2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)檢測五十四第五章三角函數(shù)5.5.2簡單的三角恒等變換一含解析新人教A版必修第一冊

PAGE課時(shí)素養(yǎng)檢測五十四簡潔的三角恒等變換(一)(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.設(shè)α是其次象限角,tanα=-QUOTE,且sinQUOTE<cosQUOTE,則cosQUOTE= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選A.因?yàn)棣潦瞧浯蜗笙藿?且sinQUOTE<cosQUOTE,所以QUOTE為第三象限角,所以cosQUOTE<0.因?yàn)閠anα=-QUOTE,且α是其次象限角,所以cosα=-QUOTE,所以cosQUOTE=-QUOTE=-QUOTE.2.已知cosθ=-QUOTE,θ∈QUOTE,則sinQUOTE+cosQUOTE= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因?yàn)棣取蔘UOTE,所以QUOTE∈QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE=QUOTE,cosQUOTE=-QUOTE=-QUOTE,所以sinQUOTE+cosQUOTE=QUOTE.3.已知θ∈QUOTE,則QUOTE= ()A.-1 B.QUOTE C.1 D.2【解析】選A.QUOTE=QUOTE=QUOTE.因?yàn)棣取蔘UOTE,所以QUOTE∈QUOTE,所以cosQUOTE>sinQUOTE.所以原式=QUOTE=-1.4.化簡QUOTE的結(jié)果是 ()A.-cos1 B.cos1C.QUOTEcos1 D.-QUOTEcos1【解析】選C.原式=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTEcos1.5.已知cosQUOTE=-QUOTE,0<α<QUOTE,則cosQUOTE= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選B.因?yàn)閏osQUOTE=2cos2QUOTE-1=-QUOTE,所以cosQUOTE=±QUOTE,又因?yàn)?<α<QUOTE,所以cosQUOTE=QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】若θ∈QUOTE,cos2θ=-QUOTE,則sinθ= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.由cos2θ=1-2sin2θ,所以-QUOTE=1-2sin2θ,所以sinθ=QUOTE.6.m=2sin18°,若m2+n=4,則QUOTE= ()A.1 B.2 C.4 D.8【解析】選B.QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2.二、填空題(每小題5分,共10分)7.計(jì)算cos815°-sin815°=________.

【解析】由平方差公式,得cos815°-sin815°=(cos415°+sin415°)(cos415°-sin415°)=(cos415°+sin415°)(cos215°+sin215°)(cos215°-sin215°)=(cos415°+sin415°)cos30°=QUOTE×[(cos215°+sin215°)2-2cos215°sin215°]=QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.計(jì)算sinQUOTE·cosQUOTE=________.

