2022年復(fù)變函數(shù)論試題庫

《復(fù)變函數(shù)論》試題庫

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（一）

一、判斷題（20分）：

1.若f（z）在z。的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)f（z）在z。解析.（）

2.有界整函數(shù)必在整個復(fù)平面為常數(shù).（）

3.若億｝收斂，則惆z”｝與｛Imz〃｝都收斂.（）

4.若f（z）在區(qū)域D內(nèi)解析，且/Q）三。，則/（2）三。（常數(shù)）.（）

5.若函數(shù)f（z）在z。處解析，則它在該點的I某個鄰域內(nèi)可以展開為幕級數(shù).（）

6.若zo是,（Z）的Jm階零點，則z。是l/"z）區(qū)|m階極點.（）

limf（z）

7.若ZTZ。存在且有限，則Z。是函數(shù)f（z）的可去奇點.（）

8.若函數(shù)f（z）在是區(qū)域D內(nèi)的單葉函數(shù)，則/'（z）HO（Vze。）.（）

9.若火z）在區(qū)域。內(nèi)解析，則對。內(nèi)任一簡樸閉曲線cL/（z）dz=O.

（）

10.若函數(shù)f（z）在區(qū)域D內(nèi)的某個圓內(nèi)恒等于常數(shù)，則f（z）在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù).（）

二.填空題（20分）

rdz

=

1、J|z-Zoi=i（z_Zo）??（"為自然數(shù)）

.?2

2sin-z+cosz=

3.函數(shù)sinz的周期為

4.設(shè)-z?+1,則于⑶的孤立奇點有.

5.基級數(shù)￡〃z”的收斂半徑為.

n=0

6.若函數(shù)f(z)在整個平面上到處解析，則稱它是.

1.Z[+Z)+.??+Z”

limz“=Jlim------=-----------

7.若‘則38n

Re.v(—,0)=

8.其中n為自然數(shù).

sinz

9.------的孤立奇點為.

Z

〃、lim/(z)=

10.若Z。是/(2)的極點，貝ijZfZo

三.計算題(40分)：

/(z)=----------------------

1.設(shè)(zT)(z-2),求/⑶在。={z:O<|z|<l}內(nèi)的羅朗展式.

[---dz.

2,J|z|=1COSZ

/Y)一f3{+1

3.設(shè)"z，其中C={z:|z|=3},試求八1+)

Z-1

w=----

4.求復(fù)數(shù)z+1的實部與虛部.

四.證明題.(20分)

1.函數(shù)/(2)在區(qū)域￡)內(nèi)解析.證明：如果|/"(Z)|在。內(nèi)為常數(shù)，那么它在。內(nèi)

為常數(shù).

2.試證：/(z)=*F^在割去線段OWRezWl的z平面內(nèi)能分出兩個單值解析分支,

并求出支割線0WRezW1上岸取正值的那支在z=-l時值.

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（二）

一.判斷題.（20分）

1.若函數(shù)/（z）=M（x,y）+iv（x,y）在。內(nèi)持續(xù)，則與v（x,y）都在。內(nèi)持續(xù).

（）

2.cosz與sinz在復(fù)平面內(nèi)有界.（）

3.若函數(shù)_Az）在zo解析，則_Az）在zo持續(xù).（）

4.有界整函數(shù)必為常數(shù).（）

5.如zo是函數(shù)?z）的I本性奇點，則lim/（z）一定不存在.（）

ZfZo

6.若函數(shù)/（z）在zo可導(dǎo)，則y（z）在zo解析.（）

7.若火z）在區(qū)域。內(nèi)解析，則對。內(nèi)任一簡樸閉曲線。1/（2）a=0.

（）

8.若數(shù)列｛zj收斂，則｛Rez“｝與｛Imz,J都收斂.（）

9.若貝2）在區(qū)域。內(nèi)解析，則|*z）|也在。內(nèi)解析.（）

10.存在一種在零點解析的I函數(shù)〃）使/（」一）=0且，.…

〃+12112n

（）

二.填空題.（20分）

1.設(shè)2=一九則|z|=__,argz=__,2=一

2.^/（z）=（x2+2xy）+z（l-sin（x2+y2）,Vz=x+iyeC）則lim/（z）=.

Z—>1+1

rdz

3

-J|z-z0|=l（7-7）"-.........-（〃為自然數(shù)）

幕級數(shù)E〃z"的收斂半徑為

5.若zo是人z）的I根階零點且，心0,則zo是/'（z）的零點.

6.函數(shù)瓏的周期為.

