2022-2023學(xué)年廣東省佛山市禪城實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷含答案

2022-2023學(xué)年廣東省佛山市禪城實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．（5分）若tan10°＝a，則用a表示sin820°的結(jié)果為（）A．-11+a2 B．11+a2．（5分）已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)P(13，-22A．-223 B．-13 3．（5分）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）A．α∥β，m?α，n?β?m∥n B．α⊥β，m⊥α，n⊥β?m⊥n C．m⊥α，n?β，m⊥n?α⊥β D．α⊥β，α∩β＝m，n∥m?n∥α且n∥β4．（5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝﹣2﹣3i，則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（5分）y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜πA．y=2sin(2x+π6) C．y=2sin(2x+π3)6．（5分）“近水亭臺(tái)草木欣，朱樓百尺回波濆”，位于濟(jì)南大明湖畔的超然樓始建于元代，歷代因戰(zhàn)火及災(zāi)澇等原因，屢毀屢建．今天我們所看到的超然樓為2008年重建而成，共有七層，站在樓上觀光，可俯視整個(gè)大明湖的風(fēng)景．如圖，為測(cè)量超然樓的高度，小劉取了從西到東相距104（單位：米）的A，B兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，在A點(diǎn)測(cè)得超然樓在北偏東60°的點(diǎn)D處（A，B，D在同一水平面上），在B點(diǎn)測(cè)得超然樓在北偏西30°，樓頂C的仰角為45°，則超然樓的高度CD（單位：米）為（）A．26 B．263 C．52 D．7．（5分）設(shè)m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列說法中不正確的是（）A．若m⊥α，n⊥β，α∥β，則m∥n B．若m∥α，α⊥β，則m⊥β C．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β D．若m?α，α∥β，n⊥β，則m⊥n8．（5分）若tanθ＝2，則sinθ(1-sin2θ)sinθ-cosθA．25 B．-25 C．6二、多選題（多選）9．（5分）下列關(guān)于圓柱的說法中，正確的是（）A．分別以矩形（非正方形）的長(zhǎng)和寬所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的兩個(gè)圓柱是兩個(gè)不同的圓柱 B．用平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是與底面全等的圓面 C．用一個(gè)不平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個(gè)圓面 D．以矩形的一組對(duì)邊中點(diǎn)的連線所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)180°而形成的面所圍成的幾何體是圓柱（多選）10．（5分）下列四個(gè)命題中，錯(cuò)誤命題的是（）A．垂直于同一條直線的兩條直線相互平行 B．垂直于同一個(gè)平面的兩條直線相互平行 C．垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行 D．垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面互相平行（多選）11．（5分）如圖所示，在4×4的方格中，點(diǎn)O，A，B，C均為小正方形的頂點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．OB→=OA→C．AC→=OB（多選）12．（5分）函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜πA．直線x=-2π3是函數(shù)f（xB．函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)(-π6C．函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-5πD．將函數(shù)f（x）的圖像向右平移π12個(gè)單位得到函數(shù)g(x)=sin(2x+三、填空題13．（5分）已知sin(α+π2)=2314．（5分）已知sinα?cosα=38，且π4＜α＜π2，則cos15．（5分）底面半徑為1，高為4的圓柱的側(cè)面積是．16．（5分）如圖是一體積為72的正四面體，連接兩個(gè)面的重心E、F，則線段EF的長(zhǎng)是．四、解答題17．（10分）求函數(shù)y＝sinx+cosx，x∈[-5π12，18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足asinB+3bcos（B+C）＝0，a=（1）求A；（2）若b＝2，求△ABC的面積．19．（12分）已知函數(shù)f(x)=2cos（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．（2）若x∈[0，π2]，求函數(shù)f（x20．（12分）如圖，棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝22．（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）求平面PCD和平面ABCD夾角的余弦值的大小．21．（12分）已知M、N分別是底面為平行四邊形的四棱錐P﹣ABCD的棱AB、PC的中點(diǎn)，平面CMN與平面PAD交于PE．求證：（1）MN∥平面PAD；（2）MN∥PE．22．（12分）如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D為AB的中點(diǎn)，AB＝2，AA1＝3．（1）求證：平面A1CD⊥平面ABB1A1；（2）求點(diǎn)A到平面A1CD的距離．

