2022-2023學(xué)年江蘇省南京市九校聯(lián)合體高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷含答案

2022-2023學(xué)年江蘇省南京市九校聯(lián)合體高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）i2022的值為（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i2．（5分）數(shù)據(jù)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位數(shù)為（）A．6 B．6.5 C．7 D．5.53．（5分）向量a→與b→不共線，AB→=a→+kb→，AC→=la→+b→（A．k+l＝0 B．k﹣l＝0 C．kl+1＝0 D．kl﹣1＝04．（5分）一個圓錐的側(cè)面展開圖恰好是一個半徑為1的半圓，則該圓錐的表面積為（）A．3π4 B．π2 C．π45．（5分）已知向量a→=(cosθ，sinθ)，b→=(2，-1)，若A．﹣3 B．-13 C．16．（5分）從長度為2，4，6，8，10的5條線段中任取3條，則這三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為（）A．15 B．310 C．257．（5分）在△ABC中，下列命題正確的個數(shù)是（）①AB→②AB→③若（AB→-AC→）?（④AC→?AB→＞A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）已知銳角△ABC，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sin2B﹣sin2A＝sinA?sinC，c＝3，則a的取值范圍是（）A．（23，2） B．（1，2） C．（1，3） D．（3二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。（多選）9．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z＝i+2i2，則下列結(jié)論正確的是（）A．z的共軛復(fù)數(shù)為2﹣i B．z的虛部為1 C．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限 D．|z+1|=（多選）10．（5分）下列說法中錯誤的是（）A．已知a→=(1，2)，b→=(1，1)，且aB．向量e1→=(2，-3)，C．若a→∥b→，則存在唯一實數(shù)D．非零向量a→和b→滿足|a→|=|b（多選）11．（5分）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件A＝“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件B＝“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件C＝“兩枚骰子出現(xiàn)點數(shù)和為8”，事件D＝“兩枚骰子出現(xiàn)點數(shù)和為9”，則（）A．A與B互斥 B．C與D互斥 C．A與D獨立 D．B與C獨立（多選）12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A＝45°，c＝2，下列說法正確的是（）A．若a=3，△ABCB．若a＝3，△ABC有兩解 C．若△ABC為銳角三角形，則b的取值范圍是(2D．若△ABC為鈍角三角形，則b的取值范圍是(0，三、填空題：本題共4小題，每小題5分，13．（5分）設(shè)有兩組數(shù)據(jù)：x1，x2，…xn與y1，y2，…yn，它們之間存在關(guān)系式：yi＝axi+b（i＝1，2…，n，其中a，b非零常數(shù)），若這兩組數(shù)據(jù)的方差分別為σx2和σy2，則σx2和σy2之間的關(guān)系是．14．（5分）邊長為5、7、8的三角形的最大角與最小角之和為．15．（5分）已知向量a→=(2，1)，b→=(x，2)，若b→在a→16．（5分）如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為12，該紙片，上的正方形ABCD的中心為O，E，F(xiàn)，G，H為圓O上的點，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分別是以AB，BC，CD，DA為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以AB，BC，CD，DA為折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH使得點E，F(xiàn)，G，H重合，得到一個四棱錐．當(dāng)該四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍時，該四棱錐的外接球的表面積為．四、解答題：本題共6小題，其中第17題10分，其余各題為12分，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）設(shè)ω=-1（1）求證：1+ω+ω2＝0；（2）計算：（1+ω﹣ω2）（1﹣ω+ω2）．18．（12分）已知sinα=45，α∈(π2，π)（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求cos（α+β）的值．