《平面與平面垂直的性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《8.6.3平面與平面垂直》教學(xué)設(shè)計

第2課時平面與平面垂直的性質(zhì)

【教材分析】

本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修第二冊》（人教A版）第八章《立體幾

何初步》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)平面與平面垂直的性質(zhì)及其應(yīng)用.

課本從兩垂直平面內(nèi)的一個平面內(nèi)找一條直線，考慮該直線與兩面的交線，另一個平面

之間的關(guān)系，引入平面與平面垂直的性質(zhì)定理。空間中平面與平面之間的位置關(guān)系中，垂直

是一種非常重要的位置關(guān)系,它不僅應(yīng)用較多,而且是空間問題平面化的典范空間中平面與

平面垂直的性質(zhì)定理具備以下兩個特點：（1）它是立體幾何中最難、最高級”的定理（2）它往

往又是一個復(fù)雜問題的開端,即先由面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直,否則無法解決問題因此,面面

垂直的性質(zhì)定理是立體幾何中最重要的定理教學(xué)目標(biāo)。

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.掌握平面與平面垂直的性質(zhì)定理；1.邏輯推理:用平面與平面垂直的性質(zhì)定理解決一些

B.運用平面與平面垂直的性質(zhì)定理解決一些簡單的問題；

簡單的問題；2..直觀想象：平面與平面垂直的性質(zhì)定理；

C.了解平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定

理之間的關(guān)系。

【教學(xué)重點】：平面與平面垂直的性質(zhì)定理及其應(yīng)用；

【教學(xué)難點】：用平面與平面垂直的性質(zhì)定理解決一些簡單的問題。

【教學(xué)過程】

教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖

一、復(fù)習(xí)回顧，溫故知新通過復(fù)習(xí)平面與平面垂

1、平面與平面垂直的定義直的定義和判定定理，引

2、平面與平面垂直的判定定理入本節(jié)新課。建立知識間

【答案】一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、

二、探索新知類比推理的能力。

思考1如圖，長方體中，a±0,----------7

（1）a里的直線都和P垂直嗎？-------

￡、1........……

⑵什么情況下a里的直線和P垂

/B

直？

【答案】（1）不一定（2）與AD垂直

思考2a^/3,aD/?=CD,AB^a,AB±CD,

通過思考，引入平面與平

垂足為B,那么直線AB與平面P的位置關(guān)系如何?

面存在的額性質(zhì)定理，提

為什么？

高學(xué)生分析問題的能力。

【答案】垂直

證明：在平面月內(nèi)作BE,CD,垂足為B,

則/ABE就是二面角二一。一￡的平

面角.

■:a【B,AAB±BE

又由題意知ABXCD,且BEACD=B,

1.平面與平面垂直的性質(zhì)定理

兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.

符號表示：

a_L￡,aC￡=j,aua,a_L/=a_L￡

關(guān)鍵點：①線在平面內(nèi)：②線垂直于交線

作用：①它能判定線面垂直.

②它能在一個平面內(nèi)作與這個平面垂通過例題講解，讓學(xué)生進(jìn)

直的垂線.一步理解平面與平面垂

例1.如圖，已知平面a，平面夕，直線直的性質(zhì)定理的運用，提

高學(xué)生解決問題的能力。

a工B,aa,判斷a與ar的位置關(guān)系。

解：在。內(nèi)作羯近于a與獷交線的支線〃.

???A1A

又“，

?*??！ㄞk.

乂aU%

???a〃a.

即宜線”與平面a平行.

例2.如圖，已知PA_1_平面ABC,平面PAB_1_平面PBC,

丁陰：如圖S.6-34.過點八作AELPB.垂足為E.

二平面PAB一平面PBC.平面PABD平面PBC=PB.

.；AE1?平面「尤?

::BCU平面PBC

.；AE1BC.

pA上平面ABC,BCU平面ABC.

；PAJ.BC.

又pan.AE=A.

:.BC_L平面PAB-

三、達(dá)標(biāo)檢測

1.在空間中，下列命題正確的是（）通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)

A.垂直于同一條直線的兩直線平行知識，通過學(xué)生解決問題

B.平行于同一條直線的兩個平面平行的能力，感悟其中蘊含的

C.垂直于同一平面的兩個平面平行數(shù)學(xué)思想，增強學(xué)生的應(yīng)

D.垂直于同一平面的兩條直線平行用意識。

【答案】D

【解析】A項中，垂直于同一條直線的兩直線可能平行、異面或相

交；B項中，平行于同一條直線的兩個平面可能平行或相交；C項中,

垂直于同一平面的兩個平面可能平行或相交；D項正確.

