學(xué)習(xí)園地數(shù)學(xué)

函數(shù)值域求法十一種

1.直接觀察法

對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。

例1.求函數(shù)的值域。

解：∵∴

顯然函數(shù)的值域是：

例2.求函數(shù)的值域。

解：∵

故函數(shù)的值域是：

2.配方法:配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。

例3.求函數(shù)的值域。

解：將函數(shù)配方得：

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1時，，當(dāng)時，故函數(shù)的值域是：[4，8]

3.判別式法

例4.求函數(shù)的值域。

解：原函數(shù)化為關(guān)于x的一元二次方程

當(dāng)時，解得：

（2）當(dāng)y=1時，，而故函數(shù)的值域為

例5.求函數(shù)的值域。（亦可用求導(dǎo)）

解：兩邊平方整理得：

（1）∵∴解得：

但此時的函數(shù)的定義域由，得

由，僅保證關(guān)于x的方程：在實數(shù)集R有實根，而不能確保其實根在區(qū)間[0，2]上，即不能確保方程（1）有實根，由求出的范圍可能比y的實際范圍大，故不能確定此函數(shù)的值域為。

可以采取如下方法進(jìn)一步確定原函數(shù)的值域。∵

代入方程（1）

解得：即當(dāng)時，原

8.數(shù)形結(jié)合法

其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數(shù)形結(jié)合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。

例14.求函數(shù)的值域。

解：原函數(shù)可化簡得：

上式可以看成數(shù)軸上點P（x）到定點A（2），間的距離之和。

由上圖可知，當(dāng)點P在線段AB上時，

當(dāng)點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，

故所求函數(shù)的值域為：

例15.求函數(shù)

的值域。

解：原函數(shù)可變形為：

上式可看成x軸上的點到兩定點的距離之和，

由圖可知當(dāng)點P為線段與x軸的交點時，，

故所求函數(shù)的值域為

例17.求函數(shù)

的值域。

解：將函數(shù)變形為：

上式可看成定點A（3，2）到點P（x，0）的距離與定點到點的距離之差。

即：

由圖可知：（1）當(dāng)點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點時，如點，則構(gòu)成，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有

即：

（2）當(dāng)點P恰好為直線AB與x軸的交點時，有

綜上所述，可知函數(shù)的值域為：

9.不等式法

利用基本不等式，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。

10.一一映射法

原理：因為在定義域上x與y是一一對應(yīng)的。故兩個變量中，若知道一個變量范圍，就可以求另一個變量范圍。

例21.求函數(shù)的值域。

解：∵定義域為由得

故或解得

故函數(shù)的值域為

11.多種方法綜合運用

例22.求函數(shù)的值域。

解：令，則

（1）當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即時取等號，所以

（2）當(dāng)t=0時，y=0。

綜上所述，函數(shù)的值域為：

注：先換元，后用不等式法

例23.求函數(shù)的值域。（求導(dǎo)法比較煩）

解：

令，則

∴當(dāng)時，

當(dāng)時，此時都存在，故函數(shù)的值域為

注：此題先用換元法，后用配方法，然后再運用的有界性。

總之，在具體求某個函數(shù)的值域時，首先