2019-2020學年高中數(shù)學課時分層作業(yè)19幾何概型均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生含解析新人教A版必修

PAGE課時分層作業(yè)(十九)幾何概型均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生(建議用時：60分鐘)[基礎(chǔ)達標練]一、選擇題1．如圖所示，半徑為4的圓中有一個小狗圖案，在圓中隨機撒一粒豆子，它落在小狗圖案內(nèi)的概率是eq\f(1,3)，則小狗圖案的面積是()A．eq\f(π,3)B．eq\f(4π,3)C．eq\f(8π,3)D．eq\f(16π,3)D[設(shè)小狗圖案的面積為S1，圓面積S＝π×42＝16π，由幾何概型計算公式得eq\f(S1,S)＝eq\f(1,3)，故S1＝eq\f(16π,3).]2．在400毫升自來水中有一個大腸桿菌，今從中隨機取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率為()A．0.008 B．0.004C．0.002 D．0.005D[該問題可轉(zhuǎn)化為與體積有關(guān)的幾何概型求解，概率為eq\f(2,400)＝0.005.]3．在圓心角為90°的扇形中，以圓心O為起點作射線OC，則使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,4)D．eq\f(3,4)A[記M＝“射線OC使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”．如圖所示，作射線OD，OE使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°.當OC在∠DOE內(nèi)時，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，此時的測度為度數(shù)30，所有基本事件的測度為直角的度數(shù)90.所以P(M)＝eq\f(30,90)＝eq\f(1,3).]4．將[0，1]內(nèi)的均勻隨機數(shù)a1轉(zhuǎn)化為[－2，6]內(nèi)的均勻隨機數(shù)a，需實施的變換為()A．a(chǎn)＝a1*18 B．a(chǎn)＝a1*8＋2C．a(chǎn)＝a1*8－2 D．a(chǎn)＝a1*6C[因為隨機數(shù)a1∈[0，1]，而基本事件都在[－2，6]上，其區(qū)間長度為8，所以首先把a1變?yōu)?a1，又因區(qū)間左端值為－2，所以8a1再變?yōu)?a1－2，故變換公式為a＝8a1－2.]5．在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點P，則△PBC的面積大于eq\f(S,4)的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4) D．eq\f(2,3)C[如圖所示，在邊AB上任取一點P，因為△ABC與△PBC是等高的，所以事件“△PBC的面積大于eq\f(S,4)”等價于事件“eq\f(|BP|,|AB|)＞eq\f(1,4)”．即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(△PBC的面積大于\f(S,4)))＝eq\f(|PA|,|BA|)＝eq\f(3,4).]二、填空題6．在區(qū)間[－2，4]上隨機取一個數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為eq\f(5,6)，則m＝________．3[由|x|≤m，得－m≤x≤m，當m≤2時，由題意得eq\f(2m,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝2.5，矛盾，舍去．當2<m<4時，由題意得eq\f(m－（－2）,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝3.]7．利用計算機產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機數(shù)a，則使關(guān)于x的一元二次方程x2－x＋a＝0無實根的概率為________．eq\f(3,4)[因為方程無實根，故Δ＝1－4a<0，所以a>eq\f(1,4)，即所求概率為eq\f(3,4).]8．小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內(nèi)投擲一點，若此點到圓心的距離大于eq\f(1,2)，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于eq\f(1,4)，則去打籃球；否則，在家看書．則小波周末不在家看書的概率為________．eq\f(13,16)[記事件A＝“打籃球”，則P(A)＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(2),π×12)＝eq\f(1,16)，記事件B＝“在家看書”，則P(B)＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2),π×12)－P(A)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,16)＝eq\f(3,16).故P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝eq\f(13,16).]三、解答題9．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，在正方體內(nèi)隨機取一點M.