2.已知互相垂直的平面a,B交于直線1,若直線m,n滿足m〃a,

n±B,貝!J()

A.m〃1

【答案】C

【解析】因為anB=l,所以luB,又n，B,所以n_Ll.

3.如圖所示，三棱錐P-ABC中，平面PABJ_底

p

面ABC,且PA=PB=PC,則aABC是

三角形.

【答案】直角

【解析】解析設(shè)P在平面ABC上的射影為0,

?.?平面PAB_L底面ABC,平面PABC1平面ABC=AB,

AOGAB.

,.?PA=PB=PC,.,.OA=OB=OC,

...0是AABC的外心,且是AB的中點，

.?.△ABC是直角三角形.

D_______卜

4.如圖，在三棱臺ABC-DEF中，平面BCFE//

，平面ABC,ZACB=90°,BE=EF=FC

B

=1,BC=2.

求證：BF_L平面ACFD。

【證明】延長AD,BE,CF相交于一點K,如圖所示.

因為平面BCFEJ"平面ABC,平面BCFEC平面ABC

=BC,且AC_LBC,ACu平面ABC,所以人(：_1平

面BCK，

因此BF±AC,

又因為EF〃BC,BE=EF=FC=1,BC=2,

所以ABCK為等邊三角形，且F為CK的中點，則BFLCK.

又CKf!AC=C,CK,ACu平面ACFD,

所以BF_L平面ACFD.

四、小結(jié)通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步

1.平面與平面垂直的性質(zhì)定理；鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高

2、證明線面垂直的兩種方法：概括能力,提高學(xué)生的數(shù)

線線垂直一線面垂直；面面垂直一線面垂直；學(xué)運算能力和邏輯推理

3、線線、線面、面面之間的關(guān)系的轉(zhuǎn)化是解決空間圖形問題的重要思能力。

想方法。

五、作業(yè)

習(xí)題8.610,20題

【教學(xué)反思】

本節(jié)課在介紹性質(zhì)定理或結(jié)論前,讓學(xué)生觀察模型，自己猜想結(jié)論,然后引導(dǎo)學(xué)生對猜想

結(jié)行證明，引導(dǎo)過程中巧設(shè)問題,及時組織學(xué)生思考,交流,討論。通過模型演示激發(fā)學(xué)生索新

知的欲望，通過“探究”、“猜想”等活動多維度構(gòu)建學(xué)生“自主參與、自主探索活動，通過

學(xué)生思考、交流、討論、發(fā)言多形式提供學(xué)生“展示自我、發(fā)展自我”的教平臺，在突破重

難點的同時,注重培養(yǎng)學(xué)生空間概念,空間想象能力以及邏輯推理能力。

不同層次學(xué)生有所收獲。遇到學(xué)生表述不準(zhǔn)確或有錯誤時及時糾正,對待學(xué)生大膽的嘗

試，給予充分的肯定，借此引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會必要的思維策略,展現(xiàn)問題解決的途徑,揭示研究問

題的基本方法,注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透。

當(dāng)然這節(jié)課還存在著很多不足之處，如課堂時間不足,導(dǎo)致該問題學(xué)生難以消化,未到預(yù)

期效果,等等,在這里就不再贅述。通過這次活動,我覺得自己在教學(xué)上收獲很大,特別是很多

老師給我提出了許多寶貴意見，讓我收益非淺。我期盼學(xué)校以后能多提供給我們年輕教師展

示自我的平臺、提高教學(xué)水平的機會。

《8.6.3平面與平面垂直》導(dǎo)學(xué)案

第2課時平面與平面垂直的性質(zhì)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握平面與平面垂直的性質(zhì)定理；

