新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 第32講 空間點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系（含解析）

第32講空間點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系（精講）題型目錄一覽①共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明②異面直線③平面的基本性質(zhì)④等角定理一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、四個(gè)公理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點(diǎn)在面內(nèi)的方法公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．注意：（1）此公理是確定一個(gè)平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點(diǎn)共面的依據(jù)推論①：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)推論②：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；推論③：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面；公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．注意：（1）此公理是判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)（2）此公理是判定若干點(diǎn)在兩個(gè)相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)）（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．二、直線與直線的位置關(guān)系位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面圖形符號(hào)SKIPIF1<0a∥bSKIPIF1<0公共點(diǎn)個(gè)數(shù)100特征兩條相交直線確定一個(gè)平面兩條平行直線確定一個(gè)平面兩條異面直線不同在如何一個(gè)平面內(nèi)三、直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）圖形符號(hào)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0公共點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)數(shù)個(gè)10四、平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直圖形SKIPIF1<0SKIPIF1<0符號(hào)SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在唯一的一條直線上無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在唯一的一條直線上【常用結(jié)論】等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．二、題型分類精講二、題型分類精講題型一共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明策略方法共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明【典例1】如圖，在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)證明：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點(diǎn)共面；(2)對(duì)角線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，求證：點(diǎn)SKIPIF1<0共線；(3)證明：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三線共點(diǎn)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）證明SKIPIF1<0，即可說(shuō)明SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點(diǎn)共面.（2）先證明點(diǎn)SKIPIF1<0面SKIPIF1<0和SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0在面SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0的交線上在證明面SKIPIF1<0SKIPIF1<0面SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即可得到答案.（3）延長(zhǎng)SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,由于面SKIPIF1<0SKIPIF1<0面SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在交線SKIPIF1<0上.【詳解】（1）連接SKIPIF1<0SKIPIF1<0在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點(diǎn)共面（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0確定一個(gè)平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0面SKIPIF1<0SKIPIF1<0面SKIPIF1<0SKIPIF1<0對(duì)角線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0SKIPIF1<0面SKIPIF1<0SKIPIF1<0在面SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0的交線上SKIPIF1<0SKIPIF1<0面SKIPIF1<0且SKIPIF1<0面SKIPIF1<0SKIPIF1<0面SKIPIF1<0SKIPIF1<0面SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即點(diǎn)SKIPIF1<0共線.（3）延長(zhǎng)SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0SKIPIF1<0面SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0面SKIPIF1<0SKIPIF1<0面SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0面SKIPIF1<0SKIPIF1<0面SKIPIF1<0SKIPIF1<0面SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三線共點(diǎn).【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知空間四個(gè)點(diǎn)，則“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”是“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，由此可驗(yàn)證充分性成立；“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)”時(shí)，可能有“兩點(diǎn)分別在兩條相交或平行直線上”，從而必要性不成立．【詳解】“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”，則第四點(diǎn)不在共線三點(diǎn)所在的直線上，因?yàn)橐粭l直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，一定能推出“這四點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)”，從而充分性成立；“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)”時(shí)，可能有“兩點(diǎn)分別在兩條相交或平行直線上”，不一定有三點(diǎn)在同一直線上，從而必要性不成立，所以“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”是“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)”的充分不必要條件.故選：A.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）正方體ABCD--A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．異面C．平行 D．垂直【答案】A【分析】連接SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)F，易得SKIPIF1<0是平行四邊形，根據(jù)平面的基本性質(zhì)即可判斷直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的位置關(guān)系.【詳解】如圖所示，連接SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)F，由題意，易得四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，在平行四邊形SKIPIF1<0中，E，F(xiàn)分別是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0共面，則直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交.故選：A.3．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）在空間四邊形ABCD的各邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，若EF∩GH＝P，則點(diǎn)P（