19．（12分）為測量地形不規(guī)則的一個區(qū)域的徑長AB，采用間接測量的方法，如圖，陰影部分為不規(guī)則地形，利用激光儀器和反光規(guī)律得到∠ACB＝∠DCB，∠ACD為鈍角，AC＝5，AD＝7，sin∠ADC=2（1）求sin∠ACB的值；（2）若測得∠BDC＝∠BCD，求待測徑長AB．20．（12分）社會的進步與發(fā)展，關(guān)鍵在于人才，引進高素質(zhì)人才對社會的發(fā)展具有重大作用．某市進行人才引進，需要進行筆試和面試，一共有200名應(yīng)聘者參加筆試，他們的筆試成績都在[40，100]內(nèi)，將筆試成績按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分組，得到如圖所示頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）求全體應(yīng)聘者筆試成績的眾數(shù)和平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點值為代表）；（3）若計劃面試150人，請估計參加面試的最低分?jǐn)?shù)線．21．（12分）如圖，三棱錐A﹣BCD中，△ABC為等邊三角形，且面ABC⊥面BCD，CD⊥BC．（1）求證：CD⊥AB；（2）當(dāng)AD與平面BCD所成角為45°時，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．22．（12分）設(shè)△ABC是邊長為1的正三角形，點P1，P2，P3四等分線段BC（如圖所示）．（1）求AB→（2）Q為線段AP1上一點，若AQ→=mAB（3）P為邊BC上一動點，當(dāng)PA→?PC

2022-2023學(xué)年江蘇省南京市九校聯(lián)合體高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）i2022的值為（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【解答】解：∵i2022＝i2＝﹣1．故選：B．2．（5分）數(shù)據(jù)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位數(shù)為（）A．6 B．6.5 C．7 D．5.5【解答】解：由題意可知，共有10個數(shù)字，則第60百分位數(shù)的位置為10×60%＝6，即在第6位和第7位上的數(shù)字和的平均數(shù)5+62故選：D．3．（5分）向量a→與b→不共線，AB→=a→+kb→，AC→=la→+b→（A．k+l＝0 B．k﹣l＝0 C．kl+1＝0 D．kl﹣1＝0【解答】解：∵a→，b→不共線，∴l(xiāng)a∴存在實數(shù)λ，使a→∴λl=1k=λ，∴kl故選：D．4．（5分）一個圓錐的側(cè)面展開圖恰好是一個半徑為1的半圓，則該圓錐的表面積為（）A．3π4 B．π2 C．π4【解答】解：依題意，設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，母線長為l＝1，則l2＝r2+h2＝1，底面周長為2πr=1則r=1∴h=1-(∴該圓錐的表面積為S＝πr2+πrl=π故選：A．5．（5分）已知向量a→=(cosθ，sinθ)，b→=(2，-1)，若A．﹣3 B．-13 C．1【解答】解：因為向量a→=(cosθ，sinθ)，b→所以﹣cosθ﹣2sinθ＝0，可得tanθ=-1則tan(θ+π故選：C．6．（5分）從長度為2，4，6，8，10的5條線段中任取3條，則這三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為（）A．15 B．310 C．25【解答】解：從長度為2，4，6，8，10的5條線段中任取3條，共有C5而取出的三條線段能構(gòu)成一個三角形的情況有4，6，8和4，8，10以及6，8，10，共3種，故這三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為P=3故選：B．7．（5分）在△ABC中，下列命題正確的個數(shù)是（）①AB→②AB→③若（AB→-AC→）?（④AC→?AB→＞A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①AB→-AC②AB→+BC③若（AB→-AC→）?（所以|AB→|=|AC→④AC→?AB→＞但是則△ABC不一定是銳角三角形．所以④不正確．故選：B．8．（5分）已知銳角△ABC，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sin2B﹣sin2A＝sinA?sinC，c＝3，則a的取值范圍是（）A．（23，2） B．（1，2） C．（1，3） D．（3【解答】解：∵sin2B﹣sin2A＝sinA?sinC，∴由正弦定理可得b2﹣a2＝ac，∵由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得a2+c2﹣2accosB＝a2+ac，又c＝3，∴可得a=3∵銳角△ABC中，B∈（0，π2所以cosB∈（0，1），所以a=31+2cosB因為cosC=a所以a2+b2＞c2，又b2﹣a2＝ac，所以2a2+ac﹣c2＞0，所以2a2+3a﹣9＞0，即（2a﹣3）（a+3）＞0，解得a＞所以a∈（32故選：D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。