2021年全國中考數(shù)學(xué)真題匯編12 二次函數(shù)綜合題（60題）【含答案】

2021年全國中考數(shù)學(xué)真題試卷匯編12-二次函數(shù)綜合題(60題)

一.解答題(共60小題)

專題1：線段和最短，周長最小(1-13)

1.(湘西州)如圖，已知拋物線yn-+fecM經(jīng)過A(-1,0).B(4,0)兩點(diǎn)，交y軸于

點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)連接BC,求直線BC的解析式；

(3)請在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)P,使AP+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此

時AP+PC的最小值；

(4)點(diǎn)用為x軸上一動點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N,使得以A、C、M、N四點(diǎn)為

備用圖

2.(煙臺)如圖，拋物線y=o?+fcv+c經(jīng)過點(diǎn)4(-2,0),B(4,0),與y軸正半軸交于

點(diǎn)C,且OC=2O4,拋物線的頂點(diǎn)為D,對稱軸交x軸于點(diǎn)E.直線y=g+"經(jīng)過8,

C兩點(diǎn).

(1)求拋物線及直線8c的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)F是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)E4+FC的值最小時，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)及EHFC的

最小值；

(3)連接4C,若點(diǎn)尸是拋物線上對稱軸右側(cè)一點(diǎn)，點(diǎn)。是直線BC上一點(diǎn)，試探究是

否存在以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的RtZXPEQ,且滿足tan/EQP=tan/OC4.若存在，求出點(diǎn)P

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

3.(宜賓)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與)，軸交于

點(diǎn)C(0,6),拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E(2,8),連結(jié)BC、BE、CE.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)判斷△BCE的形狀，并說明理由；

(3)如圖2,以C為圓心，圾為半徑作OC,在OC上是否存在點(diǎn)P,使得

2

的值最小，若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.

4.(通遼)如圖，拋物線y=o^+bx+3交x軸于A(3,0),B(-l,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)

C,動點(diǎn)尸在拋物線的對稱軸上.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)以P,B,C為頂點(diǎn)的三角形周長最小時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)及aPBC的周長；

(3)若點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)。，使得以A,C,P,。為

頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由.

稱點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)拋物線的對稱軸上存在定點(diǎn)F,使得拋物線y=a^+bx+c上的任意一點(diǎn)G到定點(diǎn)F

的距離與點(diǎn)G到直線y=-2的距離總相等.

①證明上述結(jié)論并求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

②過點(diǎn)尸的直線/與拋物線)，=0?+版+。交于M,N兩點(diǎn).

證明：當(dāng)直線/繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時，」_+」_是定值，并求出該定值；

MFNF

(3)點(diǎn)C(3,加)是該拋物線上的一點(diǎn)，在x軸，y軸上分別找點(diǎn)P,Q,使四邊形P。8c

周長最小，直接寫出P,。的坐標(biāo).

6.(東營)如圖，拋物線y=-」』2+a+0與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,直線y

2

=-L+2過8、C兩點(diǎn)，連接AC.

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)求證：△AOCS/XACB；

(3)點(diǎn)M(3,2)是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)。為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)

D作DELx軸交直線BC于點(diǎn)E,點(diǎn)、P為拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，當(dāng)線段DE的長度最

7.(荊門)如圖，拋物線y=a?+bx+c交x軸于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)

C(0,-3),點(diǎn)Q為線段BC上的動點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式：

(2)求|。0|+|。川的最小值；

(3)過點(diǎn)。作尸?！ˋC交拋物線的第四象限部分于點(diǎn)P,連接以，PB,記△物。與△

P8Q面積分別為Si,S2,設(shè)5=51+52,求點(diǎn)尸坐標(biāo)，使得S最大，并求此最大值.