2022-2023學(xué)年廣東省佛山市禪城實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單選題1．（5分）若tan10°＝a，則用a表示sin820°的結(jié)果為（）A．-11+a2 B．11+a【解答】解：∵tan10°＝a，∴sin820°＝sin（2×360°+100°）＝sin100°＝sin（90°+10°）＝cos10°=1故選：B．2．（5分）已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)P(13，-22A．-223 B．-13 【解答】解：∵角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)P(1∴由任意角的三角函數(shù)的定義可得，cosα=1則cos（π﹣α）＝﹣cosα=-1故選：B．3．（5分）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）A．α∥β，m?α，n?β?m∥n B．α⊥β，m⊥α，n⊥β?m⊥n C．m⊥α，n?β，m⊥n?α⊥β D．α⊥β，α∩β＝m，n∥m?n∥α且n∥β【解答】解：m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，對(duì)于A，α∥β，m?α，n?β?m與n相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由面面垂直和線面垂直的性質(zhì)得：α⊥β，m⊥α，n⊥β?m⊥n，故B正確；對(duì)于C，m⊥α，n?β，m⊥n?α與β相交或平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，α⊥β，α∩β＝m，n∥m?n∥α或n?α且n∥β或n?β，故D錯(cuò)誤．故選：B．4．（5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝﹣2﹣3i，則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵z＝﹣2﹣3i，∴z=-2+3i∴z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（﹣2，3）位于第二象限．故選：B．5．（5分）y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜πA．y=2sin(2x+π6) C．y=2sin(2x+π3)【解答】解：T＝4（7π12-π3）＝π根據(jù)圖象可得函數(shù)最大值為2，則A＝2，點(diǎn)（7π12則2×7π12+φ＝π，∴則函數(shù)的解析式為：y＝2sin（2x-π故選：B．6．（5分）“近水亭臺(tái)草木欣，朱樓百尺回波濆”，位于濟(jì)南大明湖畔的超然樓始建于元代，歷代因戰(zhàn)火及災(zāi)澇等原因，屢毀屢建．今天我們所看到的超然樓為2008年重建而成，共有七層，站在樓上觀光，可俯視整個(gè)大明湖的風(fēng)景．如圖，為測(cè)量超然樓的高度，小劉取了從西到東相距104（單位：米）的A，B兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，在A點(diǎn)測(cè)得超然樓在北偏東60°的點(diǎn)D處（A，B，D在同一水平面上），在B點(diǎn)測(cè)得超然樓在北偏西30°，樓頂C的仰角為45°，則超然樓的高度CD（單位：米）為（）A．26 B．263 C．52 D．【解答】解：由題意可得：∠BAD＝30°，∠ABD＝60°，∠CBD＝45°，AB＝104（米），在△ABD中，可得∠ADB＝90°，則BD=AB?sin∠BAD=104×1在Rt△BCD中，可得△BCD為等腰直角三角形，即DC＝BD＝52（米）．故選：C．7．（5分）設(shè)m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列說法中不正確的是（）A．若m⊥α，n⊥β，α∥β，則m∥n B．若m∥α，α⊥β，則m⊥β C．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β D．若m?α，α∥β，n⊥β，則m⊥n【解答】解：若m⊥α，α∥β，則m⊥β，又n⊥β，則m∥n，故A正確；若m∥α，α⊥β，則m?β或m∥β或m與β相交，相交也不一定垂直，故B錯(cuò)誤；若m⊥α，m⊥n，則n?α或n∥α，又n⊥β，則α⊥β，故C正確；若m?α，α∥β，則m∥β，又n⊥β，則m⊥n，故D正確．故選：B．8．（5分）若tanθ＝2，則sinθ(1-sin2θ)sinθ-cosθA．25 B．-25 C．6【解答】解：sinθ(1-sin2θ)sinθ-cosθ=sinθ(sinθ-cosθ)2sinθ-cosθ=sinθ故選：A．二、多選題（多選）9．（5分）下列關(guān)于圓柱的說法中，正確的是（）A．分別以矩形（非正方形）的長(zhǎng)和寬所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的兩個(gè)圓柱是兩個(gè)不同的圓柱 B．用平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是與底面全等的圓面 C．用一個(gè)不平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個(gè)圓面 D．以矩形的一組對(duì)邊中點(diǎn)的連線所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)180°而形成的面所圍成的幾何體是圓柱【解答】解：由旋轉(zhuǎn)體的定義可知，故選項(xiàng)A正確；由圓柱的結(jié)構(gòu)特征可知，用平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是與底面全等的圓面，故選項(xiàng)B正確；用一個(gè)不平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面不是圓面，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由旋轉(zhuǎn)體的定義可知，選項(xiàng)D正確．