安徽省級(jí)示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期春季聯(lián)賽數(shù)學(xué)試題（含解析）

第1頁(yè)/共22頁(yè)安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2024年春季聯(lián)賽（高二）描清楚．必須在題號(hào)所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上答題無效.+b2A充分不必要條件B.必要不充分條件.C.充要條件D.既不充分也不必要條件A.A.-2025B.-2024C.2024D.20254.在一組數(shù)3，3，8，11，28中插入兩個(gè)整數(shù)m，n，使得新的一組數(shù)極差為原來極差的兩倍，且眾數(shù)和中位數(shù)保持不變，則m+n的最大值為()A.57B.58C.60D.615.設(shè)函數(shù)f(x)=cos3xcos4x的導(dǎo)函數(shù)為g(x)，則f,(0)+g,(0)=()A.25B.7C.7D.25第2頁(yè)/共22頁(yè)bc7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓Γ：的右焦點(diǎn)為F，y軸右側(cè)的兩點(diǎn)A，B在橢圓Γ上，且直線AB與圓O：x2+y2=b2相切，若橢圓Γ的焦距為12，△ABF的周長(zhǎng)為15，則橢圓Γ的A.B.C.D.8.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，都有f(x+y)+f(x—y)=2f(x)f(y)，則f(1)的值不可能是()A.-2B.C.1D.29.復(fù)數(shù)p，q，r在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P，Q，R，下列說法正確的有()prpqC.若∈R，則P，Q，R三點(diǎn)共線，則p，q，r成等比數(shù)列prpq10.在四棱錐PABC中，底面ABCD是矩形，PA丄平面ABCD，E、F分別為棱AB、PC的中點(diǎn)，下列說法正確的有()A.PC丄BDB.EF//平面PAD第3頁(yè)/共22頁(yè)11.已知a,b,c為△ABC的三條邊長(zhǎng)，則下列結(jié)論正確的有()A.2ab＞2c13.曲線y=lnx在點(diǎn)A(a,lna)，B(b,lnb)處的切線分別與y軸交于點(diǎn)C(0,c)，D(0,d)．若c，lna，d成等差數(shù)列，則.14.某班組織開展知識(shí)競(jìng)賽，抽取四名同學(xué)，分成甲、乙兩組：每組兩人，進(jìn)行對(duì)戰(zhàn)答題．規(guī)則如下：每次每名同學(xué)回答6道題目，其中有1道是送分題（即每名同學(xué)至少答對(duì)1題若每次每組對(duì)的題數(shù)之和為3的倍數(shù)，則原答題組的人再繼續(xù)答題；若對(duì)的題數(shù)之和不是3的倍數(shù)，就由對(duì)方組接著答題，假設(shè)每名同學(xué)每次答題之間相互獨(dú)立，且每次答題順序不作考慮，第一次由甲組開始答題，則第7次由甲組答題的概率為.15.在△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C所對(duì)的邊，D為邊BC上一點(diǎn).16.某品牌兒童玩具一箱80件，每箱玩具在出廠前都需要經(jīng)過質(zhì)檢，如果質(zhì)檢不合格，則立即更換．質(zhì)檢時(shí)，先從一箱玩具中任取8件檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有玩具進(jìn)行檢驗(yàn)，設(shè)每件玩具質(zhì)檢不合格的概率都為p(0<p<1)，且各件玩具質(zhì)檢是否合格相互獨(dú)立.件玩具中至少有一件質(zhì)檢不合格的概率；（2）記8件玩具中恰有2件質(zhì)檢不合格的概率為f(p)，求f(p)的極大值點(diǎn)p0.17.在矩形ABCD中，BC=2AB=2，取BC邊上一點(diǎn)M，將△ABM沿著AM折起，如圖所示形成四棱錐S-AMCD.第4頁(yè)/共22頁(yè)（1）若M為BC的中點(diǎn)，二面角S-AM-B的大小為，求AS與平面ABCD所成角的正弦值；（2）若將△ABM沿著AM折起后使得SD⊥AM，求線段MC的長(zhǎng).18.設(shè)p為任意給定的大于1的整數(shù)，每個(gè)正整數(shù)n均可以唯一地表示成(akak1...a1a0)p稱為n（1）請(qǐng)給出2024的三進(jìn)制表示；19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線Γ：y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P1，P2，P3在拋物線Γ上，直線P1P2，PPP安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2024年春季聯(lián)賽（高二）第5頁(yè)/共22頁(yè)描清楚．