（多選）9．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z＝i+2i2，則下列結(jié)論正確的是（）A．z的共軛復(fù)數(shù)為2﹣i B．z的虛部為1 C．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限 D．|z+1|=【解答】解：z＝i+2i2＝﹣2+i，對于A，z=-2-i，故A對于B，z的虛部為1，故B正確，對于C，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點（﹣2，1）位于第二象限，故C正確，對于D，z+1＝﹣2+i+1＝﹣1+i，則|z+1|=(-1)2故選：BCD．（多選）10．（5分）下列說法中錯誤的是（）A．已知a→=(1，2)，b→=(1，1)，且aB．向量e1→=(2，-3)，C．若a→∥b→，則存在唯一實數(shù)D．非零向量a→和b→滿足|a→|=|b【解答】解：A.a→+λb→=(1+λ，2+λ)，∵a→與a→∴1+λ+2(2+λ)＞02+λ-2(1+λ)≠0，解得λ＞-53∴λ∈(-53，0)∪(0，+∞)B．∵e1→=4e2→，∴C．若a→∥b→，且b→≠0D．如圖，作OA→=a∵|a→|=|∴a→與a→+故選：ACD．（多選）11．（5分）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件A＝“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件B＝“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件C＝“兩枚骰子出現(xiàn)點數(shù)和為8”，事件D＝“兩枚骰子出現(xiàn)點數(shù)和為9”，則（）A．A與B互斥 B．C與D互斥 C．A與D獨立 D．B與C獨立【解答】解：對于A，記（x，y）表示事件“第一枚點數(shù)為x，第二枚點數(shù)為y”，則事件A包含事件（1，2），事件B也包含事件（1，2），所以A∩B≠?，故A與B不互斥，故A錯誤；對于B，事件C包含的基本事件有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5件，事件D包含的基本事件有（3，6），（4，5），（5，4），（6，3）共4件，故C∩D＝?，即C與D互斥，故B正確；對于C，總的基本事件有6×6＝36件，事件A的基本事件有3×6＝18件，故P(A)=18由選項B知P(D)=4而事件AD包含的基本事件有（3，6），（5，4）共2件，故P(AD)=2所以P（AD）＝P（A）P（D），故A與D獨立，故C正確；對于D，事件B的基本事件有6×3＝18件，故P(B)=1836=12而事件BC包含的基本事件有（2，6），（4，4），（6，2）共3件，故P(BC)=3所以P(B)P(C)=12×536=5故選：BC．（多選）12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A＝45°，c＝2，下列說法正確的是（）A．若a=3，△ABCB．若a＝3，△ABC有兩解 C．若△ABC為銳角三角形，則b的取值范圍是(2D．若△ABC為鈍角三角形，則b的取值范圍是(0，【解答】解：由A＝45°，c＝2，過點B作BD⊥AC，垂足為D.BD＝csinA＝2×sin45°=2由a=3滿足2＜3a＝3≥2時，△ABC只有一解．若△ABC為鈍角三角形，則C或B為鈍角，則0＜b＜2或b＞22若△ABC為直角三角形，則C或B為直角，則b=2，b＝22若△ABC為銳角三角形，則2＜b＜22綜上可得：只有AC正確．故選：AC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，13．（5分）設(shè)有兩組數(shù)據(jù)：x1，x2，…xn與y1，y2，…yn，它們之間存在關(guān)系式：yi＝axi+b（i＝1，2…，n，其中a，b非零常數(shù)），若這兩組數(shù)據(jù)的方差分別為σx2和σy2，則σx2和σy2之間的關(guān)系是σy2＝a2σx2．【解答】解：∵兩組數(shù)據(jù)：x1，x2，…xn與y1，y2，…yn，它們之間存在關(guān)系式：yi＝axi+b即第二組數(shù)據(jù)是第一組數(shù)據(jù)的a倍還要整體加上b，在一列數(shù)字上同時加上一個數(shù)字方差不變，而同時乘以一個數(shù)字方差要乘以這個數(shù)字的平方，∴σx2和σy2之間的關(guān)系是σy2＝a2σx2，故答案為：σy2＝a2σx2，14．（5分）邊長為5、7、8的三角形的最大角與最小角之和為2π3【解答】解：邊長為a＝5、b＝7、c＝8的三角形ABC中，cosB=5B∈（0，π），∴B=π∴△ABC的最大角C與最小角A的和為π﹣B=2π故答案為：2π315．（5分）已知向量a→=(2，1)，b→=(x，2)，若b→在a→方向上的投影向量為a【解答】解：∵a→∴a→?b→=2x+2，|a∴b→在a→方向上的投影向量為a→∵b→在a→方向上的投影向量為∴2x+25=1，∴x故答案為：3216．（5分）如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為12，該紙片，上的正方形ABCD的中心為O，E，F(xiàn)，G，H為圓O上的點，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分別是以AB，BC，CD，DA為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以AB，BC，CD，DA為折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH使得點E，F(xiàn)，G，H重合，得到一個四棱錐．