6 §4　4.1 4.2應用案鞏固提升案

第頁[A基礎達標]1．已知一組數據10，30，50，50，60，70，80.其中平均數、中位數和眾數的大小關系是()A．平均數>中位數>眾數B．平均數<中位數<眾數C．中位數<眾數<平均數D．眾數＝中位數＝平均數解析：選D.中位數、平均數、眾數都是50，從中看出一組數據的中位數、眾數、平均數可以相同．2．如圖所示，樣本A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數分別為eq\o(x,\s\up6(－))A和eq\o(x,\s\up6(－))B，樣本標準差分別為sA和sB，則()A．eq\o(x,\s\up6(－))A>eq\o(x,\s\up6(－))B，sA>sB B．eq\o(x,\s\up6(－))A<eq\o(x,\s\up6(－))B，sA>sBC．eq\o(x,\s\up6(－))A>eq\o(x,\s\up6(－))B，sA<sB D．eq\o(x,\s\up6(－))A<eq\o(x,\s\up6(－))B，sA<sB解析：選B.A中的數據都不大于B中的數據，所以eq\o(x,\s\up6(－))A<eq\o(x,\s\up6(－))B，但A中的數據比B中的數據波動幅度大，所以sA>sB.3．期中考試后，班長算出了全班40個人數學成績的平均分為M，如果把M當成一個同學的分數，與原來的40個分數一起，算出這41個分數的平均數為N，那么M∶N為()A．eq\f(40,41)B．1C．eq\f(41,40)D．2解析：選B.設40位同學的成績?yōu)閤i(i＝1，2，…，40)，則M＝eq\f(x1＋x2＋…＋x40,40)，N＝eq\f(x1＋x2＋…＋x40＋M,41)＝eq\f(40M＋M,41)＝M.故M∶N＝1.4．從某項綜合能力測試中抽取100人的成績，統(tǒng)計如下表，則這100人成績的標準差為()分數54321人數2010303010A.eq\r(3) B.eq\f(2\r(10),5)C．3 D.eq\f(8,5)解析：選B.eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(20×5＋10×4＋30×3＋30×2＋10×1,100)＝3，所以s2＝eq\f(1,100)(20×22＋10×12＋30×12＋10×22)＝eq\f(160,100)＝eq\f(8,5)，所以s＝eq\f(2\r(10),5)，故選B.5．一組數據中的每一個數據都減去80，得到一組新數據，若求得新數據的平均數是1.2，方差是4.4，則原來數據的平均數和方差分別是()A．81.2，4.4 B．78.8，4.4C．81.2，84.4 D．78.8，75.6解析：選A.由平均數和方差的計算公式知，如果數據中的每一個數都減去80，則平均數就減去80，因而原來數據的平均數為80＋1.2＝81.2，而方差并不發(fā)生變化，仍為4.4.因此答案選A.6．若a1，a2，…，a20，這20個數據的平均數為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為0.20，則數據a1，a2，…，a20，eq\o(x,\s\up6(－))這21個數據的方差為________．解析：這21個數的平均數仍為eq\o(x,\s\up6(－))，從而方差為eq\f(1,21)×[20×0.2＋(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(x,\s\up6(－)))2]≈0.19.答案：0.197．已知樣本9，10，11，x，y的平均數是10，標準差是eq\r(2)，則xy＝________．解析：由平均數是10，得x＋y＝20，由標準差是eq\r(2)，得eq\r(\f(1,5)[（9－10）2＋（10－10）2＋（11－10）2＋（x－10）2＋（y－10）2])＝eq\r(2)，所以(x－10)2＋(y－10)2＝8，所以xy＝96.答案：968．已知總體的各個個體的值由小到大依次為3，7，a，b，12，20，且總體的中位數為12，若要使該總體的標準差最小，則a＝________.解析：由中位數為12可得eq\f(a＋b,2)＝12，所以a＋b＝24，所以總體的平均數為eq\f(3＋7＋a＋b＋12＋20,6)＝11，要使該總體的標準差最小，需要(a－11)2＋(b－11)2最小，而(a－11)2＋(b－11)2＝(a－11)2＋(24－a－11)2＝2(a－12)2＋2，所以a＝12時總體的標準差最?。鸢福?29．甲、乙兩人參加某體育項目訓練，近期的五次測試成績情況如圖．(1)分別求出兩人得分的平均數與方差；(2)根據圖和(1)算得的結果，對兩人的訓練成績做出評價．解：(1)甲、乙兩人五次測試的成績分別為：甲10分13分12分14分16分乙13分14分12分12分14分甲的平均得分為eq\f(10＋13＋12＋14＋16,5)＝13，乙的平均得分為eq\f(13＋14＋12＋12＋14,5)＝13.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.(2)由seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)可知乙的成績較穩(wěn)定．從折線統(tǒng)計圖看，甲的成績基本上呈上升狀態(tài)，而乙的成績在平均線上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績無明顯提高．10．在射擊比賽中，甲、乙兩名運動員分在同一小組，統(tǒng)計出他們命中的環(huán)數如下表：甲9676277989乙24687897910賽后甲、乙兩名運動員都說自己是勝者，如果你是裁判，你將給出怎樣的評判？解：為了分析的方便，先計算兩人的統(tǒng)計指標如下表所示.平均數方差中位數命中10環(huán)次數甲7470乙75.47.51(1)平均環(huán)數和方差相結合，平均環(huán)數高者勝．若平均環(huán)數相等，則再看方差，方差小者勝，則甲勝．(2)平均環(huán)數與中位數相結合，平均環(huán)數高者勝，若平均環(huán)數相等，則再看中位數，中位數大者勝，則乙勝．