故選：ABD．（多選）10．（5分）下列四個(gè)命題中，錯(cuò)誤命題的是（）A．垂直于同一條直線的兩條直線相互平行 B．垂直于同一個(gè)平面的兩條直線相互平行 C．垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行 D．垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面互相平行【解答】解：對(duì)于A，垂直于同一直線的兩條直線相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由線面垂直的性質(zhì)得垂直于同一個(gè)平面的兩條直線相互平行，故B正確；對(duì)于C，由面面平行的判定定理得垂直于同一直線的兩個(gè)平面互相平行，故C正確；對(duì)于D，由面面平行的判定定理得垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面互相平行或相交，故D錯(cuò)誤．故答案為：AD．（多選）11．（5分）如圖所示，在4×4的方格中，點(diǎn)O，A，B，C均為小正方形的頂點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．OB→=OA→C．AC→=OB【解答】解：如圖所示，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則A（﹣1，4），B（3，5），C（4，1），所以O(shè)A→則OB→=OA|OA→|=(-1)所以|OA→|=|OCAC→=(5，-3)，OB→-2OCOA→?OB→=-3+20=17故選：AD．（多選）12．（5分）函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜πA．直線x=-2π3是函數(shù)f（xB．函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)(-π6C．函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-5πD．將函數(shù)f（x）的圖像向右平移π12個(gè)單位得到函數(shù)g(x)=sin(2x+【解答】解：由圖象可知，A＝1，且14T=7π12-π3，則函數(shù)f所以ω=2π又f(7π12)=-1而|φ|＜π則k=0，φ=π3，對(duì)于A，由于f(-2π3)=sin(-4π3+π3)=0對(duì)于B，由2x+π3=kπ，k∈Z，可得x=-π6+kπ2，k∈Z對(duì)于C，由-π2+2kπ≤2x+則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-5π12+kπ，對(duì)于D，g(x)=f(x-π12)=sin[2(x-故選：BCD．三、填空題13．（5分）已知sin(α+π2)=23，則cos2α【解答】解：sin(α+π2)=2所以cos2α＝2×49-故答案為：-114．（5分）已知sinα?cosα=38，且π4＜α＜π2，則cosα﹣sin【解答】解：因?yàn)閟inα?cosα=3又因?yàn)棣?所以cosα∈（0，22），sinα∈（2則cosα﹣sinα=-(cosα-sinα故答案為：-115．（5分）底面半徑為1，高為4的圓柱的側(cè)面積是8π．【解答】解：因?yàn)閳A柱的底面半徑為1，高為4，所以圓柱的側(cè)面積S側(cè)＝2πrl＝2π×1×4＝8π．故答案為：8π．16．（5分）如圖是一體積為72的正四面體，連接兩個(gè)面的重心E、F，則線段EF的長(zhǎng)是22【解答】解：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則正四面體的體積為212a＝62，EF=2故答案為：22四、解答題17．（10分）求函數(shù)y＝sinx+cosx，x∈[-5π12，【解答】解：y＝sinx+cosx=2sin（x+π4），∵x∈[-5π12，3π4]則當(dāng)x+π4=π2，即x=當(dāng)x+π4=-π6，即x=-18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足asinB+3bcos（B+C）＝0，a=（1）求A；（2）若b＝2，求△ABC的面積．【解答】解：（1）asinB+3bcos（B+C）＝0，可得sinAsinB-3sinBcos∴sinA=3cosA∴tanA=3∴A=π（2）因?yàn)锳=π3，a=19，b∴c＝5∴S=119．（12分）已知函數(shù)f(x)=2cos（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．（2）若x∈[0，π2]，求函數(shù)f（x【解答】解：（1）f(x)=2cos由f（x）max＝2+a＝1，解得a＝﹣1．由f(x)=2sin(x+π則2kπ+π2≤x+π6解得2kπ+π3≤x≤2kπ+4π3所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ+π3，2kπ+4π3（2）由x∈[0，π2]所以12所以0≤2sin(x+π所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，1]．20．（12分）如圖，棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝22．（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）求平面PCD和平面ABCD夾角的余弦值的大小．【解答】證明：（1）∵棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝22．∴PA⊥BD，AB=B∴ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．解：（2）∵棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝22．