高中數(shù)學(xué)-第一章-立體幾何初步單元質(zhì)量測評(含解析)新人教B版必修2-新人教B版高一必修2數(shù)學(xué)試題

wordword/word第一章單元質(zhì)量測評對應(yīng)學(xué)生用書P41本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．下列說法中正確的是()A．棱柱的側(cè)面可以是三角形B．由6個大小一樣的正方形所組成的圖形是正方體的展開圖C．正方體各條棱長都相等D．棱柱的各條棱都相等答案C解析根據(jù)棱柱的定義可知，棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，側(cè)棱長相等，但是側(cè)棱和底面內(nèi)的棱長不一定相等，而正方體的所有棱長都相等．2．中心角為135°，面積為B的扇形圍成一個圓錐，若圓錐的全面積為A，則A∶B等于()A．11∶8B．3∶8C．8∶3D．13∶8答案A解析設(shè)扇形的半徑為R，圍成的圓錐的底面圓的半徑為r，則扇形弧長l＝eq\f(135πR,180)＝eq\f(3,4)πR，又2πr＝eq\f(3,4)πR，∴r＝eq\f(3,8)R，S扇形＝eq\f(135π,360)R2＝eq\f(3,8)πR2，S圓錐全＝S底＋S側(cè)＝πr2＋S扇形＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)R))2＋eq\f(3,8)πR2＝eq\f(33,64)πR2，∴eq\f(S扇形,S圓錐全)＝eq\f(\f(3,8)πR2,\f(33,64)πR2)＝eq\f(8,11)，∴eq\f(A,B)＝eq\f(11,8)，故選A．3．一個錐體的主視圖和左視圖如圖所示，下面選項(xiàng)中，不可能是該錐體的俯視圖的是()答案C解析由幾何體的俯視圖與左視圖的寬度一樣，可知C不可能是該錐體的俯視圖，故選C．4．給出下列四個命題：①三點(diǎn)確定一個平面；②一條直線和一個點(diǎn)確定一個平面；③若四點(diǎn)不共面，則每三點(diǎn)一定不共線；④三條平行線確定三個平面．正確的結(jié)論個數(shù)有()A．1B．2C．3D．4答案A解析①中不共線的三點(diǎn)確定一個平面；②中一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個平面；③中若四點(diǎn)不共面，則每三點(diǎn)一定不共線，故③正確；④中不共面的三條平行線確定三個平面．5．設(shè)l為直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是()A．若l∥α，l∥β，則α∥βB．若l⊥α，l⊥β，則α∥βC．若α∥β，l∥α，則l∥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥β答案B解析若l∥α，l∥β，則α∥β或α∩β＝m，l∥m，故A錯誤．若α∥β，l∥α，則l∥β或l在β內(nèi)，故C錯誤．若α⊥β，l∥α，則l∥β或l在β內(nèi)或l⊥β或l與β相交，故D錯誤．6．體積為27，全面積為54的長方體()A．必是正方體B．不存在C．有無窮多個D．最多只能有三個答案A解析設(shè)長、寬、高分別為a，b，c，則abc＝27．2(ab＋bc＋ac)＝54，∴ab＋bc＋ac＝abc．易知a＝b＝c，故應(yīng)為棱長為3的正方體．7．如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥BD，沿BD將△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，連接AC，則在四面體ABCD的四個面所在平面中，互相垂直的平面的對數(shù)為()A．1B．2C．3D．4答案C解析①平面ABD⊥平面BCD，②平面ABC⊥平面BCD，③平面ACD⊥平面ABD．8．棱錐被平行于底面的平面所截，當(dāng)截面分別平分棱錐的側(cè)棱、側(cè)面積、體積時，相應(yīng)的截面面積分別為S1，S2，S3，則()A．S1<S2<S3B．S3<S2<S1C．S2<S1<S3D．S1<S3<S2答案A解析由截面性質(zhì)可知，設(shè)底面積為S．eq\f(S,S1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1)))2?S1＝eq\f(1,4)S；eq\f(S,S2)＝eq\f(2,1)?S2＝eq\f(1,2)S；eq\f(S,S3)＝eq\r(3,\f(2,1)2)?S3＝eq\f(1,\r(3,4))S．可知S1<S2<S3，故選A．9．夾在兩個平行平面間的圓柱、圓錐、球，若它們在平行平面上的正投影是等圓，那么它們的體積之比為()A．3∶1∶4B．9∶3∶4C．3∶1∶2D．1∶2∶3答案C解析它們的高都等于兩平行平面間的距離設(shè)為h，圓柱體積V1，圓錐體積V2，球體積V3，正投影的面積為S，則V1＝Sh，V2＝eq\f(1,3)Sh，V3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(S,π))))3＝eq\f(4,3)Seq\r(\f(S,π))．又因?yàn)閔＝2eq\r(\f(S,π))，所以eq\r(\f(S,π))＝eq\f(h,2)．所以V3＝eq\f(4,3)S·eq\f(h,2)＝eq\f(2,3)Sh，所以V1∶V2∶V3＝1∶eq\f(1,3)∶eq\f(2,3)＝3∶1∶2．10．