2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)新教材第一冊(cè)教案：5正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版）

【新教材】5.4o2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版）

教材分析

本節(jié)課是正弦法教、余弦舀教圖像的繼續(xù)，本課是正弦曲

線、余弦曲線這兩種曲線的特點(diǎn)得出正弦曲教、余弦曲教的性

質(zhì).

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

課程同標(biāo)

lo了解周期法教與最小正周期的意義；

2o了解三角法教的周期性和奇偶性；

3.會(huì)利用周期性定義和誘導(dǎo)公式求簡(jiǎn)單三角舀教的周期；

4.借助圖象直觀理解正、余弦法教在［0,2兀|上的性質(zhì)（單調(diào)

性、最值、圖象與x軸的交點(diǎn)等）；

5.能利用性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。

教學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.教學(xué)抽象:理解周期法教、周期、最小正周期等的含義；

2.近春推理：求正弦、余弦形法教的單調(diào)區(qū)間；

3.教學(xué)運(yùn)算:利用性質(zhì)求周期、比較大小、最值、值域及到

新奇偶性.

4。教學(xué)建模：讓學(xué)生借助教形結(jié)合的思想，通過(guò)圖像探究正、

余弦曲教的性質(zhì)。

教學(xué)重難息

重點(diǎn)：通過(guò)正弦曲線、余弦曲線這兩種曲線探究正弦函教、余

弦函數(shù)的性質(zhì)；

難點(diǎn)：應(yīng)用正、余弦法教的性質(zhì)來(lái)求含有cosx,sinx的函數(shù)^的單

調(diào)性、最值、值域及對(duì)稱(chēng)性。

課前;隹備

教學(xué)方法:以學(xué)生為主體，小組為單住,采用誘思探究式教學(xué),

精講多練。

教學(xué)工具：多媒體。

教學(xué)過(guò)程

-、情景導(dǎo)入

研究一個(gè)函數(shù)的性質(zhì)從哪幾個(gè)方面考慮？我們知道從走義

域、值域、單調(diào)性、周期性、奇偶性、稱(chēng)性等考慮，那么正余

弦函數(shù)有哪些性質(zhì)呢？

要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步

觀察.研探。

二、預(yù)習(xí)課本，引入新課

閱讀課本201-205頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題

lo周期函教、周期、最小正周期等的含義？

20怎樣判斷三角法教的周期性和奇偶性？

3o通過(guò)正弦曲線和余弦曲線得到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的

哪些性質(zhì)?

要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代

表回答問(wèn)題。

三、新知探究

1.定義域

正弦函數(shù)、余弦曲教的定義域都是實(shí)教集長(zhǎng)(或S,■的).

2.值域

(1)值域：正弦函教、余弦函教的值域都是卜1刀。

(2)最值

正弦函數(shù)y=sinx,xeR

7T

①當(dāng)且僅當(dāng)削？時(shí),取得最大值1

②當(dāng)且仇當(dāng)2時(shí)，取得最小值T

余弦的教尸cosx,xe&

①當(dāng)且伍當(dāng)x=2k7r,keZ時(shí)，取得最大值1

②當(dāng)且伍當(dāng)x=2以+兀此2時(shí)，取得最小值-1

3o周期性

定義:對(duì)于法教八X）,如果存放一個(gè)非零常教7,使得當(dāng)X取定義

域內(nèi)的每'一個(gè)值時(shí)，

都有"X+乃=/（%那么法教”X）就叫做周期改教,非零常教于叫做這

個(gè)府教的周期.