∴PA⊥CD，AD⊥CD，∴∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，∵PA＝AD＝2，PA⊥AD，∴∠PDA＝45°，∴cos∠PDA＝cos45°=2∴平面PCD和平面ABCD夾角的余弦值的大小為2221．（12分）已知M、N分別是底面為平行四邊形的四棱錐P﹣ABCD的棱AB、PC的中點(diǎn)，平面CMN與平面PAD交于PE．求證：（1）MN∥平面PAD；（2）MN∥PE．【解答】證明：（1）如圖，取DC的中點(diǎn)Q，連接MQ，NQ．∵N，Q分別是PC，DC的中點(diǎn)，∴NQ∥PD．∵NQ?平面PAD，PD?平面PAD，∴NQ∥平面PAD．∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形，∴MQ∥AD．又∵M(jìn)Q?平面PAD，AD?平面PAD，∴MQ∥平面PAD．∵M(jìn)Q∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PAD．∵M(jìn)N?平面MNQ，∴MN∥平面PAD．（2）∵平面MNQ∥平面PAD，且平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE∴MN∥PE．22．（12分）如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D為AB的中點(diǎn)，AB＝2，AA1＝3．（1）求證：平面A1CD⊥平面ABB1A1；（2）求點(diǎn)A到平面A1CD的距離．【解答】證明：（1）由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的結(jié)構(gòu)特征可得，AA1⊥平面ABC，又因?yàn)镃D?平面ABC，所以AA1⊥CD，在正三角形ABC中，D為AB的中點(diǎn)，所以AB⊥CD，又因?yàn)锳A1∩AB＝A，AA1，AB?平面ABB1A1，所以CD⊥平面ABB1A1，又因?yàn)镃D?平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面ABB1A1．解：（2）由（1）可知，CD⊥平面ABB1A1，又因?yàn)锳1D?平面ABB1A1，所以CD⊥A1D，在正三角形ABC中，CD=3在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，又因?yàn)锳D?平面ABC，所以AA1⊥AD，所以A1因?yàn)閂A所以點(diǎn)A到平面ACD的距離h=12022-2023學(xué)年廣東省廣州六中、二中、廣雅、省實(shí)、執(zhí)信五校聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑．1．（5分）已知復(fù)數(shù)z=1-2i1+i（i是虛數(shù)單位），則A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）已知平面向量a→與b→為單位向量，它們的夾角為π3A．2 B．3 C．5 D．73．（5分）已知函數(shù)f(x)=1x，x＞0x+2，x≤0，則方程f（x）﹣3A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）函數(shù)y＝sin（x+π3）sin（xA．π4 B．π2 C．π 5．（5分）下列不等式恒成立的是（）A．ba+abC．a(chǎn)+b≥2|ab| D．a(chǎn)2+b2≥﹣26．（5分）已知a，b是兩條不重合的直線，α，β，γ是三個(gè)不重合的平面，則下列命題正確的是（）A．若a∥α，β∥α，則a∥β B．若α⊥β，a⊥β，則a∥α C．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β D．若a∥α，b⊥α，則a⊥b7．（5分）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）為h．將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑為r的球，其上點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù)．如果地球表面上某一觀測(cè)點(diǎn)與該衛(wèi)星在同一條子午線（經(jīng)線）所在的平面，且在該觀測(cè)點(diǎn)能直接觀測(cè)到該衛(wèi)星．若該觀測(cè)點(diǎn)的緯度值為a，觀測(cè)該衛(wèi)星的仰角為β，則下列關(guān)系一定成立的是（）A．r+hcosβ=rcos(α+β)C．r+hsinβ=r8．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為2，M是BB1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體內(nèi)部或表面上，且MP∥平面AB1D1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所形成的區(qū)域面積是（）A．3 B．23 C．33 二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑．（多選）9．（5分）已知某地區(qū)某周7天每天的最高氣溫分別為23，25，13，10，13，12，19（單位℃）．則（）A．該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1157B．該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為13 C．該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為16 D．該組數(shù)據(jù)的極差為15（多選）10．（5分）把函數(shù)f（x）＝sinx的圖象向左平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)g（x）的圖象，下列關(guān)于函數(shù)g（A．最小正周期為π B．在區(qū)間[-π3，C．圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(-πD．圖象的一條對(duì)稱軸為直線x=（多選）11．