三角形全等的判定-構(gòu)造全等三角形課件滬科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊

滬科版八年級(jí)上冊數(shù)學(xué)構(gòu)造全等三角形一、利用角平分線構(gòu)造全等三角形①角平分線可以得到兩個(gè)相等的角。

如右圖，若射線OC是∠AOB的平分線，則∠AOC=∠BOC.

②角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。如右圖，若射線OC是∠AOB的平分線，PE⊥OA，PF⊥OB，則PE=PF.1、角平分線的定義EFACBOP證明：在Rt△OEP和Rt△OFP中∴Rt△OEP≌Rt△OFP（AAS）∴PE=PF如圖，OC平分∠AOB，P為OC上一點(diǎn)，請利用下圖，過點(diǎn)P作一對全等三角形。一、利用角平分線構(gòu)造全等三角形2、利用角平分線構(gòu)造全等三角形的方法：AOPCB①作雙垂直，造全等.條件：OC是角平分線②截等線段，造全等.條件：OC是角平分線，OE=3cm

一、利用角平分線構(gòu)造全等三角形EFACBOPEFACBOP3cm方法：作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F結(jié)論：△EOP≌△FOP（AAS）方法：在OB上截取OF=OE=3cm

結(jié)論：△EOP≌△FOP（SAS）3cm③作垂分線，構(gòu)全等.條件：OC是角平分線，EP⊥OC

④作雙平行，構(gòu)全等.條件：OC是角平分線，EP//OB

一、利用角平分線構(gòu)造全等三角形常用技巧：EFACBOPFEACBOP方法：延長EP交OB于F方法：作PF//OA交OB于F結(jié)論：△EOP≌△FOP（ASA）結(jié)論：△EOP≌△FOP（ASA）角平分線模型構(gòu)造全等三角形在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它的對邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。二、利用“倍長中線法”構(gòu)造全等三角形1、中線的定義DABC如圖，△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，則AD是中線二、利用“倍長中線法”構(gòu)造全等三角形2、利用“倍長中線法”構(gòu)造全等三角形的方法：如圖，△ABC中，AD是BC邊中線.①直接倍長法：DABCE此時(shí)△ADC≌△EDB（SAS）延長AD到E，使DE=AD，連接BE二、利用“倍長中線法”構(gòu)造全等三角形②間接倍長法EDABCMN延長MD到N，使DN=MD，連接CN作BE⊥AD交AD的延長線于EDABCF△CFD≌△BED（AAS）△BMD≌△CND（SAS）三、利用“截長補(bǔ)短法”構(gòu)造全等三角形（1）題型：適用于證明線段的和、差、倍、分等類的題目（2）角含半角模型（存在兩個(gè)角度是一半關(guān)系，并且這兩個(gè)角共頂點(diǎn)）往往通過補(bǔ)短的方法，證明線段之間的關(guān)系①90°含45°

②120°含60°

三、利用“截長補(bǔ)短法”構(gòu)造全等三角形①90°含45°

如圖：正方形ABCD中，∠EAF=45°，求證BE+DF=EF證明方法：延長EB至點(diǎn)F'，使BF'=DF，45°ABDCEF45°ABDCEFF'45°ABDCEFF'證明△ABF'≌△ADF（SAS）證明△AEF'≌△AEF（SAS）進(jìn)而得證BE+DF=EF三、利用“截長補(bǔ)短法”構(gòu)造全等三角形②120°含60°

如圖：等邊三角形ABC中，∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°，求證BM+CN=MN證明方法：延長NC至點(diǎn)M'，使CM'=BM，DABCMN60°ABCMN60°M'證明△DCM'≌△DBM（SAS）證明△NDM'≌△NDM（SAS）進(jìn)而得證BM+CN=MNDABCMN60°M'D三、利用“截長補(bǔ)短法”構(gòu)造全等三角形（3）截長補(bǔ)短法如圖，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，求證AB=AC+CD12ABCD三、利用“截長補(bǔ)短法”構(gòu)造全等三角形（3）截長補(bǔ)短法①截長法構(gòu)造全等三角形在較長線段上截取一段等于其中一條較短線段再證明剩下的線段與另一條較短線段相等12ABCDE12ABCDE②補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形延長短邊的方式使兩短邊拼合到一起三、利用“截長補(bǔ)短法”構(gòu)造全等三角形（4）總結(jié)：解決此類問題的常用技巧①角含半角只能補(bǔ)短，不能截長。②線段和差及倍半，延長縮短可實(shí)驗(yàn)。△EAD≌△FCD（AAS）例.如圖，在四邊形ABCD中，已知BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°，試說明AD=CD.分析：∠EAD=∠CDE=DF作DE⊥BA,DF⊥BC∠BAD+∠C=180°,∠BAD+∠EAD=180°DBACAD=CDEF總結(jié)：角平分線模型作雙垂直，構(gòu)造全等三角形證明：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB交BA的延長線于E，

作DF⊥BC于F，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC∴DE=DF∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠EAD=180°∴∠EAD=∠C在△EAD和△FCD中∴△EAD≌△FCD（AAS）∴AD=CD例.如圖，在四邊形ABCD中，已知BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°，試說明AD=CD.DBACEF∠DEC=∠C分析：∠A+∠C=180°，∠BED+∠DEC=180°證△ABD≌△EBD（SAS）在BC上截取BE=BAAD=ED，∠A=∠BEDED=CD=ADE例.如圖，在四邊形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，試說明AD=CD.ADCB總結(jié)：角平分線模型截等線段，構(gòu)造全等三角形在邊BC上截取BE=BA，連接DE∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD在△ABD和△EBD中∴△ABD≌△EBD（SAS）∴AD=ED，∠A=∠BED∵∠A+∠C=180°，∠BED+∠DEC=180°∴∠DEC=∠C∴CD=ED=AD例.如圖，在四邊形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，試說明AD=CD.證明：即AD=CDEADCB例.