7.方程2Z5-Z3+3Z+8=0在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為.

8.設(shè)/（z）=—J,則/（z）的孤立奇點有_______.

1l+Iz一/

函數(shù)f（z）HZI時不解析點之集為

Z—1

io.Res(-^-,1)

三.計算題.（40分）

1.求函數(shù)sM（2z3）的幕級數(shù)展開式.

2.在復(fù)平面上取上半虛軸作割線.試在所得的區(qū)域內(nèi)取定函數(shù)五

在正實軸取正實值的一種解析分支，并求它在上半虛軸左沿的點及右

沿的點Z=1處的I值.

3.計算積分：/=「|z|dz,積分途徑為（1）單位圓（|z|=l）

的右半圓.

4.求2

四.證明題.（20分）

1.設(shè)函數(shù)五z）在區(qū)域。內(nèi)解析，試證：?z）在。內(nèi)為常數(shù)的充要條件是布在

D內(nèi)解析.

2.試用儒歇定理證明代數(shù)基本定理.

《復(fù)變函數(shù)》考試試題(三)

一.判斷題.(20分).

1.cosz與sinz的周期均為2左乃.()

2.若f(z)在a處滿足柯西-黎曼條件，則f(z)在於解析.()

3.若函數(shù)F(z)在z0處解析，則f(z)在％持續(xù).()

4.若數(shù)列｛z,J收斂，則｛Rez,J與｛Imz,J都收斂.()

5.若函數(shù)f(z)是區(qū)域〃內(nèi)解析且在〃內(nèi)的某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則數(shù)f(z)在區(qū)

域。內(nèi)為常數(shù).()

6.若函數(shù)/"(z)在z。解析，則/1(z)在a的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo).()

7.如果函數(shù)f(z)在￡>=｛z:|z區(qū)1｝上解析，且|/(z)|41(|z|=l),則

|/(z)|<l(|z|<l).()

8.若函數(shù)F(z)在z°處解析，則它在該點的某個鄰域內(nèi)可以展開為基級數(shù).

()

9.若Zo是/(z)%)加階零點，則Zo是l//(z)及J/階極點.()

10.若Z0是/(Z)的I可去奇點，則ReS(/(2),20)=0.()

二.填空題.(20分)

1.設(shè)/(z)=4,則f(z)時定義域為_________.

Z+1

2.函數(shù)/歐|周期為.

3.若2“=^^+[(1+,)"，貝1」隔2“=________.

1-Hn8

.72

4A.sin-z+cosz-.

pdz

5

-Jiz-2oi=i(z-zoy----------("為自然數(shù))

6.基級數(shù)￡〃尤"歐I收斂半徑為.

〃=0

7.設(shè)F(Z)=2「，則Hz)的孤立奇點有,

8.設(shè)6~=—1,則2=.

9.若z0是/'(2)的極點，則lim/(z)=.

ZfZo

e二

io.Res(—,0)=___.

z”

三.計算題.(40分)

1.將函數(shù)/(z)=z2ez在圓環(huán)域0<|z|V8內(nèi)展為Laurent級數(shù).

〃！

2.試求幕級數(shù))—Zn的收斂半徑.

n=YI

3.算下列積分：f::一，其中。是|Z|二L

J22

CZ(Z-9)

4.求z，—2z‘+z~—8z—2=0在|z|<1內(nèi)根的個數(shù).

四.證明題.(20分)

1.函數(shù)/(z)在區(qū)域O內(nèi)解析.證明：如果|/(z)|在。內(nèi)為常數(shù)，那么它

在。內(nèi)為常數(shù).

2.設(shè)/（Z）是一整函數(shù)，并且假定存在著一種正整數(shù)n,以及兩個正數(shù)R及M,

使得當(dāng)|ZeH時

\f（z）\<M\z\n,

證明/（Z）是一種至多A次的多項式或一常數(shù)。

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（四）

判斷題.（20分）

1.若/U）在Z0解析，則/2）在ZO處滿足柯西-黎曼條件.（）

2.若函數(shù)_/（z）在zo可導(dǎo)，則.穴z）在zo解析.（）

3.函數(shù)sinz與cosz在整個復(fù)平面內(nèi)有界.（）

4.若左）在區(qū)域。內(nèi)解析，則對。內(nèi)任一簡樸閉曲線。均有（、/（z）dz=O.