必須在題號(hào)所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上答題無效.+b2A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用充分條件和必要條件的定義即可判斷.+b2+b2故選：BA.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算化簡(jiǎn)求解即可..故選：BA.-2025B.-2024C.2024D.2025【答案】D【解析】第6頁(yè)/共22頁(yè)【分析】利用兩角和的余弦公式和三角形內(nèi)角和定理，計(jì)算求得答案；【詳解】?jī)墒阶鞑畹?，cosA-sinA=2024cosBcosC-2024sinBsinC=2024cos(B+C)=故選：D4.在一組數(shù)3，3，8，11，28中插入兩個(gè)整數(shù)m，n，使得新的一組數(shù)極差為原來極差的兩倍，且眾數(shù)和中位數(shù)保持不變，則m+n的最大值為()A.57B.58C.60D.61【答案】C【解析】【分析】由題意可得插入的兩個(gè)數(shù)不可能都是3；可得一個(gè)為3，另一個(gè)數(shù)不小于8，由極差加倍，則另一的最大值.【詳解】若插入兩個(gè)整數(shù)后眾數(shù)不變，則插入的數(shù)可以是“兩個(gè)都是3”，或是“一個(gè)為3，另一個(gè)不是3”，或是“兩個(gè)不等的且不是8，11，28”.①因?yàn)樾碌囊唤M數(shù)極差加倍，所以插入的兩個(gè)數(shù)不可能都是3；②因?yàn)橹形粩?shù)保持不變，若插入的數(shù)“一個(gè)為3，另一個(gè)不是3”，則一個(gè)為3，另一個(gè)數(shù)不小于8，又因?yàn)闃O差加倍，則另一個(gè)數(shù)為53，此時(shí)m+n=56；③若插入的兩個(gè)數(shù)是不等的且不是3，8，11，28，且極差為50，中位數(shù)保持不變，則兩個(gè)數(shù)可以為故選：C.5.設(shè)函數(shù)f(x)=cos3xcos4x的導(dǎo)函數(shù)為g(x)，則f,(0)+g,(0)=()A.-25B.-7C.7D.25【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出f,(x),g,(x)，再求出函數(shù)值即可.【詳解】函數(shù)f(x)=cos3xcos4x，求導(dǎo)得g(x)=f,(x)=-3sin3xcos4x-4cos3xsin4x，第7頁(yè)/共22頁(yè)g(x)=-9cos3xcos4x+12sin3xsin4x+12sin3xsin4x-16cos3xcos4x=24sin4xsin3x-25cos3xcos4x，所以f(0)+g(0)=0-25=-25故選：Ac【答案】C【解析】【分析】利用放縮法可得a>，b<，作差可比較c,b的大小.【詳解】令f(x)=tanx-x(0<x<),求導(dǎo)得f-1>0，所以f47故選：C.7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓Γ：的右焦點(diǎn)為F，y軸右側(cè)的兩點(diǎn)A，B在橢圓Γ上，且直線AB與圓O：x2+y2=b2相切，若橢圓Γ的焦距為12，△ABF的周長(zhǎng)為15，則橢圓Γ的A.B.C.D.第8頁(yè)/共22頁(yè)【答案】D【解析】【分析】首先證明橢圓的焦半徑公式，記AB與圓O:x2+y2=b2相切于點(diǎn)Q，A(x1,y1)，B(x2,y2)，)，即可推出AQ+AF=a，從而得到△ABF的周長(zhǎng)為2a，即可求出a、c，從而求出離心率.【詳解】首先證明橢圓上任意一點(diǎn)P(x,y)到左、右兩焦點(diǎn)F1、F2的距離焦半徑公式證明：因?yàn)镕1(-c,0)、F2(c,0)，故橢圓兩個(gè)焦半徑為記AB與圓O:x2+y2=則-b2，又y=b2-第9頁(yè)/共22頁(yè)所以AQ+AFBQBF所以離心率故選：D8.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，則f(1)的值不可能是(A.-2【答案】A【解析】)B.332【分析】采用“賦值法”為突破口，確定f(x)的取值范圍，可得答案.【詳解】令x=y=0，則2f(0)=2f(0)2，解得f(0)=0或f(0)=1所以f(t)≥-f(0)→f(t)≥-1故BCD皆有可能.故選：A9.