2024屆鄭州市金水區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2024學(xué)年鄭州市金水區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿分30分）

1.將一副三角尺（在HAABC中，ZACB=90°，ZB=60°，在RtAEDF中,NEDF=90°，ZE=45°）如圖擺

放，點(diǎn)。為的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)P,經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,將AEDE繞點(diǎn)。順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)a（0°<?<60°），

PM

DE交AC于點(diǎn)M,。尸'交6C于點(diǎn)N,則石口的值為（）

D.

2

2.如圖,已知點(diǎn)E在正方形ABC。內(nèi)，滿足NAE3=90。6E=6,BE=8,則陰影部分的面積是（）

B.60

C.76D.80

3.古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1,4,9,16…這樣的數(shù)稱為“正方

形數(shù)”.從圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和.下列等式中，符合這一

規(guī)律的是（）

4=1+39=3+616=6-10

A.13=3+10B.25=9+16C.36=15+21D.49=18+31

4.隨著生活水平的提高，小林家購(gòu)置了私家車，這樣他乘坐私家車上學(xué)比乘坐公交車上學(xué)所需的時(shí)間少用了15分鐘,

現(xiàn)已知小林家距學(xué)校8千米，乘私家車平均速度是乘公交車平均速度的2.5倍，若設(shè)乘公交車平均每小時(shí)走x千米，

根據(jù)題意可列方程為（）

8881888,U881

A.-+15=------B.-+-=------C.-=-------+15D.-=-------+-

x2.5xx42.5%x2.5xx2.5x4

5.下列計(jì)算，結(jié)果等于a，的是（）

A.a+3aB.a5-aC.（a2）2D.a8-j-a2

6.根據(jù)如圖所示的程序計(jì)算函數(shù)y的值，若輸入的x值是4或7時(shí)，輸出的y值相等，則b等于（）

A.9B.7C.-9D.-7

7.如圖，已知△ABC中，ZABC=45°,F是高AD和BE的交點(diǎn)，CD=4,則線段DF的長(zhǎng)度為（）

A.2aB.4C.3行D.40

8.共享單車為市民短距離出行帶來(lái)了極大便利.據(jù)2017年“深圳互聯(lián)網(wǎng)自行車發(fā)展評(píng)估報(bào)告”披露，深圳市日均使用

共享單車2590000人次，其中2590000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.259xl04B.25.9x10sC.2.59xl06D.0.259xl07

9.將拋物線y=-2必+1向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，所得的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（）

A.y=-2（x-l）2-2B.y=-2（x+l）2-2

C.y=+4D.y=-2（x+l）~+4

10.估算我的值在（）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=2,OC的半徑為1,點(diǎn)P是斜邊AB上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作。C的

一條切線PQ（點(diǎn)Q是切點(diǎn)），則線段PQ的最小值為.

12.如圖，AB是。O的直徑，AB=2,點(diǎn)C在。。上，ZCAB=30°,D為的中點(diǎn)，P是直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，則

PC+PD的最小值為.

13.如圖，在扇形043中，NO=60。，OA=4y/j,四邊形OEC尸是扇形。45中最大的菱形，其中點(diǎn)E,C,尸分別

在。4,AB,上，則圖中陰影部分的面積為.

5

14.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,ZA=45°,CD_LAB于點(diǎn)D,點(diǎn)P在線段DB上，若AP2-PB?=48,貝！J△PCD

的面積為一.

15.如圖，A、B是雙曲線y=8上的兩點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作ACJ_x軸，交OB于D點(diǎn)，垂足為C.若D為OB的中點(diǎn)，△ADO

X

的面積為3,則k的值為.

16.某廠家以A、3兩種原料，利用不同的工藝手法生產(chǎn)出了甲、乙兩種袋裝產(chǎn)品，其中，甲產(chǎn)品每袋含1.5千克A

原料、1.5千克5原料；乙產(chǎn)品每袋含2千克4原料、1千克5原料.甲、乙兩種產(chǎn)品每袋的成本價(jià)分別為袋中兩種

原料的成本價(jià)之和.若甲產(chǎn)品每袋售價(jià)72元，則利潤(rùn)率為20%.某節(jié)慶日，廠家準(zhǔn)備生產(chǎn)若干袋甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品，

甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品的數(shù)量和不超過(guò)100袋，會(huì)計(jì)在核算成本的時(shí)候把A原料和5原料的單價(jià)看反了，后面發(fā)現(xiàn)如果不看

反，那么實(shí)際成本比核算時(shí)的成本少500元，那么廠家在生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品時(shí)實(shí)際成本最多為____元.