8.(廣元)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線)，=/+/>+，與x軸分別相交于A、

8兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C,下表給出了這條拋物線上部分點(diǎn)(尤，y)的坐標(biāo)值:

x…-10123…

y-03430-

(1)求出這條拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo);

（2）PQ是拋物線對稱軸上長為1的一條動線段（點(diǎn)P在點(diǎn)。上方）,求4Q+0P+PC的

最小值；

（3）如圖2,點(diǎn)。是第四象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)。作OFLx軸，垂足為F,△

ABO的外接圓與。尸相交于點(diǎn)E.試問：線段EF的長是否為定值？如果是，請求出這個

圖1圖2

9.（恩施州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形4BCO為正方形，點(diǎn)A,8在x軸上，拋

物線），=/+fer+c經(jīng)過點(diǎn)8,0（-4,5）兩點(diǎn)，且與直線。C交于另一點(diǎn)E.

（1）求拋物線的解析式；

（2）尸為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，。為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)。，F(xiàn),E,

8為頂點(diǎn)的四邊形是以BE為邊的菱形.若存在，請求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明

理由；

（3）P為y軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M,連接ME,BP,探究

EM+MP+P8是否存在最小值.若存在，請求出這個最小值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，

請說明理由.

D.

(I)當(dāng)a=l時，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(II)當(dāng)a>0時，點(diǎn)E(0,1+a),若DE=2?DC,求該拋物線的解析式；

(III)當(dāng)a<-1時，點(diǎn)Z7(0,1-〃)，過點(diǎn)C作直線I平行于x軸，M(m,0)是x軸

上的動點(diǎn)，N(%+3,-1)是直線/上的動點(diǎn).當(dāng)a為何值時，F(xiàn)M+CW的最小值為2丁元,

并求此時點(diǎn)M,N的坐標(biāo).

11.(資陽)拋物線y=-7+fev+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),與)，軸交于點(diǎn)C,且8(-1,0),

圖1圖2

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)尸是拋物線上位于直線AC上方的一點(diǎn)，BP與AC相交于點(diǎn)E,當(dāng)PE：

BE=\：2時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,點(diǎn)。是拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線沿CD方向平移，使點(diǎn)。落在點(diǎn)￡>'處，且

。。=2。4，點(diǎn)M是平移后所得拋物線上位于。左側(cè)的一點(diǎn)，“'〃丫軸交直線0。于點(diǎn)

N,連結(jié)CN.當(dāng)逅。'N+CN的值最小時，求MN的長.

5

12.(遂寧)如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A和8(-3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于C

(0,-3),對稱軸為直線x=-l,直線y=-Zr+抗經(jīng)過點(diǎn)A,且與y軸交于點(diǎn)D,與拋

物線交于點(diǎn)E,與對稱軸交于點(diǎn)尺

(1)求拋物線的解析式和m的值；

(2)在)，軸上是否存在點(diǎn)P,使得以。、E、尸為頂點(diǎn)的三角形與△A。。相似，若存在,

求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由；

(3)直線y=l上有M、N兩點(diǎn)(M在N的左側(cè))，且MN=2,若將線段MN在直線y

=1上平移，當(dāng)它移動到某一位置時，四邊形例E/W的周長會達(dá)到最小，請求出周長的

備用圖

13.(蘇州)如圖，二次函數(shù)y=/-(w+1)x+m(機(jī)是實數(shù)，且-的圖象與x

軸交于A、8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，其對稱軸與x軸交于點(diǎn)C.已知點(diǎn)。位于第一

象限，且在對稱軸上，點(diǎn)E在x軸的正半軸上，OC=EC,連接E。并延長交

y軸于點(diǎn)F,連接AF.

(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)(用數(shù)字或含根的式子表示)；

(2)已知點(diǎn)。在拋物線的對稱軸上，當(dāng)△AF。的周長的最小值等于」2時，求，”的值.

