8　圓內(nèi)接正多邊形

第頁(yè)8圓內(nèi)接正多邊形關(guān)鍵問(wèn)答①正n邊形的中心角是多少度？②連接正六邊形的中心和任意兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)得到的三角形是一個(gè)什么樣的三角形？③解決與圓內(nèi)接正多邊形的有關(guān)計(jì)算題，應(yīng)如何添加輔助線？1.①2019·株洲下列圓的內(nèi)接正多邊形中，一條邊所對(duì)的圓心角最大的圖形是()A．正三角形B．正方形C．正五邊形D．正六邊形2．利用等分圓的方法可以作正多邊形，下列只利用直尺和圓規(guī)不能作出的多邊形是()A．正三角形B．正方形C．正六邊形D．正七邊形3．②③已知正六邊形的半徑為r，則它的邊長(zhǎng)、邊心距、面積分別為()A.eq\f(2\r(3),3)r，r，eq\r(3)r2B．r，eq\f(r,2)，2eq\r(3)r2C.eq\f(\r(3),3)r，r，eq\r(3)r2D．r，eq\f(\r(3)r,2)，eq\f(3\r(3),2)r24．如圖3－8－1，正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，若AB＝2eq\r(3)cm，求⊙O的半徑．圖3－8－1命題點(diǎn)1正多邊形的畫(huà)法[熱度：87%]5．如圖3－8－2，要在一個(gè)圓形紙板上截出一個(gè)面積最大的正方形，試用尺規(guī)作出這個(gè)正方形(不要求寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)．圖3－8－26.④如圖3－8－3，已知⊙O和⊙O上的一點(diǎn)A，作⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF.圖3－8－3解題突破④正六邊形的半徑與其外接圓的半徑有什么關(guān)系？命題點(diǎn)2與圓內(nèi)接正多邊形有關(guān)的計(jì)算[熱度：81%]7．⑤如圖3－8－4，正六邊形DEFGHI的頂點(diǎn)分別在等邊三角形ABC的各邊上，則eq\f(S陰影,S△ABC)的值為()圖3－8－4A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,2)解題突破⑤根據(jù)正六邊形的每一個(gè)內(nèi)角是120°得到△ADI是什么三角形？得到eq\f(AD,AB)的值是多少？8.⑥如圖3－8－5，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，過(guò)點(diǎn)A的切線與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，則∠F的度數(shù)是()圖3－8－5A．18°B．36°C．54°D．72°解題突破⑥連接OA，OB,你能求出∠AOB,∠BAF,∠ABF的度數(shù)嗎？9．2019·達(dá)州以半徑為2的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為三邊作三角形，則該三角形的面積是()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(2)D.eq\r(3)10.⑦如圖3－8－6，A，B，C在⊙O上，AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，BC是⊙O內(nèi)接正十邊形的一邊，若AC是⊙O內(nèi)接正n邊形的一邊，則n等于()圖3－8－6A．12B．15C．18D．20解題突破⑦連接OA，OC，OB，你能求出∠AOC的度數(shù)嗎？11.⑧2019·玉林如圖3－8－7，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)是6＋4eq\r(3)，點(diǎn)O1，O2分別是△ABF，△CDE的內(nèi)心，則O1O2＝________．圖3－8－7方法點(diǎn)撥⑧解決正六邊形問(wèn)題，往往需要作輔助線將其轉(zhuǎn)換為三角形問(wèn)題進(jìn)行求解.命題點(diǎn)3與圓內(nèi)接正多邊形有關(guān)的證明[熱度：80%]12．如圖3－8－8，已知⊙O的內(nèi)接正十邊形ABCD…，AD與OB，OC分別交于點(diǎn)M，N.圖3－8－8求證：(1)MN∥BC；(2)MN＋BC＝OB.13.⑨如圖3－8－9，在⊙O的內(nèi)接等腰三角形ABC中，AB＝AC，弦BD，CE分別平分∠ABC，∠ACB，BE＝BC.(1)求證：五邊形AEBCD是正五邊形；(2)若BD，CE相交于點(diǎn)F，試判斷四邊形AEFD的形狀，并證明你的結(jié)論．圖3－8－9知識(shí)鏈接⑨(1)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；(2)各邊相等，各角相等的五邊形是正五邊形.命題點(diǎn)4與正多邊形有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用[熱度：79%]14.⑩如圖3－8－10①是一個(gè)寶塔，它的地基邊緣是周長(zhǎng)為26m的正五邊形ABCDE(如圖3－8－10②)，點(diǎn)O為中心．(1)求地基的中心到邊緣的距離(結(jié)果精確到0.1m)；(2)已知塔的墻體寬1m，現(xiàn)要在塔的底層中心建一圓形底座的塑像，并且留出最窄處為1.6m的觀光通道，則塑像底座的半徑最大是多少？