2022-2023學年湘教版必修第二冊二平面與平面垂直的性質作業(yè)練習

2022-2023學年湘教版必修第二冊二平面與平面垂直的性質

作業(yè)練習

一.單項選擇（）

1.已知底面A8CZ）為正方形的四棱錐P-ABC。，尸點的射影在正方形A3CO內，且

P到8c的距離等于PD的長，記二面角P-A3-C的平面角為a,二面角

P-CD-A的平面角為二面角P-AO-C平面角為7,則下列結論可能成立的是

（）

Aa=0=yB.a=y<pca=p<yDa>B=y

2.在三棱錐。一ABC中，AT）=2AB=2AC=2BC,點A在面BCD上的投影G是

△BCD的垂心，二面角G-AB-C的平面角記為a,二面角G—BC-A的平面角記為

夕，二面角G—8—A的平面角記為7,則（）

Aa>/3>yBa>y>（3

C/3>y>a°y>/3>a

3.設a.△是空間兩個不同平面，a.b.0是空間三條不同直線，下列命題為真命題

的是（）

A.若㈤甲，b//a,則b//￡

B.若直線。與。相交，a〃a,blipy則a與相交

C.若口，力，alia,則

D若a_LA,acB=a,bua,b±atc，￡,則Z?〃c

4.已知直線用，〃及平面a,B,下列命題中正確的是（）

A.若〃da,〃〃耳，且“〃〃，則a〃P

B.若〃2//a,〃///?,月加〃〃，則。//尸

C.若〃?"La,,則a，尸

D.若加葭工0,且加則。工尸

5.設平面a，平面"，?？谑?/，點Pea,且產金/,則下列命題中真命題的是（）

A.過點P且垂直于a的直線平行于/

B.過點P且垂直于a的直線平行于夕

C.過點尸且垂直于0的平面平行于/

D.過點P且垂直于a的平面平行于夕

二.填空題（）

6.如圖，在正方體力中，點尸在線段48上移動，有下列判斷：①平

面5Z///平面8QC；②平面PAG±平面BRC；③三棱錐2一瓦及的體積不變；

④PG，平面50c.其中，正確的是.（把所有正確的判斷的序號都填上）

7.如圖，在棱長為1的正方體A8C0—4gGR中，點尸在線段AR上運動，給出以

下命題：

①異面直線GP與BC所成的角不為定值；

②二面角0一4°一°的大小為定值；

③三棱錐口-BPC、的體積為定值；

④平面ACPJ■平面Dg

其中真命題的序號為.

8.如圖，在矩形ABC0中，A8=2,3C=4,E是邊A0的中點，將△ABE沿直線BE

折成々'BE,使得二面角A'一C的平面角為銳角，點F在線段AB上運動（包括

端點），當直線CF與平面ABE所成角最大時，AFBE在底面ABCD內的射影面積為

9.如圖，在四邊形ABCO中，ADHBC,AD=AB,NBCD=45°,N84O=90°,

將△ABD沿8。折起，使平面A9D，平面3c。，構成三棱錐A-3C。，則在三棱錐

中，下列判斷正確的是_____（寫出所有正確的序號）

①平面43。，平面ABC

②直線BC與平面ABD所成角是45°

③平面AC。，平面ABC

④二面角。一AB-。余弦值為當

三.解答題()

10.在直角梯形中，AB=2EA=2BCt將沿AD翻折至△PAD位置,

作AQ1PB于點。.

(1)求證：AQ,PC；

(2)當二面角P-BC-D最大時，求直線AQ與平面POC所成角e的正弦值.

11.如圖所示，在矩形A8CO中，AD=1,AB=2,點E是線段AB的中點，把三角

形AEO沿OE折起，設折起后點A的位置為P,F是PO的中點.

(1)求證：無論「在什么位置，都有4口〃平面「七。；

(2)當點尸在平面A8CO上的射影落在線段DE上時，若三棱錐P-ECD的四個頂點

都在一個球上，求這個球的體積.

12.如圖，已知圓柱°。的軸截面眼力為正方形，￡為上底面圓周上一點，且

2CE=CCD

(1)求證：AE_LC￡；

(2)求平面ACE與圓。面所成的銳二面角的余弦值.

參考答案與試題解析

1.【答案】C

【解析】設P點在正方形ABCO內的射影為°,連接AC30,且ACn3O=0,作

PELBC,垂足為E,則PE=PD,

對于A,若"=7,由對稱性可知，。點在AC上；

同理，當△=/時，。點在8。上；則ACnB￡>=Q,即。點與。點重合，

此時期=包>,又PB>PE,：.PD>PE,與PD=PE矛盾,A錯誤;

對于B,若a=Y,則。點在A。上，此時又PB>PE,;.PD>PE,與

PD=PE矛盾，B錯誤；

對于C,若"尸，則。點在"AW。連線上，如下圖所示：

由對稱性可知：PB=PC,此時PE,BC,即E與尸重合，PF=PD.

