每月工作25

天;

信息二：小王生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的件數(shù)與所用時(shí)間的關(guān)系見(jiàn)下表:

生產(chǎn)甲產(chǎn)品數(shù)（件）生產(chǎn)乙產(chǎn)品數(shù)（件）所用時(shí)間（分鐘）

1010350

3020850

信息三：按件計(jì)酬，每生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品得1.50元，每生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品得2.80元.

信息四：該廠工人每月收入由底薪和計(jì)酬工資兩部分構(gòu)成，小王每月的底薪為1900元，

請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：

（1）小王每生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品分別需要多少分鐘；

（2）2018年1月工廠要求小王生產(chǎn)甲種產(chǎn)品的件數(shù)不少于60件，則小王該月收入最多

是多少元？此時(shí)小王生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品分別是多少件？

22.（10分）問(wèn)題：如圖①，在Rt^ABC中，AB=AC,。為2c邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)8,C

重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連接EC,則線段BC,DC,EC之

間滿足的等量關(guān)系式為;

探索：如圖②，在與中，AB=AC,AD=AE,將△AOE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，

使點(diǎn)。落在BC邊上，試探索線段AD,BD,CD之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

應(yīng)用：如圖③，在四邊形ABCD中，ZABC=ZACB=ZADC=45°.若8。=9,CD=

3,求AD的長(zhǎng).

23.（11分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a?+2尤+c與x軸交于A（-1,0）,B

（3,0）兩點(diǎn)，與〉軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。是該拋物線的頂點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；

（2）請(qǐng)?jiān)趛軸上找一點(diǎn)使△BDM的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)A,P,C為頂點(diǎn)，AC為直角邊的三角

形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2019年河南省普通高中自主招生數(shù)學(xué)試卷（3月份）

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）

1.（3分）-8的相反數(shù)是（）

11

A.-8B.-C.8D.-4

88

【解答】解：-8的相反數(shù)是8,

故選：C.

2.（3分）“厲行勤儉節(jié)約，反對(duì)鋪張浪費(fèi)”勢(shì)在必行，最新統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，中國(guó)每年浪費(fèi)

食物總量折合糧食大約是210000000人一年的口糧.將210000000用科學(xué)記數(shù)法表示為

（）

A.2.1X109B.0.21X109C.2.1X108D.21X107

【解答】解：將210000000用科學(xué)記數(shù)法表示為：2.1X108.

故選：B.

4.(3分)在下列的計(jì)算中，正確的是()

onceno

A.m+m=rrrB.m.m=rrr

C.(2m)3=6m3D.(m+1)2=m2+l

【解答】解：A、原式不能合并，不符合題意;

B、原式=優(yōu)3,符合題意；

C、原式=8??,不符合題意；

D、原式=??+27找+1,不符合題意，

故選：B.

5.(3分)在學(xué)校舉行“陽(yáng)光少年，勵(lì)志青春”的演講比賽中，五位評(píng)委給選手小明的評(píng)分

分別為：90,85,90,80,95,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是()

A.95B.90C.85D.80

【解答】解：數(shù)據(jù)90出現(xiàn)了兩次，次數(shù)最多，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是90.

故選：B.

6.(3分)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書(shū)中有一個(gè)問(wèn)題：“今有黃金九枚，白

銀一十一枚，稱之重適等.交易其一，金輕十三兩.問(wèn)金、銀一枚各重幾何？意思是：

甲袋中裝有黃金9枚(每枚黃金重量相同)，乙袋中裝有白銀11枚(每枚白銀重量相同)，

稱重兩袋相等.兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩(袋子重量忽略不計(jì)).問(wèn)

黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重了兩，根據(jù)題意得()

A(llx=9y

,t(10y+x)—(8x+y)=13

r(lOy+x=8x+y

B,(9%+13=Uy

c=Uy

Jl(8x+y)-(lOy+x)=13

n件=

*t(10y+%)—(8%+y)=13

【解答】解：設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，由題意得：

(9x=lly

((10y+%)—(8%+y)=13'

故選：D.