（）

5.若山n/（z）存在且有限，則zo是函數(shù)歐I可去奇點.（）

6.若函數(shù)式Z）在區(qū)域。內(nèi)解析且r（z）=O,則危）在。內(nèi)恒為常數(shù).()

7.如果zo是/(z)的I本性奇點，則11m/(Z)一定不存在.()

ZTZo

8.若/(z())=O,/(")(Zo)=0,則Z0為了(2)的1〃階零點.()

9.若/(Z)與g(Z)在。內(nèi)解析，且在。內(nèi)一小弧段上相等，則

/(z)=^(z),zeD.()

10.若/(2)在0<|z|<+8內(nèi)解析，則

Res(/(z),O)=-Res(/(z),oo).()

二.填空題.(20分)

1「T

1.設(shè)z=--，則Rez=,Imz=

1_i-...

2.若limz,Y，則lim馬+22+…+z”=_________.

〃一>8"

3.函數(shù)比日勺周期為.

4.函數(shù)/(z)=—二的基級數(shù)展開式為

1+z

5.若函數(shù).*z)在復(fù)平面上到處解析，則稱它是.

6.若函數(shù)_/(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個極點之外到處解析，則稱它是D內(nèi)的

7.設(shè)C:|z|=1,則［(z-l)dz=

sinz

8.的孤立奇點為

Z

9.若z0是/'(2)的極點，則lim/(z)=

ZfZo

10.Res(jo)=___________

z

三計算題.(40分)

1.解方程d+l=0.

2.設(shè)/(z)=F_-,求Res(/(z),oo).

z—1

3f-------r-------dz.

3.J|z|=2（9_z2）（z+i）-

1___1

4.函數(shù)/（z）=7T1一三有哪些奇點？各屬何類型（若是極點，指明它的階數(shù)）.

四.證明題.（20分）

1.證明：若函數(shù)/（Z）在上半平面解析，則函數(shù)/（2）在下半平面解析.

2.證明z4-6z+3=0方程在l<|z|<2內(nèi)僅有3個根.

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（五）

—,判斷題.（20分）

1.若函數(shù)_Az）是單連通區(qū)域。內(nèi)的解析函數(shù)，則它在。內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).（）

2.若函數(shù),大力在區(qū)域。內(nèi)的解析，且在。內(nèi)某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域。內(nèi)

恒等于常數(shù).（）

3.若/U）在區(qū)域。內(nèi)解析，則代z）|也在。內(nèi)解析.（）

4.若基級數(shù)歐I收斂半徑不小于零，則其和函數(shù)必在收斂圓內(nèi)解析.

()

5.若函數(shù)位)在zo處滿足Cauchy-Riemann條件，則危)在zo解析.()

6.若存在且有限，則zo是4z)時可去奇點.()

ZTZ。

7.若函數(shù).*z)在zo可導(dǎo)，則它在該點解析.()

8.設(shè)函數(shù)/(Z)在復(fù)平面上解析，若它有界，則必/(Z)為常數(shù).()

9.若Z。是/(Z)的一級極點，則

Res(/(z),z0)=lim(z-z0)/(z).()

ZfZo

10.若/(z)與g(z)在。內(nèi)解析，且在。內(nèi)一小弧段上相等，則

f(z)=g(z),z&D.()

二.填空題.(20分)

1.設(shè)z=1—6"則|z|=_,argz=_,z=_.

2.當(dāng)2=時，/為實數(shù).

3.設(shè)d=—1,則2=.

4.?z的?周期為_

5.設(shè)C:|z|=1,則，(z-l)dz=.

ez-1

6.Res(-----,0)=.

z

7.若函數(shù)7(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個極點之外到處解析，則稱它是D內(nèi)的

&函數(shù)/⑶=9的累級數(shù)展開式為——

sinz

9.的孤立奇點為

z

10.設(shè)C是覺得a心，「為半徑的I圓周，則I*----------dz=.（〃為自

Jc（z-Q）〃

然數(shù)）

三.計算題.（40分）

z—1

1.求復(fù)數(shù)-----的實部與虛部.

Z+1

2.計算積分：

/=￡Rezdz,

在這里L(fēng)表達(dá)連接原點到1+i的直線段.

「2乃dO

3.求積分：/=-----------------其中0<a</.

Jo1-2acose+"

4.應(yīng)用儒歇定理求方程Z=0（Z）,在|z|<l內(nèi)根的I個數(shù)，在這里夕（Z）在

|z|?l上解析，并且［0（z）|<L

四.證明題.（20分）

1.證明函數(shù)/（Z）=|Z/除去在Z=0外，到處不可微.

