2023-2024學(xué)年甘肅省天水一中高三（上）第三次月考數(shù)學(xué)試卷 （含解析）

2023-2024學(xué)年甘肅省天水一中高三（上）第三次月考數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分40分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分．1．設(shè)集合A＝{x|1＜2x＜8}，B＝{x||x+1|≥3}，則A∩B＝（）A．（0，2] B．[2，3） C．（2，3] D．（0，3）2．在△ABC中，“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．某次考試共有4道單選題，某學(xué)生對其中3道題有思路，1道題完全沒有思路．有思路的題目每道做對的概率為0.8，沒有思路的題目，只好任意猜一個答案，猜對的概率為0.25．若從這4道題中任選2道，則這個學(xué)生2道題全做對的概率為（）A．0.34 B．0.37 C．0.42 D．0.434．若（x﹣）8的二項展開式中x6的系數(shù)是﹣16，則實數(shù)a的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．25．紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明朝正德年間．紫砂壺的壺型眾多，經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等．其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺，如圖給出了一個石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：cm），現(xiàn)在向這個空石瓢壺中加入91πcm3（約285.9cm3）的礦泉水后，問石瓢壺內(nèi)水深約（）cm．A．2.8 B．2.9 C．3.0 D．3.16．已知等邊△ABC的邊長為2，D為BC的中點，P為線段AD上一點，PE⊥AC，垂足為E，當(dāng)時，＝（）A． B． C． D．7．若，（e＝2.71828…）試比較a，b，c的大小關(guān)系（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．b＞c＞a8．已知三棱錐P﹣ABC，Q為BC中點，PB＝PC＝AB＝BC＝AC＝2，側(cè)面PBC⊥底面ABC，則過點Q的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為（）A． B． C． D．[π，2π]二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分20分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．（多選）9．已知A，B為圓O：x2+y2＝1上的兩點，P為直線l：x+y﹣2＝0上一動點，則（）A．直線l與圓O相離 B．當(dāng)A，B為兩定點時，滿足的點P有2個 C．當(dāng)時，的最大值是 D．當(dāng)PA，PB為圓O的兩條切線時，直線AB過定點（多選）10．定義運算．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A．sinA+sinC＝2sinB B．A：C＝1：2 C．角B的最大值為 D．若asinA＝4csinC，則△ABC為鈍角三角形（多選）11．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左、右焦點，C的一條漸近線l的方程為，且F1到l的距離為，點P為C在第一象限上的點，點Q的坐標(biāo)為（2，0），PQ為∠F1PF2的平分線．則下列正確的是（）A．雙曲線的方程為 B．|PF1|＝3|PF2| C． D．點P到x軸的距離為（多選）12．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）的部分圖象如圖所示，則（）A． B．f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增 C．將函數(shù)y＝cosx圖象上各點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個單位長度，可得函數(shù)f（x）的圖象 D．