復(fù)數(shù)p，q，r在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P，Q，R，下列說法正確的有()∈R，則P，Q，R三點(diǎn)共線，則p，q，r成等比數(shù)列【答案】CD【解析】 【分析】取p=q=1，r=2i，可判斷A；取p=1，q=i，可判斷B；兩個(gè)復(fù)數(shù)相除為實(shí)數(shù)”可知，實(shí)部與虛部比值相等，可判斷C；由已知可得可判斷D.第10頁(yè)/共22頁(yè)對(duì)于C，由“兩個(gè)復(fù)數(shù)相除為實(shí)數(shù)”可知，實(shí)部與虛部比值相等，進(jìn)而得到兩點(diǎn)間的斜率相等，故P，Q，R三點(diǎn)共線，故C正確.對(duì)于→則ipi，iqi，iri成等比數(shù)列，故D正確.故選：CD.10.在四棱錐P-ABC中，底面ABCD是矩形，PA丄平面ABCD，E、F分別為棱AB、PC的中點(diǎn)，下列說法正確的有()A.PC丄BDB.EF//平面PAD【答案】BCD【解析】【分析】若PC丄BD，可得BD丄平面PAC，進(jìn)而可得BD丄AC，可判斷可平面PCD，從而可得PA=AD，可判斷D.【詳解】選項(xiàng)A：PA丄平面ABCD，BD平面ABCD，則PA丄BD，若PC丄B又PA∩AC=A，PA,AC平面ABCD，所以BD丄平面PAC，又AC平面PAC，進(jìn)一步有BD丄AC，而底面ABCD是矩形，不能保證BD丄AC，故A錯(cuò)誤.第11頁(yè)/共22頁(yè)因?yàn)镋F丈平面PAD，AM平面PAD，所以EF//平面PAD，故B正確.選項(xiàng)C：因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，所以所以EF=，故C正確.由B可得AM∥EF，若EF丄平面PCD，則AM丄平面PCD，又PD平面PCD，所以AM丄PD，又M是PD的中點(diǎn)，所以PA=AD，故D正確.故選：BCD.11.已知a,b,c為△ABC的三條邊長(zhǎng)，則下列結(jié)論正確的有()A.2ab＞2c【答案】AD【解析】【分析】利用作差法判斷A選項(xiàng)；特殊值法判斷B,C選項(xiàng)；利用不等式性質(zhì)判斷D選項(xiàng)；選項(xiàng)A：2-3ab-3bc-3ca=2≥0，故A正確；abc；故B錯(cuò)誤；故選：AD第12頁(yè)/共22頁(yè)【答案】3【解析】【分析】先用余弦定理求BC，用e=可求雙曲線的離心率.【詳解】根據(jù)余弦定理得AC2=BA2+BC2-2BA.BCcosB→49=25+BC2-2×5.BC×,所以BC2-2BC-24=0→(BC-6)(B所以故答案為：313.曲線y=lnx在點(diǎn)A(a,lna)，B(b,lnb)處的切線分別與y軸交于點(diǎn)C(0,c)，D(0,d)．若c，lna，d成等差數(shù)列，則=.【答案】e2【解析】【分析】分別求出曲線y=lnx在點(diǎn)A(a,lna)，B(b,lnb)處的切線方程，分別代入C,D兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由等差中項(xiàng)的性質(zhì)求解即可.曲線y=lnx在點(diǎn)A(a,lna)處的切線方程為：y-lna=同理得：lnb-d=1.得：.故答案為：e2.14.某班組織開展知識(shí)競(jìng)賽，抽取四名同學(xué)，分成甲、乙兩組：每組兩人，進(jìn)行對(duì)戰(zhàn)答題．規(guī)則如下：每次每名同學(xué)回答6道題目，其中有1道是送分題（即每名同學(xué)至少答對(duì)1題若每次每組對(duì)的題數(shù)之和為3第13頁(yè)/共22頁(yè)的倍數(shù)，則原答題組的人再繼續(xù)答題；若對(duì)的題數(shù)之和不是3的倍數(shù)，就由對(duì)方組接著答題，假設(shè)每名同學(xué)每次答題之間相互獨(dú)立，且每次答題順序不作考慮，第一次由甲組開始答題，則第7次由甲組答題的概率為.【答案】【解析】【分析】先用古典概型計(jì)算公式求每次每組對(duì)的題數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率，設(shè)第n次由甲組答題的概率為Pn，由全概率公式得到Pn+1與Pn的遞推公式，根據(jù)遞推公式求數(shù)列{Pn}的通項(xiàng)公式，令n=7，可得問題答案.【詳解】記答題的兩位同學(xué)答對(duì)的題數(shù)分別為x1，y1，則x1，y1∈{1,2,3,4,5,6}故兩位同學(xué)答對(duì)的題數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率為兩位同學(xué)答對(duì)的題數(shù)之和不是3的倍數(shù)的概率進(jìn)一步有所以數(shù)列{Pn-}是以為首項(xiàng)，以-為公比的等比數(shù)列，所以.