2.設(shè)/（Z）是一整函數(shù)，并且假定存在著一種正整數(shù)〃，以及兩個數(shù)H及M,

使得當(dāng)|z巳R時

\f（z）\<M\z\n,

證明:/（z）是一種至多〃次的I多項式或一常數(shù).

《復(fù)變函數(shù)》考試試題(六)

一、判斷題(30分):

1.若函數(shù)/(Z)在Z0解析，則/(Z)在Z。持續(xù).()

2.若函數(shù)/(z)在Z。處滿足Caychy-Riemann條件，則/(z)在z0解析.()

3.若函數(shù)/(z)在Z。解析，則/(z)在z0處滿足Caychy-Riemann條件.()

4.若函數(shù)/(z)在是區(qū)域。內(nèi)的單葉函數(shù)，則/'(Z)WO(VZE。).()

5.若/(z)在單連通區(qū)域。內(nèi)解析，則對。內(nèi)任一簡樸閉曲線。均有Jc/(z)dz=O.

()

6.若/(z)在區(qū)域。內(nèi)解析，則對。內(nèi)任一簡樸閉曲線C均有「，(2)龍=0.()

7.若r(z)HO(VzG。)，則函數(shù)/(z)在是。內(nèi)的單葉函數(shù).()

8.若z0是/(z)的加階零點，則z0是」一附加階極點.()

/(z)

9.如果函數(shù)/(z)在。={z:|z|《l}上解析，且|/(z)|Wl(忖=1),則|/(z)歸1(忖<1).

()

10.|sinz|<l(VzeC).()

二、填空題(20分)

1.若z“=葉2+黑+3",則limz“=.

1-71n

2.設(shè)/(z)=」一，則/(z)的定義域為.

Z+1

3.函數(shù)sinz的周期為.

4.sin2z+cos2z=.

5.累級數(shù)Z〃z”的收斂半徑為.

/i=0

6.若z0是/(z)附加階零點且〃2>1,則Z。是/'(z)的零點.

7.若函數(shù)/(z)在整個復(fù)平面到處解析，則稱它是.

8.函數(shù)/。)=忖的不解析點之集為.

9.方程2z5—z3+3z+8=0在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為.

10.公式e"=cosx+isinx稱為.

三、計算題(30分)

(2-iX

1、lim---

〃T8<6)

2、設(shè)/⑶=13九；7：+〃,其中c={z：|z|=3},試求f'(l+i).

3、設(shè)/(z)=R,求Res(/(z),i).

z~+l

?3

4、求函數(shù)號-在0〈回<8內(nèi)的1羅朗展式.

z—1

5、求復(fù)數(shù)卬=——的實部與虛部.

z+1

6、求e3歐I值.

四、證明題(20分)

1、方程z7+9z6+6z3-1=0在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為6.

2、若函數(shù)f(z)="(x,y)+Mx,y)在區(qū)域。內(nèi)解析，丫(丁若等于常數(shù)，則f(z)在。恒等

于常數(shù).

3、若Z。是/(z)的m階零點，則z。是一!一時加階極點.

/(z)

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（七）

一、判斷題（24分）

1.若函數(shù)/（z）在Z。解析，則/（z）在z0的某個領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo).（）

2.若函數(shù)f（z）在Z。處解析，則/（z）在z0滿足Cauchy-Riemann條件.（）

3.如果z0是/（z）的I可去奇點，則lim/（z）一定存在且等于零.（）

工7為

4.若函數(shù)/（2）是區(qū)域。內(nèi)的單葉函數(shù)，則/'（2）工0（726。）.（）

5.若函數(shù)/（Z）是區(qū)域。內(nèi)的解析函數(shù)，則它在。內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).（）

6.若函數(shù)/（z）在區(qū)域。內(nèi)的解析，且在。內(nèi)某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域。內(nèi)恒等于

常數(shù).（）

7.若Z。是/（Z）的加階零點，則Z。是」一的J〃2階極點.（）

于（Z）

二、填空題（20分）

1.若z〃=sin-—+/（I+，則limz“=.

1-nn

2.設(shè)/Xz）=Fz^,則/（z）的定義域為.

z+1

3.函數(shù)/的周期為.

4.sin2z+cos2z-.

+82

5.基級數(shù)Z〃為“一時收斂半徑為.

〃=0

6.若z0是/（z）的加階零點且相＞1,則z0是/'（z）的零點.

7.若函數(shù)/（z）在整個復(fù)平面到處解析，則稱它是.

8.函數(shù)/(z)=M的不解析點之集為.