當(dāng)該四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍時，該四棱錐的外接球的表面積為100π3【解答】解：連接OE交AB于點I，設(shè)E，F(xiàn)，G，H重合于點P，正方形的邊長為x（x＞0）cm，則OI=x因為該四棱維的側(cè)面積是底面積的2倍，所以4×x2×(6-設(shè)該四棱錐的外接球的球心為Q，半徑為R，如圖，則QP=QC=R，OC=22所以R2=(23所以外接球的表面積為S=4π(故答案為：100π3四、解答題：本題共6小題，其中第17題10分，其余各題為12分，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）設(shè)ω=-1（1）求證：1+ω+ω2＝0；（2）計算：（1+ω﹣ω2）（1﹣ω+ω2）．【解答】（1）證明：∵ω=-12∴ω2=-1∴1+ω+ω2＝1+（-12+3（2）解：（1+ω﹣ω2）（1﹣ω+ω2）＝[1-12+32i﹣（-1=(1+3＝1﹣2＝﹣1．18．（12分）已知sinα=45，α∈(π2，π)（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求cos（α+β）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵sinα=45，α∈(π2∴tanα=sinαcosα=-4（Ⅱ）∵cosβ=-513，β是第三象限角，∴sinβ故cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ=6319．（12分）為測量地形不規(guī)則的一個區(qū)域的徑長AB，采用間接測量的方法，如圖，陰影部分為不規(guī)則地形，利用激光儀器和反光規(guī)律得到∠ACB＝∠DCB，∠ACD為鈍角，AC＝5，AD＝7，sin∠ADC=2（1）求sin∠ACB的值；（2）若測得∠BDC＝∠BCD，求待測徑長AB．【解答】解：（1）在△ACD中，由正弦定理可得：ACsin∠ADC則sin∠ACD=265，因為∠ACB＝∠DCB所以cos∠ACD=-15，所以（2）在△ACD，由余弦定理可得：cos∠ACD=-1解得：CD＝4或CD＝﹣6（舍去），因為∠BDC＝∠BCD，所以BD＝BC，在△BCD，cos∠BDC=cos∠BCD=10由余弦定理可得：cos∠BDC=10解得：BD=BC=10cos∠BDC=105，sin∠BDC=155，cos∠ADB＝cos（∠BDC﹣∠ADC）＝cos∠BDCcos∠ADC+sin∠BDCsin∠ADC=10在△ABD，由余弦定理可得：AB故AB=1520．（12分）社會的進步與發(fā)展，關(guān)鍵在于人才，引進高素質(zhì)人才對社會的發(fā)展具有重大作用．某市進行人才引進，需要進行筆試和面試，一共有200名應(yīng)聘者參加筆試，他們的筆試成績都在[40，100]內(nèi)，將筆試成績按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分組，得到如圖所示頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）求全體應(yīng)聘者筆試成績的眾數(shù)和平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點值為代表）；（3）若計劃面試150人，請估計參加面試的最低分?jǐn)?shù)線．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)得：（0.005+0.010+a+0.030+a+0.015）×10＝1，解得a＝0.020．（2）應(yīng)聘者筆試成績的眾數(shù)為：70+802應(yīng)聘者筆試成績的平均數(shù)為：45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.15＝74.5．（3）由頻率分布直方圖可知：[90，100]中有：200×0.15＝30，[80，90）中有：200×0.2＝40，[70，80）中有：200×0.3＝60，[60，70）中有：200×0.2＝40，設(shè)分?jǐn)?shù)線定為x，則x∈[60，70），（70﹣x）×0.02×200+30+40+60＝150，解得x＝65．故分?jǐn)?shù)線為65．21．（12分）如圖，三棱錐A﹣BCD中，△ABC為等邊三角形，且面ABC⊥面BCD，CD⊥BC．（1）求證：CD⊥AB；（2）當(dāng)AD與平面BCD所成角為45°時，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．【解答】解：（1）在三棱錐A﹣BCD中，面ABC⊥面BCD，面ABC∩面BCD＝BC，又CD⊥BC，CD?面BCD，∴CD⊥面ABC，又∵AB?面ABC，∴CD⊥AB；（2）取BC中點F，連接AF，DF，如圖，所以AF⊥BC，面ABC⊥面BCD，面ABC∩面BCD＝BC，因為AF?