17.計(jì)算：（TT-3）°+（-L）-1=.

3

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18.（10分）如圖，點(diǎn)A在NMON的邊ON上，ABYOM^B,AE=OB,DEVON^E,AD=AO,DCLOM^C.求

證：四邊形ABC。是矩形；若DE=3,OE=9,求A3、的長(zhǎng).

19.（5分）如圖，AB是。。的直徑，C是弧AB的中點(diǎn)，弦CD與AB相交于E.

方C………―

20.（8分）如圖，平行四邊形A3C。的對(duì)角線AC,5。相交于點(diǎn)。，E尸過(guò)點(diǎn)。且與A3、CZ>分別交于點(diǎn)E、F.求

證：OE=OF.

21.（10分）已知拋物線產(chǎn)處2+以分0）.

（1）若拋物線與*軸交于點(diǎn)B（4,0）,且過(guò)點(diǎn)P（l,-3）,求該拋物線的解析式;

（2）若a>0,c=0,OA、OB是過(guò)拋物線頂點(diǎn)的兩條互相垂直的直線，與拋物線分別交于A、B兩點(diǎn)，求證：直線

AB恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,-)；

a

(3)若a>0,c<0,拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)(A在B左邊)，頂點(diǎn)為C,點(diǎn)P在拋物線上且位于第四象限.直線

OC

PA、PB與y軸分別交于M、N兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，———是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)

OM+ON

明理由.

22.(10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA=6厘米，OB=8厘米.點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BA邊向終點(diǎn)A以1

厘米/秒的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿AO邊向終點(diǎn)O以1厘米/秒的速度移動(dòng).若P、Q同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).

(1)t為何值時(shí)，AAPQ與AAOB相似？

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ的面積為8cm2?

1,B,與y軸交于點(diǎn)C(0,2),直線y=—gx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)

23.（12分）如圖，拋物線y=—]X-+bx+c與x軸交于A,

A,C.

(2)點(diǎn)尸為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)；

PF

①連接尸。，交AC于點(diǎn)E,求一的最大值；

EO

②過(guò)點(diǎn)尸作PF，AC,垂足為點(diǎn)F,連接PC,是否存在點(diǎn)P,使APFC中的一個(gè)角等于NCA5的2倍？若存在，請(qǐng)

直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

24.(14分)如圖，已知正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=A

(k>0)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4,

x

(1)求k的值；

(2)根據(jù)圖象直接寫出正比例函數(shù)值小于反比例函數(shù)值時(shí)x的取值范圍;

(3)過(guò)原點(diǎn)O的另一條直線1交雙曲線y=A(k>0)于P、Q兩點(diǎn)(P點(diǎn)在第一象限)，若由點(diǎn)A、P、B、Q為頂點(diǎn)

X

組成的四邊形面積為224,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

參考答案

一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿分30分)

1、C

【解題分析】

先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得CD=AD=DB,貝UNACD=NA=30。，ZBCD=ZB=60°,由于NEDF=90。，可利

_PMPD

用互余得NCPD=60。，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NPDM=NCDN=a,于是可判斷△PDMs^CDN,得到——=—,然后

PDPMn

在RtAPCD中利用正切的定義得到tanNPCD=tan30**,于是可得——=口.

CDCN3

【題目詳解】

??,點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn)，

ACD=AD=DB,

AZACD=ZA=30°,ZBCD=ZB=60°,

■:ZEDF=90°,

/.ZCPD=60°,

AZMPD=ZNCD,

???△EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)a(0°<a<60°),

ZPDM=ZCDN=a,

.?.△PDM^ACDN,

.PMPD

??-9

CNCD

PD

在RtAPCD中，；tanNPCD=tan30°=—,

故選：C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后

的圖形全等.也考查了相似三角形的判定與性質(zhì).

2、C

【解題分析】

試題解析：；NAEB=90。，AE=6,BE=8,

?*-AB=y/AE2+BE2=A/62+82=10

.'?S陰影部分=5JE*?ABCD-SRIAABE=102--x6x8

2

=100-24

=76.