由此可知,2兀4?！?兀-4?！璭Z,M0）都是這兩個(gè)曲數(shù)的周期。

對(duì)于一個(gè)周期法教了⑶，如果左它所有的周期中存左一個(gè)

最小的正教，那么這個(gè)最小正教就叫做"X）的最小正周期

根據(jù)上述定義，可知:正弦法教、余弦的教都是周期四教，

2加左eZgO）都是它的周期，最小正周期是“

4o奇偶性

>=smx(xe五)為奇函教，其圖象關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱(chēng)

尸cosx(xeR)為偶國(guó)數(shù),其圖象關(guān)于丁軸對(duì)稱(chēng)

5o對(duì)稱(chēng)性

正弦的數(shù)V=sinx(xeR)的對(duì)稱(chēng)中心是伏兀。)佑eZ),

■7T/

對(duì)稱(chēng)軸是直線+V0;

余弦舀教的對(duì)稱(chēng)中心是12),

對(duì)稱(chēng)軸是直線"也心如

r正r余)弦型曲數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為過(guò)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于

x軸的直線，對(duì)稱(chēng)中心為圖象與x軸r中軸線)的支點(diǎn))。

6.單調(diào)性

穴7T

，A上以▲r-[--+2k7T-+2k7T](keZ)?,n2?

正弦法教在每一個(gè)閉區(qū)間2r2上都是增的數(shù),

開(kāi)3

其值從-1增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間個(gè)+2班"上都是減

的數(shù)，其值從1減小到-1.

余弦法數(shù)左每一個(gè)閉區(qū)間已加/2g/eZ)上都是增法教，其值

從-1增加到1；余弦的教左每一個(gè)閉區(qū)間［2版2江+汨（丘Z）上都是減

法教，其值從1減小到T。

即、典例分析、舉一反三

題型一正、余錢(qián)舀數(shù)的周期性

例1求下列三角曲教的最小正周期:

(l)y=3cosx,x€R;(2Jy=sin2x,x€R;

(3)y=2sin(1x(4)y=|cosx|,x€R.

【答案】（1）2兀；（2）兀；（3）4兀；（4）兀.

【解析】：（1）因?yàn)?cos（x+2兀）=3cosx,所以由周期府教的定義

知,y=3cosx的最小正周期為271o

（2）因?yàn)閟in2（x+7i）=sin（2x+2;i）=sin2x,所以由周期府教的定義

知,y=sin2x的最小正周期為兀。

（3）因?yàn)閟in］*+4萬(wàn)）一（卜,尹2%蘭卜”；小，所以由周期困教的定義

（4^v=lcosx］的圖案如圖（實(shí)線部分）所示。由圖象可知，y=|cos

軍、兀/&L2n

解題技巧：(求法教最小正周期的常用方法)

(1)定義法，即利用周期舀教的定義求解.

(2)公式j(luò)法,對(duì)形如y=Asin(cox+(p)或y=Acos(cox+

夕)(A0,夕是常數(shù)，A邦,69邦)的府?dāng)?shù),T二錯(cuò)誤!。

(3J圖象法，即通過(guò)畫(huà)出及教圖象，通過(guò)圖象直接觀察即

可.

三種方法各有所長(zhǎng)，要根據(jù)法教式的結(jié)構(gòu)特征，選擇迨當(dāng)?shù)?/p>

方法求解.

跟蹤訓(xùn)練一

lo(1)法教y=2sin(3x+?x€R的最小正周期是()

CAJmCBJ年(CJ募CDJ71

(2)函教y司sin2x|(x€R)的最小正周期為.

【答嚎】(1)B;(2)》

【解析】C2J作出y二|sin2x|(x€R)的圖象(如圖所示).

由圖象可知，舀教y刁sin2x|fx€RJ的最小正周期為》

廣

x

—/n,—菱o號(hào)h3^

題型二化簡(jiǎn)、求值

例2到新下列法教的奇偶性：

(1)f(x)=0sin2x；(2)ffxj=sin(^+^);

(3Jf(x)=sin|x|；(4)ffxj=w-cosx+\/cosx-lo

【答案】(U奇曲教；(2)偶法教;(3)偶曲教;C4J既是奇

府教又是偶舀教.

【解析】(1)顯然x€R,f(—x)=叵sin(—2x)=—也sin2x=-f(x),

所以f(x)=asin2x是奇法數(shù).