平面ABC，于是得AF⊥平面BCD，∠ADF是AD與平面BCD所成角，即∠ADF＝45°，令BC＝2，則DF＝AF=3，因CD⊥BC，即有DC=2，由（1）知DC⊥AC，則有AD＝BD過C作CO⊥AD于O，在平面ABD內(nèi)過O作OE⊥AD交BD于點E，從而得∠COE是二面角C﹣AD﹣B的平面角，Rt△ACD中，CO=AC?CDAD=2△ABD中，由余弦定理得cos∠EDO=A∴DE=ODcos∠EDO=62，OE=DE2-OD△COE中，由余弦定理得cos∠COE=C∴二面角C﹣AD﹣B的余弦值為101022．（12分）設(shè)△ABC是邊長為1的正三角形，點P1，P2，P3四等分線段BC（如圖所示）．（1）求AB→（2）Q為線段AP1上一點，若AQ→=mAB（3）P為邊BC上一動點，當(dāng)PA→?PC【解答】解：（1）原式=A在△ABP1中，由余弦定理，得AP所以AB→（2）易知BP1→=1因為Q為線段AP1上一點，設(shè)AQ→所以m=1（3）①當(dāng)P在線段BP2上時（不含P2），此時PA→②當(dāng)P在線段P2C上時（不含P2），PA→要使當(dāng)PA→?PC→最小，則P必在線段設(shè)|PC→|=x，由于AP2⊥BC，則PA→?PC→=|PA→|?|PC→|cos∠APC=|PC當(dāng)x=14時，即當(dāng)P為P3時，PA2022-2023學(xué)年江蘇省南通市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）若復(fù)數(shù)z=i1-i，則A．12 B．-12 2．（5分）設(shè)全集U＝Z，集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，則{﹣2}＝（）A．A∩B B．A∪B C．A∩（?UB） D．（?UA）∩B3．（5分）在邊長為3的正方形ABCD中，DE→=2ECA．﹣5 B．5 C．15 D．254．（5分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若sinA：sinB：sinC＝4：5：6，則cosA＝（）A．-916 B．916 C．-5．（5分）函數(shù)f（x）＝x+2x的零點所在的區(qū)間為（）A．（﹣2，﹣1） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，2）6．（5分）已知a，b是兩條不同的直線，且a∥平面α，則“b⊥α”是“a⊥b”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．（5分）一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，x8的平均數(shù)為m，標(biāo)準(zhǔn)差為3．另一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，x8，m的平均數(shù)為x，標(biāo)準(zhǔn)差為s，則（）A．x=m，s＞3 B．x=m，s＜3 C．x≠m，s＞38．（5分）某船在海面上航行至A處，測得山頂P位于其正西方向且仰角為45°，該船繼續(xù)沿南偏東30°的方向航行5百米至B處，測得山頂P的仰角為30°，則該山頂高于海面（）A．2.5百米 B．5百米 C．52百米 D．5二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）在△ABC中，M為邊AB的中點，則（）A．AB→+AC→C．CM→=CA（多選）10．（5分）關(guān)于函數(shù)f(x)=sin(2x+πA．最小正周期為π B．f(πC．圖象關(guān)于點(π3D．在[0，π（多選）11．（5分）同時拋擲兩枚硬幣，記“出現(xiàn)兩個正面”為事件A，“出現(xiàn)兩個反面”為事件B，則（）A．A+B為必然事件 B．AB為不可能事件 C．A與B為互斥事件 D．A與B為獨立事件（多選）12．（5分）如圖，在底面為平行四邊形的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠D1A1B1＝60°，AA1＝A1B1＝A1D1＝2，M，N分別為棱BB1，B1C1的中點，則（）A．D1N⊥BC B．A1C與平面AA1B1B所成角的余弦值為34C．三棱柱ABD﹣A1B1D1的外接球的表面積為28π3D．點A1到平面AMN的距離為2三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）某學(xué)生8次素養(yǎng)測試的成績統(tǒng)計如下：72，76，78，82，86，88，92，98，則該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為．14．（5分）已知一圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的體積為．15．（5分）滿足z2∈R，|z﹣i|＝1的一個復(fù)數(shù)z＝．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A=2π3，a＝4，D為BC的中點，AD=2，則△ABC四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）某種經(jīng)濟樹木根據(jù)其底部周長的不同售價有所差異，底部周長在85cm～105cm為三類樹，底部周長在105cm～125cm為二類樹，底部周長大于或等于125cm為一類樹．