5

專題2：動點(diǎn)產(chǎn)生的相似(14-21)

14.(黔東南州)如圖，拋物線),=--2x+c(a#0)與x軸交于A、B(3,0)兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)C(0,-3),拋物線的頂點(diǎn)為。.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)尸在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)。在x軸上，若以點(diǎn)P、Q、B、C為頂點(diǎn)，BC為邊

的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點(diǎn)P、。的坐標(biāo)；

(3)己知點(diǎn)M是x軸上的動點(diǎn)，過點(diǎn)例作x的垂線交拋物線于點(diǎn)G,是否存在這樣的

點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A、M、G為頂點(diǎn)的三角形與△8CZ)相似，若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

15.(黑龍江)如圖，拋物線y=n/+fcv+3(°r0)與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)8(-3,0),

與y軸交于點(diǎn)C,連接BC,與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E,頂點(diǎn)為點(diǎn)。.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)尸是對稱軸左側(cè)拋物線上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)。在射線即上，若以點(diǎn)尸、Q、E為

頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

16.(無錫)在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-x+3與x軸交于點(diǎn)B,與)，軸

交于點(diǎn)C,二次函數(shù)的圖象過B、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)4,點(diǎn)M為

線段0B上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)“作直線/平行于y軸交BC于點(diǎn)F,交二次函數(shù)y=a/+2r+c

的圖象于點(diǎn)E.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時，求線段EF的長度：

(3)已知點(diǎn)N是y軸上的點(diǎn)，若點(diǎn)N、F關(guān)于直線EC對稱，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

17.(濟(jì)寧)如圖，直線y=-L+3分別交x軸、)軸于點(diǎn)A,8,過點(diǎn)A的拋物線y=-/+fex+c

22

與x軸的另一交點(diǎn)為C,與y軸交于點(diǎn)0(0,3),拋物線的對稱軸/交于點(diǎn)E,連接

0E交AB于點(diǎn)、F.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求證：OE_LAB；

(3)P為拋物線上的一動點(diǎn)，直線P0交AO于點(diǎn)是否存在這樣的點(diǎn)P,使以A,0,

M為頂點(diǎn)的三角形與△AC。相似？若存在，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

18.(懷化)如圖所示，拋物線與x軸交于A、8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,且0A=2,。8=4,

0C=8,拋物線的對稱軸與直線BC交于點(diǎn)M,與x軸交于點(diǎn)N.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)P是對稱軸上的一個動點(diǎn)，是否存在以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△MNB相

似？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

(3)￡＞為。。的中點(diǎn)，一個動點(diǎn)G從。點(diǎn)出發(fā)，先到達(dá)x軸上的點(diǎn)E,再走到拋物線對

稱軸上的點(diǎn)R最后返回到點(diǎn)C.要使動點(diǎn)G走過的路程最短，請找出點(diǎn)E、尸的位置,

寫出坐標(biāo)，并求出最短路程.

(4)點(diǎn)。是拋物線上位于x軸上方的一點(diǎn)，點(diǎn)R在x軸上，是否存在以點(diǎn)。為直角頂

點(diǎn)的等腰Rt^CQR?若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不存在，請說明理

由.

19.(陜西)已知拋物線)，=-W+2x+8與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交

于點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)C'與點(diǎn)C關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱.在y軸上是否存在點(diǎn)P,使

與△尸OB相似，且尸C與P0是對應(yīng)邊？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明

理由.

20.（邵陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C：y=ax1+bx+c（a/0）經(jīng)過點(diǎn)（1,1）

和（4,1）.

（1）求拋物線C的對稱軸.

（2）當(dāng)。=-1時，將拋物線C向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得到拋物線

Ci.

①求拋物線C1的解析式.

②設(shè)拋物線C1與x軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,連接BC.點(diǎn)、

D為第一象限內(nèi)拋物線Cl上一動點(diǎn)，過點(diǎn)。作DEA.OA于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為也是

否存在點(diǎn)。，使得以點(diǎn)。，D,E為頂點(diǎn)的三角形與aBOC相似，若存在，求出力的值;

若不存在，請說明理由.

21.（瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線>=-氏2+*+4與兩坐標(biāo)軸分別相

交于A,B,C三點(diǎn).

（1）求證：ZACB=90°；

（2）點(diǎn)。是第一象限內(nèi)該拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)。作x軸的垂線交8c于點(diǎn)E,交x軸

于點(diǎn)F.