（5分）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a2＝b（b+c），則下列結(jié)論正確的有（）A．A＝2B B．B的取值范圍為(0，πC．a(chǎn)b的取值范圍為(D．1tanB-（多選）12．（5分）如圖是一個(gè)正方體的側(cè)面展開圖，A，C，E，F(xiàn)是頂點(diǎn)，B，D是所在棱的中點(diǎn)，則在這個(gè)正方體中，下列結(jié)論正確的是（）A．BF與AE異面 B．BF∥平面ACD C．平面CDF⊥平面ABD D．DE與平面ABD所成的角的正弦值是2三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上．13．（5分）已知樹人中學(xué)高一年級(jí)總共有學(xué)生n人，其中男生550人，按男生、女生進(jìn)行分層，并按比例分配抽取n10名學(xué)生參加濕地保護(hù)知識(shí)競(jìng)賽，已知參賽學(xué)生中男生比女生多10人，則n＝14．（5分）在直角三角形ABC中，已知AC＝2，BC=23，∠C＝90°，以AC為旋轉(zhuǎn)軸將△ABC旋轉(zhuǎn)一周，AB、BC邊形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)圓錐，則經(jīng)過該圓錐任意兩條母線的截面三角形的面積的最大值為15．（5分）已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是1和2，所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，若球O的表面積為8π，則此正四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為．16．（5分）如圖是正八邊形ABCDEFGH，其中O是該正八邊形的中心，P是正八邊形ABCDEFGH八條邊上的動(dòng)點(diǎn)．若OA＝2，則該八邊形的面積為，OP→?AB四、解答題：本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．必須把解答過程寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無效17．（10分）已知函數(shù)f（x）＝sin（﹣2x）+cos（﹣2x），x∈R．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)f（x）在[0，π18．（12分）5月11日是世界防治肥胖日．我國(guó)超過一半的成年人屬于超重或肥胖，6～17歲的兒童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成為嚴(yán)重危害我國(guó)居民健康的公共衛(wèi)生問題．目前，國(guó)際上常用身體質(zhì)量指數(shù)（BodyMassIndex，縮寫B(tài)MI）來衡量人體胖瘦程度以及是否健康．我國(guó)成人的BMI數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)為：BMI＜18.5為偏瘦；18.5≤BMI＜24為正常；24≤BMI＜28為偏胖；BMI≥28為肥胖．為了解某公司員工的身體肥胖情況，研究人員從公司員工體檢數(shù)據(jù)中，采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取了60名男員工、40名女員工的身高和體重?cái)?shù)據(jù)，通過計(jì)算得到男女員工的BMI值并將女員工的BMI值繪制成如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求圖中a的值，并估計(jì)樣本中女員工BMI值的70%分位數(shù)；（2）已知樣本中男員工BMI值的平均數(shù)為22，試估計(jì)該公司員工BMI值的平均數(shù)．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿足2bcosC＝2a﹣c．（1）求角B；（2）如圖，若△ABC外接圓半徑為263，D為AC的中點(diǎn)，且BD＝2，求△20．（12分）近年來，我國(guó)在航天領(lǐng)域取得了巨大成就，得益于我國(guó)先進(jìn)的運(yùn)載火箭技術(shù)．據(jù)了解，在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下，可以用公式v=v0lnMm計(jì)算火箭的最大速度v（單位：m/s）．其中v0（單位m/s）是噴流相對(duì)速度，m（單位：kg）是火箭（除推進(jìn)劑外）的質(zhì)量，M（單位：kg）是推進(jìn)劑與火箭質(zhì)量的總和，Mm稱為“總質(zhì)比”，已知參考數(shù)據(jù)：ln230≈5.4，1.648＜e0.5＜1.649．（1）當(dāng)總質(zhì)比為230時(shí)，利用給出的參考數(shù)據(jù)求A型火箭的最大速度；（2）經(jīng)過材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，A型火箭的噴流相對(duì)速度提高到了原來的1.5倍，總質(zhì)比變?yōu)樵瓉淼?3，若要使火箭的最大速度增加500m/s，記此時(shí)在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前的總質(zhì)比為T，求不小于T21．（12分）如圖，已知四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為梯形，AB∥CD，PA＝PD＝PB，BC＝CD＝1，AB＝2，∠BCD=π3，直線PA與底面ABCD所成角為（1）若E為PD上一點(diǎn)且PE＝2ED，證明：PB∥平面ACE；（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．22．（12分）設(shè)a為正數(shù)，函數(shù)f（x）＝ax2+bx+c滿足f（0）＝1且f（x）＝f(2（1）若f（1）＝1，求f（x）；（2）設(shè)g（x）＝log2（x﹣2x+2），若對(duì)任意實(shí)數(shù)t，總存在x1，x2∈[t﹣1，t+1]，使得f（x1）﹣f（x2）≥g（x3）﹣g（x4）對(duì)所有x3，x4∈[14