圖3－8－10模型建立⑩從實(shí)際問(wèn)題中建立正多邊形模型，并構(gòu)造直角三角形，借助三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算.15.?如圖3－8－11①②③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE分別是⊙O的內(nèi)接三角形、內(nèi)接四邊形、內(nèi)接五邊形，點(diǎn)M，N分別從點(diǎn)B，C開(kāi)始，以相同的速度在⊙O上做逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，AM與BN交于點(diǎn)P.(1)求圖①中∠APB的度數(shù)．(2)圖②中∠APB的度數(shù)是________，圖③中∠APB的度數(shù)是________．(3)根據(jù)前面的探索，你能否由本題推出一般的正n邊形的情況？若能，請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖3－8－11方法點(diǎn)撥?從特殊到一般發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再?gòu)囊话愕教厥怛?yàn)證規(guī)律.16.?盼盼同學(xué)在學(xué)習(xí)正多邊形時(shí)，發(fā)現(xiàn)了以下一組有趣的結(jié)論：(1)若P是正三角形ABC的外接圓eq\o(BC,\s\up8(︵))上的一點(diǎn)，則PB＋PC＝PA；(2)若P是正四邊形ABCD的外接圓eq\o(BC,\s\up8(︵))上的一點(diǎn)，則PB＋PD＝eq\r(2)PA；(3)若P是正五邊形ABCDE的外接圓eq\o(BC,\s\up8(︵))上的一點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)PB＋PE與PA有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出結(jié)論，并加以證明；(4)若P是正n邊形A1A2A3…An的外接圓eq\o(A2A3,\s\up8(︵))上的一點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)PA2＋PAn與PA1又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出結(jié)論，不要求證明．圖3－8－12方法點(diǎn)撥?解決正多邊形問(wèn)題時(shí)，通常需要作輔助線構(gòu)造直角三角形，借助三角函數(shù)加以計(jì)算.

詳解詳析1．A2．D[解析]利用圓的半徑即可將圓等分成6份，這樣就能得出正三角形，也可以得出正六邊形；作兩條互相垂直的直徑即可得到圓的4等分點(diǎn)，連接各分點(diǎn)可得出正方形；但是無(wú)法只利用直尺與圓規(guī)將圓7等分，故無(wú)法得到正七邊形．3．D4．解：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，連接BO.∵正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，∴點(diǎn)O既是三角形的內(nèi)心也是外心，∴∠OBD＝30°，BD＝CD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(3)cm，∴cos30°＝eq\f(BD,BO)＝eq\f(\r(3),BO)＝eq\f(\r(3),2)，解得BO＝2cm，即⊙O的半徑為2cm.5．解：①作兩條弦AB，BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心O;②作直徑DE，作直徑DE的垂直平分線，交圓O于點(diǎn)F，G；③順次連接D，G，E，F(xiàn)，四邊形DGEF即為所求，如圖所示．6．解：如圖，首先作直徑AD，然后分別以點(diǎn)A，D為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與⊙O分別交于點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E，連接AB，BC，CD，DE，EF，AF，則正六邊形ABCDEF即為所求．7．C[解析]∵六邊形DEFGHI是正六邊形，∴∠EDI＝120°，∴∠ADI＝60°，∴△ADI是等邊三角形，∴AD＝DE.同理，BE＝DE，∴AD＝DE＝BE，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3)，∴S△ADI＝eq\f(1,9)S△ABC，同理，S△BEF＝eq\f(1,9)S△ABC，S△CGH＝eq\f(1,9)S△ABC，∴eq\f(S陰影,S△ABC)＝eq\f(S△ABC－3×\f(1,9)S△ABC,S△ABC)＝eq\f(2,3).故選C.8．D[解析]連接OA，OB.∵AF是⊙O的切線，∴∠OAF＝90°.∵正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，∴∠AOB＝eq\f(360°,5)＝72°.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝54°，∴∠BAF＝90°－54°＝36°.∵∠ABF＝eq\f(360°,5)＝72°，∴∠F＝180°－36°－72°＝72°.故選D.9．A10．B[解析]連接OC，OA，OB.∵AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，∴∠AOB＝360°÷6＝60°.