9.方程3z'-z'+3z+8=0在單位圓內(nèi)的I零點個數(shù)為.

10.Res(—-,0)—.

三、計算題(30分)

2、設(shè)加)=晨丸；—"，其中C={z：|z|=3},試求/(1+i).

3、設(shè)/(z)=:，求Res(/(z),0).

Z

z

4、求函數(shù)-----=-----在l<|z|<2內(nèi)的)羅朗展式.

(z-l)(z+l)11

z—1

5、求復(fù)數(shù)卬=——日勺實部與虛部.

z+1

6、運用留數(shù)定理計算積分：［-------,

Joa+cosx

四、證明題(20分)

1、方程24z7+9z6+6z3+z3+1=0在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7.

2、若函數(shù)/(z)=〃(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域。內(nèi)解析，|/(z)|等于常數(shù)，則/(z)在。恒等

于常數(shù).

3、若z。是/(z)附加階零點，則z()是一--歐I加階極點.

/(z)

五、計算題(10分)

求一種單葉函數(shù)，去將z平面上的上半單位圓盤{z:忖<1,Imz>0}保形映射為w平面的)單

位圓盤{卬:|可<1}

《復(fù)變函數(shù)》考試試題(八)

一、判斷題(20分)

1、若函數(shù)/(Z)在Z。解析，則/(Z)在Z。持續(xù).()

2、若函數(shù)/(z)在z0滿足Cauchy-Riemann條件，則/(z)在z。處解析.()

3、如果z0是/(z)的本性奇點,則lim/(z)一定不存在.()

ZTZQ

4、若函數(shù)/(z)是區(qū)域。內(nèi)解析，并且/'(z)HO(Vze域),則/(z)是區(qū)域。的單葉函數(shù).

()

5、若函數(shù)/(z)是區(qū)域。內(nèi)的解析函數(shù)，則它在。內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).()

6、若函數(shù)/(z)是單連通區(qū)域。內(nèi)的每一點均可導(dǎo)，則它在。內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).()

7、若函數(shù)/⑶在區(qū)域。內(nèi)解析且尸(z)=0,則/⑶在。內(nèi)恒為常數(shù).()

8.存在一種在零點解析的函數(shù)/(z)使/(」一)=0且/(1—)=[-,〃=1,2,.()

幾十12n2n

9.如果函數(shù)/(z)在￡>={z:|z|Wl}上解析，且V(z)|WlQz|=l),則|/(z)|<l(|z]〈l).

()

10.sinz是一種有界函數(shù).()

二、填空題(20分)

1、若z"="2+z(l+—)",則limZ"=.

\—nn

2、設(shè)/(z)=lnz,則/(z)的定義域為.

3、函數(shù)sinz的周期為.

4、若limz〃=J,貝1]lim+z?+——互-_______________.

"T8n—>co〃

5、幕級數(shù)Z〃z"'的收斂半徑為.

n=0

6、函數(shù)/"(z)=—的塞級數(shù)展開式為.

1+z

7、若C是單位圓周，〃是自然數(shù)，則f--■—dz=____________.

k(z-z。)"

8、函數(shù)/。)=目的不解析點之集為.

9、方程15z5-z3+4z2+8=0在單位圓內(nèi)的J零點個數(shù)為.

10、若/(z)=—二，則/(z)的孤立奇點有.

1+Z

三、計算題(30分)

1、求[ez+]sinzdz+-^―[---------

J|W=12疝』z|=3(2-l)(z-4)

2、設(shè)/"(z)=+14九，其中C={z:|z|=3},試求/'(1+i).

3、設(shè)/(z)=—^,求Res(/(z),8).

4、求函數(shù)一"7一在正<⑸<+8內(nèi)區(qū)I羅朗展式.

(Z-1)(Z2-2)11

z—1

5、求復(fù)數(shù)卬=——區(qū)I實部與虛部.

z+1

四、證明題(20分)

1、方程15z7+5z6+6Z3-1=0在單位圓內(nèi)的根改I個數(shù)為7.

2、若函數(shù)/(z)=M(x,y)+iu(x,y)在區(qū)域。內(nèi)持續(xù)，則二元函數(shù)“(x,y)與以x,y)都在。

內(nèi)持續(xù).

4、若z。是/(z)的機(jī)階零點，則Z。是一—附加階極點.

/(z)

五、計算題(10分)

求一種單葉函數(shù)，去將Z平面上的區(qū)域jz:0<argz<g萬%呆形映射為w平面的I單位圓盤

{w：M<1}.