為了解一大片該經(jīng)濟林的生長情況，隨機測量其中100株樹木的底部周長（單位：cm），數(shù)據(jù)均落在85cm～135cm之間，按照[85，95），[95，105），[105，115），[115，125），[125，135]分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）估計該片經(jīng)濟林中二類樹約占多少；（2）將同組中的每個數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間中點的數(shù)值代替，試估計該經(jīng)濟林中樹木的平均底部周長．18．（12分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，M，N分別為AB，AC的中點．（1）證明：MN∥平面PBC；（2）證明：平面PMN⊥平面PAB．19．（12分）已知向量a→=(3（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若f(α2)=-20．（12分）某校知識競賽分初賽、復(fù)賽兩輪．某班從甲、乙兩名學(xué)生中選拔一人參加學(xué)校知識競賽（初賽），抽取了兩人6次模擬測試的成績，統(tǒng)計結(jié)果如下表：第1次第2次第3次第4次第5次第6次甲的成績（分）10090120130105115乙的成績（分）9512511095100135（1）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)比較兩名同學(xué)的水平，并確定參加初賽的對象；（2）初賽要求如下：參賽者從5道試題中隨機抽取3道作答，至少答對2道方可進入復(fù)賽．若某參賽者會5道中的3道，求該參賽者能進入復(fù)賽的概率．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，3（1）求B；（2）若a=1，b=3，點M在邊AC上，連接BM并延長至點D，且∠ADC=2π3．求△ACD22．（12分）如圖，在四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥DC，BC⊥側(cè)面ABB1A1，AB＝2，AA1＝A1B1＝BB1＝BC＝CD＝1，E為CD的中點，F(xiàn)為棱AB上的點，C1F∥平面ADD1A1．（1）證明：平面C1EF∥平面ADD1A1；（2）求AF；（3）求二面角C1﹣AB﹣C的大小．

2022-2023學(xué)年江蘇省南通市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）若復(fù)數(shù)z=i1-i，則A．12 B．-12 【解答】解：z=i∴z的實部為-1故選：B．2．（5分）設(shè)全集U＝Z，集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，則{﹣2}＝（）A．A∩B B．A∪B C．A∩（?UB） D．（?UA）∩B【解答】解：A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，則A∩B＝{﹣1，0，1，2}，A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，故AB錯誤；A∩（?UB）＝{﹣2}，故C正確；（?UA）∩B＝{3}，故D錯誤．故選：C．3．（5分）在邊長為3的正方形ABCD中，DE→=2ECA．﹣5 B．5 C．15 D．25【解答】解：如圖，DE→=2EC∴AE→=2又DA＝DC＝3，DA⊥DC，∴AC→故選：C．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若sinA：sinB：sinC＝4：5：6，則cosA＝（）A．-916 B．916 C．-【解答】解：sinA：sinB：sinC＝4：5：6，則由正弦定理可設(shè)，a＝4k，b＝5k，c＝6k，故cosA=b故選：D．5．（5分）函數(shù)f（x）＝x+2x的零點所在的區(qū)間為（）A．（﹣2，﹣1） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，2）【解答】解：因為f（0）＝1＞0，f（﹣1）＝﹣1+1由函數(shù)零點的存在性定理，函數(shù)f（x）＝x+2x的零點所在的區(qū)間為（﹣1，0）故選：C．6．（5分）已知a，b是兩條不同的直線，且a∥平面α，則“b⊥α”是“a⊥b”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：a∥平面α，若”b⊥α”，顯然可以得到“a⊥b”，若“a⊥b”，b也有可能在α上，不能推出”b⊥α”，所以”b⊥α”是“a⊥b”的充分不必要條件．故選：A．7．（5分）一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，x8的平均數(shù)為m，標(biāo)準(zhǔn)差為3．另一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，x8，m的平均數(shù)為x，標(biāo)準(zhǔn)差為s，則（）A．x=m，s＞3 B．x=m，s＜3 C．x≠m，s＞3【解答】解：因為m=x所以x1+x2+?+x8＝8m，則x=因為32s2=19[（x1﹣m）2+（x2﹣m）2+…+（x8﹣m）2+（m﹣m）=19[（x1﹣m）2+（x2﹣m）2+…+（x8﹣m）2+0又19所以s2＜9，解得s＜3，則x=m，s故選：B．8．