①求。E+8F的最大值；

②點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，若以點(diǎn)C,D,E為頂點(diǎn)的三角形與aAOG相似，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

專題3：動點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形

22.(郴州)將拋物線(aWO)向左平移1個單位，再向上平移4個單位后，得到拋

物線〃：y=a(xi)2+此拋物線〃與x軸交于點(diǎn)4,B,與y軸交于點(diǎn)C.己知A(-

3,0),點(diǎn)P是拋物線H上的一個動點(diǎn).

(1)求拋物線，的表達(dá)式；

(2)如圖1,點(diǎn)P在線段AC上方的拋物線”上運(yùn)動(不與A,C重合)，過點(diǎn)P作PO

LAB,垂足為Q,交AC于點(diǎn)￡作PFLAC,垂足為F,求△「￡：/的面積的最大值；

(3)如圖2,點(diǎn)。是拋物線”的對稱軸/上的一個動點(diǎn)，在拋物線〃上，是否存在點(diǎn)P,

使得以點(diǎn)A，P，C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)

P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

23.(梧州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線)，=/+fex+c經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),B(0,3),

頂點(diǎn)為C.平移此拋物線，得到一條新的拋物線，且新拋物線上的點(diǎn)。(3,-1)為原

拋物線上點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)，新拋物線頂點(diǎn)為E,它與y軸交于點(diǎn)G,連接CG,EG,CE.

(1)求原拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)在原拋物線或新拋物線上找一點(diǎn)尸，使以點(diǎn)C,E,F,G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四

邊形，并求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)K是y軸上的一個動點(diǎn)，且在點(diǎn)3的上方，過點(diǎn)K作CE的平行線，分別交兩

條拋物線于點(diǎn)M,N,且點(diǎn)M,N分別在y軸的兩側(cè)，當(dāng)MN=CE時，請直接寫出點(diǎn)K

的坐標(biāo).

24.（赤峰）如圖，拋物線y=-/+bx+c與x軸交于（-3,0）、B（1,0）兩點(diǎn)，與），軸交

于點(diǎn)C,對稱軸/與無軸交于點(diǎn)凡直線機(jī)〃4C,點(diǎn)E是直線4c上方拋物線上一動點(diǎn)，

過點(diǎn)E作E/7L“，垂足為“，交AC于點(diǎn)G,連接AE、EC、CH、AH.

（1）拋物線的解析式為；

（2）當(dāng)四邊形AHCE面積最大時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，連接E凡點(diǎn)尸是x軸上一動點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)。，使

得以F、E、P、Q為頂點(diǎn)，以E尸為一邊的四邊形是平行四邊形.若存在，請直接寫出

點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，說明理

25.（海南）已知拋物線y=o?+2+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn)，且點(diǎn)4的

4

坐標(biāo)為（-1，0）、點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,3）.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖1,若該拋物線的頂點(diǎn)為P,求aPBC的面積;

（3）如圖2,有兩動點(diǎn)。、E在△COB的邊上運(yùn)動，速度均為每秒1個單位長度，它們

分別從點(diǎn)C和點(diǎn)8同時出發(fā)，點(diǎn)。沿折線COB按CfO-B方向向終點(diǎn)8運(yùn)動，點(diǎn)E

沿線段8c按B-C方向向終點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也隨之停止

運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為f秒，請解答下列問題：

①當(dāng)t為何值時，XBDE的面積等于33；

10

②在點(diǎn)￡＞、E運(yùn)動過程中，該拋物線上存在點(diǎn)凡使得依次連接A。、DF、FE、E4得到

的四邊形AOFE是平行四邊形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo).

26.（廣東）已知二次函數(shù).v=/+〃x+c的圖象過點(diǎn)（-1,0）,且對任意實數(shù)x,都有4x-

-8A+6.