《復(fù)變函數(shù)》考試試題(九)

一、判斷題(20分)

1、若函數(shù)/(z)在Z?？蓪?dǎo)，則/(z)在z0解析.()

2、若函數(shù)/(z)在Z。滿足Cauchy-Riemann條件，則/(z)在Z。處解析.()

3、如果z0是f(z)的極點，則limf(z)一定存在且等于無窮大.()

zfe

4、若函數(shù)/(z)在單連通區(qū)域。內(nèi)解析，則對。內(nèi)任一簡樸閉曲線C均有Jc，(z)dz=O.

()

5、若函數(shù)/(z)在z。處解析，則它在該點的某個領(lǐng)域內(nèi)可以展開為基級數(shù).()

6、若函數(shù)/(z)在區(qū)域。內(nèi)的解析，且在。內(nèi)某一條曲線上恒為常數(shù)，則/(z)在區(qū)域。內(nèi)

恒為常數(shù).()

7、若z()是/(z)的加階零點，則Z。是-----EF'Jm階極點.()

f(z)

8、如果函數(shù)/(z)在。={z:|z|Wl}上解析,且|/(2)K1(目=1),則|/(2)區(qū)1(目41).()

9、lime2=8.()

ZToo

10、如果函數(shù)/(z)在|z|wi內(nèi)解析，則m?x{|/(z)|}=平ax{|/(z)|}.()

*1|z|=l

二、填空題(20分)

1、若z“=sin—^―+/(I-,則limzn=.

\+nn

2、設(shè)/(z)=」一，則/(z)時定義域為.

sinz

3、函數(shù)sinz的周期為.

4>sin2z+cos2z=.

5、幕級數(shù)Z〃z”的收斂半徑為.

〃=0

6、若z0是/(z)的加階零點且〃2>1,則z0是/'(z)的零點.

7、若函數(shù)/(z)在整個復(fù)平面除去有限個極點外，到處解析，則稱它是一

8、函數(shù)/(z)=z的不解析點之集為.

9、方程20Z8-11Z3+3Z+5=0在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為.

ez

10>Re5(——,1)=.

z—1

三、計算題(30分)

2、設(shè)/(z)其中c={z:|z|=3},試求/'(l+i).

3、設(shè)/(z)=^—,求Res(/(z),±i).

z"+1

4、求函數(shù)-----------在1<憶<2內(nèi)的羅朗展.

(z-l)(z-2)

7—1

5、求復(fù)數(shù)w=——的實部與虛部.

z+1

6、運用留數(shù)定理計算積分J：/I+募jg公?

四、證明題(20分)

1、方程z7+9z6+6z3-l=0在單位圓內(nèi)的J根的個數(shù)為6.

2、若函數(shù)/(z)=〃(x,y)+iu(x,y)在區(qū)域。內(nèi)解析，”(x,y)等于常數(shù)，則f(z)在。恒等

于常數(shù).

7、若Z。是/(z)的加階零點，則z0是」一時機(jī)階極點.

f(z)

五、計算題(10分)

求一種單葉函數(shù)，去將z平面上附帶開區(qū)域，z:]<Imz<不｝保形映射為w平面的單位圓

盤｛w：IM<i｝.

《復(fù)變函數(shù)》考試試題(十)

一、判斷題(40分):

1、若函數(shù)/(z)在z°解析，則/(z)在z0的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo).()

2、如果z0是/(z)的本性奇點,則lim/(z)一定不存在.()

ZT/

3^若函數(shù)/(z)=〃(x,y)+Zv(x,y)在。內(nèi)持續(xù),則“(x,y)與v(x,y)都在。內(nèi)持續(xù).()

4,cosz與sinz在復(fù)平面內(nèi)有界.()

5、若z0是/(z)附加階零點，則z°是l//(z)的機(jī)階極點.()

6、若/(z)在z0處滿足柯西-黎曼條件，則/(z)在z°解析.()

7、若lim/(z)存在且有限，則Z。是函數(shù)的可去奇點.()

ZTZ。

8、若/(z)在單連通區(qū)域。內(nèi)解析，則對。內(nèi)任一簡樸閉曲線。均有「/(x)龍=0.()

9、若函數(shù)/(z)是單連通區(qū)域。內(nèi)的解析函數(shù)，則它在。內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).()

10、若函數(shù)/(z)在區(qū)域。內(nèi)解析，且在。內(nèi)某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域。內(nèi)恒等于常

數(shù).()

二、填空題(20分)：

1、函數(shù)/的周期為.