(1)求點M落在三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)的概率P1；(2)求點M落在三棱錐B-A1B1C1內(nèi)的概率P2；(3)求點M到面ABCD的距離大于eq\f(a,3)的概率P3；(4)求點M到面ABCD及面A1B1C1D1的距離都大于eq\f(a,3)的概率P4.[解]V正方體＝a3.(1)∵Veq\s\do8(三棱柱ABC-A1B1C1)＝eq\f(1,2)a2·a＝eq\f(1,2)a3，∴所求概率P1＝eq\f(\f(1,2)a3,a3)＝eq\f(1,2).(2)∵Veq\s\do5(三棱錐B-A1B1C1)＝eq\f(1,3)·Seq\s\do5(△A1B1C1)·BB1＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)a2·a＝eq\f(1,6)a3，∴所求概率P2＝eq\f(1,6).(3)所求概率P3＝eq\f(a－\f(a,3),a)＝eq\f(2,3).(4)所求概率P4＝eq\f(a－\f(a,3)－\f(a,3),a)＝eq\f(1,3).10．兩對講機持有者張三、李四在某貨運公司工作，他們的對講機的接收范圍是25km，下午3：00張三在基地正東30km處向基地行駛，李四在基地正北40km處也向基地行駛，試求下午3：00后他們可以交談的概率．[解]記事件A＝{下午3：00后張三、李四可以交談}．設(shè)x，y分別表示張三、李四與基地的距離，則x∈[0，30]，y∈[0，40]，則他們的所有距離的數(shù)據(jù)構(gòu)成有序?qū)崝?shù)對(x，y)，則所有這樣的有序?qū)崝?shù)對構(gòu)成的集合為試驗的全部結(jié)果．以基地為原點，正東、正北方向分別為x軸、y軸正方向建立坐標系(圖略)，則長和寬分別為40km和30km的矩形區(qū)域表示該試驗的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，它的總面積為1200km2，可以交談的區(qū)域為x2＋y2≤252的圓及其內(nèi)部滿足x≥0，y≥0的部分，由幾何概型的概率計算公式得P(A)＝eq\f(\f(1,4)×π×252,1200)＝eq\f(25π,192)≈0.41.[能力提升練]1．已知一只螞蟻在邊長分別為5，12，13的三角形的邊上隨機爬行，則其恰在離三個頂點的距離都大于1的地方的概率為()A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(π,60) D．eq\f(π,3)A[由題意可知，三角形的三條邊長的和為5＋12＋13＝30，而螞蟻要在離三個頂點的距離都大于1的地方爬行，則它爬行的區(qū)域長度為3＋10＋11＝24，根據(jù)幾何概型的概率計算公式可得所求概率為eq\f(24,30)＝eq\f(4,5).]2．節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈．這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮．那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4) D．eq\f(7,8)C[設(shè)第一串彩燈亮的時刻為x，第二串彩燈亮的時刻為y，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4.))要使兩串彩燈亮的時刻相差不超過2秒，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4，,－2≤x－y≤2.))如圖，不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4))所表示的圖形面積為16，不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4，,－2≤x－y≤2))所表示的六邊形OABCDE的面積為16－4＝12，由幾何概型的公式可得P＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4).]3．在[－1，1]上隨機地取一個數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為________．eq\f(3,4)[圓(x－5)2＋y2＝9的圓心為C(5，0)，半徑r＝3，故由直線與圓相交可得eq\f(|5k－0|,\r(k2＋1))<r，即eq\f(|5k|,\r(k2＋1))<3，整理得k2<eq\f(9,16)，得－eq\f(3,4)<k<eq\f(3,4).故所求事件的概率P＝eq\f(\f(3,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),1－（－1）)＝eq\f(3,4).]4．已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，則eq\f(AD,AB)＝________．eq\f(\r(7),4)[如圖，由于滿足條件的點P發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，且點P在邊CD上運動，根據(jù)圖形的對稱性，當點P在靠近點D的CD邊的eq\f(1,4)分點處，即圖中E點處時，EB＝AB(當點P超過點E向點D運動時，PB>AB)．設(shè)AB＝x，過點E作EF⊥AB交AB于點F，則BF＝eq\f(3,4)x.在Rt△FBE中，EF2＝BE2－FB2＝AB2－FB2＝eq\f(7,16)x2，即EF＝eq\f(\r(7),4)x，所以eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(7),4).]5．利用隨機模擬法計算由曲線y＝eq\f(1,x)，直線x＝1，x＝2和y＝0所圍成的圖形的面積．[解]如圖，陰影部分即為所求．第一步，利用計算器