故選C.

考點(diǎn)：勾股定理.

3、C

【解題分析】

本題考查探究、歸納的數(shù)學(xué)思想方法.題中明確指出：任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”

之和.由于“正方形數(shù)”為兩個(gè)“三角形數(shù)”之和，正方形數(shù)可以用代數(shù)式表示為：(n+1)2,兩個(gè)三角形數(shù)分別表示為

2

(n+1)和▲(n+1)(n+2),所以由正方形數(shù)可以推得n的值，然后求得三角形數(shù)的值.

2

【題目詳解】

VA中13不是“正方形數(shù)”；選項(xiàng)B、D中等式右側(cè)并不是兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和.

故選：C.

【題目點(diǎn)撥】

此題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn).對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照

什么規(guī)律變化的.

4、D

【解題分析】

分析：根據(jù)乘私家車平均速度是乘公交車平均速度的2.5倍，乘坐私家車上學(xué)比乘坐公交車上學(xué)所需的時(shí)間少用了15

分鐘，利用時(shí)間得出等式方程即可.

詳解：設(shè)乘公交車平均每小時(shí)走x千米，根據(jù)題意可列方程為：

881

-------1--.

x2.5x4

故選D.

點(diǎn)睛：此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，解題關(guān)鍵是正確找出題目中的相等關(guān)系，用代數(shù)式表示出相等關(guān)

系中的各個(gè)部分，列出方程即可.

5、C

【解題分析】

根據(jù)同底數(shù)塞的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減；同底數(shù)塞的乘法法則：同底數(shù)■相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；塞的

乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘進(jìn)行計(jì)算即可.

【題目詳解】

A.a+3a=4a,錯(cuò)誤；

B.小和“不是同類項(xiàng)，不能合并，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.(a2)2=a4,正確；

D.a8-i-a2-a6,錯(cuò)誤.

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了同底數(shù)幕的乘除法，以及暴的乘方，關(guān)鍵是正確掌握計(jì)算法則.

6、C

【解題分析】

先求出x=7時(shí)y的值，再將x=4、y=-l代入y=2x+b可得答案.

【題目詳解】

,當(dāng)x=7時(shí)，y=6-7=-l,

當(dāng)x=4時(shí),y=2x4+b=-l,

解得：b=-9,

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)值的計(jì)算方法.

7、B

【解題分析】

求出AD=BD,根據(jù)NFBD+NC=90。，ZCAD+ZC=90°,推出NFBD=NCAD,根據(jù)ASA證△FBD之^CAD,

推出CD=DF即可.

【題目詳解】

解：VAD±BC,BE±AC,

:.ZADB=ZAEB=ZADC=90°,

/.ZEAF+ZAFE=90°,ZFBD+ZBFD=90°,

VZAFE=ZBFD,

.\ZEAF=ZFBD,

；NADB=90°,ZABC=45°,

/.ZBAD=45°=ZABC,

，AD=BD,

ACAD=ZDBF

在AADC和ABDF中|AD=3。，

ZFDB=ZADC

.,.△ADC之△BDF,

；.DF=CD=4,

故選：B.

【題目點(diǎn)撥】

此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是找出能使三角形全等的條件.

8、C

【解題分析】

絕對(duì)值大于1的正數(shù)可以科學(xué)計(jì)數(shù)法，axion,即可得出答案.

【題目詳解】

n由左邊第一個(gè)不為0的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)決定，所以此處n=6.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了科學(xué)計(jì)數(shù)法的運(yùn)用，熟悉掌握是解決本題的關(guān)鍵.

9、A

【解題分析】

根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律即可得出.

【題目詳解】

解：y=-2/+1向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，所得的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為

y=-2

故答案為：A.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了二次函數(shù)的平移，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的平移規(guī)律.

10、C

【解題分析】

由后<a<J'可知5<同<6,即可解出.

【題目詳解】

725<V3O<V36

???5<730<6,

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

此題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算，掌握無(wú)理數(shù)的估算是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11、V2.

【解題分析】

當(dāng)PCLA8時(shí)，線段尸。最短；連接CP、CQ,根據(jù)勾股定理知「。二?！?先求出CP的長(zhǎng)，然后由勾股定理即

可求得答案.