2、基級數(shù)的和函數(shù)為.

/i=0

3、設(shè)/(z)=——，則f(z)的定義域為.

Z+1

4、Z〃z"的收斂半徑為.

71=0

5、Res(J,0)=.

三、計算題(40分)：

1、f-----r-----dz.

JW(9-Z2)(Z+Z)

2、求Res(e.,T).

1+z

4、設(shè)〃(x,y)=ln(x2+y2).求y(x,y),使得/(z)="(x,y)+iy(x,y)為解析函數(shù)，且滿足

/(l+z)=ln2o其中ze。(。為復(fù)平面內(nèi)日勺區(qū)域).

5、求z4—5z+l=0,在國＜1內(nèi)根的個數(shù).

《復(fù)變函數(shù)》考試試題(十一)

一、判斷題.(對的者在括號內(nèi)打J,錯誤者在括號內(nèi)打X,每題2分)

1.當(dāng)復(fù)數(shù)z=0時，其模為零，輻角也為零.()

n

2.若z0是多項式P(z)=anz+++4(4產(chǎn)°)的根，則也P(z)是的根.()

3.如果函數(shù)/(z)為整函數(shù)，且存在實數(shù)使得Re/(z)<M,則/(z)為一常數(shù).()

4.設(shè)函數(shù)工(z)與人(z)在區(qū)域內(nèi)。解析，且在。內(nèi)的一小段弧上相等，則對任意的ZED,

有工(z)三&(z).()

5.若2=8是函數(shù),f(z)時可去奇點，則Res/(z)=O.()

二、填空題.(每題2分)

71y7t

2.設(shè)z=x+（ywO,且一萬vargzW/，——<arctan—<—,當(dāng)x<0,y>0時，

2x2

y

arg=arctan—+.

x

3.函數(shù)卬=,將2平面上的曲線(x-l)2+y2=i變成卬平面上的曲線.

Z

4.方程z4+a4=0(。＞0)的不同的根為.

5.(1+Z),.

6.級數(shù)￡[2+(-1)"上2的收斂半徑為.

71=0

7.cos〃z在目＜〃(〃為正整數(shù))內(nèi)零點的個數(shù)為.

8.函數(shù)/(z)=6sinz3+z3(z6-6)的零點z=0時階數(shù)為.

9.設(shè)a為函數(shù)/(z)=也的一階極點，且夕(幻/0,沙(a)=0,/(。)#0,則

沙⑵

r（z）

Res

z=a/⑶

f'(z)

10.設(shè)。為函數(shù)/(z)的加階極點，則Res/二-=______________________.

a/(z)

三、計算題(50分)

1.設(shè)〃(x,y)=gln(x?+V)。求y(x,y),使得/(2)=”(羽＞0+訓(xùn)＞,切為解析函數(shù)，且

滿足/'(l+i)=；ln2.其中ze。(。為復(fù)平面內(nèi)的區(qū)域).(15分)

2.求下列函數(shù)的奇點，并擬定其類型(對于極點要指出它們的階).(10分)

p2-\

（1）tan2z；（5分）（2）-----.（5分）

ez-1

3.計算下列積分.（15分）

z19

（1）[「——「---Tdz（8分），

Jl=H（z2+l）4（z4+2）3

、id6

（z2）［------（7分）.

J。1+COS-。

4.論述儒歇定理并討論方程z7—5z4+z2—2=0在忖＜1內(nèi)根的個數(shù).（10分）

四、證明題（20分）

1.設(shè)/仁）=〃（X》）+加（乂歷是上半復(fù)平面內(nèi)的解析函數(shù)，證明/3）是下半復(fù)平面內(nèi)的解

析函數(shù).（10分）

2.設(shè)函數(shù)/⑶在忖＜R內(nèi)解析，令A(yù)/（r）=m『x|/（z）］,（0＜r＜/?）?證明：M⑺在區(qū)