已知集合A，B，C，A＝{直線}；B＝{平面}，C＝A∪B，若a∈A，b∈B，c∈C，給出下列命題：①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a∥b，,c∥b))?a∥c；②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a⊥b，,c⊥b))?a∥c；③eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a⊥b，,c∥b))?a⊥c．其中正確的命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案B解析①當(dāng)c為直線時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a∥b，,c∥b))?a∥c或a，c異面或相交，故①錯誤．②當(dāng)c為平面時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a⊥b，,c⊥b))?a∥c或a?c，故②錯誤．經(jīng)驗(yàn)證得③正確．11．如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的面對角線A1B上存在一點(diǎn)P，使得AP＋D1P最短，則AP＋D1P的最小值為()A．eq\r(2＋\r(2))B．eq\f(\r(2)＋\r(6),2)C．2＋eq\r(2)D．2答案A解析D1－A1B－A展成平面，如圖所示，則AD1即為AP＋D1P的最小值．過D1作D1M⊥AA1的延長線于M，由∠AA1D1＝∠AA1B＋∠BA1D1＝45°＋90°＝135°，可知∠MA1D1＝45°．所以A1M＝D1M＝eq\f(\r(2),2)．在Rt△MD1A中，AD1＝eq\r(MA2＋MD\o\al(2,1))＝eq\r(2＋\r(2))．12．三棱錐P－ABC的高PO＝8，AC＝BC＝3，∠ACB＝30°，M，N分別在BC和PO上，且CM＝x，PN＝2x(x∈[0，3])，下列四個圖象大致描繪了三棱錐N－AMC的體積V與x的變化關(guān)系，其中正確的是()答案A解析V＝eq\f(1,3)S△AMC·NO＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×3x×sin30°))·(8－2x)＝－eq\f(1,2)(x－2)2＋2，x∈[0，3]，故選A．第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．直線a，b分別是長方體相鄰兩個面上的對角線所在直線，則a與b的位置關(guān)系為________．答案相交或異面解析畫一個長方體，則有兩直線交于一頂點(diǎn)或兩直線異面．14．設(shè)A，B，C，D為球O上四點(diǎn)，若AB，AC，AD兩兩互相垂直，且AB＝AC＝eq\r(6)，AD＝2，則A，D兩點(diǎn)間的球面距離為________．答案eq\f(2π,3)解析由題意知，球O的直徑為以AB，AC，AD為棱的長方體的體對角線，即2R＝eq\r(AB2＋AC2＋AD2)＝4，即R＝2，則OA＝OD＝AD＝2，∴△OAD為正三角形，則∠AOD＝eq\f(π,3)，∴A，D球面距離為eq\f(2π,3)．15．如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個多面體最長的一條棱的長為________．答案2eq\r(3)解析由三視圖可知該多面體的直觀圖如圖所示，即圖中的四棱錐P－ABCD，所以最長的一條棱的長為PA＝eq\r(PC2＋AC2)＝eq\r(PC2＋AB2＋BC2)＝2eq\r(3)．16．一個正六棱錐的底面邊長為2、高為1，則過兩條不相鄰側(cè)棱所作的截面中，面積最大值為________．答案eq\r(6)解析如圖先計算截面PAD的面積，由題知h＝PO＝1，AD＝4，∴S△PAD＝eq\f(1,2)×1×4＝2，下面計算截面PAC的面積，連接OB交AC于M點(diǎn)，連接PM，則PM⊥AC，AC＝2eq\r(3)，BM＝1，∴OM＝1，∴PM＝eq\r(PO2＋OM2)＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，∴S△PAC＝eq\f(1,2)×AC×PM＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\r(2)＝eq\r(6)，eq\r(6)>2，∴S△PAC>S△PAD，∴填eq\r(6)．三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)定線段AB所在直線與定平面α相交，P為直線AB外任一點(diǎn)，且P?α，直線AP，PB與α交于A′，B′．求證：不論P(yáng)在什么位置，A′B′過一定點(diǎn)．證明設(shè)定線段AB所在直線與定平面α相交于定點(diǎn)O．∵AP，AB相交于點(diǎn)A，∴由AP，AB可確定平面β．∵AP∩α＝A′，PB∩α＝B′，AB∩α＝O，∴A′，B′，O為平面α與平面β的公共點(diǎn)．∴A′，B′，O三點(diǎn)共線，即A′B′過定點(diǎn)O．18．(本小題滿分12分)如圖，已知平面α∥β，O為α，β外一點(diǎn)，三條射線OA，OB，OC分別交β于A，B，C，交α于A1，B1，C1．(1)求證：△ABC∽△A1B1C1；(2)若OA＝a，AA1＝b，B1C1＝c，求BC的長．解(1)證明：因?yàn)棣痢桅?