2022-2023學(xué)年廣東省廣州六中、二中、廣雅、省實(shí)、執(zhí)信五校聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑．1．（5分）已知復(fù)數(shù)z=1-2i1+i（i是虛數(shù)單位），則A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：因?yàn)閦=1-2i1+i=因此，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(-1故選：B．2．（5分）已知平面向量a→與b→為單位向量，它們的夾角為π3A．2 B．3 C．5 D．7【解答】解：∵a→∴|2a故選：D．3．（5分）已知函數(shù)f(x)=1x，x＞0x+2，x≤0，則方程f（x）﹣3A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：令f（x）﹣3|x|＝0，得f（x）＝3|x|，則方程f（x）﹣3|x|＝0的解的個(gè)數(shù)即函數(shù)y＝f（x）與函數(shù)y＝3|x|的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．作出函數(shù)y＝f（x）與函數(shù)y＝3|x|的圖象，可知兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，故方程的解的個(gè)數(shù)為2個(gè)．故選：C．4．（5分）函數(shù)y＝sin（x+π3）sin（xA．π4 B．π2 C．π 【解答】解：∵函數(shù)y＝sin（x+π3）sin（x+π2）＝（12sinx+32cosx）?cosx=1=14sin2x+32?1+cos2x2=∴函數(shù)的最小正周期是2π2=故選：C．5．（5分）下列不等式恒成立的是（）A．ba+abC．a(chǎn)+b≥2|ab| D．a(chǎn)2+b2≥﹣2【解答】解：對(duì)于A：a，b異號(hào)是顯然不成立，∴A不正確；對(duì)于B：a，b異號(hào)是顯然不成立，∴B不正確；對(duì)于C：a，b均小于0時(shí)，顯然不成立，∴C不正確；對(duì)于D：∵（a+b）2≥0（a，b∈R），∴a2+b2≥﹣2ab（a，b∈R），∴D正確；故選：D．6．（5分）已知a，b是兩條不重合的直線，α，β，γ是三個(gè)不重合的平面，則下列命題正確的是（）A．若a∥α，β∥α，則a∥β B．若α⊥β，a⊥β，則a∥α C．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β D．若a∥α，b⊥α，則a⊥b【解答】解：對(duì)于A：若a∥α，β∥α，則a∥β或a?β，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若α⊥β，a⊥β，則a∥α或a?α，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β或α與β相交；故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若a∥α，則過a作平面δ，δ∩α＝m，則a∥m，由b⊥α，則b⊥m，則a⊥b，故D正確．故選：D．7．（5分）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）為h．將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑為r的球，其上點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù)．如果地球表面上某一觀測(cè)點(diǎn)與該衛(wèi)星在同一條子午線（經(jīng)線）所在的平面，且在該觀測(cè)點(diǎn)能直接觀測(cè)到該衛(wèi)星．若該觀測(cè)點(diǎn)的緯度值為a，觀測(cè)該衛(wèi)星的仰角為β，則下列關(guān)系一定成立的是（）A．r+hcosβ=rcos(α+β)C．r+hsinβ=r【解答】解：如圖所示，∠B=π由正弦定理可得OAsinB即rsin(化簡(jiǎn)得rcos(α+β)故選：A．8．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為2，M是BB1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體內(nèi)部或表面上，且MP∥平面AB1D1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所形成的區(qū)域面積是（）A．3 B．23 C．33 【解答】解：如圖所示，E，F(xiàn)，G，H，N分別為B1C1，C1D1，DD1，DA，AB的中點(diǎn)，則EF∥B1D1∥NH，MN∥B1A∥FG，∴平面MEFGHN∥平面AB1D1，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是六邊形MEFGHN及其內(nèi)部．∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為2，∴EF＝FG＝GH＝HN＝NM＝ME=2即六邊形EFGHNM是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，則其面積S=6×1故選：C．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑．（多選）9．（5分）已知某地區(qū)某周7天每天的最高氣溫分別為23，25，13，10，13，12，19（單位℃）．則（）A．該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1157B．該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為13 C．該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為16 D．