2025高考數(shù)學一輪復習-17.2-導數(shù)與不等式恒成立(能成立)問題【課件】

17.2-導數(shù)與不等式恒成立(能成立)問題若對任意x∈(0，＋∞)，不等式2x＋lnx≤a(x2＋x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.f(x)＜g(x)型舉題說法1【解答】當a≤0時，F(xiàn)′(x)＞0，取x＝1，得F(1)＝2－2a＞0，所以F(x)≤0不可能恒成立．設函數(shù)f(x)＝(x－1)(ex－e)，g(x)＝ex－ax－1，其中a∈R.若對?x2∈[0，＋∞)，都?x1∈R，使得不等式f(x1)≤g(x2)成立，求a的最大值．f(x1)＜g(x2)型2【解答】對?x2∈[0，＋∞)，都?x1∈R，使得不等式f(x1)≤g(x2)成立，等價于f(x1)min≤g(x2)min.

f(x1，x2)＜g(x1，x2)型3【解答】洛必達法則【解析】當x≥0時，x－ln(x＋1)≤ax2恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是______．4新視角【答案】變式已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)，當x∈(1，＋∞)時，f(x)＞0，則實數(shù)a的取值范圍是______________．【解析】綜上所述，a的取值范圍是(－∞，2].【答案】(－∞，2]隨堂練習【解析】根據(jù)題意知f′(x)＝sinx－x，設h(x)＝f′(x)，則h′(x)＝cosx－1≤0，h(x)單調(diào)遞減，所以當x＜0時，f′(x)＝h(x)＞h(0)＝0，f(x)單調(diào)遞增，當x＞0時，f′(x)＝h(x)＜h(0)＝0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)≤f(0)＝0.又f(x)≤m恒成立，所以m的最小值為0.A2．已知函數(shù)f(x)＝x2－x＋1，g(x)＝lnx＋1，若f(x)＞g(x)在區(qū)間(0，t)上恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是

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)A．(0，1) B．(0，1]C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)B【解析】令h′(x)＝0，得x＝1(負值舍去)，故h(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以h(x)min＝h(1)＝0.根據(jù)題意知t的取值范圍為(0，1].3．已知函數(shù)f(x)＝kx(1－lnx)，其中k為非零實數(shù)．(1)求f(x)的極值．【解答】f(x)＝kx(1－lnx)，其中k為非零實數(shù)，f′(x)＝－klnx，x＞0.①若k＜0，則當x∈(0，1)時，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)有極小值f(1)＝k；②若k＞0，當x∈(0，1)時，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當x∈(1，＋∞)時，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)有極大值f(1)＝k.綜上所述，當k＜0時，f(x)有極小值f(1)＝k；當k＞0時，f(x)有極大值f(1)＝k.3．已知函數(shù)f(x)＝kx(1－lnx)，其中k為非零實數(shù)．(2)當k＝4時，在函數(shù)g(x)＝f′(x)＋x2＋2x的圖象上任取兩個不同的點M(x1，y1)，N(x2，y2).若當0＜x1＜x2＜t時，總有不等式g(x1)－g(x2)≥4(x1－x2)成立，求正實數(shù)t的取值范圍．【解答】當k＝4時，f′(x)＝－4lnx，g(x)＝x2＋2x－4lnx，當0＜x1＜x2＜t時，總有不等式g(x1)－g(x2)≥4(x1－x2)成立，即g(x1)－4x1≥g(x2)－4x2.配套精練A組夯基精練一、

單項選擇題1．若對任意正實數(shù)x，不等式x－lnx＋1＞a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 (

)A．(－∞，1) B．(－∞，2)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)B【解析】【解析】A【解析】因為f(x)＝x3－3x＋a，所以f′(x)＝3x2－3，所以當x∈(－2，－1)，(1，2)時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，當x∈(－1，1)時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減．因為f(－2)＝－2＋a，f(－1)＝2＋a，f(1)＝－2＋a，f(2)＝2＋a，所以當x∈[－2，2]時，f(x)max＝2＋a.D【解析】【答案】C(－∞，8]【解析】【解析】(－∞，0]【解析】設g(x)＝ex－2x＋3，則g′(x)＝ex－2.當x∈(－∞，ln2)時，g′(x)＜0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，當x∈(ln2，＋∞)時，g′(x)＞0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，所以g(x)≥g(ln2)＝2－2ln2＋3＝5－2ln2＞0，故ex＞2x－3.(－∞，1]【解析】【解答】易得f(x)＝x2－2tx＋1＝(x－t)2＋1－t2，x∈[1，2]，易知二次函數(shù)開口向上，對稱軸為x＝t.10．已知函數(shù)f(x)＝(x－1)lnx－m(x＋1).(1)若x＝1是函數(shù)y＝f(x)的極值點，求m的值；【解答】【解答】【解析】若丙正確，因為f(x)是二次函數(shù)，且有兩個零點，同時極值為負數(shù)，所以f(x)的圖象開口向上即可，故