2023屆牛欄山一中數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，則等于（）A． B． C． D．2．已知、是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)，若點(diǎn)在以線段為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知正方體的棱長為2，點(diǎn)在線段上，且，平面經(jīng)過點(diǎn)，則正方體被平面截得的截面面積為（）A． B． C． D．4．已知是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，連接并延長到點(diǎn)，使得，則的值為（）A． B． C． D．5．已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A． B． C． D．16．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別是，雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在過且垂直于軸的直線上，當(dāng)?shù)耐饨訄A面積達(dá)到最小時，點(diǎn)恰好在雙曲線上，則該雙曲線的方程為（）A． B．C． D．7．若，滿足約束條件，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．若直線與曲線相切，則（）A．3 B． C．2 D．9．定義在R上的函數(shù)滿足，為的導(dǎo)函數(shù)，已知的圖象如圖所示，若兩個正數(shù)滿足，的取值范圍是（）A． B． C． D．10．某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)如圖所示，下列說法中錯誤的是（）．A．收入最高值與收入最低值的比是B．結(jié)余最高的月份是月份C．與月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相同D．前個月的平均收入為萬元11．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（）A． B． C．2 D．12．如圖是國家統(tǒng)計(jì)局公布的年入境游客（單位：萬人次）的變化情況，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．2014年我國入境游客萬人次最少B．后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢C．這6年我國入境游客萬人次的中位數(shù)大于13340萬人次D．前3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差小于后3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的展開式中的系數(shù)為，則_______．14．在三棱錐P-ABC中，，，，三個側(cè)面與底面所成的角均為，三棱錐的內(nèi)切球的表面積為_________.15．雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的動點(diǎn)，且周長的最小值為8，則雙曲線的實(shí)軸長為________，離心率為________.16．已知全集為R，集合，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線的普通方程；（2）已知點(diǎn)，直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求.18．（12分）已知，函數(shù).（Ⅰ）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的值；（Ⅱ）若恒成立，求的最大值.（參考數(shù)據(jù)：）19．（12分）已知函數(shù)，.（1）若時，解不等式；（2）若關(guān)于的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）函數(shù)，且恒成立.（1）求實(shí)數(shù)的集合；（2）當(dāng)時，判斷圖象與圖象的交點(diǎn)個數(shù)，并證明.（參考數(shù)據(jù)：）21．（12分）已知等比數(shù)列中，，是和的等差中項(xiàng)．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）傳染病的流行必須具備的三個基本環(huán)節(jié)是：傳染源、傳播途徑和人群易感性.三個環(huán)節(jié)必須同時存在，方能構(gòu)成傳染病流行.呼吸道飛沫和密切接觸傳播是新冠狀病毒的主要傳播途徑，為了有效防控新冠狀病毒的流行，人們出行都應(yīng)該佩戴口罩.某地區(qū)已經(jīng)出現(xiàn)了新冠狀病毒的感染病人，為了掌握該地區(qū)居民的防控意識和防控情況，用分層抽樣的方法從全體居民中抽出一個容量為100的樣本，統(tǒng)計(jì)樣本中每個人出行是否會佩戴口罩的情況，得到下面列聯(lián)表：戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020（1）能否有的把握認(rèn)為是否會佩戴口罩出行的行為與年齡有關(guān)？（2）用樣本估計(jì)總體，若從該地區(qū)出行不戴口罩的居民中隨機(jī)抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

先通過復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，得到，再利用復(fù)數(shù)的除法求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，且復(fù)數(shù)，所以所以故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=x，不妨設(shè)過點(diǎn)F1與雙曲線的一條漸過線平行的直線方程為y=（x﹣c），與y=﹣x聯(lián)立，可得交點(diǎn)M（，﹣），∵點(diǎn)M在以線段F1F1為直徑的圓外，∴|OM|＞|OF1|，即有+＞c1，∴＞3，即b1＞3a1，∴c1﹣a1＞3a1，即c＞1a．則e=＞1．∴雙曲線離心率的取值范圍是（1，+∞）．故選：A．點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.3、B【解析】

先根據(jù)平面的基本性質(zhì)確定平面，然后利用面面平行的性質(zhì)定理，得到截面的形狀再求解.【詳解】如圖所示：確定一個平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，同理，所以四邊形是平行四邊?即正方體被平面截的截面.因?yàn)?，所以，即所以由余弦定理得：所以所以四邊形故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查平面的基本性質(zhì)，面面平行的性質(zhì)定理及截面面積的求法，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.4、D【解析】

設(shè)，，作為一個基底，表示向量，，，然后再用數(shù)量積公式求解.【詳解】設(shè)，，所以，，，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

化簡復(fù)數(shù)，分子分母同時乘以，進(jìn)而求得復(fù)數(shù)，再求出，由此得到虛部.【詳解】，，所以的虛部為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的虛部，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

點(diǎn)的坐標(biāo)為，，展開利用均值不等式得到最值，將點(diǎn)代入雙曲線計(jì)算得到答案.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于為定值，由正弦定理可知當(dāng)取得最大值時，的外接圓面積取得最小值，也等價于取得最大值，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時，等號成立，此時最大，此時的外接圓面積取最小值，點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入可得，．所以雙曲線的方程為．故選：【點(diǎn)睛】本題考查了求雙曲線方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.7、B【解析】

根據(jù)約束條件作出可行域，找到使直線的截距取最值得點(diǎn)，相應(yīng)坐標(biāo)代入即可求得取值范圍.【詳解】畫出可行域，如圖所示：由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，取得最小值－5；經(jīng)過點(diǎn)時，取得最大值5，故.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)線性規(guī)劃求范圍，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