該組數(shù)據(jù)的極差為15【解答】解：將23，25，13，10，13，12，19從小到大排列為10，12，13，13，19，23，25，對(duì)于A，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為23+25+13+10+13+12+197=115對(duì)于B，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為13，故B正確；對(duì)于C，由7×70%＝4.9，則該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為從小到大排列的第5個(gè)數(shù)，是19，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，該組數(shù)據(jù)的極差為25﹣10＝15，故D正確．故選：ABD．（多選）10．（5分）把函數(shù)f（x）＝sinx的圖象向左平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)g（x）的圖象，下列關(guān)于函數(shù)g（A．最小正周期為π B．在區(qū)間[-π3，C．圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(-πD．圖象的一條對(duì)稱軸為直線x=【解答】解：f（x）＝sinx的圖象向左平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)g（x）＝sin（2x所以函數(shù)的最小正周期為π，當(dāng)x=π故選：AD．（多選）11．（5分）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a2＝b（b+c），則下列結(jié)論正確的有（）A．A＝2B B．B的取值范圍為(0，πC．a(chǎn)b的取值范圍為(D．1tanB-【解答】解：因?yàn)閍2＝b（b+c），又由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，即b（b+c）＝b2+c2﹣2bccosA，所以bc＝c2﹣2bccosA，所以b＝c﹣2bcosA，即c﹣b＝2bcosA，由正弦定理可得sinC﹣sinB＝2sinBcosA，又sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB+cosAsinB﹣sinB＝2sinBcosA，即sinAcosB﹣sinB＝sinBcosA，∴sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）＝sinB，∵A，B，C為銳角，∴A﹣B＝B，即A＝2B，故選項(xiàng)A正確；∵0＜2B＜π20＜π-3B＜π2∵ab=sinA∵1tanB又π3＜A＜π令t＝sinA（32＜t＜1），則由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，f(t)=1t+2t又f(3∴1tanB-1故選：AC．（多選）12．（5分）如圖是一個(gè)正方體的側(cè)面展開圖，A，C，E，F(xiàn)是頂點(diǎn)，B，D是所在棱的中點(diǎn)，則在這個(gè)正方體中，下列結(jié)論正確的是（）A．BF與AE異面 B．BF∥平面ACD C．平面CDF⊥平面ABD D．DE與平面ABD所成的角的正弦值是2【解答】解：由展開圖還原正方體如下圖所示，其中B，D分別為NP，AM中點(diǎn)，對(duì)于A，∵AE∩平面EFPN＝E，BF?平面EFPN，E?BF，∴AE與BF為異面直線，A正確；對(duì)于B，連接BD，DG，∵B，D分別為AM，NP中點(diǎn)，∴BD∥AP，BD＝AP，又AP∥FG，AP＝FG，∴BD∥FG，BD＝FG，∴四邊形BDGF為平行四邊形，∴BF∥DG，又BF?平面ACD，DG?平面ACD，∴BF∥平面ACD，B正確；對(duì)于C，假設(shè)平面CDF⊥平面ABD成立，∵AG⊥平面ABD，AG?平面ABD，∴AG∥平面CDF，∵AG?平面AGCM，平面AGCM∩平面CDF＝CD，∴AG∥CD，顯然不成立，∴假設(shè)錯(cuò)誤，平面CDF與平面ABD不垂直，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，連接DN，直線DE與平面ABD所成角即為直線DE與平面AMNP所成角，∵EN⊥平面AMNP，∴∠EDN即為直線DE與平面AMNP所成角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，∵DE=E∴sin∠EDN=NEDE=23，即直線DE與平面ABD故選：ABD．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上．13．（5分）已知樹人中學(xué)高一年級(jí)總共有學(xué)生n人，其中男生550人，按男生、女生進(jìn)行分層，并按比例分配抽取n10名學(xué)生參加濕地保護(hù)知識(shí)競(jìng)賽，已知參賽學(xué)生中男生比女生多10人，則n＝1000【解答】解：樹人中學(xué)高一年級(jí)總共有學(xué)生n人，其中男生550人，按男生、女生進(jìn)行分層，并按比例分配抽取n10已知參賽學(xué)生中男生比女生多10人，按比例分配抽取n10則參賽學(xué)生中男生人數(shù)為550×1參賽學(xué)生中女生人數(shù)為55﹣10＝45人，∴n＝（55+45）×10＝1000．故答案為：1000．14．（5分）在直角三角形ABC中，已知AC＝2，BC=23，∠C＝90°，以AC為旋轉(zhuǎn)軸將△ABC旋轉(zhuǎn)一周，AB、BC邊形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)圓錐，則經(jīng)過該圓錐任意兩條母線的截面三角形的面積的最大值為8【解答】解：如圖，圓錐任意兩條母線為AB，AD，則截面為等腰△ABD，∴截面面積為S△ABD=12×AB×AD由圖可知當(dāng)截面為圓錐軸截面時(shí)，∠BAD最大，最大為120°，∴∠BAD∈（0°，120°），∴sin∠BAD最大值為1，∵AB＝AD=A∴當(dāng)sin∠BAD最大時(shí)截面面積最大，∴截面面積最大為12故答案為：8．15．