7.(3分)若關(guān)于尤的方程/+苫-。+搟=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則滿足條件的最小整數(shù)

a的值是()

A.-1B.0C.1D.2

【解答】解：由題意可知：△>(),

.*.1-4(-〃+叔)>0,

解得：a>\

故滿足條件的最小整數(shù)a的值是2,

故選：D.

8.（3分）如圖，將一副三角板疊放在一起，使直角的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O,AB//OC,DC與

08交于點(diǎn)E，則NOE。的度數(shù)為（）

A.85°B.70°C.75°D.60°

【解答】'.,AB//OC,ZA=60°,

：.ZA+ZAOC=180°,

AZAOC=120°,

ZBOC=120°-90°=30°,

AZDEO=ZC+ZBOC=45a+30°=75°；

故選：C.

9.（3分）如圖.在直角坐標(biāo)系中，矩形ABC。的邊04在x軸上，邊OC在y軸上，點(diǎn)8

的坐標(biāo)為（1,3）,將矩形沿對(duì)角線AC翻折，B點(diǎn)落在。點(diǎn)的位置，且交y軸于點(diǎn)

E.那么點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

【解答】解：如圖，過(guò)。作尸于乩

:點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,3）,

：.AO=1,AB=3,

根據(jù)折疊可知：0）=04,

而/。=/AOE=90°,ZDEC=ZAEO,

：./\CDE^/\AOE,

：.OE=DE,OA=CD=\,

設(shè)OE=x,那么CE=3-x,DE—x,

：.在RtADCE中,C石2序+Q)2,

(3-X)2=x2+l2,

4

X-

3-

又DF±AF,

J.DF//EO,

：.AAEO^AADF,

而A0=A3=3,

45

???AE=CE=3一/宗

.AEEOAO

?1O~DF~AFf

54

即亙=二=

3DFAF

129

：.DF=AF=|,

94

.*.OF=|-1=|,

一,412

.??￡)的坐標(biāo)為(—q，-).

35

故選：A.

10.（3分）如圖，在△ABC中，ZABC=60°,NC=45°,點(diǎn)。，E分別為邊AB,AC上

的點(diǎn)，^DE//BC,BD=DE=2,CE=L屆=餐.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)3出發(fā)，以每秒1個(gè)單

位長(zhǎng)度的速度沿B-DfE-C勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止.過(guò)點(diǎn)P作PQ±BC于點(diǎn)Q,

設(shè)ABP。的面積為S,點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3則S關(guān)于，的函數(shù)圖象大致為（）

A

【解答】解：：PQ_LBQ

...在尸、。運(yùn)動(dòng)過(guò)程中△8尸。始終是直角三角形.

:?SABPQ=^PQ'BQ

①當(dāng)點(diǎn)尸在8。上，。在BC上時(shí)（即0sWfW2s）

BP=t,BQ=PQ,cos60°=%尸。=2尸?sin60°=

111V373,

SABPQ=^PQ-BQ=2，~?,yr=-QI~

此時(shí)SABPQ的圖象是關(guān)于t（0sWtW2s）的二次函數(shù).

V3

——>0

8

拋物線開(kāi)口向上；

②當(dāng)P在DE上，。在BC上時(shí)（即2s<fW4s）

P2=BD?sin60°=苧*2=遮，BQ=BD,cos60°+（/-2）=t-1

SABPQ=^PQ*BQ=i,V3,（f-1）=爭(zhēng)—苧

此時(shí)SABPQ的圖象是關(guān)于f（2s<fW4s）的一次函數(shù).

V3

?.?斜率三>0

???SABPQ隨r的增大而增大，直線由左向右依次上升.