【題目詳解】

連接CP、eg；如圖所示：

；尸。是（DC的切線，...CQLPQ,ZCQP=9Q°,根據(jù)勾股定理得：PQ2=cp2-c。，.?.當(dāng)PCLA5時(shí)，線段尸。最短.

?BC2/sx2

?在RtAACB中，ZA=30°,BC=2,：.AB=2BC=4,AC=2Jj,ACP=——-——=*—=Jj,

AB4

，PQ=^CP'-CQ1=JT斤=近,二PQ的最小值是夜.

故答案為：

2

B

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了切線的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用；注意掌握輔助線的作法，注意當(dāng)時(shí)，線段P0最短是關(guān)鍵.

12、V2

【解題分析】

作出D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D，，則PC+PD的最小值就是CD，的長(zhǎng)度，在4COD，中根據(jù)邊角關(guān)系即可求解.

【題目詳解】

解：如圖：作出D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D，，連接OC,OD',CD'.

又?.?點(diǎn)C在。O上，ZCAB=30°,D為弧BC的中點(diǎn)，即8￡>=8￡>'，

1

:.ZBAD'=-ZCAB=15°.

2

.,.ZCAD'=45°.

二/（：0?=90。.則4COD，是等腰直角三角形.

1

；OC=OD'=-AB=1,

2

CD=42

故答案為：桓.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，勾股定理，垂徑定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

13、871-873

【解題分析】

連接EF、OC交于點(diǎn)H,根據(jù)正切的概念求出FH,根據(jù)菱形的面積公式求出菱形FOEC的面積，根據(jù)扇形面積公式

求出扇形OAB的面積，計(jì)算即可.

【題目詳解】

連接EF、OC交于點(diǎn)H,

貝！IOH=25

.,.FH=OHxtan300=2,

/.菱形FOEC的面積=；x4百x4=86，

扇形OAB的面積=60萬(wàn)*（4，）=8兀，

360

則陰影部分的面積為阮-86，

故答案為8TT-86.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了扇形面積的計(jì)算、菱形的性質(zhì)，熟練掌握扇形的面積公式、菱形的性質(zhì)、靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義是

解題的關(guān)鍵.

14、6

【解題分析】

根據(jù)等角對(duì)等邊，可得AC=BC,由等腰三角形的“三線合一”可得AD=BD=《AB,利用直角三角形斜邊的中線等于斜

2

邊的一半，可得CD=：AB,由APZPB2=48,利用平方差公式及線段的和差公式將其變形可得CD-PD=12,利用△PCD

的面積=5CD?PD可得.

2

【題目詳解】

解：,:在△ABC中，ZACB=90°,ZA=45°,

AZB=45°,

AAC=BC,

VCD±AB,

1

AAD=BD=CD=-AB,

2

VAP12-PB2=48,

A(AP+PB)(AP-PB)=48,

:.AB(AD+PD-BD+DP)=48,

.\AB-2PD=48,

.\2CD-2PD=48,

.\CDPD=12,

J△PCD的面積二1CD?PD=6.

2

故答案為6.

【題目點(diǎn)撥】

此題考查等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于利用等腰三角形的“三線合一

15、1.

【解題分析】

過(guò)點(diǎn)B作BEJ_x軸于點(diǎn)E,根據(jù)D為OB的中點(diǎn)可知CD是△OBE的中位線，即CD='BE,設(shè)A(x,人)，則B

2x

(2x,A),故CD=',AD="人，再由△ADO的面積為1求出k的值即可得出結(jié)論.

2x4xx4.t

解：如圖所示，

過(guò)點(diǎn)B作BE±x軸于點(diǎn)E,

?；D為OB的中點(diǎn),

...CD是4OBE的中位線，即CD='BE.

2

設(shè)A(x,A),則B(2x,K),CD=',AD='k_

x2x4xx4x

,?,△ADO的面積為1,

1AD?OC=3,1('-')a=3,解得k=l,

22x4r

故答案為1.