（5分）某船在海面上航行至A處，測得山頂P位于其正西方向且仰角為45°，該船繼續(xù)沿南偏東30°的方向航行5百米至B處，測得山頂P的仰角為30°，則該山頂高于海面（）A．2.5百米 B．5百米 C．52百米 D．5【解答】解：如圖所示：設(shè)山頂高于海面的距離為h，由題意，∠PAC＝45°，∠PBC＝30°，所以AC=htan45=h在△ABC中，AB＝5，∠CAB＝120°，由余弦定理得BC2＝AC2+AB2﹣2AC?AB?cos120°，即(3h)2=h解得h＝5或h＝﹣2.5（舍去），所以該山頂高于海面5百米．故選：B．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）在△ABC中，M為邊AB的中點，則（）A．AB→+AC→C．CM→=CA【解答】解：選項A，由向量加法的平行四邊形法則可知，AB→+AC選項B，由向量減法，MA→-MC選項C，由M為AB中點，可得AM→即CM→=CA選項D，由M為AB中點，可得AM→=MB故選：BCD．（多選）10．（5分）關(guān)于函數(shù)f(x)=sin(2x+πA．最小正周期為π B．f(πC．圖象關(guān)于點(π3D．在[0，π【解答】解：選項A，T=2π2=π選項B，f（π2）＝sin（2×π2+π選項C，∵f（π3）＝sinπ＝0，∴（π3，0）是f（x選項D，當(dāng)x∈[0，π6]時，2x+π3∈[π∴f（x）＝sin（2x+π3）的最大值為1．故故選：ACD．（多選）11．（5分）同時拋擲兩枚硬幣，記“出現(xiàn)兩個正面”為事件A，“出現(xiàn)兩個反面”為事件B，則（）A．A+B為必然事件 B．AB為不可能事件 C．A與B為互斥事件 D．A與B為獨立事件【解答】解：同時拋擲兩枚硬幣的所有結(jié)果：正正，反反，正反，反正，共4個基本事件；A+B不是必然事件，所以A不正確；事件A與事件B不能同時發(fā)生，所以AB為不可能事件，所以B正確；顯然A與B是互斥事件，所以C正確；A與B是同一個事件中不同的情況，所以不是獨立事件，所以D不正確；故選：BC．（多選）12．（5分）如圖，在底面為平行四邊形的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠D1A1B1＝60°，AA1＝A1B1＝A1D1＝2，M，N分別為棱BB1，B1C1的中點，則（）A．D1N⊥BC B．A1C與平面AA1B1B所成角的余弦值為34C．三棱柱ABD﹣A1B1D1的外接球的表面積為28π3D．點A1到平面AMN的距離為2【解答】解：對于A選項，連接B1D1，D1N，因為四邊形A1B1C1D1為平行四邊形，且A1B1＝A1D1＝2，則A1B1C1D1為菱形，因為∠D1A1B1＝60°，則∠B1C1D1＝60°，且B1C1＝C1D1＝2，故△B1C1D1為等邊三角形，因為N為B1C1的中點，則D1N⊥B1C1，因為BB1∥CC1且BB1＝CC1，則四邊形BB1C1C為平行四邊形，所以，BC∥B1C1，故D1N⊥BC，故A正確；對于B選項，過點C在平面ABCD內(nèi)作CE⊥AB，垂足為點E，連接A1E1，因為AA1⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，CE⊥AA1，因為CE⊥AB，AB∩AA1＝A，AB、AA1?平面AA1B1B，則CE⊥平面AA1B1B，所以A1C與平面AA1B1B所成角為∠CAE．因為四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且∠DAB＝60°，∠ABC＝120°，故∠BAC＝30°，由余弦定理可得AC==22+因為CE⊥AB，則CE=12AC=3，因為AA1⊥平面ABCD，AC則AA1⊥AC，所以，A1C=A因為CE⊥平面AA1B1B，A1E?平面AA1B1B，則CE⊥A1E，所以A1所以，cos∠CA1E=A1EA1C=134，即A1C與平面AA對于C選項，如下圖所示：圓柱O1O2的底面圓直徑為2r，母線長為h，則O1O2的中點O到圓柱底面圓上每點的距離都相等，則O為圓柱O1O2的外接球球心．且有（2r）2+h2＝（2R）2，可將直三棱柱ABD﹣A1B1D1置于圓柱O1O2內(nèi)，使得△A1B1D1、△ABD的外接圓分別為圓O1，圓O2，如圖所示：因為AB＝AD＝2，∠DAB＝60°，則△ABD為等邊三角形，故圓O2的直徑為2r=AB所以，三棱柱ABD﹣A1B1D1的外接球的直徑為2R=(2r所以，三棱柱ABD﹣A1B1D1的外接球的表面積為π?(2R)2=π×(對于D選項，連接A1M，A1N，如下圖所示：因為AA1⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，則AA1⊥AB，又因為AA1∥BB1且AA1＝BB1，則四邊形AA1B1B為矩形，所以，S△AA1M=1因為CC1∥BB1，CC1?平面AA1B1B，BB1?平面AA1B1B，則CC1∥平面AA1B1B，所以，點C1到平面AA1B1B的距離等于CE=3因為點N為B1C1的中點，則點N到平面AA1B1B的距離為12所以，VN-A因為四邊形AA1B1B為矩形，則AB⊥BM，因為AB＝2，BM＝1，則AM=4B2在△A1B1N，A1B1＝2，B1N＝1，∠A1B1N＝120°，由余弦定理可得A1N=A因為AA1⊥平面A1B1C1D1，A1N?平面A1B1C1D1，則AA1⊥A1N，所以，AN=A所以，cos∠AMN=A則sin∠AMN=1-co所以，S△AMN=12AM?MNsin∠AMN設(shè)點A1到平面AMN的距離為d，由VA1-AMN=VN-AA1M，得13即A1到平面AMN的距離為2，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）某學(xué)生8次素養(yǎng)測試的成績統(tǒng)計如下：72，76，78，82，86，88，92，98，則該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為92．