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文檔簡介
2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.下圖是民航部門統(tǒng)計的某年春運期間,六個城市售出的往返機票的平均價格(單位元),以及相比于上一年同期價格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖,以下敘述不正確的是()A.深圳的變化幅度最小,北京的平均價格最高B.天津的往返機票平均價格變化最大C.上海和廣州的往返機票平均價格基本相當(dāng)D.相比于上一年同期,其中四個城市的往返機票平均價格在增加2.過雙曲線的右焦點F作雙曲線C的一條弦AB,且,若以AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的左頂點,則雙曲線C的離心率為()A. B. C.2 D.3.的內(nèi)角的對邊分別為,已知,則角的大小為()A. B. C. D.4.在中,,,,點,分別在線段,上,且,,則().A. B. C.4 D.95.已知是橢圓和雙曲線的公共焦點,是它們的-一個公共點,且,設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為,則的關(guān)系為()A. B.C. D.6.設(shè),是雙曲線的左,右焦點,是坐標(biāo)原點,過點作的一條漸近線的垂線,垂足為.若,則的離心率為()A. B. C. D.7.費馬素數(shù)是法國大數(shù)學(xué)家費馬命名的,形如的素數(shù)(如:)為費馬索數(shù),在不超過30的正偶數(shù)中隨機選取一數(shù),則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是()A. B. C. D.8.下列圖形中,不是三棱柱展開圖的是()A. B. C. D.9.已知正項數(shù)列滿足:,設(shè),當(dāng)最小時,的值為()A. B. C. D.10.某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的外接球表面積為()A. B.C. D.11.已知雙曲線的實軸長為,離心率為,、分別為雙曲線的左、右焦點,點在雙曲線上運動,若為銳角三角形,則的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知定義在上的偶函數(shù)滿足,且在區(qū)間上是減函數(shù),令,則的大小關(guān)系為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,內(nèi)角的對邊長分別為,已知,且,則_________.14.在《九章算術(shù)》中,將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.如圖,若四棱錐為陽馬,側(cè)棱底面,且,,設(shè)該陽馬的外接球半徑為,內(nèi)切球半徑為,則__________.15.直線是曲線的一條切線為自然對數(shù)的底數(shù)),則實數(shù)__________.16.請列舉用0,1,2,3這4個數(shù)字所組成的無重復(fù)數(shù)字且比210大的所有三位奇數(shù):___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知直線過橢圓的右焦點,且交橢圓于A,B兩點,線段AB的中點是,(1)求橢圓的方程;(2)過原點的直線l與線段AB相交(不含端點)且交橢圓于C,D兩點,求四邊形面積的最大值.18.(12分)已知為坐標(biāo)原點,單位圓與角終邊的交點為,過作平行于軸的直線,設(shè)與終邊所在直線的交點為,.(1)求函數(shù)的最小正周期;(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.19.(12分)已知函數(shù),將的圖象向左移個單位,得到函數(shù)的圖象.(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;(2)若,的一條對稱軸是,求在的值域.20.(12分)已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;(2)若,對,恒有成立,求實數(shù)的最小值.21.(12分)如圖,橢圓的長軸長為,點、、為橢圓上的三個點,為橢圓的右端點,過中心,且,.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)、是橢圓上位于直線同側(cè)的兩個動點(異于、),且滿足,試討論直線與直線斜率之間的關(guān)系,并求證直線的斜率為定值.22.(10分)在綜合素質(zhì)評價的某個維度的測評中,依據(jù)評分細(xì)則,學(xué)生之間相互打分,最終將所有的數(shù)據(jù)合成一個分?jǐn)?shù),滿分100分,按照大于或等于80分的為優(yōu)秀,小于80分的為合格,為了解學(xué)生的在該維度的測評結(jié)果,在畢業(yè)班中隨機抽出一個班的數(shù)據(jù).該班共有60名學(xué)生,得到如下的列聯(lián)表:優(yōu)秀合格總計男生6女生18合計60已知在該班隨機抽取1人測評結(jié)果為優(yōu)秀的概率為.(1)完成上面的列聯(lián)表;(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為性別與測評結(jié)果有關(guān)系?(3)現(xiàn)在如果想了解全校學(xué)生在該維度的表現(xiàn)情況,采取簡單隨機抽樣方式在全校學(xué)生中抽取少數(shù)一部分來分析,請你選擇一個合適的抽樣方法,并解釋理由.附:0.250.100.0251.3232.7065.024
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)條形圖可折線圖所包含的數(shù)據(jù)對選項逐一分析,由此得出敘述不正確的選項.【詳解】對于A選項,根據(jù)折線圖可知深圳的變化幅度最小,根據(jù)條形圖可知北京的平均價格最高,所以A選項敘述正確.對于B選項,根據(jù)折線圖可知天津的往返機票平均價格變化最大,所以B選項敘述正確.對于C選項,根據(jù)條形圖可知上海和廣州的往返機票平均價格基本相當(dāng),所以C選項敘述正確.對于D選項,根據(jù)折線圖可知相比于上一年同期,除了深圳外,另外五個城市的往返機票平均價格在增加,故D選項敘述錯誤.故選:D【點睛】本小題主要考查根據(jù)條形圖和折線圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