函數(shù)的零點個數(shù)為7三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中16題第一空2分，第二空3分。13．已知某種元件的使用壽命超過1年的概率為0.9，超過2年的概率為0.63，若一個這種元件使用1年時還未失效，則這個元件使用壽命超過2年的概率為．14．給出下列命題：①由變量x和y的數(shù)據(jù)得到其回歸直線方程，則l一定經(jīng)過點；②在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好；③線性相關(guān)系數(shù)r越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強，反之，線性相關(guān)性越弱；④在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量x每增加一個單位時，預(yù)報變量增加0.5個單位．其中真命題的序號是．15．若函數(shù)f（x）＝ex﹣x圖象在點（x0，f（x0））處的切線方程為y＝kx+b，則k﹣b的最小值為．16．“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22，121，3443，94249等．顯然，2位“回文數(shù)”有9個：11，22，33，…，999；3位“回文數(shù)”有90個：101，111，121，…，191，202，…999．則（1）4位“回文數(shù)”有個；（2）2n+1（n∈N*）位“回文數(shù)”有個．四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，atanB＝（2c﹣a）tanA．（1）求B；（2）若，，求△ABC的面積．18．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，當(dāng)n≥2時，an＝Sn﹣2n﹣1．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)bn＝log2Sn，設(shè)cn＝bn?Sn，求數(shù)列{cn}的前n項和為Tn．19．黨的二十大勝利召開，某單位組織舉辦“百年黨史”知識對抗賽，組委會將參賽人員隨機分為若干組，每組均為兩名選手，每組對抗賽開始時，組委會隨機從百年黨史題庫抽取2道搶答試題，每位選手搶到每道試題的機會相等．比賽細(xì)則為：選手搶到試題且回答正確得100分，對方選手得0分；選手搶到試題但回答錯誤或沒有回答得0分，對方選手得50分；2道題目搶答完畢后得分多者獲勝．已知甲、乙兩名選手被分在同一組進行對抗賽，每道試題甲回答正確的概率為，乙回答正確的概率為，兩名選手每道試題回答是否正確相互獨立．（1）求乙同學(xué)得100分的概率；（2）記X為甲同學(xué)的累計得分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．20．如圖，在以P，A，B，C，D為頂點的五面體中，四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，，平面PAD⊥平面PAB，PA⊥PB．（1）求證：平面PAD⊥平面PBC；（2）若二面角P﹣AB﹣D的余弦值為，求直線PD與平面PBC所成角的正弦值．21．已知圓x2+y2＝17與拋物線C：y2＝2px（p＞0）在x軸下方的交點為A，與拋物線C的準(zhǔn)線在x軸上方的交點為B，且點A，B關(guān)于直線y＝x對稱．（1）求拋物線C的方程；（2）若點M，N是拋物線C上與點A不重合的兩個動點，且AM⊥AN，求證：直線MN過定點，并求出定點坐標(biāo)．22．設(shè)函數(shù)．（1）已知f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程是y＝2x﹣1，求實數(shù)a，b的值．（2）若方程f（x）＝λx2（λ＞0）有唯一實數(shù)解，求實數(shù)λ的值．