③當(dāng)尸在DE上，尸在EC上時(shí)（即4s〈修苧s）

PQ=[CE-（f-4）]?sin45°=-噂f（4s〈匹孕s）,BQ=BC-CQ=BC-[CE-（t

-4,N——

,、i2413^2V2V2,96-6572

t+

-4）]?COS45=T-=T^0—

1

S&BPQ=]PQ，BQ

由于展開(kāi)二次項(xiàng)系數(shù)a=241”2=義?（一§）?遙）=-j

22224

拋物線開(kāi)口向下，

故選：D.

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）

11.（3分）計(jì)算：（-IL一涌=-1.

【解答】解：原式=1-2=-1,

故答案為：-1

12.（3分）將拋物線y=-5/先向左平移5個(gè)單位.再向下平移3個(gè)單位，可以得到新的

拋物線是：y=-57-50x-128

【解答】解：???拋物線y=-5/先向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，

新拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-5,-3）,

所得到的新的拋物線的解析式為y=-5（x+5）2-3,

即y=-5?-50x728,

故答案為-5?-50x-128.

13.（3分）在一個(gè)不透明的紙箱里裝有2個(gè)紅球、1個(gè)黃球、1個(gè)藍(lán)球，這些球除顏色外完

全相同，小明從紙箱里隨機(jī)摸出1個(gè)球，記下顏色后放回，再由小亮隨機(jī)摸出1個(gè)球，

則兩人摸到的球顏色不同的概率為1.

~~8-

【解答】解：列表如下：

紅1紅2黃藍(lán)

紅1紅1紅1紅1紅2紅1黃紅1藍(lán)

紅2紅2紅1紅2紅2紅2黃紅2藍(lán)

黃黃紅1黃紅2黃黃黃藍(lán)

藍(lán)藍(lán)紅1藍(lán)紅2藍(lán)黃赭赭

由表格可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中兩人摸到的球顏色不同的情況有10種,

105

所以兩人摸到的球顏色不同的概率為77=1

168

故答案為：I

8

14.（3分）如圖，在口ABC。中，以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑的圓恰好與C。相切于點(diǎn)C,

7T

交于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BA與OA相交于點(diǎn)F.若麗的長(zhǎng)為萬(wàn),則圖中陰影部分的面積為，

【解答】解：連接AC,

；DC是。A的切線，

C.ACLCD,

5L"：AB=AC=CD,

...△AC。是等腰直角三角形，

：.ZCAD=45°,

又：四邊形ABCD是平行四邊形,

：.AD//BC,

：.ZCAD^ZACB=45°,

5L'：AB=AC,

：.ZACB=ZB=45°,

：.ZFAD=ZB=45°,

TV

?.?肝的長(zhǎng)為一，

2

.Ti457rr

.?一=,

2180

解得：r=2,

??S陰影=Sz\ACZ)-K

故答案為：2-

15.（3分）如圖，矩形ABC。中，AB=4,AO=6,點(diǎn)E為中點(diǎn)，點(diǎn)尸為線段AB上一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EP,將△APE沿PE折疊得到連接CE,CF,當(dāng)△ECF為直角三

【解答】解：如圖所示，當(dāng)/CFE=90°時(shí)，△ECF是直角三角形,

由折疊可得，ZPFE=ZA=9Q°,AE=FE=DE,

.*.ZCFP=180°,即點(diǎn)P,F,C在一條直線上，

在RtACD￡和RtACFE中，

(CE=CE

IFF=ED'

：.RtACDE^RtACFE(.HL),

：.CF=CD=4,

設(shè)AP=FP=尤，貝ij8P=4-x,CP=x+4,

在RtZXBCP中，BP1+BC2=PC1,即(4-尤)2+62=(x+4)2,

99

--

44

如圖所示，當(dāng)/CEF=90°時(shí)，ZVECF是直角三角形,

過(guò)F作"/_LAB于H,作FQ_LAO于Q,則/FQE=/D=90°,

又/FEQ+/CED=90°=ZECD+ZCED,

：.ZFEQ=ZECD,

：.4FEQs叢ECD,

_笠_竺前絲_￡￡_3

EDDCCE345

解得尸2=卷，QE=^,

39

：.AQ=HF=I，AH=|,

Q

^AP=FP=x,則”?=(-x,

93

???RtZ\P尸”中，HP1+HF1=PF1,即(--x)2+(-)2=/,

解得x=l,即AP=1.