,'Q在線段°G上，設正方形ABCD邊長為a,

35

OG=-aQF=QD=-a

則當8時，8,使得PF=PD成立,c正確；

對于D,若"丫,則。在8。上，如下圖所示：

,則。在線段上，此時不存在點。滿足QE=E°,使得=D錯

誤.

故選：C.

2.【答案】C

【解析】因為G為點A在平面8c。的投影，且G為△BCD的垂心連接OG交8C于

點、E,連接AE,可知8CJ.平面D4E,所以BC,AE,可知Br>=E>C,所以G在AE

上的投影為，，過H作HE上AB,連接GF.連接8G交℃于M,連接AW.

這樣NGFH=a,NGEH=J3,ZGMA=y

又因為AO=2AB=2AC=25C在△ABD中，AB+BD>AD可得BD>AB=BC

在△38中，

GM=GCcosZCGM=GCcosZCDB

GE=GCcosZCGE=GCcosZ.CBD

GMcosZCDB

GEcosZCBD9

71

0<NCO8<NCBA<—

又因為在△BCD中，BD=DC>BC所以2,所以

cosZCDB>cosZ.CBA>0

GMcos/CDB]

------=------->1

所以GEcosZCBA,所以GM>GE

而AE=y]AG2+GE2,AM=y/AG2+GH2,

所以A〃>AE.

.°AG

sinp=----

所以在AAGE中，AE,

AG

sin/=-----

所以在AAGM中，AM,

因為AM>AE,所以sin力〉siny,所以萬>7.

由題意，可知AGJ■平面BCD,所以CD_LAG,

又G為△BCD的垂心，所以且鉆08加=8,

所以CZ)_L平面,所以CDLAB,

取AB的中點N,連接CN.DN

由于AABC為正三角形，所以WCN,且CNcCD=C,

所以平面C￡W,因此由于N為A8的中點，所以DA=OB,

又DB=DC,所以三棱錐。-為正三棱錐.

aGHGH

tanp=-----Janoc------

在分別R/AGHE,RMGHF中,HEHF,

而HE<HF,b>a,

從而可知選項C正確.

故選：c.

3.【答案】D

【解析】分析：根據已知條件直線判斷ABC各選項中線面.面面的位置關系，可判斷ABC

選項的正誤，利用面面垂直和線面垂直的性質可判斷D選項的正誤.

詳解：對于A選項，若c//,blla,則R/或“u￡,A選項錯誤；

對于B選項，若直線a與相交，a〃a,印/，則a與4相交或平行，B選項錯誤；

對于C選項，若萬,Ma,則。與￡的位置關系不確定，C選項錯誤；

對于D選項，若a,A,ac/3=a,bua,ka,由面面垂直的性質可得"，

WB,所以，R/c,D選項正確.

故選：D.

4.【答案】D

【解析】若加上二，〃〃尸，且加〃"，,〃,a,n〃B,:卜工。，故A不正確；

若m〃a,,且加〃〃，則a〃尸或ac￡,故B不正確；

若〃///?,且加工〃，則有可能a“耳，不一定a，耳，所以C不正確；

若加上二，n'B,且加工"可以判斷a，尸是正確的，故口正確，

故選：D.

5.【答案】B

【解析】設過點P且垂直于平面a的直線為加.

對于A選項，???/%,￡,"Ua,則w_L/,A選項錯誤；

對于B：如下圖所示，在夕內作一直線4垂直于/,

由平面a，平面月，&n,=/,可得-.'m±at則〃?〃4,

JuB,：.m//p,即B對;

對于CD選項，過點P且垂直于a的平面可以圍繞過點P且垂直于a的直線旋轉，從而

知CD均錯.

故選：B.