∵BC是⊙O內(nèi)接正十邊形的一邊，∴∠BOC＝360°÷10＝36°，∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－36°＝24°，∴n＝360°÷24°＝15.故選B.11．12＋4eq\r(3)[解析]過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BF于點(diǎn)M，連接O1F，O1B.∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠FAB＝120°，AF＝AB，∴點(diǎn)A，O，M在一條直線上，∠AFB＝∠ABF＝eq\f(1,2)×(180°－120°)＝30°，∴△ABF中BF邊上的高AM＝eq\f(1,2)AF＝eq\f(1,2)×(6＋4eq\r(3))＝3＋2eq\r(3)，F(xiàn)M＝BM＝eq\r(3)AM＝3eq\r(3)＋6，∴BF＝3eq\r(3)＋6＋3eq\r(3)＋6＝12＋6eq\r(3).設(shè)△ABF的內(nèi)切圓的半徑為r，∵S△ABF＝S△AO1F＋S△AO1B＋S△BFO1，∴eq\f(1,2)×(3＋2eq\r(3))×(6eq\r(3)＋12)＝eq\f(1,2)×(6＋4eq\r(3))×r＋eq\f(1,2)×(6＋4eq\r(3))×r＋eq\f(1,2)×(12＋6eq\r(3))×r，解得r＝3，即O1M＝r＝3，∴O1O2＝2×3＋6＋4eq\r(3)＝12＋4eq\r(3).12．證明：(1)如圖，連接OA，OD.∵BC，CD為⊙O的內(nèi)接正十邊形的邊長(zhǎng)，∴∠BOC＝∠COD＝36°，∴∠BOD＝72°，∴∠BAD＝eq\f(1,2)∠BOD＝36°.∵OB＝OC，∴∠1＝∠2＝eq\f(1,2)×(180°－36°)＝72°.同理可得∠3＝72°，∴∠ABC＝∠1＋∠3＝144°，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∴AD∥BC，即MN∥BC.(2)∵∠BAD＝36°，∠3＝72°，∴∠AMB＝180°－∠BAD－∠3＝72°，∴∠OMN＝∠AMB＝72°.∵∠OMN＝∠AOM＋∠OAM，∴∠OAM＝36°，∴OM＝AM.在△OMN和△AMB中，∠MON＝∠MAB，OM＝AM，∠OMN＝∠AMB，∴△OMN≌△AMB，∴MN＝MB，ON＝AB.∵OM＝ON，∴OB＝OM＋BM＝AB＋MN.∵AB＝BC，∴MN＋BC＝OB.13．解：(1)證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵BD，CE分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ECB＝∠ACE.∵BE＝BC，∴eq\o(BE,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∴∠BEC＝∠BCE.∵∠BAC＝∠BEC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ECB＝∠ACE＝∠BAC，∴eq\o(AE,\s\up8(︵))＝eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(DC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(BE,\s\up8(︵))，∴AE＝AD＝DC＝BC＝BE，∴五邊形AEBCD是正五邊形．(2)四邊形AEFD是菱形．理由如下：∵五邊形AEBCD是正五邊形，∴∠EBC＝∠EAD＝∠AEB＝∠ADC＝∠BCD＝108°.∵BC＝DC，∴∠CBD＝∠BDC＝36°，∴∠ADB＝72°，∴∠EAD＋∠ADB＝180°，∴AE∥BD，同理可得：EC∥AD，∴四邊形AEFD是平行四邊形．又∵AE＝AD，∴四邊形AEFD是菱形．14．解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，連接OA，OB，則OM為邊心距，∠AOB是中心角．由正五邊形的性質(zhì)得∠AOB＝360°÷5＝72°.又AB＝eq\f(1,5)×26＝5.2(m)，所以AM＝2.6m，∠AOM＝36°.在Rt△AMO中，邊心距OM＝eq\f(AM,tan36°)＝eq\f(2.6,tan36°)≈3.6(m)．所以地基的中心到邊緣的距離約為3.6m.(2)3.6－1－1.6＝1(m)．所以塑像底座的半徑最大約為1m.15．解：(1)∵△ABC是正三角形，∴∠ABC＝60°.∵點(diǎn)M，N分別從點(diǎn)B，C開(kāi)始以相同的速度在⊙O上做逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠APB＝180°－∠ABN－∠BAM＝180°－∠ABN－∠CBN＝180°－∠ABC＝120°.(2)90°72°(3)能．圖中∠APB＝eq\f(360°,n).16．解：(3)PB＋PE與PA滿足的數(shù)量關(guān)系是：PB＋PE＝2PA·cos36°.理由：連接OA，OE，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥PB于點(diǎn)M，AN⊥PE于點(diǎn)N.因?yàn)椤螦PM＝∠APN，所以Rt△AMP≌Rt△ANP，所以AM＝AN，PM＝PN.因?yàn)锳B＝AE，所以Rt△AMB≌Rt△ANE，所以MB＝NE，所以PB＋PE＝(PM－MB)＋(PN＋NE)＝2PN.因?yàn)椤螦PE＝eq\f(1,2)∠AOE，且五邊形ABCDE為正五邊形，所以∠AOE＝e