參考答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分40分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分．1．設(shè)集合A＝{x|1＜2x＜8}，B＝{x||x+1|≥3}，則A∩B＝（）A．（0，2] B．[2，3） C．（2，3] D．（0，3）【分析】根據(jù)題意將集合A，B化簡，然后結(jié)合交集的運算，即可得到結(jié)果．解：因為1＜2x＜8?20＜2x＜23，所以0＜x＜3，即A＝（0，3），且|x+1|≥3?x+1≥3或x+1≤﹣3，所以x≥2或x≤﹣4，即B＝（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞），所以A∩B＝[2，3）．故選：B．2．在△ABC中，“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)由，可得，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可．解：在△ABC中，A∈（0，π），由，可得，因為{A|}?{A|A＞}，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B．3．某次考試共有4道單選題，某學(xué)生對其中3道題有思路，1道題完全沒有思路．有思路的題目每道做對的概率為0.8，沒有思路的題目，只好任意猜一個答案，猜對的概率為0.25．若從這4道題中任選2道，則這個學(xué)生2道題全做對的概率為（）A．0.34 B．0.37 C．0.42 D．0.43【分析】根據(jù)排列組合以及概率的乘法公式即可求解．解：設(shè)事件A表示“兩道題全做對”，若兩個題目都有思路，則，若兩個題目中一個有思路一個沒有思路，則，故P（A）＝P1+P2＝0.32+0.1＝0.42．故選：C．4．若（x﹣）8的二項展開式中x6的系數(shù)是﹣16，則實數(shù)a的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于6，求出r的值，即可求得實數(shù)a的值．解：（x﹣）8的二項展開式的通項為（﹣a）rC8rx8﹣2r，令8﹣2r＝6，解得r＝1，則（﹣a）1C81＝﹣16，解得a＝2．故選：D．5．紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明朝正德年間．紫砂壺的壺型眾多，經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等．其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺，如圖給出了一個石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：cm），現(xiàn)在向這個空石瓢壺中加入91πcm3（約285.9cm3）的礦泉水后，問石瓢壺內(nèi)水深約（）cm．A．2.8 B．2.9 C．3.0 D．3.1【分析】取圓臺的中軸面，補全為一個三角形，根據(jù)三角形相似，找到加入礦泉水后水面的半徑和水深的關(guān)系，根據(jù)圓臺體積為91πcm3，列出等式，解出即可．解：由題知礦泉水的體積為91πcm3，將圓臺的中軸面拿出，補全為一個三角形，如圖所示：加入礦泉水后，記石瓢壺內(nèi)水深為h，水平面半徑為r，由圖可知△ABC∽△AFG，所以，即，解得AB＝12，由△ABC∽△ADE，所以，即，解得h＝18﹣3r，故加入礦泉水后圓臺的體積為，解得，所以h＝18﹣3r＝3.0．故選：C．6．已知等邊△ABC的邊長為2，D為BC的中點，P為線段AD上一點，PE⊥AC，垂足為E，當(dāng)時，＝（）A． B． C． D．【分析】設(shè)＝λ，由求出λ，得到P為△ABC的重心，E為AC的中點，再利用平面向量基本定理求解即可．解：設(shè)＝λ（0＜λ＜1），則＝﹣＝﹣λ，＝﹣λ，∴?＝（﹣λ）?（﹣λ）＝?﹣λ?﹣λ?+λ2＝2﹣λ×2×××2+3λ2＝3λ2﹣6λ+2＝﹣，∴9λ2﹣18λ+8＝0，∴λ＝或λ＝（舍去），∴P為△ABC的重心，∵PE⊥AC，∴E為AC的中點，∴＝﹣＝﹣＝﹣×（+）＝﹣+，故選：B．7．若，（e＝2.71828…）試比較a，b，c的大小關(guān)系（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．b＞c＞a【分析】先估算出e5，進而求出a的范圍，再由1.642＜e求出b的范圍，最后構(gòu)造函數(shù)估算出c即可求解．解：由e＝2.71828...