6?【答案】①②③

【解析】①因為在正方體中有AB"℃,,且48a平面4RC/CU平面4QC,

所以A8//平面BQC,同理得B。//平面BQC,

又A8c80=8,所以平面4BD//平面4,

又點、P在線段4B上移動,所以平面BDPH平面BQC,所以①正確；

②因為AB_L平面8BCC,所以AG在平面B4GC內的射影為8G,

因為4cJ-BC,根據三垂線定理可得AG1男。，

同理可得AG"4%

因為gCcg。]=Bi,

所以ACJ平面BQC,

因為AGu平面PAG,所以平面PAG,平面片RC,所以②正確；

③由①知AB”平面回℃,所以點P到平面用℃的距離為定值，所以三棱錐

「一用RC的體積不變，所以③正確；

④由②知平面片麻,而PG與AQ交于G,所以PG與平面8QC不垂直,

所以④不正確。

故答案為:①②③

7.【答案】②③④

【解析】

8.【答案】3-75

【解析】如圖所示，取5c的中點M,連接4W交砥于4,連接44,則由題意可

知，則是二面角A-BE—C的平面角，

因為A'8=AZ,所以A'在平面BCE上的投影在上，記為。

設二面角A-BE-C的平面角NA'"O=e’則

AO=V2sin0,HO=>[2cos0,OC2=(3-cos0)2+(1-cos0)2

所以AU=(3—cos。)-+(1—cos0y+2sm~6,即AC?=12—8cos6<12,

所以NBA'C為鈍角，所以b?C4’,即直線CF與平面ABE所成角最大時，點F與

點A重合，

因為在矩形ABCO中，AB=2,BC=4,E是邊的中點，

所以AABE/CQE均為等腰直角三角形，CE=BE=2y[2t

所以NCEB=90°,即CE_L8E,

所以C到平面A8E的距離為"二C足sin6=272sin6,

所以此時直線CF與平面^BE所成角的正弦值為

.d2>/2sin0仄fl-cos20

sina=-7==V2-J------------

CAj2f-8cosev3-2cos0

所以AFBE在底面ABCD內的射影面積為

故答案為：3-也

9.【答案】②③④

【解析】在四邊形ABCD中，由已知可得NDBC=45°,

假設平面平面ABC，又平面AB。，平面BCD,

且平面ABOD平面BDC=3C,可得BCJ.平面ABO,

有"BC=9（）°,與NOBC=45°矛盾，則假設錯誤，故①錯誤；

在四邊形A8CD中，由已知可得BOLOC,

又平面AB。，平面BCD,且平面ABO。平面3￡>C=BC,則OCJ?平面ABO,

ND3C為直線BC與平面AB。所成角是45°,故②正確；

由判斷②時可知，。。，平面43。，則。。，48,

又AD^DC^D,則A3,平面AOC,

而ABu平面ABC,則平面AC。，平面ABC,故③正確；

由判斷③時可知，/山，平面4。。，則NDAC為二面角C-A8-。的平面角，

設AZ）=AB=1,則BO=OC=夜，

由OCLAD,得4。=百，得COSND4C=4^=更，故④正確.

AC3

故答案為：②③④.

10.【答案】（1）證明見解析；（2）上.

7

【解析】（1）證明：???DA,A8，DA1PA,ABr>PA=A,A8,/>Au平面以5,

D4_L平面PA6.

BC//D4,.?.BC_L平面Q45,AQu平面以臺，

?.?BCA.AQ?

又AQLPBPBcBC=B,尸8,3Cu平面尸BC,AQJ,平面PB。PCu平面

PBCf

?.?AQLPC?

（2）解：由（1）知，8C_L平面廿LB,NPBA是二面角產一—D的平面角，

sinZPBAsinZAPS.sinZAPB1

------------=------------sinAPBA=W-

由正弦定理得PAAB,2---------2.

.?.當2時，NPBA取得最大值6,此時尸，。兩點重合.

過P點作PE-LA8交AB于點E,過E點作石尸,℃于點尸，連接尸尸，過七點作

EH_LPF于點H.

?；BC_L平面P/R,8Cu平面A8CD,.?.平面ABC。,平面Q48,

?;PEu平面Q4B,PEJ■平面ABC。，CDu平面ABC。，CDX.PE（

又CDLEF,EFcPE=E,政，尸石u平面尸石尸.CD_L平面PEE,

CDu平面PCD,.?.平面PEEJ_平面PCD,又EH1.PF,平面「砂0平面PC°

=PF,EHu平面尸￡戶,

：.，平面PCD,EH為AB到平面PCD的距離.

6口口#i口口后

PE^—PF=——EH=------

設AB=2,則申=1,2,EF=1,：.2,7,

EH421

sin0n=-----=------

???PA7?

4

11?【答案】（l）證明見解析；（2）-7T.

【解析】（1）如圖所示，取四的中點G連接

?.,分為如的中點，平行且等于小的一半，

又為矩形4?繆的四邊的中點，平行且等于加的一半，

.?.凡與熊平行且相等，

，四邊形/呼為平行四邊形，

：.AF//EG,

又,:平面PEC,必＞平面PEC,

,無論P在什么位置，都有A/〃平面PEC；

（2）

由于在折起過程中，△隰中，PAPE^\,PDLPE始達成立,

...△核為等腰直角三角形，

當點P在平面ABC。上的射影落在線段DE上時，設廠的射影為“

則//在配'上，:.P用平面PDE,

又?..掰L平面CDE,

二平面也匠1平面CDE,

由于N儂M80°-NAED-NBEg8Q0~45°-4