由得F是弦AB的中點.進(jìn)而得AB垂直于x軸,得,再結(jié)合關(guān)系求解即可【詳解】因為,所以F是弦AB的中點.且AB垂直于x軸.因為以AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的左頂點,所以,即,則,故.故選:C【點睛】本題是對雙曲線的漸近線以及離心率的綜合考查,是考查基本知識,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
先利用正弦定理將邊統(tǒng)一化為角,然后利用三角函數(shù)公式化簡,可求出解B.【詳解】由正弦定理可得,即,即有,因為,則,而,所以.故選:A【點睛】此題考查了正弦定理和三角函數(shù)的恒等變形,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
根據(jù)題意,分析可得,由余弦定理求得的值,由可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,則在中,又,則則則則故選:B【點睛】此題考查余弦定理和向量的數(shù)量積運算,掌握基本概念和公式即可解決,屬于簡單題目.5、A【解析】
設(shè)橢圓的半長軸長為,雙曲線的半長軸長為,根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得:,解得,然后在中,由余弦定理得:,化簡求解.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為,雙曲線的長半軸長為,由橢圓和雙曲線的定義得:,解得,設(shè),在中,由余弦定理得:,化簡得,即.故選:A【點睛】本題主要考查橢圓,雙曲線的定義和性質(zhì)以及余弦定理的應(yīng)用,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.6、B【解析】
設(shè)過點作的垂線,其方程為,聯(lián)立方程,求得,,即,由,列出相應(yīng)方程,求出離心率.【詳解】解:不妨設(shè)過點作的垂線,其方程為,由解得,,即,由,所以有,化簡得,所以離心率.故選:B.【點睛】本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解、推理論證能力,屬于中檔題.7、B【解析】
基本事件總數(shù),能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和只有,,,共有個,根據(jù)古典概型求出概率.【詳解】在不超過的正偶數(shù)中隨機選取一數(shù),基本事件總數(shù)能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的只有,,,共有個則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是本題正確選項:【點睛】本題考查概率的求法,考查列舉法解決古典概型問題,是基礎(chǔ)題.8、C【解析】
根據(jù)三棱柱的展開圖的可能情況選出選項.【詳解】由圖可知,ABD選項可以圍成三棱柱,C選項不是三棱柱展開圖.故選:C【點睛】本小題主要考查三棱柱展開圖的判斷,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
由得,即,所以得,利用基本不等式求出最小值,得到,再由遞推公式求出.【詳解】由得,即,,當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值,此時.故選:B【點睛】本題主要考查了數(shù)列中的最值問題,遞推公式的應(yīng)用,基本不等式求最值,考查了學(xué)生的運算求解能力.10、A【解析】
由三視圖知:幾何體為三棱錐,且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面,結(jié)合直觀圖判斷外接球球心的位置,求出半徑,代入求得表面積公式計算.【詳解】由三視圖知:幾何體為三棱錐,且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面,高為2,底面為等腰直角三角形,斜邊長為,如圖:的外接圓的圓心為斜邊的中點,,且平面,,的中點為外接球的球心,半徑,外接球表面積.故選:A【點睛】本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積,根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征,利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)據(jù)求得外接球的半徑是解答本題的關(guān)鍵.11、A【解析】
由已知先確定出雙曲線方程為,再分別找到為直角三角形的兩種情況,最后再結(jié)合即可解決.【詳解】由已知可得,,所以,從而雙曲線方程為,不妨設(shè)點在雙曲線右支上運動,則,當(dāng)時,此時,所以,,所以;當(dāng)軸時,,所以,又為銳角三角形,所以.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用,本題的關(guān)鍵是找到為銳角三角形的臨界情況,即為直角三角形,是一道中檔題.12、C【解析】
可設(shè),根據(jù)在上為偶函數(shù)及便可得到:,可設(shè),,且,根據(jù)在上是減函數(shù)便可得出,從而得出在上單調(diào)遞增,再根據(jù)對數(shù)的運算得到、、的大小關(guān)系,從而得到的大小關(guān)系.【詳解】解:因為,即,又,設(shè),根據(jù)條件,,;若,,且,則:;在上是減函數(shù);;;在上是增函數(shù);所以,故選:C【點睛】考查偶函數(shù)的定義,減函數(shù)及增函數(shù)的定義,根據(jù)單調(diào)性定義判斷一個函數(shù)單調(diào)性的方法和過程:設(shè),通過條件比較與,函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、4【解析】∵∴根據(jù)正弦定理與余弦定理可得:,即∵∴∵∴故答案為414、【解析】