得e2＜7.5，所以e5＜7.5×7.5×2.718＝152.8875，又1.64×1.64＝2.6896＜e，故e5＜1.6＜，由常用數(shù)據(jù)得ln5≈1.609，下面說明ln5≈1.609，令f（x）＝ln（x+1）﹣，f′（x）＝﹣＝，當(dāng)x∈（﹣1，0）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，則f（x）max＝f（0）＝0，則ln（x+1）≤，則ln5＝2ln2+ln，ln2＝ln（×××…×）＝ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+），令g（x）＝，則ln2≈g（）+g（）+…+g（）≈0.6932，ln＝ln（×）＝ln（1+）+ln（1+），∴l(xiāng)n≈g（）+g（）≈0.2232，則ln5＝2ln2+ln≈2×0.6932+0.2232≈1.6096，綜上，b＞c＞a．故選：D．8．已知三棱錐P﹣ABC，Q為BC中點，PB＝PC＝AB＝BC＝AC＝2，側(cè)面PBC⊥底面ABC，則過點Q的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為（）A． B． C． D．[π，2π]【分析】連接PQ，QA，OA，設(shè)三棱錐P﹣ABC外接球的球心為O，設(shè)過點Q的平面為α，則當(dāng)OQ⊥α?xí)r，此時所得截面的面積最小，當(dāng)點Q在以O(shè)為圓心的大圓上時，此時截面的面積最大，再結(jié)合球的截面的性質(zhì)即可得解．解：連接PQ，QA，由PB＝PC＝AB＝BC＝AC＝2，可知：△ABC和△PBC是等邊三角形，設(shè)三棱錐P﹣ABC外接球的球心為O，所以球心O到平面ABC和平面PBC的射影是△ABC和△PBC的中心F，E，△PBC是等邊三角形，Q為BC中點，所以PQ⊥BC，又因為側(cè)面PBC⊥底面ABC，側(cè)面PBC∩底面ABC＝BC，所以PQ⊥底面ABC，而AQ?底面ABC，因此PQ⊥AQ，所以O(shè)FQE是矩形，△ABC和△PBC是邊長為2的等邊三角形，所以兩個三角形的高，在矩形OFQE中，，OF＝EQ＝，連接OA，所以，設(shè)過點Q的平面為α，當(dāng)OQ⊥α?xí)r，此時所得截面的面積最小，該截面為圓形，，因此圓Q的半徑為：，所以此時面積為π?12＝π，當(dāng)點Q在以O(shè)為圓心的大圓上時，此時截面的面積最大，面積為：，所以截面的面積范圍為．故選：A．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分20分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．（多選）9．已知A，B為圓O：x2+y2＝1上的兩點，P為直線l：x+y﹣2＝0上一動點，則（）A．直線l與圓O相離 B．當(dāng)A，B為兩定點時，滿足的點P有2個 C．當(dāng)時，的最大值是 D．當(dāng)PA，PB為圓O的兩條切線時，直線AB過定點【分析】利用圓的圓心到直線的距離，判斷A；利用特殊點，判斷B；利用特殊位置判斷C的正誤；求解相交弦所在的直線方程，利用直線系轉(zhuǎn)化求解即可判斷D．解：對于A，圓的圓心到直線的距離為：＝＞1，所以直線l與圓O相離，所以A正確；對于B，當(dāng)A，B為兩定點時，如果兩個定點是圓的直徑上的兩點，AB與直線垂直時，不可能有滿足的點P，所以B不正確；對于C，當(dāng)時，此時圓的圓心到直線的距離為：，只要AB與直線x+y﹣2＝0不平行，過AB的直線與直線x+y﹣2＝0相交，此時的值沒有最大值，所以C不正確；對于D，因為點P為直線x+y﹣2＝0上，所以設(shè)P（t，2﹣t），圓O：x2+y2＝1的圓心為C（0，0），所以PO中點坐標(biāo)為（），且|PO|＝，所以以PO為直徑的圓Q方程為（x﹣）2+（y﹣）2＝，即x2+y2﹣tx﹣（2﹣t）y＝0，圓Q與圓O的公共弦直線方程為tx+（2﹣t）y﹣1＝0，即t（x﹣y）+2y﹣1＝0，令，解得x＝y(tǒng)＝，即直線tx+（2﹣t）y﹣1＝0過定點，D正確．故選：AD．（多選）10．定義運算．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A．sinA+sinC＝2sinB B．A：C＝1：2 C．角B的最大值為 D．若asinA＝4csinC，則△ABC為鈍角三角形【分析】由新定義運算得a+c＝2b，對于選項A：由正弦定理邊化角后知sinA+sinC＝2sinB正確；對于選項B：可舉反例進行判斷；對于選項C：結(jié)合余弦定理及基本不等式，可求得，可知C正確；對于選項D：結(jié)合條件可得，計算cosA即可判斷出A為鈍角．