，平面AOB∩α＝A1B1，平面AOB∩β＝AB，所以A1B1∥AB，所以eq\f(OA1,OA)＝eq\f(OB1,OB)＝eq\f(A1B1,AB)，同理B1C1∥BC，所以eq\f(OB1,OB)＝eq\f(OC1,OC)＝eq\f(B1C1,BC)．同理，A1C1∥AC，eq\f(OA1,OA)＝eq\f(OC1,OC)＝eq\f(A1C1,AC)，所以eq\f(A1B1,AB)＝eq\f(B1C1,BC)＝eq\f(C1A1,CA)．所以△ABC∽△A1B1C1．(2)由(1)知，eq\f(OA1,OA)＝eq\f(B1C1,BC)，又因?yàn)镺A1＝OA－AA1＝a－b，∴eq\f(a－b,a)＝eq\f(c,BC)，∴BC＝eq\f(ac,a－b)．19．(本小題滿分12分)如圖所示的四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，E為PC的中點(diǎn)，求證：(1)PA∥平面BDE；(2)平面PAC⊥平面PBD．證明(1)連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OE．∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝CO．∵E為PC的中點(diǎn)，∴EO∥PA．∵PA?平面BDE，EO?平面BDE，∴PA∥平面BDE．(2)∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．∵AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC，∵BD?平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD．20．(本小題滿分12分)如圖，平行六面體ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°．(1)求證：C1C⊥BD；(2)當(dāng)eq\f(CD,CC1)的值為多少時，可使A1C⊥平面C1BD?解(1)證明：連接A1C1，AC，設(shè)AC和BD交于點(diǎn)O，連接C1O．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC＝CD．又∵∠BCC1＝∠DCC1，C1C是公共邊，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B＝C1D．∵DO＝OB，∴C1O⊥BD．又∵AC∩C1O＝O，∴BD⊥平面ACC1A1．又∵C1C?平面ACC1A1，∴C1C⊥BD．(2)由(1)知BD⊥平面ACC1A1．∵A1C?平面ACC1A1，∴BD⊥A1C．當(dāng)eq\f(CD,CC1)＝1時，平行六面體的六個面是全等的菱形．同理可證BC1⊥A1C．又∵BD∩BC1＝B，∴A1C⊥平面C1BD．21．(本小題滿分12分)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)．(1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求證：C1F∥平面ABE；(3)求三棱錐E－ABC的體積．解(1)證明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB．又因?yàn)锳B⊥BC，BB1，BC為平面B1BCC1內(nèi)兩條相交直線，所以AB⊥平面B1BCC1，又AB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1．(2)證明：取AB中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，如圖．因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別是A1C1，BC，AB的中點(diǎn)，所以FG∥AC，且FG＝eq\f(1,2)AC，EC1＝eq\f(1,2)A1C1．因?yàn)锳C∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1．所以四邊形FGEC1為平行四邊形．所以C1F∥EG．又因?yàn)镋G?平面ABE，C1F?平面ABE，所以C1F∥平面ABE．(3)因?yàn)锳A1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝eq\r(AC2－BC2)＝eq\r(3)．所以三棱錐E－ABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·AA1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×2＝eq\f(\r(3),3)．22．(本小題滿分12分)已知某幾何體的直觀圖(圖1)與它的三視圖(圖2)，其中俯視圖為正三角形，主視圖及左視圖是矩形．(1)求該幾何體的體積；(2)D是棱A1C1上的一點(diǎn)，若使直線BC1∥平面AB1D，試確定點(diǎn)D的位置，并證明你的結(jié)論；(3)在(2)成立的條件下，求證：平面AB1D⊥平面AA1D．解由三視圖可知該幾何為正三棱柱，底面是高為eq\r(3)的正三角形，三棱柱的高h(yuǎn)＝3，(1)底面是高為eq\r(3)的正三角形，易知底面邊長為2，所以底面面積S＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，所求體積V＝Sh＝3eq\r(3)．(2)連接