2.運用平面與平面垂直的性質(zhì)定理解決一些簡單的問題；

3.了解平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理之間的關(guān)系。

【教學(xué)重點】：平面與平面垂直的性質(zhì)定理及其應(yīng)用；

【教學(xué)難點】：用平面與平面垂直的性質(zhì)定理解決一些簡單的問題。

【知識梳理】

平面與平面垂直的性質(zhì)定理

兩個平面垂直，如果_______有一直線垂直于這兩個平面的_____,那

文字語言

么這條直線與另一個平面______

符號語言

巴

圖形語言

①面面垂直=________

作用

②作面的垂線

【學(xué)習(xí)過程】

一、探索新知

思考1如圖，長方體中，a±0,

匕C1

(1)a里的直線都和3垂直嗎？

(2)什么情況下a里的直線和0垂直？

思考2a_L￡,an^=CD,ABcza,AB±CD,垂足為B,那么直線AB與

平面B的位置關(guān)系如何？為什么？

yfr7

C

1.平面與平面垂直的性質(zhì)定理O

符號表示：_________________________________________

關(guān)鍵點：①線在平面內(nèi)；②線垂直于交線

作用：①它能判定線面垂直.

②它能在一個平面內(nèi)作與這個平面垂直的垂線.

例1.如圖，已知平面a_L平面/，直線a_L￡,aga,判斷a與a的位置關(guān)系。

例2.如圖，已知PA_L平面ABC,平面PAB_L平面PBC,

求證：BC_L平面PAB.

【達(dá)標(biāo)檢測】

1.在空間中，下列命題正確的是（）

A.垂直于同一條直線的兩直線平行

B.平行于同一條直線的兩個平面平行

C.垂直于同一平面的兩個平面平行

D.垂直于同一平面的兩條直線平行

2.已知互相垂直的平面a,B交于直線1,若直線m,n滿足m〃a,則（）

A.m//1B.m//nC.n±lD.m±n

3.如圖所示,三棱錐P—ABC中，平面PAB，底面ABC,且PA=PB=PC,則△ABC是

三角形.

A*B

4.如圖，在三棱臺ABC-DEF中，平面BCFE_L平面ABC,ZACB=90°,BE=EF=FC=1,

BC=2.

求證：BF_L平面ACFD。

參考答案：

思考：（1）不一定（2）與AD垂直

思考2.垂直

證明：在平面夕內(nèi)作BELCD,垂足為B,則NABE就是二面角a-C。-齊的平面角.

,：aA./3,AAB±BE

又由題意知ABLCD,且BEf]CD=B,

例1.

解：作a內(nèi)作乖立于a交線的直線〃.

Va_LM

???2.

又3,

a〃辦.

又aQta.

a〃％

即M線a與平平a平行.

例2.

-用?如圖8.6-34.過點A作AE_LPB.垂足為E.

匕年面PAB_平面PBC。平面PABfl平面PBC=PB.

:.AE一平面PBC

BCU平面PBC.

；皿BC

:.p.A_L平面ABC.BCU平面ABC.

:.PA1BC.

又PAf1AE=A.

BC一平面PAB.

達(dá)標(biāo)檢測

1.【答案】D

【解析】A項中，垂直于同一條直線的兩直線可能平行、異面或相交；B項中，平行

于同一條直線的兩個平面可能平行或相交；C項中，垂直于同一平面的兩個平面可能平行或

相交；D項正確.

2.【答案】C

【解析】因為anB=l,所以luB,又n_LB,所以n_LL

3.【答案】直角

【解析】解析設(shè)P在平面ABC上的射影為0,

?平面PAB_L底面ABC,平面PABC平面ABC=AB,

AOGAB.

?；PA=PB=PC,.\OA=OB=OC,

...0是AABC的外心,且是AB的中點,

/.AABC是直角三角形.

4.【證明】延長AD,BE,CF相交于一點K,如圖所示.

因為平面BCFEJ_平面ABC,平面BCFEC平面ABC=BC,且ACJ_BC,ACu平面ABC,所以

AC_L平面BCK,

因此BF_LAC.

又因為EF〃BC,BE=EF=FC=1,BC=2,

所以aBCK為等邊三角形，且F為CK的中點，則BFLCK.

又CKCAC=C,CK,ACu平面ACFD,

所以BF_L平面ACFD.

《8.6.3平面與平面垂直》同步練習(xí)

第2課時平面與平面垂直的性質(zhì)

一、選擇題

1.設(shè)a,P是兩個不同的平面，I,加是兩條不同的直線，且/ua,muB()

A.若/_LA，則B.若a_LQ,貝

C.若〃/，則?！.若a/甲,貝/

2.如圖所示，在平行四邊形ABCO中，ABLBD，沿3。將△ABD折起，使平面

AB￡>_L平面SCO,連接AC,則在四面體4BCD的四個面中，互相垂直的平面的對數(shù)為

()

A.1B.2C.3D.4

3.如圖所示，三棱錐P—A3C的底面在平面a內(nèi)，且AC_LPC,平面平面

PBC,點、P,A6是定點，則動點C的軌跡是()

A.一條線段B.一條直線C.一個圓D.一個圓，但要去掉

兩個點

4.已知平面a_L平面￡,aC\/3=n,點Aea,A走〃，直線AB〃/?，直線ACJ_〃，

直線機||a,m\\/3,則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是（）

A.AB//mB.ACVmC.AB//PD.AC±/?