解：由可知（a+b+c）﹣3（a+c﹣b）＝0，整理可知a+c＝2b，由正弦定理可知：sinA+sinC＝2sinB，即選項A正確；因為滿足a+c＝2b，但不滿足A：C＝1：2，即選項B不正確；由＝（當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時取“＝”），又0＜B＜π，所以B的最大值為，即選項C正確；由asinA＝4csinC可得a2＝4c2，解得a＝2c，又a+c＝2b，從而可得為最大邊，則，即角A為鈍角，即選項D正確．故選：ACD．（多選）11．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左、右焦點，C的一條漸近線l的方程為，且F1到l的距離為，點P為C在第一象限上的點，點Q的坐標(biāo)為（2，0），PQ為∠F1PF2的平分線．則下列正確的是（）A．雙曲線的方程為 B．|PF1|＝3|PF2| C． D．點P到x軸的距離為【分析】由F1到l的距離為以及漸近線方程為可求得，即可得出方程，判斷A；由可求出判斷B；結(jié)合雙曲線定義可求得|PF1|＝12，|PF2|＝6，求出cos∠F1PF2，即可求出，判斷C；利用等面積法可求得點P到x軸的距離，判斷D．解：F1（﹣c，0）到的距離為，，解得c＝6，又漸近線方程為，則，結(jié)合a2+b2＝c2可解得a＝3，，則雙曲線的方程為，故A正確；PQ為∠F1PF2的平分線，，故B錯誤；由雙曲線定義可得|PF1|﹣|PF2|＝6，則可得|PF1|＝12，|PF2|＝6，則在△PF1F2中，，則，則，即，故C正確；在△PF1F2中，，設(shè)點P到x軸的距離為d，則，即，解得，故D正確．故選：ACD．（多選）12．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）的部分圖象如圖所示，則（）A． B．f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增 C．將函數(shù)y＝cosx圖象上各點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個單位長度，可得函數(shù)f（x）的圖象 D．函數(shù)的零點個數(shù)為7【分析】由已知可得﹣＝?，可求ω，進而可求φ，判斷A；當(dāng)x∈時，2x+∈[﹣，]可判斷B；利用圖象變換可得y＝﹣sin（2x+）判斷C；判斷2x+＝t，判斷4sint＝的解的情況即可．解：由題意得﹣＝?，∴ω＝2，又2?+φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ﹣，k∈Z，∵0＜φ＜2π，∴φ＝，故A正確；∴f（x）＝sin（2x+），當(dāng)x∈時，2x+∈[﹣，]，∴f（x）單調(diào)遞增，故B正確，將y＝cosx圖象上各點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變）得y＝cos2x，再將所得圖象向右平移個單位長度，可得y＝cos（2x﹣），而y＝cos（2x﹣）＝﹣sin（+2x﹣）＝﹣sin（2x+），故C錯誤；由4f（x）+＝0，得4sin（2x+）＝，令2x+＝t，則4sint＝，∵y＝4sint在t＝0處的切線斜率為y′|x＝0＝4，y＝在（0，0）處切線斜率不存在，即切方程為t＝0，∴y＝4sint在t＝0處圖象較緩，同時當(dāng)t＞16時，4sint＜，根據(jù)圖象可以判斷4sint＝有7個解，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中16題第一空2分，第二空3分。13．已知某種元件的使用壽命超過1年的概率為0.9，超過2年的概率為0.63，若一個這種元件使用1年時還未失效，則這個元件使用壽命超過2年的概率為0.7．【分析】直接利用條件概率的計算公式，運算求得結(jié)果．解：設(shè)一個這種元件使用1年的事件為A，使用2年的事件為B，則．故答案為：0.7．14．給出下列命題：①由變量x和y的數(shù)據(jù)得到其回歸直線方程，則l一定經(jīng)過點；②在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好；③線性相關(guān)系數(shù)r越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強，反之，線性相關(guān)性越弱；④在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量x每增加一個單位時，預(yù)報變量增加0.5個單位．其中真命題的序號是①②．