如圖在△ABC中，BE是角平分線，AD⊥BE，垂足為D，求證：∠2=∠1+∠C．分析：∠2=∠BFD延長AD交BC于點(diǎn)FAD⊥BEBE是角平分線△ABD≌△FBD（ASA）∠BFD=∠2=∠1+∠CADCBE12F∴∠ADB=∠FDB=90°∴∠2=∠BFD

證明：延長AD交BC于F，∴∠ABD=∠FBD又∵BE平分∠ABC，在△ABD和△FBD中總結(jié)：“角平分線+垂直”模型構(gòu)造全等三角形∵AD⊥BE，外角∴△ABD≌△FBD（ASA）又∵∠BFD是△ACF的外角∴∠BFD=∠1+∠C即∠2=∠1+∠C例.

如圖在△ABC中，BE是角平分線，AD⊥BE，垂足為D，求證：∠2=∠1+∠C．ADCBE12F例.

如圖，△ABC中，AD是中線，AB=4，AC=6，求AD的取值范圍.分析：BE-AB<AE<BE+AB延長AD到點(diǎn)E,使DE=AD，連接BE△ADC≌△EDB（SAS）BE=AC2<AE<101<AD<5ADBCE466解：延長AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE∵AD=DE，∠ADC=∠EDB∴△ADC≌△EDB（SAS）∴BE=AC總結(jié)：“倍長中線法”全等三角形∵AD是中線∴BD=CD在△ABE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，得BE-AB<AE<BE+AB即2<2AD<10，所以AD的范圍是1<AD<5.三角形的三邊關(guān)系例.

如圖，△ABC中，AD是中線，AB=4，AC=6，求AD的取值范圍.ADBCE466∴2<AE<10例

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如圖，D是△ABC的BC邊上一點(diǎn)且CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中線.求證:∠C=∠BAE分析：延長AE到F,使EF=AE,連接DF△ABE≌△FDE（SAS）∠BDA=∠DAC+∠ACD∠ADC=∠ADFACDBEF△ADF≌△ADC（SAS）∠BAE=∠EFDAB=DF∠BDA=∠BAD∠BAD=∠BAE+∠EAD

=∠EFD+∠EAD∠C=∠BAE證明：延長AE到F，使EF=AE，連接DF∵AE是△ABD的中線.∴BE=ED∴AB=DF，∠BAE=∠EFD∴△ABE≌△FDE（SAS）∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=∠EFD+∠EAD例

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如圖，D是△ABC的BC邊上一點(diǎn)且CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中線.求證:∠C=∠BAEACDBEF在△ABE和△FDE中∵∠BDA是△ADC的外角，∵∠BDA=∠BAD∴∠BDA=∠DAC+∠ACD

∴∠ADF=∠ADC∵AB=DC，∴DF=DC∴∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD總結(jié)：“倍長中線法”全等三角形外角例

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如圖，D是△ABC的BC邊上一點(diǎn)且CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中線.求證:∠C=∠BAE∴∠AFD=∠C=∠BAE∴△ADF≌△ADC（SAS）ACDBEF在△ADF和△ADC中證明：例.如圖，△ABC是等邊三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角,使其兩邊分別交AB于M，交AC于點(diǎn)N,連接MN,求證MN=BM+NC.分析：△BDF≌△CDN（SAS）延長AB至F，使BF=CN，連接DFADCBMNF∠BDF=∠NDC，DF=DN∠MDF=∠MDN△DMN≌△DMF（SAS）MN=BM+NC∵∠MDN=60°，∠BDC=120°∴∠BDF=∠NDC，DF=DN證明：延長AB至F，使BF=CN，連接DF

△BDC是等腰三角形

∠BDC=120°總結(jié)：“角含半角”只能補(bǔ)短全等三角形∵△ABC是等邊三角形∴∠FBD=∠NCD=90°∵BD=CD，F(xiàn)B=NC∴△BDF≌△CDN（SAS）∴∠NDC+∠MDB=∠FDB+∠MDB=60°即∠FDM=∠NDM又∵DF=DN，MD=MD∴△DMN≌△DMF（SAS）∴MN=MF=BM+BF=BM+NC例.如圖，△ABC是等邊三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角,使其兩邊分別交AB于M，交AC于點(diǎn)N,連接MN,求證MN=BM+NC.ADCBMNF例.如圖，AB∥CD，CE，BE分別平分∠BCD和∠CBA，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD.

分析：△ABE≌△FBE（SAS）要證BC=AB+CD.在BC上取點(diǎn)F，使BF=BA考慮截長補(bǔ)短法∠1=∠2，∠3=∠4∠A=∠5ABCDEF123456∠A+∠D=180°∠6=∠D△CDE≌△CFE（AAS）CD=CFBC=AB+CD∠5+∠6=180°證明：在BC上取點(diǎn)F，使BF=BA，連接EF總結(jié)：“截長補(bǔ)短法”全等三角形∵CE，BE分別平分∠BCD和∠CBA∴∠1=∠2，∠3=∠4∴∠A=∠5平行線的性質(zhì)∴△ABE≌△FBE（SAS）∴∠6=∠D∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°∵∠5+∠6=180°∴△CDE≌△CFE（AAS）∴CF=CD∵BC=BF+CF∴BC=AB+CD例.如圖，AB∥CD，CE，BE分別平分∠BCD和∠CBA，點(diǎn)E