）A．一定在直線BD上 B．一定在直線AC上C．既在直線AC上也在直線BD上 D．既不在直線AC上也不在直線BD上【答案】B【分析】由題意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，則P∈AC，可得答案．【詳解】如圖，∵EF?平面ABC，GH?平面ACD，EF∩GH＝P，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC，即點(diǎn)P一定在直線AC上．故選：B．4．（2023·吉林·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交點(diǎn)為SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．SKIPIF1<0三點(diǎn)共線 B．SKIPIF1<0四點(diǎn)異不共面C．SKIPIF1<0四點(diǎn)共面 D．SKIPIF1<0四點(diǎn)共面【答案】C【分析】由長(zhǎng)方體性質(zhì)易知SKIPIF1<0四點(diǎn)共面且SKIPIF1<0是異面直線,再根據(jù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0、面SKIPIF1<0、面SKIPIF1<0的位置關(guān)系知SKIPIF1<0在面SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0的交線上,同理判斷SKIPIF1<0,即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0,則SKIPIF1<0四點(diǎn)共面.因?yàn)镾KIPIF1<0,則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,則點(diǎn)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線上,同理,SKIPIF1<0也在平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線上,所以SKIPIF1<0三點(diǎn)共線;從而SKIPIF1<0四點(diǎn)共面,都在平面SKIPIF1<0內(nèi)，而點(diǎn)B不在平面SKIPIF1<0內(nèi)，所以SKIPIF1<0四點(diǎn)不共面，故選項(xiàng)B正確；SKIPIF1<0三點(diǎn)均在平面SKIPIF1<0內(nèi)，而點(diǎn)A不在平面SKIPIF1<0內(nèi)，所以直線AO與平面SKIPIF1<0相交且點(diǎn)O是交點(diǎn)，所以點(diǎn)M不在平面SKIPIF1<0內(nèi)，即SKIPIF1<0四點(diǎn)不共面，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0共面，所以SKIPIF1<0四點(diǎn)共面，故選項(xiàng)D正確.故選:C.5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下面幾個(gè)命題：①兩兩相交的三條直線共面；②如果兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，則公共點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)；③一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面；④順次連接空間四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)空間位置關(guān)系可直接判斷各命題．【詳解】命題①：三條直線兩兩相交，若三條直線相交于一點(diǎn)，則無(wú)法確定一個(gè)平面，故①錯(cuò)誤；命題②：如果兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，若兩平面重合，則公共點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，若兩平面不重合，則有且僅有一條過(guò)該公共點(diǎn)的公共直線，則公共點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，故②正確；命題③：不妨設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0唯一確定一個(gè)平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面，即③正確；命題④：空間四邊形SKIPIF1<0中，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得一個(gè)三棱錐，將四個(gè)中點(diǎn)連接，得到四邊形SKIPIF1<0，由中位線的性質(zhì)知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，故順次連接空間四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形，即④正確．故選：B6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在正方體中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是該點(diǎn)所在棱的中點(diǎn)，則下列圖形中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點(diǎn)共面的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】對(duì)于B，證明SKIPIF1<0即可；而對(duì)于BCD，首先通過(guò)輔助線找到其中三點(diǎn)所在的平面，然后說(shuō)明另外一點(diǎn)不在該平面中即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)SKIPIF1<0，如下圖，點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0確定一個(gè)平面，該平面與底面交于SKIPIF1<0，而點(diǎn)SKIPIF1<0不在平面SKIPIF1<0上，故SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點(diǎn)不共面；對(duì)于選項(xiàng)SKIPIF1<0，連結(jié)底面對(duì)角線SKIPIF1<0，由中位線定理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點(diǎn)共面對(duì)于選項(xiàng)C，顯然SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所確定的平面為正方體的底面，而點(diǎn)SKIPIF1<0不在該平面內(nèi)，故SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點(diǎn)不共面；對(duì)于選項(xiàng)D，如圖，取部分棱的中點(diǎn)，順次連接，得一個(gè)正六邊形，即點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0確定的平面，該平面與正方體正面的交線為SKIPIF1<0，而點(diǎn)SKIPIF1<0不在直線SKIPIF1<0上，故SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點(diǎn)不共面．故選：B7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法正確的是（）①E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；②EF與GH異面；③EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上；④EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上．A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】利用三角形中位線性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、平面基本事實(shí)推理，再逐一判斷各個(gè)命題作答.【詳解】在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，點(diǎn)F，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，①正確，②錯(cuò)誤；因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即四邊形SKIPIF1<0是梯形，則EF與GH必相交，令交點(diǎn)為M，點(diǎn)M在EF上，而EF在平面ACB上，則點(diǎn)M在平面ACB上，同理點(diǎn)M在平面ACD上，則點(diǎn)M是平面ACB與平面ACD的公共點(diǎn)，而AC是平面ACB與平面ACD的交線，所以點(diǎn)M一定在直線AC上，④正確，③錯(cuò)誤，所以說(shuō)法正確的命題序號(hào)是①④．故選：B8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知SKIPIF1<0分別是正方體所在棱的中點(diǎn)，則下列直線中與直線SKIPIF1<0相交的是（