【分析】利用回歸直線方程的特征以及兩個變量之間的關(guān)系逐一判斷四個選項的正誤即可．解：回歸直線一定過樣本中心點，故①正確；殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好，故②正確；線性相關(guān)系數(shù)r的絕對值越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強，反之，線性相關(guān)性越弱，故③錯誤；在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量x每增加一個單位時，預(yù)報變量減少0.5個單位，故④錯誤．故答案為：①②．15．若函數(shù)f（x）＝ex﹣x圖象在點（x0，f（x0））處的切線方程為y＝kx+b，則k﹣b的最小值為﹣1﹣．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，表示出切線方程，求出k﹣b＝ex0x0﹣1，構(gòu)造函數(shù)，求得導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得最值，再求出k﹣b的最小值即可．解：函數(shù)f（x）＝ex﹣x的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝ex﹣1，可得切線的斜率為k＝f（x0）＝ex0﹣1，則切線方程為y＝（ex0﹣1）（x﹣x0）+ex0﹣x0，即y＝（ex0﹣1）x﹣ex0x0+ex0，因為切線方程為y＝kx+b，所以k＝ex0﹣1，b＝﹣ex0?x0+ex0，所以k﹣b＝ex0x0﹣1，對于函數(shù)y＝xex﹣1，y′＝ex（x+1），當(dāng)x＜﹣1時，y′＜0，y＝xex﹣1遞減；當(dāng)x＞﹣1時，y′＞0，y＝xex﹣1遞增．故函數(shù)y＝xex﹣1在x＝﹣1處取得極小值，即為最小值，所以k﹣b的最小值是﹣1﹣．故答案為：﹣1﹣．16．“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22，121，3443，94249等．顯然，2位“回文數(shù)”有9個：11，22，33，…，999；3位“回文數(shù)”有90個：101，111，121，…，191，202，…999．則（1）4位“回文數(shù)”有90個；（2）2n+1（n∈N*）位“回文數(shù)”有9×10n個．【分析】（1）利用回文數(shù)的定義，四位回文數(shù)只需從10個數(shù)字中選兩個可重復(fù)數(shù)字即可，但要注意最兩邊的數(shù)字不能為0，利用分步計數(shù)原理即可計算4位回文數(shù)的個數(shù)；（2）將（1）中求法推廣到一般，利用分步計數(shù)原理即可計算2n+1（n∈N+）位回文數(shù)的個解：（1）4位回文數(shù)的特點為中間兩位相同，千位和個位數(shù)字相同但不能為零，第一步，選千位和個位數(shù)字，共有9種選法；第二步，選中間兩位數(shù)字，有10種選法；故4位回文數(shù)有9×10＝90個；（2）第一步，選左邊第一個數(shù)字，有9種選法；第二步，分別選左邊第2、3、4、…、n、n+1個數(shù)字，共有10×10×10×…×10＝10n種選法，故2n+1（n∈N+）位回文數(shù)有9×10n個故答案為：90；9×10n四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，atanB＝（2c﹣a）tanA．（1）求B；（2）若，，求△ABC的面積．【分析】（1）由正弦定理及兩角和的正弦公式的應(yīng)用，可得cosB的值，再由角B的范圍，可得角B的大小；（2）由正弦定理可得a的值及角C的大小，代入三角形的面積公式可得該三角形的面積．解：（1）因為atanB＝（2c﹣a）tanA，由正弦定理可得：sinA?＝（2sinC﹣sinA）?，在△ABC中，sinA＞0，整理可得：sinBcosA+cosBsinA＝2sinCcosB，即sin（B+A）＝2sinCcosB，即sinC＝2sinCcosB，因為sinC＞0，可得cosB＝，而B∈（0，π），可得B＝；（2），，B＝，由正弦定理可得＝，即a＝?b＝?2＝2，可得C＝π﹣A﹣B＝π﹣﹣＝，sin＝sin＝sin（+）＝sincos+cossin＝?+?＝，所以S△ABC＝absinC＝×2×2×＝3+．即△ABC的面積為3+．18．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，當(dāng)n≥2時，an＝Sn﹣2n﹣1．