9

綜上所述，AP的長(zhǎng)為1或

4

三、解答題(本大題共8小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

16.(8分)先化簡(jiǎn)，再求值：(尤+y)(x-y)+y(x+2y)-(尤-y)2,其中了=2+百，y=

2-V3.

【解答】解：(x+y)(x-y)+y(x+2y)-(x-y)2

=/-y2+盯+2,2-j^+2xy-y2

=3xy,

當(dāng)x=2+百，y=2—E時(shí)，原式=3X(2+V3)(2-V3)=3.

17.(9分)為弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，我市某中學(xué)決定根據(jù)學(xué)生的興趣愛(ài)好組建課外興趣小組，

因此學(xué)校隨機(jī)抽取了部分同學(xué)的興趣愛(ài)好進(jìn)行調(diào)查，將收集的數(shù)據(jù)整理并繪制成下列兩

幅統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中的信息，完成下列問(wèn)題：

(1)學(xué)校這次調(diào)查共抽取了100名學(xué)生；

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“戲曲”所在扇形的圓心角度數(shù)為

(4)設(shè)該校共有學(xué)生2000名，請(qǐng)你估計(jì)該校有多少名學(xué)生喜歡書(shū)法?

故答案為：100；

(2)“民樂(lè)”的人數(shù)為100X20%=20人,

(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，''戲曲”所在扇形的圓心角度數(shù)為360°X10%=36°,

故答案為：36°；

(4)估計(jì)該校喜歡書(shū)法的學(xué)生人數(shù)為2000X25%=500人.

18.(9分)如圖所示，半圓。的直徑AB=4,CD=BD,DELABE,DF±ACF,連

接CD,DB,OD.

(1)求證：LCDF安△BDE；

(2)當(dāng)AD=2百時(shí),四邊形AODC是菱形;

【解答】(1)證明：：詼=BD,

.".ZCAD=ZBAD,XDELABE,DFLACF,

：.DE=DF,

'：CD=BD,

：.BD=CD,

在RtABED和RtACF￡)中，

(BD=CD

IDE=DF'

/.RtABED^RtACFD(HL)；

(2)四邊形AODC是菱形時(shí)，OD=CD=DB=OB,

：.ZDBA=60°,

AD—ABcosZDBA=4sin60°=2y/3,

故答案為：2V5；

(3)當(dāng)。。_LAB,即。。與OE重合時(shí)，四邊形AEL甲是正方形，

由勾股定理，得

AD=<OA2+OD2=2五,

故答案為：2班.

19.(9分)某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組實(shí)地測(cè)量湛河兩岸互相平行的一段東西走向的河的寬度，在河

的北岸邊點(diǎn)A處，測(cè)得河的南岸邊點(diǎn)2處在其南偏東45。方向，然后向北走20米到達(dá)

點(diǎn)C處，測(cè)得點(diǎn)3在點(diǎn)C的南偏東33°方向，求出這段河的寬度.(結(jié)果精確到1米，

參考數(shù)據(jù)：sin33°=0.54,cos33"?0.84,tan33°=0.65,V2?1.41)

則CD1BE,

由題意知，ZDAB=45°,ZDCB=33°,

設(shè)AD=x米,

則8D=x米，CD=(20+x)米,

DB

在RtACDB中，一=tanZ￡>CB,

CD

x

----《0.65,

20+x

解得437,

答：這段河的寬約為37米.

20.（9分）如圖，反比例函數(shù)y=[（x>0）的圖象過(guò)格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）P.