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）若（1）中二次函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點(diǎn)為A,與y軸交點(diǎn)為C；點(diǎn)M是（1）

中二次函數(shù)圖象上的動點(diǎn).問在x軸上是否存在點(diǎn)N,使得以4、C、M、N為頂點(diǎn)的四

邊形是平行四邊形.若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

27.（涼山州）如圖，拋物線）=蘇+云+。（a#0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)、,與y軸交于C點(diǎn)，

AC=\J10,O8=OC=3OA.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在第二象限內(nèi)的拋物線上確定一點(diǎn)P,使四邊形PBAC的面積最大，求出點(diǎn)P的坐

標(biāo)；

（3）在（2）的結(jié)論下，點(diǎn)M為x軸上一動點(diǎn)，拋物線上是否存在一點(diǎn)。，使點(diǎn)P、B、

例、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出。點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由.

28.(重慶)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=f+%x+c經(jīng)過A(0,-1),8(4,1).直

線AB交x軸于點(diǎn)C,尸是直線AB下方拋物線上的一個動點(diǎn).過點(diǎn)尸作POJLAB,垂足

為O,PE〃x軸，交4B于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)△?￡>￡的周長取得最大值時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)和周長的最大值；

(3)把拋物線y=，+6x+c平移，使得新拋物線的頂點(diǎn)為(2)中求得的點(diǎn)P.M是新拋

物線上一點(diǎn)，N是新拋物線對稱軸上一點(diǎn)，直接寫出所有使得以點(diǎn)4,B,M,N為頂點(diǎn)

的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo)，并把求其中一個點(diǎn)M的坐標(biāo)的過程寫出來.

29.(重慶)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=o?+bx-4(a^O)與x軸交于點(diǎn)A(-

1,0),B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(I)求該拋物線的解析式；

(2)直線/為該拋物線的對稱軸，點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于直線/對稱，點(diǎn)P為直線AQ下方拋

物線上一動點(diǎn)，連接B4,PD,求△外。面積的最大值.

(3)在(2)的條件下，將拋物線)，=/+"-4(〃r0)沿射線AO平移4&個單位，

得到新的拋物線yi,點(diǎn)E為點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)F為yi的對稱軸上任意一點(diǎn)，在山上確

定一點(diǎn)G,使得以點(diǎn)。，E,F,G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的

點(diǎn)G的坐標(biāo)，并任選其中一個點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出求解過程.

專題4：動點(diǎn)產(chǎn)生的特殊四邊形(30-39)

30.(淄博)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-1+生工^+典(，〃>0)與x軸交

222

于4(-1,0),B(w,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連接BC.

(1)若OC=2O4,求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式：

(2)在(1)的條件下，點(diǎn)P位于直線BC上方的拋物線上，當(dāng)△PBC面積最大時，求

點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)設(shè)直線y=L+b與拋物線交于8,G兩點(diǎn)，問是否存在點(diǎn)E(在拋物線上)，點(diǎn)尸

2

(在拋物線的對稱軸上)，使得以B,G,E,尸為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形？若存在，求出

點(diǎn)、E,尸的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

31.(齊齊哈爾)綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=tu2+2x+c(a#0)與x軸交于點(diǎn)4、B,與y軸

交于點(diǎn)C,連接BC,。4=1,對稱軸為直線x=2,點(diǎn)D為此拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線上C、。兩點(diǎn)之間的距離是；

(3)點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，連接BE和CE,求△BCE面積的最大值；

(4)點(diǎn)尸在拋物線對稱軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn)8、C、P、。為頂點(diǎn)的四邊形為

矩形，請直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo).

32.(薄澤)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=a/+6x-4交x軸于A(-1,0)、

B(4,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.

備用圖

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接尸8,過點(diǎn)C作CQ〃BP交x軸于點(diǎn)Q,連

接PQ,求△P8Q面積的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，將拋物線)「"2f"-4向右平移經(jīng)過點(diǎn)(工，0)時，得到新拋

2

物線+為x+ci,點(diǎn)E在新拋物線的對稱軸上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)F,使得

以A、P、E、尸為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，

請說明理由.