間［0,R）上是一種上升函數(shù)，且若存在4及為（0＜（＜弓＜R）,使"儲）="（幻，則

/（z）三常數(shù).（10分）

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（十二）

二、判斷題。（對的者在括號內(nèi)打J,錯誤者在括號內(nèi)打x,卷題2分）

1.設(shè)復(fù)數(shù)Z］=玉+以及Z2=友2+82，若玉=工2或則稱Z［與z2是相等的I復(fù)數(shù)。

（）

2.函數(shù)/（z）=Rez在復(fù)平面上到處可微。（）

3.sin'z+cos'zul且binz|wi"8sz|wi。（）

4.設(shè)函數(shù)/（z）是有界區(qū)域。內(nèi)的非常數(shù)的J解析函數(shù)，且在閉域。上持續(xù)，則存

在">0,使得對任意的ZG。，有|/（Z）|<M。（）

5.若函數(shù)/（z）是非常的整函數(shù)，則/（z）必是有界函數(shù)。（）

二、填空題。（每題2分）

1./.j3.j4.j5.j6=o

冗y

2.設(shè)z=x+iywO,且一萬<argzW〃，——<arctan—<—,當(dāng)xv0,y>0時，

2x2

y

arg=arctan—+。

x

3.若已知/（z）=x（l+^^）+》（l-—則其有關(guān)變量z的體現(xiàn)式為________?

廠+yx+y

4.Vz以2=為支點。

TT

5.若Inz=—i,則z=o

2

,f&

6-----------------------------------0

7.級數(shù)1+Z?+Z4+Z6+的收斂半徑為o

8.cos〃z在目<〃（〃為正整數(shù)）內(nèi)零點的個數(shù)為。

9.若z=〃為函數(shù)/（z）的一種本質(zhì)奇點，且在點〃的充足小的鄰域內(nèi)不為零，則z=a是

「一的________________奇點。

/（Z）

10.設(shè)a為函數(shù)/（z）歐J”階極點，則Res〃"=__________________。

z="f（z）

三、計算題（50分）

1.設(shè)區(qū)域。是沿正實軸割開的z平面，求函數(shù)卬=&在。內(nèi)滿足條件口=-1的單值

持續(xù)解析分支在z=l—i處之值。（10分）

2.求下列函數(shù)的奇點，并擬定其類型（對于極點要指出它們的階），并求它們留數(shù)。（15分）

/nz

（1）/（Z）=F—的各解析分支在Z=1各有如何的孤立奇點，并求這些點的留數(shù)（10分）

z2-l

（2）求Res--o（5分）

z=oz

3.計算下列積分。（15分）

rz7

"）IH（Z2-1）3（Z2+2）JZ超分），

（2）「（?！怠悖惴郑?。

J-00（xJ+”a）

4.論述儒歇定理并討論方程z6+6z+10=0在忖＜1內(nèi)根的個數(shù)。（10分）

四、證明題（20分）

I.討論函數(shù)/（z）="在復(fù)平面上的解析性。（10分）

2.證明：

此處。是環(huán)繞原點的一條簡樸曲線。（10分）

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（十三）

一、填空題.(每題2分)

1.設(shè)z=r(cos。+z'sin8),則'=.

z

2.設(shè)函數(shù)f(z)="(x,y)+，(x,y),A=u+iv,z=x+zy,則lim/(z)=A的充

00000Z—Zb

要條件是.

3.設(shè)函數(shù)/(z)在單連通區(qū)域。內(nèi)解析，則/(z)在。內(nèi)沿任意一條簡樸閉曲線C的)積分

Jj(z)dz=------------------------

4.設(shè)z=。為f(z)的I極點，則limf(z)=?

5.設(shè)/(z)=zsinz,則z=0是/(z)的階零點.

6.設(shè)/(z)=-L，則/(z)在z=0的鄰域內(nèi)的泰勒展式為.

1+Z

7.設(shè)|z—a|+|z+a|=/?,其中a乃為正常數(shù)，則點z的軌跡曲線是.

7T7T

8.設(shè)z=-sin--icos—,貝ijz的三角表達(dá)為?

66

9.Fzcoszdz=_________________________?

Jo

10.設(shè)/(z)=4，則/(z)在z=0處的留數(shù)為.

z

二、計算題.

1.計算下列各題.(9分)

⑴cosz；(2)ln(-2+30;(3)3"'

2.求解方程Z3+8=0.(7分)

3.設(shè)"=%2-丁2+村，驗證〃是調(diào)和函數(shù)，并求解析函數(shù)/(z)=〃+iv,使之

f{i}=-\+i.(8分)

4.計算積分.(10分)

⑴￡(x123+iy)dz,其中C是沿y=》2由原點到點z=l+2.時曲線.

(2)["[(X-田+&2拉，積分途徑為自原點沿虛線軸到i,再由i沿水平方向向右到1+i.

J0

5.試將函數(shù)/(z)=(__：」)分別在圓環(huán)域0＜忖＜1和1＜忖＜2內(nèi)展開為洛朗級

數(shù).(8分)

6.計算下列積分.(8分)

r5z-2.rsin2z,

(1)-dz；(2)-------dz.