）．A．直線SKIPIF1<0 B．直線SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0 D．直線SKIPIF1<0．【答案】A【分析】通過(guò)空間想象直接可得.【詳解】如圖，易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為梯形，故SKIPIF1<0與EF相交，A正確；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫鍯DHSKIPIF1<0平面EFNL，SKIPIF1<0平面CDH，SKIPIF1<0平面EFNL，所以直線CD與直線EF無(wú)公共點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)镾KIPIF1<0平面ADF，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故AD與EF異面，D錯(cuò)誤.故選：A二、多選題9．（2023春·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，直線SKIPIF1<0交平面SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)共線 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點(diǎn)共面C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點(diǎn)共面 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點(diǎn)共面【答案】ABC【分析】根據(jù)點(diǎn)與線、點(diǎn)與面、線與面的位置關(guān)系判斷即可；【詳解】解：在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，直線SKIPIF1<0交平面SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，在選項(xiàng)SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0交平面SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0為正方形，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，故選項(xiàng)SKIPIF1<0正確；在選項(xiàng)SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點(diǎn)共面，故SKIPIF1<0正確；在選項(xiàng)SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點(diǎn)共面，故SKIPIF1<0正確；在選項(xiàng)SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點(diǎn)不共面，故SKIPIF1<0錯(cuò)誤．故選：SKIPIF1<0．10．（2023·遼寧沈陽(yáng)·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0四點(diǎn)共面D．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三條直線交于同一點(diǎn)【答案】BCD【分析】利用圖形，根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系逐一對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，如圖1，在SKIPIF1<0取點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0,取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0,易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖2，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知四邊形SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為平行四邊形，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則A，F(xiàn)，E，C四點(diǎn)共面，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，如圖3，延長(zhǎng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，連接SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn)即為點(diǎn)I，則A，F(xiàn)，H，I四點(diǎn)共面，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，如圖4，連接SKIPIF1<0并延長(zhǎng)與SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，連接SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn)即為點(diǎn)I，則存在點(diǎn)I，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三條直線交于同一點(diǎn)N，所以選項(xiàng)D正確.故選：BCD.三、填空題11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，正方體SKIPIF1<0中，O是SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0與截面SKIPIF1<0交于P，那么SKIPIF1<0、P、O三點(diǎn)共線，其理由是．

【答案】SKIPIF1<0、P、O是平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的公共點(diǎn)，所以它們共平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線【分析】確定SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得到結(jié)論.【詳解】O是SKIPIF1<0中點(diǎn)，則O是SKIPIF1<0中點(diǎn)，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與截面SKIPIF1<0交于P，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的交線上.故答案為：SKIPIF1<0、P、O是平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的公共點(diǎn)，所以它們共平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線.12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，A、B、C、D分別是頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則A、B、C、D四點(diǎn)共面的圖形（填上所有正確答案的序號(hào)）．【答案】①③④【分析】四點(diǎn)共面主要通過(guò)證明兩線平行說(shuō)明，本題利用中位線、平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合平行線的傳遞性進(jìn)行說(shuō)明，證明平行時(shí)絕不能憑直觀感覺(jué)或無(wú)理論依據(jù)．圖①：證明AB∥EF，CD∥EF，可得AB∥CD；圖③：證明BD∥EF，AC∥EF，可得BD∥AC；圖④：證明GH∥EF，AC∥EF，BD∥GH，可得BD∥AC．【詳解】圖①：取GD的中點(diǎn)F，連結(jié)BF、EF，∵B、F均為相應(yīng)邊的中點(diǎn)，則：SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0即ABFE為平行四邊形∴AB∥EF同理:CD∥EF則AB∥CD即A、B、C、D四點(diǎn)共面，圖①正確；圖②：顯然AB與CD異面，圖②不正確；圖③：連結(jié)AC,BD,EF,∵BE∥DF即BDFE為平行四邊形∴BD∥EF又∵A、C分別為相應(yīng)邊的中點(diǎn)，則AC∥EF∴BD∥AC即A、B、C、D四點(diǎn)共面，圖③正確；圖④：連結(jié)AC,BD,EF,GH,∵GE∥HF即GEFH為平行四邊形，則GH∥EF又∵A、C分別為相應(yīng)邊的中點(diǎn)，則AC∥EF同理：BD∥GH∴BD∥AC即A、B、C、D四點(diǎn)共面，圖④正確．故答案為：①③④．13．（2023春·河南許昌·高三鄢陵一中校考階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐SKIPIF1<0的底面ABCD為平行四邊形，M是棱SKIPIF1<0上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)，N是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，平面AMN交SKIPIF1<0于點(diǎn)H，則，SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【分析】將四棱錐補(bǔ)為三棱柱SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0求解.【詳解】解：如圖所示：補(bǔ)全四棱錐為三棱柱，作SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因?yàn)锳BCD為平行四邊形，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0和四邊形SKIPIF1<0都是平行四邊形，因?yàn)镹為中點(diǎn)，則延長(zhǎng)AN必過(guò)點(diǎn)E，所以A，N，E，H，M在同一平面內(nèi)，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镸是棱SKIPIF1<0上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<014．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在直四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P為棱SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)），直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0相交于點(diǎn)Q．則線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)為．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)題意作輔助線，根據(jù)平行關(guān)系可得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，根據(jù)平行關(guān)系可得SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，進(jìn)而可知點(diǎn)SKIPIF1<0即為直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交點(diǎn)，即可得結(jié)果.【詳解】∵SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，分別過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足分別為SKIPIF1<0，分別過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足分別為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0均為平行四邊形，則SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，交直線SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，可知：SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為平行四邊形，∴SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0為平行四邊形，則SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為平行四邊形，則SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0四點(diǎn)共面，故點(diǎn)SKIPIF1<0即為直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交點(diǎn)，∴SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在處理截面問(wèn)題時(shí)，常常轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系問(wèn)題，根據(jù)線、面平行關(guān)系的判定定理以及性質(zhì)定理分析判斷.題型二異面直線策略方法1．平移法求異面直線所成角的一般步驟2．坐標(biāo)法求異面直線所成的角當(dāng)題設(shè)中含有兩兩垂直的三邊關(guān)系或比較容易建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，常采用坐標(biāo)法．注：如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．【典例1】如圖所示，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角的大小為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用線線平行，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，在三角形中求解即可.【詳解】如圖，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角，且SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0.故選：SKIPIF1<0.【典例2】在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用勾股定理的逆定理及直棱柱的定義，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方向向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合向量夾角與線線角的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,又因?yàn)閭?cè)棱與底面垂直，所以以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，如圖所示