該陽馬補形所得到的長方體的對角線為外接球的直徑,由此能求出,內(nèi)切球在側(cè)面內(nèi)的正視圖是的內(nèi)切圓,從而內(nèi)切球半徑為,由此能求出.【詳解】四棱錐為陽馬,側(cè)棱底面,且,,設(shè)該陽馬的外接球半徑為,該陽馬補形所得到的長方體的對角線為外接球的直徑,,,側(cè)棱底面,且底面為正方形,內(nèi)切球在側(cè)面內(nèi)的正視圖是的內(nèi)切圓,內(nèi)切球半徑為,故.故答案為.【點睛】本題考查了幾何體外接球和內(nèi)切球的相關(guān)問題,補形法的運用,以及數(shù)學(xué)文化,考查了空間想象能力,是中檔題.解決球與其他幾何體的切、接問題,關(guān)鍵是能夠確定球心位置,以及選擇恰當(dāng)?shù)慕嵌茸龀鼋孛?球心位置的確定的方法有很多,主要有兩種:(1)補形法(構(gòu)造法),通過補形為長方體(正方體),球心位置即為體對角線的中點;(2)外心垂線法,先找出幾何體中不共線三點構(gòu)成的三角形的外心,再找出過外心且與不共線三點確定的平面垂直的垂線,則球心一定在垂線上.15、【解析】
根據(jù)切線的斜率為,利用導(dǎo)數(shù)列方程,由此求得切點的坐標(biāo),進(jìn)而求得切線方程,通過對比系數(shù)求得的值.【詳解】,則,所以切點為,故切線為,即,故.故答案為:【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解曲線的切線方程有關(guān)問題,屬于基礎(chǔ)題.16、231,321,301,1【解析】
分個位數(shù)字是1、3兩種情況討論,即得解【詳解】0,1,2,3這4個數(shù)字所組成的無重復(fù)數(shù)字比210大的所有三位奇數(shù)有:(1)當(dāng)個位數(shù)字是1時,數(shù)字可以是231,321,301;(2)當(dāng)個位數(shù)字是3時數(shù)字可以是1.故答案為:231,321,301,1【點睛】本題考查了分類計數(shù)法的應(yīng)用,考查了學(xué)生分類討論,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)由直線可得橢圓右焦點的坐標(biāo)為,由中點可得,且由斜率公式可得,由點在橢圓上,則,二者作差,進(jìn)而代入整理可得,即可求解;(2)設(shè)直線,點到直線的距離為,則四邊形的面積為,將代入橢圓方程,再利用弦長公式求得,利用點到直線距離求得,根據(jù)直線l與線段AB(不含端點)相交,可得,即,進(jìn)而整理換元,由二次函數(shù)性質(zhì)求解最值即可.【詳解】(1)直線與x軸交于點,所以橢圓右焦點的坐標(biāo)為,故,因為線段AB的中點是,設(shè),則,且,又,作差可得,則,得又,所以,因此橢圓的方程為.(2)由(1)聯(lián)立,解得或,不妨令,易知直線l的斜率存在,設(shè)直線,代入,得,解得或,設(shè),則,則,因為到直線的距離分別是,由于直線l與線段AB(不含端點)相交,所以,即,所以,四邊形的面積,令,,則,所以,當(dāng),即時,,因此四邊形面積的最大值為.【點睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查橢圓中的四邊形面積問題,考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查運算能力.18、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)題意,求得,,因而得出,利用降冪公式和二倍角的正弦公式化簡函數(shù),最后利用,求出的最小正周期;(2)由(1)得,再利用整體代入求出函數(shù)的值域.【詳解】(1)因為,,所以,,所以函數(shù)的最小正周期為.(2)因為,所以,所以,故函數(shù)在區(qū)間上的值域為.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的周期和值域,運用到向量的坐標(biāo)運算、降冪公式和二倍角的正弦公式,考查化簡和計算能力.19、(1)增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2).【解析】
(1)由題意利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求得的解析式,然后利用余弦函數(shù)的單調(diào)性,得出結(jié)論;(2)由題意利用余弦函數(shù)的圖象的對稱性求得,再根據(jù)余弦函數(shù)的定義域和值域,得出結(jié)論.【詳解】由題意得(1)向左平移個單位得到,增區(qū)間:解不等式,解得,減區(qū)間:解不等式,解得.綜上可得,的單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2)由題易知,,因為的一條對稱軸是,所以,,解得,.又因為,所以,即.因為,所以,則,所以在的值域是.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)圖象變換規(guī)律,余弦函數(shù)圖象的對稱性,余弦函數(shù)的單調(diào)性和值域,屬于中檔題.20、(1)(2)【解析】
(1)求得,根據(jù)已知條件得到在恒成立,由此得到在恒成立,利用分離常數(shù)法求得的取值范圍.(2)構(gòu)造函數(shù)設(shè),利用求二階導(dǎo)數(shù)的方法,結(jié)合恒成立,求得的取值范圍,由此求得的最小值.【詳解】(1)因為在上單調(diào)遞增,所以在恒成立,即在恒成立,當(dāng)時,上式成立,當(dāng),有,需,而,,,,故綜上,實數(shù)的取值范圍是(2)設(shè),,則,令,,在單調(diào)遞增,也就是在單調(diào)遞增,所以.當(dāng)即時,,不符合;當(dāng)即時,,符合當(dāng)即時,根據(jù)零點存在定理,,使,有時,,在單調(diào)遞減,時,,在單調(diào)遞增,成立,故只需即可,有,得,符合綜上得,,實數(shù)的最小值為【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)
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