2021年滬教版高二數學暑假作業(yè)：平面解析幾何【含答案】

2021年滬教版高二數學暑假作業(yè)：平面解析幾何【含答案】

一、單選題

1.拋物線=8x的準線方程是()

A.尤=4B.x=2C.x=—2D.x=—4

【答案】C

【分析】由拋物線的知識直接可得答案.

【詳解】拋物線V=8%的準線方程是1=—2

故選：C

2.直線x+3y—1=0的一個法向量可以是()

A.(3,-1)B.(3,1)C.(L3)D.(-1,3)

【答案】C

【分析】先求解出直線的一個方向向量，設出法向量，利用數量積為零計算即可.

r/u1u

【詳解】直線x+3y—1=。的一個方向向量為v=L-§,設直線的法向量為根=因為v.加=o,

所以1—不=0,得/=3,所以法向量加=。,3).

故選：C.

3.若直線(a—l)x—y—。=0不通過第二象限，則實數。的取值范圍是()

A.[1,+co)B.(1,-Hx>)C.(^?,0)0[1,+℃)D.(0,1)

【答案】A

【分析】由直線不過第二象限，討論。-1=0、。一1>0、。一1<0求。的取值范圍即可.

【詳解】由直線(a—l)x—y—。=0不通過第二象限，知：

當。一1=0,。=1時，y=—l符合題意；

當a—1>0,。>1時，直線上的點(0,一a)一定不在V軸上半部分，所以。之0,即。>1；

當。一1<0時，直線定過第二象限，不合題意；

二綜上有：ae[1,+oo)

故選：A

【點睛】本題考查了由直線方程求參數范圍，理解辨析直線不過某個象限時需要滿足的條件，應用了分類

討論，屬于簡單題.

4.確定了標準方程的形式后，已知曲線上一點的坐標就能確定其方程的是

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.橢圓或雙曲線

【答案】C

【分析】由橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程的形式可判斷其結果.

【詳解】解：因為橢圓和雙曲線的標準方程中含有2個待定的系數a,b,所以要確定其方程需要2個條件,

而拋物線的標準方程中只含有1個待定的系數0,所以只需1個條件即可，也就是已知曲線上一點的坐標

就能確定其方程，

故選：C

【點睛】此題考查了橢圓、雙曲線、拋物線的方程的確定，屬于基礎題.

5.拋物線y=4x2的準線方程是（）

A.x——2B.%=-1C.y=--D.y=--—

816

【答案】D

【分析】將拋物線方程化為標準形式，可得P=!，進一步可得準線方程.

【詳解】由＞=4必可得爐=7＞，所以夕=§,

所以準線方程為y=--=-^-.

216

故選：D

【點睛】本題考查了拋物線方程的標準形式，考查了拋物線的準線方程，屬于基礎題.

二、填空題

ab,

6.已知］2=。，則直線依+勿+。=。的傾斜角為-

【答案】-arctan—

2

【分析】先根據條件得到處=,，從而可求出直線的斜率，進一步就可以求出直線的傾斜角.

b2

ClbZ71Z71

【詳解】由，c=0可得，2a—b=3即一=—,而直線的斜率左=——=—,

12b2b2

所以直線ax+by+c=0的傾斜角為兀一arctang.

故答案為：7T-arctan—.

2

22

7.橢圓工+2L=i長軸長為.

925

【答案】10

【分析】根據橢圓的方程，求得。的值，即可求得其長軸長，得到答案.

22

【詳解】由題意，橢圓上+2-=1,可得a=51=3,

925

所以橢圓的長軸長為2a=10.

故答案為：10.

22

8.已知耳，K是橢圓C：、~+g=l的左、右焦點，點尸在c上，則△PF；工的周長為

【答案】10

【分析】根據橢圓的定義計算.

【詳解】由橢圓方程知。=3,C=J4=2，P在橢圓上，

所以歸耳|+|9|+忻閭=2a+2c=2x3+2x2=10.

故答案為：10.

9.直線＜。eR）與x軸交點的坐標為___________.

y=l+f

【答案】（5,0）

x=2—3t

【分析】根據直線〈，（teR）,令y=l+/=0求解.

y=l+t

x=2-3t

【詳解】因為直線〈，aeR）,

[y=i+f

令y=l+t=0得z=-1,

所以x=2-3t=5,

所以直線與x軸的交點的坐標為（5,0）,

故答案為：（5,0）

10.已知產為拋物線。：必=2加（夕〉0）上一點，點「到拋物線。的焦點的距離為7,到y軸的距離為5,

貝.

【答案】4

【分析】根據拋物線的定義計算.

【詳解】由題意「司=%+'=5+'=7,解得。=4.

故答案為：4.

11.經過點（2,4）的拋物線丁=依2焦點坐標是.

【答案】

【分析】把點（2,4）代入拋物線方程可得°,進而求出拋物線的標準方程，結合拋物線的性質，進而得到焦點

坐標.

【詳解】???拋物線丁=。/經過點（2,4）,

\a-1,

???拋物線標準方程為f=y,

拋物線焦點坐標為（0,工）

4

故答案為：（0,工）

4

三、解答題

12.已知向量〃=卜,血?。?=（1,0）,且（口+25）_L（萬-25）,點

（1）求點T的軌跡方程C；

（2）過點（0,1）且以（2,四）為方向向量的一條直線與軌跡方程。相交于點尸，。兩點，OP,。。所在的直

線的斜率分別是左OP，k°Q,求上的值；

V2V21

【答案】（1）—+^=1；（2）

422

【分析】（1）先由向量萬=（x,、/5y），B=（l,o）,表示出1+2石與］—2b，再由+—,即

可得出結果；

（2）先由題意得出直線PQ的方程，設尸（七,另），。（9,為），聯立直線與橢圓方程，結合韋達定理即可求

出結果.