16、5750

【解題分析】

根據(jù)題意設(shè)甲產(chǎn)品的成本價(jià)格為8元，求出b,可知A原料與3原料的成本和40元，然后設(shè)A種原料成本價(jià)格x元,

5種原料成本價(jià)格(40-x)元，生產(chǎn)甲產(chǎn)品m袋，乙產(chǎn)品”袋，列出方程組得到X”=20”-250,最后設(shè)生產(chǎn)甲乙產(chǎn)品

的實(shí)際成本為W元，即可解答

【題目詳解】

???甲產(chǎn)品每袋售價(jià)72元，則利潤(rùn)率為20%.

設(shè)甲產(chǎn)品的成本價(jià)格為b元，

=20%,

b

/.6=60,

二甲產(chǎn)品的成本價(jià)格60元，

1.5kgA原料與15kgB原料的成本和60元，

?*.A原料與B原料的成本和40元，

設(shè)A種原料成本價(jià)格x元，5種原料成本價(jià)格(40-x)元，生產(chǎn)甲產(chǎn)品機(jī)袋，乙產(chǎn)品〃袋，

根據(jù)題意得：

[m+n<100

[60m+(2x+40-x)n+500=60m+〃(80-2x+x)'

/.xn=20n-250,

設(shè)生產(chǎn)甲乙產(chǎn)品的實(shí)際成本為w元，則有

W=60m+40n+x/i,

:.W=60zn+40〃+20〃-250=60(m+n)-250,

,:m+n<100,

:.磔6250；

...生產(chǎn)甲乙產(chǎn)品的實(shí)際成本最多為5750元，

故答案為5750；

【題目點(diǎn)撥】

此題考查不等式和二元一次方程的解，解題關(guān)鍵在于求出甲產(chǎn)品的成本價(jià)格

17、-1

【解題分析】

先計(jì)算0指數(shù)易和負(fù)指數(shù)累，再相減.

【題目詳解】

(n-3)°+(--)-1,

3

=1-3,

=-1?

故答案是：-L

【題目點(diǎn)撥】

考查了0指數(shù)塞和負(fù)指數(shù)塞，解題關(guān)鍵是運(yùn)用任意數(shù)的0次塞為1,a-1--.

a

三、解答題(共7小題，滿分69分)

18、(1)證明見(jiàn)解析；(2)AB.40的長(zhǎng)分別為2和1.

【解題分析】

(1)HERtAABO^RtADEA(HL)得NAOB=NDAE,AD//BC.證四邊形A3CZ>是平行四邊形，又NABC=90°,

故四邊形ABC。是矩形；(2)由(1)知RtAABO^RtADEA,AB^DE=2.設(shè)AO=x,貝！|OA=x,AE=OE-0A=9~x.在

RtAOEA中，由4石2+。石2=池2得：(9-x)2+32=x2.

【題目詳解】

(1)證明：'：ABA_OM^B,DE_LON于E,

；.ZABO=ZDEA=90°.

在RtAABO與RtADEA中，

ARtAABO^RtADEA(HL).

OB=AE

：.ZAOB=ZDAE.J.AD//BC.

XVAB10M,DCLOM,：.AB//DC.

四邊形ABCD是平行四邊形.

VZABC=90°，二四邊形ABCD是矩形；

(2)由⑴知RtAA3。義RtAOEA,：.AB=DE=2.

設(shè)AD=x,貝!J0A=x,AE=0E~OA=9~x.

在RtADEA中，由AE2+DE2="P得：

(9-X)2+32=X2,解得X=5.

：.AD=1.即AB.AD的長(zhǎng)分別為2和1.

【題目點(diǎn)撥】

矩形的判定和性質(zhì);掌握判斷定證三角形全等是關(guān)鍵.

3

19、(1)見(jiàn)解析；(2)tanZAOD=-.

4

【解題分析】

(1)作DFLAB于F,連接OC,則△ODF是等腰直角三角形，得出OC=OD=J^DF,由垂徑定理得出NCOE=90。,

證明ADEFsaCEO得出型=空=12￡=后，即可得出結(jié)論;

CEDFDF

11EFEO1

(2)由題意得OE=—OA=—OC,同(1)DEF^ACEO,得出——=——=一，設(shè)OO的半徑為2a(a>0),

22DFOC2

3相?68

則OD=2a,EO=a,設(shè)EF=x,則DF=2x,在RtZkODF中，由勾股定理求出x=-a,得出DF=,a,OF=EF+EO=-a,

由三角函數(shù)定義即可得出結(jié)果.