易得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,設(shè)異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：A.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┰谌忮FSKIPIF1<0中，SKIPIF1<0兩兩垂直，SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】將三棱錐SKIPIF1<0放在一個(gè)長(zhǎng)方體中，建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量SKIPIF1<0，代入夾角公式即可求解.【詳解】依題意，把三棱錐放在長(zhǎng)方體中，如圖所示：因?yàn)镾KIPIF1<0，以SKIPIF1<0為空間直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D.2．（2023春·河南·高三階段練習(xí)）如圖，在四棱臺(tái)SKIPIF1<0中，正方形SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中心分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角的正切值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】作出直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角，解直角三角形求得其正切值.【詳解】連接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0即直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成的角.SKIPIF1<0.

故選：B3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】在直三棱柱SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：B4．（2023·河南洛陽(yáng)·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，且各棱長(zhǎng)均相等，E是PB的中點(diǎn)，則異面直線AE與PC所成角的余弦值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】連接SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的坐標(biāo)，結(jié)合向量的夾角公式，即可得解.【詳解】連接SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由題意得，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)四棱錐SKIPIF1<0各棱長(zhǎng)均為2，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故選：A．5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D為PB的中點(diǎn)，則異面直線AD與PC所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】取BC的中點(diǎn)E，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或其補(bǔ)角即為異面直線AD與PC所成的角，求出所需邊長(zhǎng)，利用余弦定理求SKIPIF1<0即可.【詳解】如圖所示，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE，

則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或其補(bǔ)角即為異面直線AD與PC所成的角．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，E為BC的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，根據(jù)余弦定理可得SKIPIF1<0．所以異面直線AD與PC所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：D6．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】設(shè)SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則可得SKIPIF1<0為異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角或補(bǔ)角，然后在SKIPIF1<0中求解即可.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角或補(bǔ)角.因?yàn)镾KIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D

7．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考二模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得SKIPIF1<0，再利用向量的夾角公式求解.【詳解】解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：C8．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值是（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，利用空間向量法求解即可.【詳解】以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0，故選：A9．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測(cè)）鐘鼓樓是中國(guó)傳統(tǒng)建筑之一，屬于鐘樓和鼓樓的合稱，是主要用于報(bào)時(shí)的建筑.中國(guó)古代一般建于城市的中心地帶，在現(xiàn)代城市中，也可以常?？匆?jiàn)附有鐘樓的建筑.如圖，在某市一建筑物樓頂有一頂部逐級(jí)收攏的四面鐘樓，四個(gè)大鐘對(duì)稱分布在四棱柱的四個(gè)側(cè)面（四棱柱看成正四棱柱，鐘面圓心在棱柱側(cè)面中心上），在整點(diǎn)時(shí)刻（在0點(diǎn)至12點(diǎn)中取整數(shù)點(diǎn)，含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)），已知在3點(diǎn)時(shí)和9點(diǎn)時(shí)，相鄰兩鐘面上的時(shí)針?biāo)诘膬蓷l直線相互垂直，則在2點(diǎn)時(shí)和8點(diǎn)時(shí)，相鄰兩鐘面上的時(shí)針?biāo)诘膬蓷l直線所成的角的余弦值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】在正四棱柱SKIPIF1<0中，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，以SKIPIF1<0的方向分別為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式可求出結(jié)果.【詳解】如圖，在正四棱柱SKIPIF1<0