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)bn＝log2Sn，設(shè)cn＝bn?Sn，求數(shù)列{cn}的前n項和為Tn．【分析】（1）根據(jù)題意當(dāng)n≥2時，由，可得，兩式相減并進一步化簡整理即可得到當(dāng)n≥2時，再驗證當(dāng)n＝1時，a1＝2不滿足，即可得到數(shù)列{an}的通項公式；（2）先根據(jù)第（1）題的結(jié)果推導(dǎo)出前n項和Sn的表達式，進一步計算出bn的表達式以及數(shù)列{cn}的通項公式，最后運用錯位相減法即可計算出前n項和為Tn．解：（1）由題意，當(dāng)n≥2時，由，可得，兩式相減，得，即，整理，得，∵a1＝2不滿足，∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝．（2）由（1）得，當(dāng)n＝1時，S1＝a1＝2，當(dāng)n≥2時，由，，可得，∵當(dāng)n＝1時，S1＝2也滿足，∴，n∈N*，則，n∈N*，∴，故Tn＝c1+c2+…+cn＝1?21+2?22+3?23+?+（n﹣1）?2n﹣1+n?2n，，兩式相減，可得＝＝﹣（n﹣1）?2n+1﹣2，∴Tn＝（n﹣1）?2n+1+2．19．黨的二十大勝利召開，某單位組織舉辦“百年黨史”知識對抗賽，組委會將參賽人員隨機分為若干組，每組均為兩名選手，每組對抗賽開始時，組委會隨機從百年黨史題庫抽取2道搶答試題，每位選手搶到每道試題的機會相等．比賽細(xì)則為：選手搶到試題且回答正確得100分，對方選手得0分；選手搶到試題但回答錯誤或沒有回答得0分，對方選手得50分；2道題目搶答完畢后得分多者獲勝．已知甲、乙兩名選手被分在同一組進行對抗賽，每道試題甲回答正確的概率為，乙回答正確的概率為，兩名選手每道試題回答是否正確相互獨立．（1）求乙同學(xué)得100分的概率；（2）記X為甲同學(xué)的累計得分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件、互斥事件的判斷與概率計算公式綜合運算求解即可；（2）由題意，X可能值為0，50，100，150，200，根據(jù)相互獨立事件、互斥事件的判斷與概率計算公式分別求出對應(yīng)取值的概率，即可得到離散型隨機變量的分布列，再由期望定義及公式求其期望值．解：（1）由題意，乙同學(xué)得100分的基本事件有{乙搶到兩題且一道正確一道錯誤}、{甲乙各搶到一題都回答正確}、{甲搶到兩題且回答錯誤}，所以乙同學(xué)得100分的概率為（2）由題意，甲同學(xué)的累計得分X可能值為0，50，100，150，200，，，，，，分布列如下：X050100150200P（X）所以期望．20．如圖，在以P，A，B，C，D為頂點的五面體中，四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，，平面PAD⊥平面PAB，PA⊥PB．（1）求證：平面PAD⊥平面PBC；（2）若二面角P﹣AB﹣D的余弦值為，求直線PD與平面PBC所成角的正弦值．【分析】（1）證明PA⊥PB，PB⊥平面PAD，然后證明平面PAD⊥平面PBC．（2）先證明∠DOH為二面角P﹣AB﹣D的平面角，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBC的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解直線PD與平面PBC所成角即可．解：（1）證明：因為平面PAD⊥平面PAB，平面PAD∩平面PAB＝PA，又PA⊥PB，PB?面PAB，所以PB⊥平面PAD，又因為PB?平面PBC，所以平面PAD⊥平面PBC．（2）過D作DH⊥PA，DO⊥AB，垂足分別為H，O，連接HO，因為平面PAD⊥平面PAB，平面PAD∩平面PAB＝PA，DH⊥PA，DH?平面PAD，所以DH⊥平面PAB，又ABC?平面PAB，所以DH⊥AB，又DO⊥AB，且DO∪DH＝O，DO，DH?平面PAD，所以AB⊥平面PAD，因為HO?平面PAD，所以AB⊥HO，即∠DOH即為二面角P﹣AB﹣D的平面角，不妨設(shè)AB＝4，則AD＝CD＝BD＝2，且AO＝1，，因為，所以O(shè)H＝1，所以，過O作OM⊥平面PAB，分別以，，為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，P（﹣1，2，0），B（﹣3，0，0），，所以，，，設(shè)