設(shè)切點(diǎn)為，對求導(dǎo)，得到，從而得到切線的斜率，結(jié)合直線方程的點(diǎn)斜式化簡得切線方程，聯(lián)立方程組，求得結(jié)果.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，∵，∴由①得，代入②得，則，，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與曲線相切求參數(shù)的問題，涉及到的知識點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程的點(diǎn)斜式，屬于簡單題目.9、C【解析】

先從函數(shù)單調(diào)性判斷的取值范圍，再通過題中所給的是正數(shù)這一條件和常用不等式方法來確定的取值范圍.【詳解】由的圖象知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，而，故由可知.故，又有，綜上得的取值范圍是.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和不等式的基礎(chǔ)知識，屬于中檔題.10、D【解析】由圖可知，收入最高值為萬元，收入最低值為萬元，其比是，故項(xiàng)正確；結(jié)余最高為月份，為，故項(xiàng)正確；至月份的收入的變化率為至月份的收入的變化率相同，故項(xiàng)正確；前個月的平均收入為萬元，故項(xiàng)錯誤．綜上，故選．11、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算求解即可.【詳解】.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

ABD可通過統(tǒng)計(jì)圖直接分析得出結(jié)論，C可通過計(jì)算中位數(shù)判斷選項(xiàng)是否正確.【詳解】A．由統(tǒng)計(jì)圖可知：2014年入境游客萬人次最少，故正確；B．由統(tǒng)計(jì)圖可知：后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢，故正確；C．入境游客萬人次的中位數(shù)應(yīng)為與的平均數(shù)，大于萬次，故正確；D．由統(tǒng)計(jì)圖可知：前年的入境游客萬人次相比于后年的波動更大，所以對應(yīng)的方差更大，故錯誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表信息的讀取以及對中位數(shù)和方差的理解，難度較易.處理問題的關(guān)鍵是能通過所給統(tǒng)計(jì)圖，分析出對應(yīng)的信息，對學(xué)生分析問題的能力有一定要求.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

首先求出的展開項(xiàng)中的系數(shù)，然后根據(jù)系數(shù)為即可求出的取值.【詳解】由題知，當(dāng)時有，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式展開項(xiàng)的系數(shù)，屬于簡單題.14、【解析】

先確定頂點(diǎn)在底面的射影，再求出三棱錐的高以及各側(cè)面三角形的高，利用各個面的面積和乘以內(nèi)切球半徑等于三棱錐的體積的三倍即可解決.【詳解】設(shè)頂點(diǎn)在底面上的射影為H，H是三角形ABC的內(nèi)心，內(nèi)切圓半徑.三個側(cè)面與底面所成的角均為，，，的高，，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，∴，內(nèi)切球表面積.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐內(nèi)切球的表面積問題，考查學(xué)生空間想象能力，本題解題關(guān)鍵是找到內(nèi)切球的半徑，是一道中檔題.15、22【解析】

設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，根據(jù)周長為，計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為.周長為：.當(dāng)共線時等號成立，故，即實(shí)軸長為，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線周長的最值問題，離心率，實(shí)軸長，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.16、【解析】

先化簡集合A,再求A∪B得解.【詳解】由題得A={0,1},所以A∪B={-1,0,1}.故答案為{-1,0,1}【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的化簡和并集運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2)【解析】

（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式，以及消去參數(shù)，即可求解；（2）設(shè)兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為，，將直線的參數(shù)方程代入曲線方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）對于曲線的極坐標(biāo)方程為，可得，又由，可得，即，所以曲線的普通方程為.由直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)可得，即直線的方程為，即.（2）設(shè)兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為，，將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）代入曲線中，可得.化簡得：，則.所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）3.【解析】

（Ⅰ）先求導(dǎo)，得，已知導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，令，求得，討論得，而，故，進(jìn)而得解；（Ⅱ）可通過必要性探路，當(dāng)時，由知，又由于，則，當(dāng)，，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可判斷必存在使得，得，，化簡得，再由二次函數(shù)性質(zhì)即可求證；【詳解】（Ⅰ）的定義域?yàn)?易知單調(diào)遞增，由題意有.令，則.令得.所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.所以，而又有，因此，所以.（Ⅱ）由知，又由于，則.下面證明符合條件.若.所以.易知單調(diào)遞增，而，，因此必存在使得，即.且當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；則.綜上，的最大值為3.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性和最值，屬于中檔題19、（1）（2）【解析】

（1）零點(diǎn)分段法，分，，討論即可；（2）當(dāng)時，原問題可轉(zhuǎn)化為：存在，使不等式成立，即.【詳解】解：（1）若時，，當(dāng)時，原不等式可化為，解得，所以，當(dāng)時，原不等式可化為，解得，所以，當(dāng)時，原不等式可化為，解得，所以，綜上述：不等式的解集為；（2）當(dāng)時，由得，即，故得，又由題意知：，即，故的范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查解絕對值不等式以及不等式能成立求參數(shù)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道容易題.20、（1）；（2）2個，證明見解析【解析】

（1）要恒成立，只要的最小值大于或等于零即可，所以只要討論求解看是否有最小值；（2）將圖像與圖像的交點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程實(shí)數(shù)解的個數(shù)問題，然后構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)討論此函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù).【詳解】（1）的定義域?yàn)?，因?yàn)椋?°當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，時，使得，與條件矛盾；2°當(dāng)時，由，得；由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即有，由恒成立，所以恒成立，令，若；若；而時，，要使恒成立，故.（2）原問題轉(zhuǎn)化為方程實(shí)根個數(shù)問題，當(dāng)時，圖象與圖象有且僅有2個交點(diǎn)，理由如下：由，即，令，因?yàn)?，所以是的一根；?°當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，，即在上無實(shí)根；2°當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞遞增，又，所以在上有唯一實(shí)根，且滿足，①當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，此時在上無實(shí)根；②當(dāng)時，在上