【題目詳解】

(1)證明：作DF_LAB于F,連接OC,如圖所示:

則NDFE=90。，

?.?/AOD=45。，

二AODF是等腰直角三角形,

/.OC=OD=72DF,

是弧AB的中點(diǎn)，

.\OC±AB,

AZCOE=90°,

VZDEF=ZCEO,

/.△DEF^ACEO,

.EDOC41DFf-

??-------------------------=7z

CEDFDF

；.CE=0ED；

(2)如圖所示:

；AE=EO,

11

/.OE=-OA=-OC,

22

同(1)得：，△DEF^ACEO,

.EF_EO_1

DF~OC^2'

設(shè)。O的半徑為2a(a>0),則OD=2a,EO=a,

設(shè)EF=x,貝!]DF=2x,

在RtAODF中，由勾股定理得：(2x)2+(x+a)2=(2a)2,

3

解得：x=-a,或*=-a(舍去)，

68

/.DF=-a,OF=EF+EO=-a,

55

DF3

tanZAOD=——=—.

OF4

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、三角函數(shù)等知識(shí)，熟練

掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理是關(guān)鍵.

20、見(jiàn)解析

【解題分析】

由四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分，即可得OA=OC,易證得△AEO絲△CFO,由全等三角形

的對(duì)應(yīng)邊相等，可得OE=OF.

【題目詳解】

證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

，OA=OC,AB〃DC,

ZEAO=ZFCO,

ZEAO=ZFCO

在△AEO和△CFO中OA=OC

ZAOE=Z.COF

...AAEO^ACFO(ASA),

.\OE=OF.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定，屬于簡(jiǎn)單題，熟悉平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定方法是解

題關(guān)鍵.

2OC_1

21、(1)y=^x-f(2)詳見(jiàn)解析；(3)———為定值,

55OM+ONOM+ON~2

【解題分析】

(1)把點(diǎn)B(4,0),點(diǎn)P(L-3)代入用待定系數(shù)法求解即可;

(2)如圖作輔助線AE、垂直x軸，設(shè)A(/n,am2),B(n,an2),由△AOEs/XO^歹，可得到"加〃=,然后表

示出直線AB的解析式即可得到結(jié)論;

(3)作尸。_1_45于點(diǎn)Q,設(shè)尸Cm,am2+c)>A(-t,0)、B(t,0),則aP+c=O,c=-at1

由尸Q〃ON,可得ONnawf+aZ2,OM=-amt+at1,然后把ON,OM,OC的值代入整理即可.

【題目詳解】

(1)把點(diǎn)B(4,0),點(diǎn)P(l,-3)代入y="+c(W0),

16a+c=0

〃+c=-3

解之得

1

(1——

5

16'

I5

(2)如圖作輔助線AE、5尸垂直X軸,設(shè)A(如am2)>B(n,an2),

VOA±OB,

AZAOE=ZOBF,

/.AAOE^AOBF,

.AEOFam2n

??—————，-----=—T-，a2mn=—1，

OEBF—man2

直線AB過(guò)點(diǎn)A(/w,am2)>點(diǎn)B(n,an2),

.??y=〃(加+幾)%一〃加〃=0(加+〃)九十工過(guò)點(diǎn)(0,—);

aa

(3)作PQ_LA3于點(diǎn)0,設(shè)尸(m,am2+c)yA(-t,0)、B(t,0),則。產(chǎn)+。=0,c--at1

'：PQ//ON,

ON_OB

~PQ~~QB

八POOB-(am2+c)t(am2+c}t(am1-at2\tat(m-t)(m+t),,

QBt-mm-tm-tm-t

同理：OM=-aint+at2,

所以，OM+ON=2/=-2c=OC,

OC1

所cru以I，---------=一?

OM+ON2

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理.正確作出輔助線是解答本

題的關(guān)鍵.

22、(1)t=身秒;(1)t=5-y/5(s).

4

【解題分析】

(1)利用勾股定理列式求出AB,再表示出AP.AQ,然后分NAPQ和NAQP是直角兩種情況，利用相似三角形對(duì)

應(yīng)邊成比例列式求解即可；

(1)過(guò)點(diǎn)P作PC±OA于C,利用N0A8的正弦求出PC,然后根據(jù)三角形的面積公式列出方程求解即可.