（1）求反比例函數(shù)的解析式;

（2）在圖中用直尺和22鉛筆畫(huà)出兩個(gè)矩形（不寫(xiě)畫(huà)法），要求每個(gè)矩形均需滿足下列兩

個(gè)條件:

①四個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，且其中兩個(gè)頂點(diǎn)分別是點(diǎn)。，點(diǎn)P；

②矩形的面積等于％的值.

【解答】解：（1）???反比例函數(shù)y=（（x>0）的圖象過(guò)格點(diǎn)尸（2,2）,

"=2X2=4,

...反比例函數(shù)的解析式為y=~

（2）如圖所示:

矩形。4尸2、矩形OCZ）尸即為所求作的圖形.

21.（10分）小王是“新星廠”的一名工人，請(qǐng)你閱讀下列信息：

信息一：工人工作時(shí)間：每天上午8：00-12：00,下午14：00-18：00,每月工作25

天；

信息二：小王生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的件數(shù)與所用時(shí)間的關(guān)系見(jiàn)下表：

生產(chǎn)甲產(chǎn)品數(shù)（件）生產(chǎn)乙產(chǎn)品數(shù)（件）所用時(shí)間（分鐘）

1010350

3020850

信息三：按件計(jì)酬，每生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品得1.50元，每生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品得2.80元.

信息四：該廠工人每月收入由底薪和計(jì)酬工資兩部分構(gòu)成，小王每月的底薪為1900元,

請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：

（1）小王每生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品分別需要多少分鐘；

（2）2018年1月工廠要求小王生產(chǎn)甲種產(chǎn)品的件數(shù)不少于60件，則小王該月收入最多

是多少元？此時(shí)小王生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品分別是多少件？

【解答】解：（1）設(shè)生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品需X分，生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品需y分.

10%+10y=350

由題意得:

,30%+20y=850'

解這個(gè)方程組得：二那，

答：生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品需要15分，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品需要20分.

（2）設(shè)生產(chǎn)甲種產(chǎn)品共用x分，則生產(chǎn)乙種產(chǎn)品用（25X8X60-x）分.

則生產(chǎn)甲種產(chǎn)品三件，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品”又要「「牛.

1520

=0.1x+1680-0.14%

=-0.04x+1680,

x

又一260,得尤N900,

15

由一次函數(shù)的增減性，當(dāng)x=900時(shí)w取得最大值，此時(shí)w=-0.04X900+1680=1644（TG）,

則小王該月收入最多是1644+1900=3544（元），

900

此時(shí)甲有---=60（件），

答：小王該月最多能得3544元，此時(shí)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別60,555件.

22.（10分）問(wèn)題：如圖①，在RtZ\A8C中，AB=AC,。為8c邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)8,C

重合），將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連接EC,則線段BC,DC,EC之

間滿足的等量關(guān)系式為BC=DC+EC；

探索：如圖②，在Rt^ABC與RtZXAOE中，AB=AC,AD=AE,將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，

使點(diǎn)。落在BC邊上，試探索線段AD,BD,C。之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

應(yīng)用：如圖③，在四邊形ABCD中，ZABC=ZACB=ZADC=45°.若BD=9,CD=

3,求AD的長(zhǎng).

E

【解答】解：(1)BC=DC+EC,

理由如下：VZBAC=ZDAE=90°,

：.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,即ZBAD=/CAE,

在△A40和△口!￡■中，

AB=AC

Z.BAD=Z.CAEy

AD=AE

???△BAZ注△CAE,

:?BD=CE,

：.BC=BD+CD=EC+CD,

故答案為：BC=DC+EC-,

(2)BD-+CD1=2AD2,

理由如下：連接CE,

由(1)得，△BADdCAE,

：.BD=CE,NACE=/B,

：.ZDCE=90°,

ACE1+CD1=ED1,

在Rtz\A￡)E中，AD2+AE1=ED2,又AD=AE,

:.BN+CD1=2AN；

(3)作AE_LAD,使AE=AO,連接CE,DE,

'：ZBAC+ZCAD