【解析】方法一:sinQUOTE·cosQUOTEπ==QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE.方法二:sinQUOTE·cosQUOTE=cosQUOTE·cosQUOTE=cosQUOTE·cosQUOTE=cos2QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知tanQUOTE=QUOTE,tanαtanβ=QUOTE,求cos(α-β)的值.【解析】因?yàn)閠anαtanβ=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以cos(α-β)=-QUOTEcos(α+β).又tanQUOTE=QUOTE,所以cos(α+β)=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,從而cos(α-β)=-QUOTE×QUOTE=QUOTE.10.已知函數(shù)f(x)=2sin2QUOTE-QUOTEcos2x,x∈QUOTE.(1)求函數(shù)f(x)的值域.(2)若不等式|f(x)-m|<2恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)由題意知,f(x)=2sin2QUOTE-QUOTEcos2x=1-cosQUOTE-QUOTEcos2x=1+sin2x-QUOTEcos2x=1+2sinQUOTE,由x∈QUOTE,得2x-QUOTE∈QUOTE,由于函數(shù)g(t)=sint在QUOTE上遞增,在QUOTE上遞減,且gQUOTE=1,gQUOTE=QUOTE<gQUOTE=QUOTE,所以g(t)∈QUOTE,所以f(x)=1+2sinQUOTE∈[2,3],所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇2,3].(2)不等式|f(x)-m|<2恒成立,即f(x)-2<m<f(x)+2恒成立,所以[f(x)-2]max<m<[f(x)+2]min,所以1<m<4,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1,4).(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.已知cosα=QUOTE,α∈(π,2π),則cosQUOTE等于 ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選B.由題意,可知α∈QUOTE,則QUOTE∈QUOTE又由半角公式可得cosQUOTE=-QUOTE=-QUOTE=-QUOTE.2.已知函數(shù)f(x)=cos2QUOTE·cos2QUOTE,則fQUOTE等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.f(x)=cos2QUOTE·cos2QUOTE=QUOTE·QUOTE,即f(x)=QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE,所以fQUOTE=QUOTE=QUOTE.3.設(shè)a=QUOTEcos7°+QUOTEsin7°,b=QUOTE,c=QUOTE,則有 ()A.b>a>c B.a>b>c C.a>c>b D.c>b>a【解析】選A.由于a=QUOTEcos7°+QUOTEsin7°=sin30°cos7°+cos30°sin7°=sin37°,b=QUOTE=tan38°,c=QUOTE=sin36°,依據(jù)三角函數(shù)的正弦線,余弦線和正切線,得tan38°>sin38°>sin37°>sin36°,所以b>a>c.4.(多選題)下列敘述正確的是 ()A.對于隨意α,sinα=QUOTEB.當(dāng)α在第一象限時(shí),sinα=QUOTEC.當(dāng)α在其次象限時(shí),sinα=QUOTED.若sinα=QUOTE,則α在第一或其次象限【解析】選B、C.由cos2α=1-2sin2α,得sin2α=QUOTE,兩邊開平方,得|sinα|=QUOTE,所以sinα=±QUOTE,當(dāng)α在第一象限、其次象限或α的終邊在y軸非負(fù)半軸上時(shí),sinα=QUOTE;當(dāng)α在第三象限、第四象限或α的終邊在y軸非正半軸上時(shí),sinα=-QUOTE.二、填空題(每小題5分,共20分)5.等腰三角形頂角的余弦值為QUOTE,那么這個(gè)三角形的一個(gè)底角的余弦值為________.

【解析】設(shè)等腰三角形的底角為α,頂角為β,則α=QUOTE-QUOTE,cosβ=QUOTE,所以cosα=cosQUOTE=sinQUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.函數(shù)y=QUOTE的最小正周期為________.

【解析】y=QUOTE=QUOTE=QUOTE=tanQUOTE,最小正周期是T=QUOTE.答案:QUOTE7.若α是第三象限角,且sinQUOTEcosβ+sinβcosQUOTE=-QUOTE,則tanQUOTE=________.

【解析】由sinQUOTEcosβ+sinβcosQUOTE=-QUOTE,可得:sinα=-QUOTE,因?yàn)棣潦堑谌笙藿?所以cosα=-QUOTE,所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=-5.答案:-58.已知sinα=QUOTE+cosα,且α∈QUOTE,則QUOTE=________.

【解析】由sinα=QUOTE+cosα,α∈QUOTE,得sinα-cosα=QUOTE.又因?yàn)?sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2,所以(sinα+cosα)2=2-(sinα-cosα)2=QUOTE,所以sinα+cosα=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE=-QUOTE(cosα+sinα)=-QUOTE.答案:-QUOTE三、解答題(每小題10分,共30分)9.已知角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-3,QUOTE).(1)求QUOTE的值.(2)求tan2α+tanQUOTE的值.【解析】(1)由題意得sinα=QUOTE,cosα=-QUOTE,tanα=-QUOTE.原式=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.(2)tan2α=QUOTE=-QUOTE,tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=2+QUOTE.tan2α+tanQUOTE=2.10.若角θ的終邊在第三象限,且tan2θ=-2QUOTE,求sin2θ-sin(3π+θ)cos(π+θ)-QUOTEcos2θ.【解題指南】由條件利用二倍角的正切公式求得tanθ的值,再利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得要求式子的值.【解析】角θ的終邊在第三象限,tan2θ=QUOTE=-2QUOTE,所以tanθ=QUOTE或tanθ=-QUOTE(舍去).則sin2θ-sin(3π+θ)cos(π+θ)-QUOTEcos2θ=sin2θ-sinθcosθ-QUOTEcos2θ=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.11.設(shè)函數(shù)f(x)=2sinφcos2QUOTE+cosφsinx-sinφ(0<φ<π)在x=π處取得最小值.(1)求φ的值.(2)已知函數(shù)g(x)和函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)QUOTE對稱,求函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間.【解析】(1)f(x)=2sinφcos2QUOTE+cosφsinx-sinφ=2sinφQUOTE+cosφsinx-sinφ=sinφ+sinφcosx+cosφsinx-sinφ=sinxcosφ+cosxsin