(2)因?yàn)閤€R,f(x)=sin(甘+自尸-cos空，

所以f(-xj=-cos(-^)=-cos^=f(x),

所以困教f(x)=sin(9+三)是偶法教。

(3J顯然x€R,f(-x)=sin|—x|=sin|x|=f(x),

所以為數(shù)f(x)=sin|x|是偶出教.

(4J由［I-SSXM得cosx=l,所以x=2k兀(k€Z)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，此

Icosx-120,

時(shí)fCxJ=0,故該舀教既是奇法教又是偶舀教。

解題技巧：r到新法教奇偶性的方法)

到新法教奇偶性的方法

(1)利用定義到新一個(gè)曲教f(x)的奇偶性，要考慮兩方面:①困

教的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；②f(-x)與f(X)的關(guān)系；

(2)到新曲教的奇偶性常用方法是：①定義法；②圖象法。

艱跺訓(xùn)練二

lo下列法教中，最小正周期為兀的奇法教是()

(A)y=sin(2x+|)fB)y=cos(2x+g)

(C)y=sin(2x+：)fDJy=&sin

【答嚎】B

【解析】A中，y=sin(2x+|J,即y=cos2x,為偶法教；C,D

中，法教為非奇非偶的數(shù);B中，y=cos(2x+^J=一sin2x,是奇

法數(shù),T二號(hào)=兀，故選B.

2.定義左R上的法教/小)既是偶法教，又是周期舀教，若

的最小正周期為兀，且當(dāng)x€錯(cuò)誤!時(shí)，/fx)=sinx,則/錯(cuò)誤!等于

A.-2B.1C,一錯(cuò)誤！D,錯(cuò)誤！

【答案】D

【解析】因?yàn)?(x)的最小正周期為T(mén)=7l,

所以/錯(cuò)誤！二/錯(cuò)誤！二/錯(cuò)誤！，

又y=/(%)是偶曲教，所以于(-x)=f(X).

所以/錯(cuò)誤！=/錯(cuò)誤！=/錯(cuò)誤！=sin錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！.

題型三正、余弦曲數(shù)的單調(diào)性

例3求的數(shù)y=sin(，x+。的單調(diào)區(qū)間。

23

【答案】略。

【解析】當(dāng)一-+2k;i<-x++2k7ifk€ZJ時(shí)為數(shù)單調(diào)適增，所

2232

以法教的單調(diào)成增區(qū)間為［—y+4^,-|+4^J(k€Z).當(dāng)^+2k?i<^-x+^

S?+2k7i(k€Z)時(shí)改數(shù)單調(diào)適減，所以府教的單調(diào)的減區(qū)間為1

+4^,y+4^](k€ZJO

解題技巧：（求單調(diào)區(qū)間的步驟）

（1）用“基本法數(shù)法"求法數(shù)y=Asin（a）x+（p）［A>0,69>0J

或

y=Acos（cox+（p）fA>0,69>0J的單調(diào)區(qū)間的步驟：

第一步：寫(xiě)出基本法數(shù)y=sinx（或>=<\%%）的相應(yīng)單調(diào)區(qū)

間；

第二步：將％x+e”視為整體譽(yù)換基本法數(shù)的單調(diào)區(qū)間r用

不等式表示）中的匕”；

第三步：解關(guān)于x的不等式.

（2）對(duì)于形如y=Asin（Gx+9）的三角的數(shù)的單調(diào)區(qū)間問(wèn)題，

當(dāng)gvO時(shí)，可先用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為y二一Asin（-5：-0），則y

=Asin（-cox-（p）的單調(diào)成增區(qū)間即為原法教的單調(diào)適臧區(qū)間，

單調(diào)遞,減區(qū)間即為原為數(shù)的單調(diào)遞.增區(qū)間.余弦曲教y二

Acos（cox+（p）的單調(diào)性討先同上,另外，值得注意的是kCZ這

一條件不能堵略.

跟蹤訓(xùn)練三

1.求為教y=2sin錯(cuò)誤!的單調(diào)增區(qū)間.

【答案】略.