5.（多選題）給定下列四個命題：

A.若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，則這兩個平面相互平行：

B.若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面相互垂直；

C.垂直于同一直線的兩條直線相互平行；

D.若兩個平面垂直,那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.

其中，為真命題的是（）

A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④

6.（多選題）如圖所示，在直角梯形5CE廠中，NCBF=NBCE=90°,人。分別是

BfCE上的點，AD//BC,且A5=QE=25C=2AE（①）,將四邊形AOE尸沿AO折

起，連接BE,BECE（②）.在折起的過程中，下列說法中正確的是（）

A.AC〃平面也產(chǎn)

B.四點不可能共面

C.若EFLCF,則平面A￡）EF_L平面ABC。

D.平面8CE與平面巫?可能垂直

二、填空題

7.如圖，四面體P—ABC中，Q4=PB=13,平面平面ABC,ZACB=90°,

AC=8,BC=6,則PC=

p

8.如圖所示，AB,C,。為空間四點，在AABC中，AB=2,AC=BCf，

等邊三角形以A8為軸運動，當(dāng)平面平面ABC時，CD=.

9.平面a_L平面/?,。0月=/，〃u6，直線加_1_。（加，〃是兩條不同

的直線），則直線機與〃的位置關(guān)系是.

10.己知PA_L正方形ABCD所在的平面，垂足為A,連接PB,PC,PD,則平面PAB,平

面PAD,平面PCD,平面PBC,平面ABCD中，互相垂直的平面有.

三、解答題

11.己知P是AABC所在平面外的一點，且_L平面ABC,平面PAC_L平面PBC.

求證：BC1AC.

12.如圖，三棱錐P—A3C中，已知△ABC是等腰直角三角形，NABC=90°，^PAC

是直角三角形，NPAC=90°，平面PAC_L平面ABC.求證：平面PABJ_平面PBC.

《8.6.3平面與平面垂直》同步練習(xí)答案解析

第2課時平面與平面垂直的性質(zhì)

一、選擇題

1.設(shè)a,4是兩個不同的平面，/,加是兩條不同的直線，且/ua,mu/3()

A.若/_!_夕，則a_L/?B.若,則/

C.若則a%D.若a〃尸，則〃/m

【答案】A

【解析】

試題分析：由面面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一平面的一條垂線，則兩面垂

直，可得/J_Q,lua

可得。_L4

2.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB±BD.沿3。將△ABD折起，使平面

ABDJ_平面38,連接AC，則在四面體ABC。的四個面中，互相垂直的平面的對數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

【答案】c

【解析】

VffiABDlffiBCD,AB±BD,AABl?BCD,又ABu面ABC,

二面ABCJ■面BCD,同理，面ACD_L面ABD.

故四面體ABCD中互相垂直的平面有3對.

3.如圖所示，三棱錐P—A3c的底面在平面a內(nèi)，且AC_LPC,平面Q4CJL平面

PBC,點P,A,3是定點，則動點C的軌跡是()

A.一條線段B.一條直線C.一個圓D.一個圓，但要去掉

兩個點

【答案】D

【解析】

因為平面PAC_L平面PBC,AC1PC,平面PACA平面PBC=PC,

ACu平面PAC,所以AC_L平面PBC.

又因為BCu平面PBC,所以ACLBC.所以NACB=90°.

所以動點C的軌跡是以AB為直徑的圓，除去A和B兩點.

選D.