【解答】解：8×0.8＝6.4，故該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為92．故答案為：92．14．（5分）已知一圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的體積為3π3【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則l=22π=2πr，解得r＝1，l∴圓錐的高h=l2-r2=3．∴圓錐的體積V故答案為3π15．（5分）滿足z2∈R，|z﹣i|＝1的一個復(fù)數(shù)z＝0或2i．【解答】解：設(shè)z＝a+bi，z2＝a2﹣b2+2abi，|z﹣i|＝|a+（b﹣1）i|，根據(jù)題意，有ab＝0，a2+（b﹣1）2＝1，若a＝0，則b＝0或2，若b＝0，則a＝0，所以z＝0或2i．故答案為：0或2i．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A=2π3，a＝4，D為BC的中點，AD=2，則△ABC的周長為4【解答】解：在△ABC中，由余弦定理有：a2＝b2+c2﹣2bccosA，即b2+c2+bc＝16，①∵D為BC的中點，∴AD→∴AD→∴b2+c2﹣bc＝8，②由①②解得：b2∴（b+c）2＝b2+c2+2bc＝12+2×4＝20，∴b+c=25，∴a+b+c=4+2∴△ABC的周長為4+25故答案為：4+25四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）某種經(jīng)濟樹木根據(jù)其底部周長的不同售價有所差異，底部周長在85cm～105cm為三類樹，底部周長在105cm～125cm為二類樹，底部周長大于或等于125cm為一類樹．為了解一大片該經(jīng)濟林的生長情況，隨機測量其中100株樹木的底部周長（單位：cm），數(shù)據(jù)均落在85cm～135cm之間，按照[85，95），[95，105），[105，115），[115，125），[125，135]分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）估計該片經(jīng)濟林中二類樹約占多少；（2）將同組中的每個數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間中點的數(shù)值代替，試估計該經(jīng)濟林中樹木的平均底部周長．【解答】（1）解：因為10（0.007+0.018+0.039+a+0.015）＝1，解得a＝0.021，因為底部周長在105cm～125cm為二類樹，由圖知0.039×10+0.021×10＝0.6，則該片經(jīng)濟林中二類樹木約占60%；（2）若將同組中的每個數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間中點的數(shù)值代替，則90×0.07+100×0.18+110×0.39+120×0.21+130×0.15＝6.3+18+42.9+25.2+19.5＝111.9cm．故該經(jīng)濟林中樹木的平均底部周長為111.9cm．18．（12分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，M，N分別為AB，AC的中點．（1）證明：MN∥平面PBC；（2）證明：平面PMN⊥平面PAB．【解答】證明：（1）因為M，N分別為AB，AC的中點，所以MN∥BC，而MN不在面PBC，BC?面PBC，所以可證得：MN∥面PBC；（2）因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，而AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥面PAB，由（1）可得MN∥BC，所以MN⊥面PAB，而MN?面PMN，所以可證得：平面PMN⊥平面PAB．19．（12分）已知向量a→=(3（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若f(α2)=-【解答】解：（1）a→∴f(x)=sin(2x+π解-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-π（2）f(α∵α∈(-π2，0)∴cos(α+π∴sinα=sin[(α+π20．（12分）某校知識競賽分初賽、復(fù)賽兩輪．某班從甲、乙兩名學(xué)生中選拔一人參加學(xué)校知識競賽（初賽），抽取了兩人6次模擬測試的成績，統(tǒng)計結(jié)果如下表：第1次第2次第3次第4次第5次第6次甲的成績（分）10090120130105115乙的成績（分）9512511095100135（1）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)比較兩名同學(xué)的水平，并確定參加初賽的對象；（2）初賽要求如下：參賽者從5道試題中隨機抽取3道作答，至少答對2道方可進入復(fù)賽．若某參賽者會5道中的3道，求該參賽者能進入復(fù)賽的概率．【解答】解：（1）甲的平均分：（100+90+120+130+105+115）÷6＝