【解析】y=2sin錯(cuò)誤！二-2sin錯(cuò)誤！，令2=x一錯(cuò)誤！，貝:jy=-2sinz,

求y二一2sinz的增區(qū)間，即求y=sinz的減區(qū)間，所以錯(cuò)誤!+

錯(cuò)誤！+2kMk€Z),

即錯(cuò)誤！+2kn<x-錯(cuò)誤！S錯(cuò)誤！+2kMk€Z),解得錯(cuò)誤！+2防區(qū)后錯(cuò)誤！+

2kMk€Z),

所以y=2sin錯(cuò)誤!的單調(diào)增區(qū)間是錯(cuò)誤！r左CZ).

題型四正弦舀教、余強(qiáng)的教單調(diào)性的應(yīng)用

例4比較下列各組中舀數(shù)值的大小：

(1)COS錯(cuò)誤！與COS錯(cuò)誤!；

(2)sin194。與cos160%

【答嚎】(1)cos錯(cuò)誤！vcos錯(cuò)誤?。?2)sin194°>cos160°o

【解析】(1JCOS錯(cuò)誤！=COS錯(cuò)誤！=COS錯(cuò)誤！，

COS錯(cuò)誤！=COS錯(cuò)誤！=COS錯(cuò)誤！,

.?兀v錯(cuò)誤！v錯(cuò)誤！v2兀，且W/教y二cosx族［兀，2兀_7上單調(diào)遺

增，

COS錯(cuò)誤！VCOS錯(cuò)誤！,即COS錯(cuò)誤！VCOS錯(cuò)誤！O

C2)sin194°=sin(180°+14°)=-sin14°,

cos160°=cos(180°-20°)=-cos20°=-sin70°o

?/0°<14°<70°<90°,且曲數(shù)y=sinx左00vxv90。時(shí)單調(diào)適

增，/.sin140<sin70°.

從而一sin14°>-sin70°,即sin194°>cos160°。

解題方法r比較兩個(gè)三角法數(shù)值的大小)

ri)比較兩個(gè)同名三角曲教值的大小，先利用誘導(dǎo)公式杷

兩個(gè)角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角，再利用法教的單調(diào)性比較.

(2J比較兩個(gè)不同名的三角函教值的大小，一般應(yīng)先化為

同名的三角及教，后面步驟同上,

(3J已知正(余)弦改數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，多用教形結(jié)合

思想及轉(zhuǎn)化思想求解.

跟蹤訓(xùn)練回

1.下列結(jié)論正確的是

A、sin400°>sin50°B,sin220°<sin310°

C.cos130°>cos200°D,cos(-40°J<cos310°

【答嚎】Co

【解析】由cos130°=cos(180°-50°)=-cos50°,cos200°=

cos(180°+20°J=-cos20°,因?yàn)楫?dāng)0°<x〈90°時(shí)，舀教y=cos

x是減困教，所以cos50°<cos20°,所以-cos50°>-cos20°,

即cos130°>cos200°o

題型五正、余荏曲效的值喊與景值問(wèn)題

例5求下列法教的值域：

(1)y=cosfx+p,x€［0,j］j

(2Jy=cos2x—~4cosx+5。

【答案】⑴;(2)12,10］。

【解析】ri)由x€f0,同可得

X+MLy］，

曲教y=cosx在區(qū)間心，上單調(diào)適減，所以困教的值域?yàn)椋邸?/p>

(2)y=cos2x—"4cosx+5,令仁cosx,

則-10S1。

y=t2-4t+5=（,

當(dāng)仁一1時(shí)，法教取得t—2）2+1最大值10;

仁1時(shí)送教取得最小值2,所以曲教的值域?yàn)閒2,10].

解題方法（三角為數(shù)的值域問(wèn)題解題思路）

三角為數(shù)的值域問(wèn)題的兩種類(lèi)型，一是化為y=Asin（3x+w）

+B的形式，這種類(lèi)型的值域問(wèn)題解決方

法是利用區(qū)間上的單調(diào)性;二是與其他法教相復(fù)合，最為常

見(jiàn)的是與二次四教復(fù)合，利用的是三角法教的有界性和二次法