【題目詳解】

解：(1),點(diǎn)A(0,6),B(8,0),

；.AO=6,BO=8,

22=

?，.AB=7AO+BO762+82=10,

???點(diǎn)P的速度是每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度是每秒1個(gè)單位，

；.AQ=t,AP=10-t,

①NAPQ是直角時(shí)，AAPQs^AOB,

.APAQ

??—，

AOAB

即「At二t

610

解得t=^>6,舍去；

4

②NAQP是直角時(shí)，△AQPs^AOB,

.AQ.AP

*'AO^AB

即工=10-t

6~TcT

解得t=f

(1)如圖，過(guò)點(diǎn)P作PC±OA于點(diǎn)C,

QA

貝！IPC=AP?sinZOAB=(10-t)x-(10-t),

105

.?.△APQ的面積=[xtx3(10-t)=8,

25

整理，得：t1-10t+10=0,

解得:t=5+/g>6(舍去),或t=5-J5,

故當(dāng)t=5-君(s)時(shí)，AAPQ的面積為8cml.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、三角形的面積以及一元二次方程的應(yīng)用能力，分類討論是

解題的關(guān)鍵.

13PF300

23、(1)y=-x~—x+2；(2)①有最大值1；②(2,3)或(—，)

22EO11121

【解題分析】

(1)根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A,C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)代定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

PEPM

(2)①根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得左=、，根據(jù)平行于y軸直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較

OEOC

小的縱坐標(biāo)，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；

3

②根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是以NACB為直角的直角三角形，取AB的中點(diǎn)D,求得D(不，0),得到

2

DA=DC=DB=|",過(guò)P作X軸的平行線交y軸于R,交AC于G,情況一：如圖，ZPCF=2ZBAC=ZDGC+ZCDG,

情況二，ZFPC=2ZBAC,解直角三角形即可得到結(jié)論.

【題目詳解】

(1)當(dāng)x=0時(shí),y=2,即C(0,2),

當(dāng)y=0時(shí)，x=4,即A(4,0),

將A,C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

’12

——x4-+4。+c=0

<2,

c=2

，3

解得=匕，

c=2

13

拋物線的解析是為y=--x2+-X+2,

(2)過(guò)點(diǎn)P向x軸做垂線，交直線AC于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)N

?.?直線PN〃y軸，

Z.APEM-△OEC,

.PEPM

**OE-OC

把x=0代入y=-gx+2,得y=2,即OC=2,

131

設(shè)點(diǎn)P(x,--x2+—x+2),則點(diǎn)M(x,-—x+2),

222

PM=(-—x2+—x+2)-(-—x+2)=--X2+2X=-—(x-2)2+2,

22222

.PEPM=--(X-2)12+2

**OE-OC~---------------，

???0Vx<4,.?.當(dāng)x=2時(shí)，器=累=—[(x—2—+2有最大值L

②；A(4,0),B(-1,0),C(0,2),

；.AC=2后，BC=BAB=5,

.,.AC2+BC2=AB2,

.1△ABC是以NACB為直角的直角三角形，取AB的中點(diǎn)D,

3

AD(一,0),

2

5

ADA=DC=DB=-,

2

.,.ZCDO=2ZBAC,

4

/.tanZCDO=tan(2ZBAC)=一,

3

過(guò)P作x軸的平行線交y軸于R,交AC的延長(zhǎng)線于G,

情況一：如圖

:.ZPCF=2ZBAC=ZPGC+ZCPG,

.\ZCPG=ZBAC,

1

/.tanZCPG=tanZBAC=—，

2

1

e0n.R...C...-—

RP2

1,3、

令P(a,--a2H—a+2),

22

1,3

；.PR=a,RC=--a~+—a,

22

a2

/.ai=O(舍去)，a2=2,

13

/.xp=2,--a2+—a+2=3,P(2,3)

22

情況二，/.ZFPC=2ZBAC,

4

AtanZFPC=-,

3

設(shè)FC=4k,

APF=3k,PC=5k,

3k1

VtanZPGC=——二一，

FG2

AFG=6k,

.\CG=2k,PG=37?k,

，心？k,RG弋k,PR=3回手邛k,

HA/5

?PR_a

ai=O