自動控制理論頻率域方法

關于自動控制理論頻率域方法

系統(tǒng)的頻率響應定義為系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應。

系統(tǒng)r(t)c(t)5-1頻率特性第2頁,共38頁，星期六，2024年，5月穩(wěn)態(tài)輸出的振幅與輸入振幅之比,稱為幅頻特性。

穩(wěn)態(tài)輸出的相角與輸入相角之差

,稱為相頻特性。一個穩(wěn)定的系統(tǒng)，假設有一正弦信號輸入

其穩(wěn)態(tài)輸出可寫為

Ac-穩(wěn)態(tài)輸出的振幅

-穩(wěn)態(tài)輸出的相角第3頁,共38頁，星期六，2024年，5月ur（t）CRuc（t）

RC濾波網(wǎng)絡第4頁,共38頁，星期六，2024年，5月

只要把RC網(wǎng)絡傳遞函數(shù)中的s以j

置換，就得到頻率特性，即RC網(wǎng)絡的頻率特性第5頁,共38頁，星期六，2024年，5月證明此結論的一般性：

設系統(tǒng)的輸入信號、輸出信號分別為，其拉氏變換分別為，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

為方便討論，設所有極點為互不相同的實數(shù)。

若輸入為諧波信號，即

第6頁,共38頁，星期六，2024年，5月其拉氏變換取其拉氏反變換第7頁,共38頁，星期六，2024年，5月其中

由于是一個復數(shù)，可表示為

第8頁,共38頁，星期六，2024年，5月

和是共軛的，故可表示成

第9頁,共38頁，星期六，2024年，5月與前面結論比較

第10頁,共38頁，星期六，2024年，5月例若系統(tǒng)單位階躍響應確定系統(tǒng)的頻率特性。

第11頁,共38頁，星期六，2024年，5月1、幅頻特性、相頻特性、幅相特性=為系統(tǒng)的幅頻特性。為系統(tǒng)的相頻特性。（1）（2）三、頻率特性的幾何表示法第12頁,共38頁，星期六，2024年，5月010.8900.7070.4470.3160.2430.19600-26.5-45.0-63.4-71.6-76.0-78.7-90.0第13頁,共38頁，星期六，2024年，5月（3）幅相特性

幅相頻率特性圖又稱Nyquist（奈奎斯特）圖，由于它是在復平面上以極坐標的形式表示，故又稱極坐標圖。

以頻率ω為參變量，將幅頻與相頻特性同時表示在復數(shù)平面上，實軸正方向為相角的零度線，逆時針轉過的角度為正，順時針轉過的角度為負。對于一個確定的頻率，必定有一個幅頻的幅值和相頻的相角與之相對應。RC網(wǎng)絡的幅相特性曲線0j1第14頁,共38頁，星期六，2024年，5月2.對數(shù)頻率特性

對數(shù)頻率特性圖又叫Bode（伯德）圖。它由對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性兩條曲線所組成。

Bode圖是在半對數(shù)坐標紙上繪制出來的。所謂半對數(shù)坐標，是指橫坐標采用對數(shù)刻度，因而刻度是不均勻的，而縱坐標則采用線性的均勻刻度。

Bode圖中，對數(shù)幅頻特性是的對數(shù)值和頻率的關系曲線；對數(shù)相頻特性是的相角和頻率的關系曲線。

在畫對數(shù)頻率特性曲線時，必須掌握對數(shù)刻度的概念。橫坐標上標的是的實際值，而坐標上的距離是按值的常用對數(shù)的大小來刻度的。因此坐標上任意的距離應為，而不是

第15頁,共38頁，星期六，2024年，5月

對數(shù)坐標刻度

由于是按以10為底的對數(shù)刻度，因此，頻率每變化10倍稱為一個十倍頻程或十進程，記作decade或簡寫為dec。每個十進程沿橫坐標走過的間隔為一個單位長度。

第16頁,共38頁，星期六，2024年，5月

對數(shù)幅頻特性的縱坐標為

稱為對數(shù)幅值，單位是分貝?？v坐標按分貝做線性刻度。對數(shù)相頻特性的縱坐標為相角，單位是度，因不取對數(shù)，故采用線性刻度。

第17頁,共38頁，星期六，2024年，5月采用對數(shù)坐標的優(yōu)點(1)由于橫坐標采用對數(shù)刻度，將低頻段相對展寬了，而將高頻段相對壓縮了。因此采用對數(shù)坐標既可以拓寬視野，又便于研究低頻段的特性。

(2)對數(shù)幅頻特性將幅值的乘除運算轉化為加減運算。3.對數(shù)幅相特性

又稱Nichols（尼柯爾斯）圖。第18頁,共38頁，星期六，2024年，5月一、比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）

比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

其頻率特性表達式為

對數(shù)幅頻特性為一水平線，相頻特性與橫坐標重合。比例環(huán)節(jié)的極坐標圖為一條線。5-2典型環(huán)節(jié)的頻率特性

第19頁,共38頁，星期六，2024年，5月比例環(huán)節(jié)頻率特性第20頁,共38頁，星期六，2024年，5月故

二、積分環(huán)節(jié)

積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

其頻率特性表達式為

1.幅頻特性、相頻特性、幅相特性

第21頁,共38頁，星期六，2024年，5月積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性第22頁,共38頁，星期六，2024年，5月2、對數(shù)頻率特性已知

則

第23頁,共38頁，星期六，2024年，5月三、慣性環(huán)節(jié)（一階系統(tǒng)）

慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

其頻率特性的表達式為

1.幅頻特性、相頻特性、幅相特性

故

第24頁,共38頁，星期六，2024年，5月幅相特性第25頁,共38頁，星期六，2024年，5月2.對數(shù)頻率特性

由于

所以

利用上式可計算并描出較精確的對數(shù)幅頻特性。但實際一般采用漸近線近似法。方法如下：

在低頻段，很小。當即時略去此時

在高頻段，很大。當即時略去1。此時

高頻漸近線與低頻漸近線在處相交，這交點處的頻率稱為轉折頻率。第26頁,共38頁，星期六，2024年，5月第27頁,共38頁，星期六，2024年，5月四、振蕩環(huán)節(jié)（二階系統(tǒng)）

振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

其頻率特性為

1.幅頻特性、相頻特性、幅相特性

第28頁,共38頁，星期六，2024年，5月諧振頻率諧振峰值（1）幅頻特性第29頁,共38頁，星期六，2024年，5月（2）相頻特性第30頁,共38頁，星期六，2024年，5月（3）幅相特性第31頁,共38頁，星期六，2024年，5月2.對數(shù)頻率特性

第32頁,共38頁，星期六，2024年，5月

低頻段，當，即時，略去項，此時

高頻段，當，即時，略去1和項，此時

斜率為40dB，轉折頻率為，在此附近會導致較大誤差。當時按漸近公式計算而按準確方程有，則，即誤差的大小與阻尼比有關。若在之間，漸近線可不作修正，否則，應作修正。第33頁,共38頁，星期六，2024年，5月五、微分環(huán)節(jié)

微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

頻率特性表達式為

第34頁,共38頁，星期六，2024年，