4.已知平面a，平面月，。0月=〃，點Aea,Ae/，直線直線AC，〃，

直線機||a,m\\j3,則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是()

A.AB//mB.AClmC.AB//J3D.AC±J3

【答案】D

【解析】如圖所示:

由于〃z//a,mlip,二口尸=〃，所以加〃〃，又因為AB//〃，所以AB//m,故

A正確，

由于ACJ_〃，mlln,所以ACLm,故B正確，

由于AB//〃，〃u月，AB在￡外，所以AB//，，故C正確；

對于I）,雖然AC，〃，當(dāng)AC不一定在平面a內(nèi)，故它可以與平面夕相交、平行，不

一定垂直，所以D不正確；

故答案選D

5.（多選題）給定下列四個命題：

A.若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，則這兩個平面相互平行；

B.若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面相互垂直：

C.垂直于同一直線的兩條直線相互平行；

D.若兩個平面垂直,那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.

其中，為真命題的是（）

A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④

【答案】BD

【解析】當(dāng)兩個平面相交時，一個平面內(nèi)的兩條直線也可以平行于另一個平面，故A

錯誤；由平面與平面垂直的判定可知B正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相

交或者異面，故C錯誤；若兩個平面垂直，只有在一個平面內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與

另一個平面垂直，故D正確.綜上，真命題是BD.

故選：BD

6.（多選題）如圖所示，在直角梯形5CE尸中，NC8E=NBCE=90°,AO分別是

8ECE上的點，AD//BC,且AB=OE=25C=2AF（①）,將四邊形4）所沿折

起，連接8E，8￡CE（②）.在折起的過程中，下列說法中正確的是（）

D

①②

A.AC〃平面

B.8,C,E,E四點不可能共面

C.若EFLCF,則平面ADE/_L平面ABC。

D.平面BCE與平面BEE可能垂直

【答案】ABC

【解析】選項A中，連接AC,取AC的中點。，BE的中點M，

連接MQMF,MO||O￡\iLMO=；OE,

而AF//DE且A.F=—DE,

2

所以4尸||MO且AF=MO

所以四邊形AOMF是平行四邊形，

所以AC〃尸M,而ACa平面BEE，R0u平面BEE，

所以AC〃平面8石廠，

所以A正確：

選項B中，設(shè)8,C,E,F四點共面，

因為BC〃AD,BCz平面A￡)￡R,ADu平面AOER，

所以8C〃平面45瓦

而8Cu平面BCEF,平面BCEFD平面ADEF=EF，

所以BCI]EF,

所以AO〃EF,這與己知相矛盾，

故8C,E,產(chǎn)四點不可能共面，

所以B正確；

選項C中，連接Cf。/7,

在梯形AOEF中，易得EF上FD,

又EFLCF,FD,CFu平面CDF,FDCCF=F,

所以防_L平面CDE

而CDu平面CDF,所以CD_L功，

而8_LAD,￡：￡4。匚平面4￡>麻，且EF與AD必有交點，

所以CD_L平面A￡>E/，

因為CDu平面ABC。，

所以平面ADEF±平面ABCD,

所以C正確；

選項D中，延長A尸至G，使得AE=FG,連接BG,EG,

AD±AF，AD±AB，A￡ABu平面AB產(chǎn)，AFoAB^A,

所以AOJ_平面A5E,

而8C〃AO,所以3CL平面A5產(chǎn)，

因為BCu平面3CE,所以平面BCEJ"平面A5產(chǎn)，

過F作FNLBG于N,FNu平面ABF,平面BCED平面A5/=BG,

所以FN_L平面BCE,

若平面BCE_L平面B￡F，

則過戶作直線與平面BCE垂直，其垂足在BE上，

故前后矛盾，

所以D錯誤.

故選：ABC.

二、填空題

7.如圖，四面體P-ABC中，P4=PB=13,平面B4B_L平面ABC,ZACB=90°,

AC=8,BC=6,則PC=

P

【解析】

取AB的中點E，連接PE,EC.

因為？AC890?,AC8,BC=6,所以AB=10,所以CE=5.

因為PA=PB=13,E是AB的中點，所以產(chǎn)后人AB,PE=12.

因為平面B46_L平面ABC,平面平面ABC=AB，PEu平面抬6，

所以PEL平面ABC.

因為CEu平面ABC,所以PE上CE.

在Rt^PEC中，pc=PE1+CE2=13.

8.如圖所示，AB,C,。為空間四點，在—43。中，AB=2,AC=BC=6,

等邊三角形A￡>8以A6為軸運動，當(dāng)平面458J_平面ABC時，CD=.

【答案】2.

【解析】取AB的中點E，連接OE,CE.因為△AD3是等邊三角形，所以

當(dāng)平面4D3_L平面ABC時，因為平面ADBc平面ABC=AB，且DEL43,所以

平面A