(3)平均環(huán)數與命中10環(huán)次數相結合，平均環(huán)數高者勝．若平均環(huán)數相等，則再看命中10環(huán)次數，命中10環(huán)次數多者勝，則乙勝．[B能力提升]11．若某同學連續(xù)三次考試的名次(第一名為1，第二名為2，以此類推且可以有名次并列的情況)均不超過3，則稱該同學為班級尖子生．根據甲、乙、丙、丁四位同學過去連續(xù)三次考試的名次數據，推斷一定不是尖子生的是()A．甲同學：平均數為2，中位數為2B．乙同學：平均數為2，方差小于1C．丙同學：中位數為2，眾數為2D．丁同學：眾數為2，方差大于1解析：選D.甲同學名次數據的平均數為2，說明名次之和為6，又中位數為2，得出三次考試名次均不超過3，斷定甲是尖子生；乙同學名次數據的平均數為2，說明名次之和為6，又方差小于1，得出三次考試名次均不超過3，斷定乙是尖子生；丙同學名次數據的中位數為2，眾數為2，說明三次考試中至少有兩次名次為2，故丙可能是尖子生；丁同學名次數據的眾數為2，說明某兩次名次為2，設另一次名次為x，經驗證，當x＝1，2，3時，方差均小于1，故x＞3，斷定丁一定不是尖子生．12．某市有15個旅游景點，經計算，黃金周期間各個景點的旅游人數平均為20萬，標準差為s，后來經核實，發(fā)現甲、乙兩處景點統(tǒng)計的人數有誤，甲景點實際為20萬，被誤統(tǒng)計為15萬，乙景點實際為18萬，被統(tǒng)計成23萬；更正后重新計算，得到標準差為s1，則s與s1的大小關系為()A．s＝s1 B．s＜s1C．s＞s1 D．不能確定解析：選C.由已知，兩次統(tǒng)計所得的旅游人數總數沒有變，即兩次統(tǒng)計的各景點旅游人數的平均數是相同的，設為eq\o(x,\s\up6(－))，則s＝eq\r(\f(1,15)[（15－eq\o(x,\s\up6(－))）2＋（23－eq\o(x,\s\up6(－))）2＋（x3－eq\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（x15－eq\o(x,\s\up6(－))）2])，s1＝eq\r(\f(1,15)[（20－eq\o(x,\s\up6(－))）2＋（18－eq\o(x,\s\up6(－))）2＋（x3－eq\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（x15－eq\o(x,\s\up6(－))）2]).若比較s與s1的大小，只需比較(15－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(23－eq\o(x,\s\up6(－)))2與(20－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(18－eq\o(x,\s\up6(－)))2的大小即可．而(15－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(23－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝754－76eq\o(x,\s\up6(－))＋2eq\o(x,\s\up6(－))2，(20－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(18－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝724－76eq\o(x,\s\up6(－))＋2eq\o(x,\s\up6(－))2，所以(15－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(23－eq\o(x,\s\up6(－)))2＞(20－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(18－eq\o(x,\s\up6(－)))2.從而s＞s1.13．已知數據80，82，84，86，88的方差為s2，且關于x的方程x2－(k＋1)x＋k－3＝0的兩根的平方和恰好是s2，則k＝________．解析：樣本的平均數是84，所以s2＝eq\f(1,5)×[(80－84)2＋(82－84)2＋(84－84)2＋(86－84)2＋(88－84)2]＝8.設方程的兩根為x1，x2，則xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(k＋1)2－2(k－3)＝8，即k2＝1，解得k＝±1，且當k＝±1時，滿足方程有兩根，即k＝±1.答案：±114．(選做題)某工廠36名工人的年齡數據如下表．工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡140103619272834244113120432939340123821413043441133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639(1)用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本，且在第一分段里用隨機抽樣法抽到的年齡數據為44，列出樣本的年齡數據；(2)計算(1)中樣本的均值eq\o(x,\s\up6(－))和方差s2；(3)36名工人中年齡在eq\o(x,\s\up6(－))－s與eq\o(x,\s\up6(－))＋s之間有多少人？所占的百分比是多少(精確到0.01%)?解：(1)用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本，根據題意，所抽取工人編號為2，6，10，14，18，22，26，30，34，相應工人的年齡數據為44，40，36，43，36，37，44，43，37.(2)樣本均值eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,9)×(44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋37)＝40.樣本方差s2＝eq\f(1,9)×[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)