【詳解】已知向量萬=（x,后y）,B=（l,o）,且僅+2到”萬—25）,點T（x,y）.

⑴求點T的軌跡方程C；

（2）過點（0,1）且以（2,J5）為方向向量的一條直線與軌跡方程。相交于點P,Q兩點，OP,OQ所在的直

線的斜率分別是％OP，kOQ,求自「自。的值；

解：（1）因為.=卜,&，），b=（1,0）,所以M+25=（x+2,"y）,萬一25=（x—2,0y）,

因為（3+25）1?（萬一25）,所以（萬+25）?（萬一25）=0,即（％+2）（%—2）+2/=0,

22

整理得二+匕=1;

42

（2）由題意得，直線PQ的方程：>=孝％+1,設尸（%,％）,Q（x2,y2）

[3+1

y=---x+1

2

聯立22消去丁得：必+缶_i=o所以芭々=-1，

工+匕=1

[42

同理可得，

所以kopkoQ=竺1=—.

%工22

【點睛】本題主要考查點的軌跡方程以及直線與橢圓位置關系，常需要聯立直線與橢圓方程，結合韋達定

理即可求解，屬于常考題型.

13.已知橢圓的焦點片。,0）,6（—LO），尸[°，；]過作垂直于y軸的直線被橢圓所截線段長為布，過用

作直線/與橢圓交于AB兩點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若A是橢圓與y軸負半軸的交點，求ARAB的面積；

（3）是否存在實數f使麗+而=/%,若存在，求f的值和直線/的方程；若不存在，說明理由.

【答案】解：（1）y+y2=l（2）S"旬=1（3）當直線斜率不存在時，得/=2,直線/的方程為x=l；

211

當直線斜率存在時，t=~直線點的方程為y=—‘X+Q.

【分析】（1）根據過點P作的垂直，可得橢圓上點的坐標，再根據c的值即可求得橢圓標準方程。

（2）根據點坐標，可得直線方程，再求得與橢圓的交點即可求得三角形面積。

（3）先討論斜率不存在時的情況，此時醫(yī)德A、B點坐標，代入即可求得t的值及直線方程；當斜率存在

時，設出直線方程，聯立橢圓方程，可得兩個交點橫坐標關系，再結合向量坐標運算，即可求得t的值，進

而求得直線方程。

22

【詳解】（1）設橢圓方程為=+4=1（?！?〉0）

ab

由題意點在橢圓上,a2^b2+l

+泉=1

所以

解得廿=1,所以/=2

2

X21

—+V=1

2

(2)由題意可得4(0,—1),耳(1,0)

所以過耳、4兩點的直線方程為V=x-1

代入橢圓方程可得3X2-4X=0

4

可得x=0或％=一

3

4\_

所以B點坐標為

§'3

因為p,,;

所以SMBpngxAPxxB

134,

=—x—x—=1

223

/、

A

(3)當直線斜率不存在時，易求得A1,^-,B1,-彳/2

I12)2

7

所以討個,叫［L容”.J

由可+而=/所得方=2,直線/的方程為x=l

當直線斜率存在時，設4(%,乂),3(%2，%)，直線方程為y=1)

y=^(x-1)

則尤221，化簡得x--2k~x+k--1^0

—+V=1

I2-

4k2

所以石+々=

1+2?

所以用=1，％-!

由方+而=/所得

xr+x2=tx1+x2=t

111即，1

/工+乂-3-不[%+%=1-57

因為乂+丁2=左(%+%2-2)

所以1—5=左(-2)且4k2

l+2k2

12

解得％=—,t=一

23

所以此時直線方程為y=—；》+；

綜上所述，當直線斜率不存在時r=2,直線/的方程為x=l

2i|

當直線斜率存在時/=—,直線/的方程為丁=—-x+—

322

【點睛】本題考查了橢圓標準方程的求法，直線與橢圓的位置關系，分類討論的應用，屬于中檔題。

14.（1）求以富世器臚=?為漸近線，且過點您而，—褥5：的雙曲線麴的方程；

（2）求以雙曲線,題的頂點為焦點，焦點為頂點的橢圓爵的方程；

（3）橢圓點上有兩點更，蝮，椅為坐標原點，若直線電鶻，磁斜率之積為:，求證：悒部「書|晦『為

定值

2222

【答案】（1）-乙=1,（2）土+匕=1,（3）0尸+。。2=30

205255

【解析】分析：（1）利用待定系數法設出雙曲線方程，然后代入坐標即可，（2）確定橢圓的焦點和頂點

坐標，即可求出橢圓方程，（3）直線與橢圓聯立，求得。尸，的值，即可得證結論.

22

解析：⑴設雙曲線方程為必―4y2=%,將（2近,-忘）代入可得;1=20,所以雙曲線方程為工-2=入

205

（2）雙曲線的頂點為（±而,0）,焦點為（±5,0）,所以橢圓的頂點為（±5,0）,焦點為（土回,0）,所以

22

〃=5,所以橢圓B的方程為工+2=1.

255

⑶證明：設七？=鼠七0=二,由丁=紅225，所以0尸=25與+1,同理可得

5k｛旦+d=1='=-15/+1

255

2=5（25f+1）,所以0P2+O02=1504：+30=30

5k2+15k2+1

點睛：熟練雙曲線和橢圓的簡單幾何性質即可解決此題，對于第（3）問證明題則只需根據題意先求出問題

的表達式進行化簡即可得出結論.

15.已知函數/（力=2「2-二

⑴設4（升,％）,8（%2，%乂%產％2）是產/（%）圖象上的兩點，直線斜率左存在，求證：k>0；

（2）求函數8（同=22、+2-2=4〃礦（力（加€尺