高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何第2講空間圖形的基本關(guān)系與公理知能訓(xùn)練輕松闖關(guān)理北師大版

PAGE第2講空間圖形的基本關(guān)系與公理1．已知l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共點(diǎn)?l1，l2，l3共面解析：選B.在空間中，垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，故A錯(cuò)；兩條平行直線中的一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線，B正確；相互平行的三條直線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C錯(cuò)；共點(diǎn)的三條直線不一定共面，如三棱錐的三條側(cè)棱，故D錯(cuò)．2．(2016·贛州四校聯(lián)考)若平面α∥平面β，點(diǎn)A，C∈α，B，D∈β，則直線AC∥直線BD的充要條件是()A．AB∥CDB．AD∥CBC．AB與CD相交D．A，B，C，D四點(diǎn)共面解析：選D.因?yàn)槠矫姒痢纹矫姒?，要使直線AC∥直線BD，則直線AC與BD是共面直線，即A，B，C，D四點(diǎn)必須共面．3．(2014·高考廣東卷)若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1與l4既不垂直也不平行D．l1與l4的位置關(guān)系不確定解析：選D.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，記l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此時(shí)l1∥l4，可以排除選項(xiàng)A和C.若l4＝DC1，也滿足條件，可以排除選項(xiàng)B.故選4.如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點(diǎn)的平面記作γ，則γ與β的交線必經(jīng)過()A．點(diǎn)A B．點(diǎn)BC．點(diǎn)C但不過點(diǎn)M D．點(diǎn)C和點(diǎn)M解析：選D.因?yàn)锳Bγ，M∈AB，所以M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，所以M∈β.根據(jù)公理3可知，M在γ與β的交線上．同理可知，點(diǎn)C也在γ與β的交線上．5．(2016·昆明質(zhì)檢)已知A、B、C、D是空間四個(gè)點(diǎn)，甲：A、B、C、D四點(diǎn)不共面，乙：直線AB和直線CD不相交，則甲是乙成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A.因?yàn)锳、B、C、D四點(diǎn)不共面，則直線AB和直線CD不相交，反之，直線AB和直線CD不相交，A、B、C、D四點(diǎn)不一定不共面．故甲是乙成立的充分不必要條件．6．(2016·鄭州模擬)如圖所示，ABCD-A1B1C1D1是正方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)MA．A，M，O三點(diǎn)共線 B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面解析：選A.連接A1C1，AC(圖略)，則A1C1∥所以A1，C1，A，C四點(diǎn)共面，所以A1C平面ACC1A1因?yàn)镸∈A1C，所以M∈平面ACC1A又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上同理A，O在平面ACC1A1與平面AB1D1所以A，M，O三點(diǎn)共線．7.(2016·鄭州模擬)如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是____________．解析：如圖，把平面展開圖還原成正四面體，知GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE與MN垂直，故②③④正確．答案：②③④8.如圖所示，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH為菱形，當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH是正方形．解析：易知EH∥BD∥FG，且EH＝eq\f(1,2)BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝eq\f(1,2)AC＝HG，顯然四邊形EFGH為平行四邊形．要使平行四邊形EFGH為菱形需滿足EF＝EH，即AC＝BD；要使四邊形EFGH為正方形需滿足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.答案：AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD9．在圖中，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________(填上所有正確答案的序號(hào))．解析：圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面．所以在圖②④中GH與MN異面．答案：②④10.如圖所示，正方體的棱長為1，B′C∩BC′＝O，則AO與A′C′所成角的度數(shù)為________．解析：連接AC.因?yàn)锳′C′∥AC，所以AO與A′C′所成的角就是∠OAC(或其補(bǔ)角)．因?yàn)镺C⊥OB，AB⊥平面BB′C′C，所以O(shè)C⊥AB.又AB∩BO＝B，所以O(shè)C⊥平面ABO.又OA平面ABO，所以O(shè)C⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝eq\f(\r(2),2)，AC＝eq\r(2)，sin∠OAC＝eq\f(OC,AC)＝eq\f(1,2)，所以∠OAC＝30°.即AO與A′C′所成角的度數(shù)為30°.答案：30°11.如圖，已知不共面的三條直線a、b、c相交于點(diǎn)P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求證：AD與BC是異面直線．證明：假設(shè)AD與BC共面，所確定的平面為α，那么點(diǎn)P、A、B、C、D都在平面α內(nèi)，所以直線a、b、c都在平面α內(nèi)，與已知條件a、b、c不共面矛盾，假設(shè)不成立，所以AD和BC是異面直線．12．在正方體ABCD-A1B1C1D1中(1)求AC與A1D所成角的大小；(2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF解：(1)如圖，連接B1C，AB1由ABCD-A1B1C1D1是正方體，易知A1D∥B1C，從而B1C與AC所成的角就是AC與A因?yàn)锳B1＝AC＝B1C所以∠B1CA＝60°.即A1D與AC所成的角為60°.(2)連接BD，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD，所以EF⊥AC.所以EF⊥A1C1即A1C1與EF所成的角為90°1．如圖，四棱錐P-ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等邊三角形，則異面直線CD與PB所成角的大小為()A．90° B．75°C．60° D．45°解析：選A.延長DA至E，使AE＝DA，連接PE，BE，因?yàn)椤螦BC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，所以DE＝BC，DE∥BC.所以四邊形CBED為平行四邊形．所以CD∥BE.所以∠PBE(或其補(bǔ)角)就是異面直線CD與PB所成的角．在△PAE中，AE＝PA，∠PAE＝120°，由余弦定理得PE＝eq\r(PA2＋AE2－2·PA·AEcos∠PAE)＝eq\r(AE2＋AE2－2·AE·AE·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\r(3)AE.在△ABE中，AE＝AB，∠BAE＝90°，所以BE＝eq\r(2)AE.因?yàn)椤鱌AB是等邊三角形，所以PB＝AB＝AE.因?yàn)镻B2＋BE2＝AE2＋2AE2＝3AE2＝PE2，所以∠PBE＝90°.故選A.2．如果兩條異面直線稱為“一對(duì)”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線________對(duì)．解析：如圖所示，與AB異面的直線有B1C1，CC1，A1D1，DD1四條，因?yàn)楦骼饩哂胁煌奈恢?，且正方體共有12條棱，排除兩棱的重復(fù)計(jì)算，共有異面直線eq\f(12×4,2)＝24(對(duì))．答案：243.如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中點(diǎn)．(1)求證：AE與PB是異面直線；(2)求異面直線AE和PB所成角的余弦值．解：(1)證明：假設(shè)AE與PB共面，設(shè)平面為α.因?yàn)锳∈α，B∈α，E∈α，所以平面α即為平面ABE，所以P∈平面ABE，這與P?平面ABE矛盾，所以AE與PB是異面直線．(2)取BC的中點(diǎn)F，連接EF、AF，則EF∥PB，所以∠AEF(或其補(bǔ)角)就是異面直線AE和PB所成的角．因?yàn)椤螧AC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，所以AF＝eq\r(3)，AE＝eq\r(2)，EF＝eq\r(2)，cos∠AEF＝eq\f(AE2＋EF2－AF2,2·AE·EF)＝eq\f(2＋2－3,2×\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,4)，所以異面直線AE和PB所成角的余弦值為eq\f(1,4).4.如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊eq\f(1,2)AD，BE綊eq\f(1,2)FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)．(1)求證：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？