故答案為：第14頁(yè)/共22頁(yè)=-得到數(shù)列{Pn}的遞推公式是解決該題的關(guān)鍵.15.在△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C所對(duì)的邊，D為邊BC上一點(diǎn).π4【答案】（1）證明見解析【解析】而證得結(jié)論；設(shè)上BAD=上CAD=AD=x，得到α+β=且tanα=，tanβ=結(jié)合兩角和的正切公式，列出方程，求得x=6，結(jié)合△ABC的面積公式，即可求解.【小問1詳解】所以a2=abcosC-accos(π-B)=兩邊同時(shí)約去a，可得a=bcosC+ccosB，即證畢.【小問2詳解】因?yàn)?，所以?β=又因?yàn)锳D丄BC，所以tanα=，tanβ=x化簡(jiǎn)得x2-5x-6=0，解得x=6或x=-1（舍去所以AD=6，第15頁(yè)/共22頁(yè)16.某品牌兒童玩具一箱80件，每箱玩具在出廠前都需要經(jīng)過質(zhì)檢，如果質(zhì)檢不合格，則立即更換．質(zhì)檢時(shí)，先從一箱玩具中任取8件檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有玩具進(jìn)行檢驗(yàn)，設(shè)每件玩具質(zhì)檢不合格的概率都為p(0<p<1)，且各件玩具質(zhì)檢是否合格相互獨(dú)立.件玩具中至少有一件質(zhì)檢不合格的概率；（2）記8件玩具中恰有2件質(zhì)檢不合格的概率為f(p)，求f(p)的極大值點(diǎn)p0.【解析】【分析】（1）利用對(duì)立事件的概率關(guān)系求解.（2）利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率計(jì)算公式寫出f(p)的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值點(diǎn).【小問1詳解】因?yàn)?件玩具質(zhì)檢都合格的概率為所以8件玩具中至少有一件質(zhì)檢不合格的概率為.【小問2詳解】8件玩具中恰有2件質(zhì)檢不合格的概率為Cp2(1-p)6，即f(p)=Cp2(1-p)6=28p2(1-p)6，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，第16頁(yè)/共22頁(yè)故為f的極大值點(diǎn)，即p0=.17.在矩形ABCD中，BC=2AB=2，取BC邊上一點(diǎn)M，將△ABM沿著AM折起，如圖所示形成四棱錐S-AMCD.（1）若M為BC的中點(diǎn)，二面角S-AM-B的大小為，求AS與平面ABCD所成角的正弦值；（2）若將△ABM沿著AM折起后使得SD⊥AM，求線段MC的長(zhǎng). 【解析】【分析】（1）通過二面角的定義得上BHS=再通過線面角的判斷來確定AS與平面ABCD所成角的正弦值為，也可用向量法求解.（2）通過證明三點(diǎn)共線，以及相似三角形得對(duì)應(yīng)邊成比例關(guān)系，得解MC=BC.BM=取AM中點(diǎn)為H，連結(jié)HS，HB，因?yàn)樯螦BM=且AB=BM=1，所以△ABM為等腰直角三角形，同理△ASM也為等腰直角三角形，HS，HB均垂直AM于H，所以AM⊥平面BSH，所以二面角S-AM-B的平面角為上BHS=因?yàn)镾H=BH=所以三角形SHB為正三角形，第17頁(yè)/共22頁(yè)取BH的中點(diǎn)Q，連結(jié)SQ，則SQ垂直與BH，得SQ=因?yàn)锳M⊥平面BSH，所以AM垂直于SQ，又SQ⊥BH，所以SQ垂直于底面ABCD，連結(jié)AQ，∠SAQ為AS與平面ABCD.所成角，所以AS與平面ABCD所成角的正弦值為法2∶取AM中點(diǎn)為H，連接SH，BH，因?yàn)椤鰽MS和△AMB均為等腰直角三角形，所以SH，BH均垂直于AM，所以AM⊥平面BSH..以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HB，HM分別為x軸，y軸建系如圖∶則點(diǎn)s在坐標(biāo)平面xOz內(nèi)，設(shè)其坐標(biāo)為S（a，0，ca>0，c>0）由△AMS為等腰直角三角形且AS=1，得M（00）A（0，-，0設(shè)平面ASM的法向量為m-=（x，y，z取平面ABM的法向量為=（0，0，1π因?yàn)槎娼荁-AM-S的大小為，π3第18頁(yè)/共22頁(yè)設(shè)AS與平面ABCD所成的角θ的正弦值為 所以AS與平面ABCD所成角的正弦值為.法1∶在平面SAM內(nèi)作SH⊥AM連結(jié)BH，DH，則BH⊥AM，又因?yàn)镾D⊥AM、.AM⊥平面SHD所以AM⊥DH，又因?yàn)锳M⊥BH.∵AM，BH