（5分）已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是1和2，所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，若球O的表面積為8π，則此正四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為2．【解答】解：設(shè)上下底面互相平行的兩對(duì)角線分別為DC，AB，則由球O的表面積為8π，可得球O的半徑R=2又正四棱臺(tái)的上下底面邊長(zhǎng)分別是1和2，故DC=2，AB＝22所以球O的球心正好在AB中點(diǎn)，故OA＝OB＝OC＝OD=2，所以△ODC是正三角形，故∠ODC＝∠DOC＝60°，所以△ODA故此正四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)AD＝OA=2故答案為：2．16．（5分）如圖是正八邊形ABCDEFGH，其中O是該正八邊形的中心，P是正八邊形ABCDEFGH八條邊上的動(dòng)點(diǎn)．若OA＝2，則該八邊形的面積為82，OP→?AB→的最小值為【解答】解：在正八邊形ABCDEFGH中，OB=OA=2，∠AOB=π所以正八邊形ABCDEFGH的面積為8S因?yàn)锳B所以AB=8-42，又cos3π所以O(shè)A→?AB因?yàn)镺P→?AB→=(OA又設(shè)?AP所以AP→?AB→=|又|AP→|cosθ表示向量AP→在向量點(diǎn)P不可能在路徑BCDE上（在此路徑上θ為銳角），所以點(diǎn)P在路徑EFGHAB上，延長(zhǎng)BA與GH，延長(zhǎng)線交于M點(diǎn)，則AMH為等腰直角三角形，且MA=MH=2所以BM=2所以當(dāng)點(diǎn)P在GH上時(shí)，向量AP1→在向量AB即|AP所以(AP所以(OP故答案為：82四、解答題：本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．必須把解答過程寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無效17．（10分）已知函數(shù)f（x）＝sin（﹣2x）+cos（﹣2x），x∈R．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)f（x）在[0，π【解答】解：（1）因?yàn)閒(x)=cos2x-sin2x=2由題意得：T=2π|ω|-由2kπ?2x+π解得：-π故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[-π（2）由x∈[0，π2]∴cos(2x+π∴f（x）在區(qū)間[0，π2]當(dāng)cos(2x+π4)=-1，即2x+π418．（12分）5月11日是世界防治肥胖日．我國(guó)超過一半的成年人屬于超重或肥胖，6～17歲的兒童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成為嚴(yán)重危害我國(guó)居民健康的公共衛(wèi)生問題．目前，國(guó)際上常用身體質(zhì)量指數(shù)（BodyMassIndex，縮寫B(tài)MI）來衡量人體胖瘦程度以及是否健康．我國(guó)成人的BMI數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)為：BMI＜18.5為偏瘦；18.5≤BMI＜24為正常；24≤BMI＜28為偏胖；BMI≥28為肥胖．為了解某公司員工的身體肥胖情況，研究人員從公司員工體檢數(shù)據(jù)中，采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取了60名男員工、40名女員工的身高和體重?cái)?shù)據(jù)，通過計(jì)算得到男女員工的BMI值并將女員工的BMI值繪制成如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求圖中a的值，并估計(jì)樣本中女員工BMI值的70%分位數(shù)；（2）已知樣本中男員工BMI值的平均數(shù)為22，試估計(jì)該公司員工BMI值的平均數(shù)．【解答】解：（1）由題意，2×（0.08+0.13+a+0.06+0.07+0.02+0.01+0.03）＝1，解得a＝0.10，因?yàn)?×（0.08+0.13+0.10）＝0.62＜0.7，2×（0.08+0.13+0.10+0.06）＝0.74＞0.7，故70%分位數(shù)在[22，24）之間，設(shè)為x，則0.62+0.06×（x﹣22）＝0.7，解得x=70故估計(jì)樣本中女員工BMI值的中位數(shù)為703（2）由題意，樣本中女員工BMI值的平均數(shù)為：2×（17×0.08+19×0.13+21×0.10+23×0.06+25×0.07+27×0.02+29×0.01+31×0.03）＝21.64，故估計(jì)該公司員工BMI值的平均數(shù)x=119．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿足2bcosC＝2a﹣c．（1）求角B；（2）如圖，若△ABC外接圓半徑為263，D為AC的中點(diǎn)，且BD＝2，求△【解答】解：（1）因?yàn)?bcosC＝2a﹣c，由余弦定理可得2b?a2+b2-整理可得：a2+c2﹣b2＝ac，再由余弦定理可得a2+c2﹣b2＝2accosB，可得cosB=12，B∈（0，可得B=π（2）設(shè)△ABC外接圓半徑為263，設(shè)外接圓的半徑為r，由正弦定理可得：bsinB由（1）可得AC＝b＝2×263D為AC的中點(diǎn)，可得AD＝CD=12AC在△ABC中，由余弦定理可得cosB=a可得a2+c2﹣b2＝ac，可得（a+c）2＝b2+3ac＝8+3ac，①而BD＝2，在△ADC中，由余弦定理可得cos∠ADC=A在△BCD中，由余弦定理可得cos∠BDC=D又因?yàn)椤螦DC，∠BDC互為補(bǔ)角，所以cos∠ADC+cos∠BDC＝0，所以6﹣AB2+6﹣BC2＝0，即a2+c2＝12，所以（a+c）2＝12+2ac②，由①②可得a+c＝25，所以△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c＝25+2220．（12分）近年來，我國(guó)在航天領(lǐng)域取得了巨大成就