參考：若點(diǎn)尸I(xi,yi)、Pi(%2,y2'),則線段P1P2的中點(diǎn)Po的坐標(biāo)為之~~"2"_也

22

33.(達(dá)州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-7+bx+c交x軸于點(diǎn)A和C(1,0),

交y軸于點(diǎn)B(0,3),拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)E,交拋物線于點(diǎn)F.

(1)求拋物線的解析式；

(2)將線段0E繞著點(diǎn)。沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段。E,旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<90°),

連接AE',BE',求BE'+AA￡Z的最小值；

3

(3)M為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N,使得以A,B,M,N

為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

34.(岳陽)如圖，拋物線經(jīng)過A(-1,0),B(4,0)兩點(diǎn)，與)，軸交于點(diǎn)C,

連接BC.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖2,直線/：y="+3經(jīng)過點(diǎn)A,點(diǎn)尸為直線/上的一個動點(diǎn)，且位于x軸的上

方，點(diǎn)。為拋物線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)尸?！▂軸時，作QMLPQ,交拋物線于點(diǎn)M(點(diǎn)M

在點(diǎn)。的右側(cè))，以P。，為鄰邊構(gòu)造矩形求該矩形周長的最小值；

(3)如圖3,設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為Q,在(2)的條件下，當(dāng)矩形PQMN的周長取最小值

時，拋物線上是否存在點(diǎn)尸，使得NCBF=NQQM?若存在，請求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不

存在，請說明理由.

圖1圖2圖3

35.(嘉峪關(guān))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yn.+fev+c與坐標(biāo)軸交于A(0,-2),

2

B(4,0)兩點(diǎn)，直線BC：y=-2r+8交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)O為直線AB下方拋物線上一動

點(diǎn)，過點(diǎn)。作x軸的垂線，垂足為G,DG分別交直線BC,A8于點(diǎn)E,F.

(1)求拋物線y-l^+bx+c的表達(dá)式；

2

(2)當(dāng)GF=工時，連接8。，求的面積；

2

(3)①，是)，軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形BEHF是矩形時，求點(diǎn)”的坐標(biāo)；

②在①的條件下，第一象限有一動點(diǎn)尸，滿足PH=PC+2,求周長的最小值.

36.(湘潭)如圖，一次函數(shù)?圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B,二次函數(shù)y=1?+/u+c

33

圖象過A、8兩點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)解析式；

(2)點(diǎn)B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C,點(diǎn)尸是對稱軸上一動點(diǎn)，在拋物線上是否

存在點(diǎn)Q，使得以8、C、P、。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不

存在，請說明理由.

37.(鄂爾多斯)如圖，拋物線y=/+2x-8與x軸交于A,8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與

y軸交于點(diǎn)C.

(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)連接AC,直線x=〃？(-4V/?V0)與該拋物線交于點(diǎn)E,與AC交于點(diǎn)。，連接

0D.當(dāng)。。_LAC時，求線段OE的長；

(3)點(diǎn)M在y軸上，點(diǎn)N在直線AC上，點(diǎn)P為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)

使得以C、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

38.(婁底)如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù))，=/+法+。的圖象與x軸相交于點(diǎn)A(-L

0)和點(diǎn)8(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求6、c的值；

(2)點(diǎn)、P(m,〃)為拋物線上的動點(diǎn)，過尸作x軸的垂線交直線/：)，=x于點(diǎn)。.

①當(dāng)時，求當(dāng)P點(diǎn)到直線/：y=x的距離最大時m的值；

②是否存在“，使得以點(diǎn)0、C、尸、。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若不存在，請說明理由;

若存在，請求出機(jī)的值.

如圖，拋物線），=』/+2%-6與x軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），與y軸交于

2

點(diǎn)C,連接AC,BC.

（1）求A、B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)并直接寫出直線AC,BC的函數(shù)表達(dá)式.

（2）點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的平行線/,交線段AC于

點(diǎn)D.

①試探究：在直線/上是否存在點(diǎn)E,使得以點(diǎn)。，C,B,E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若

存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

②設(shè)拋物線的對稱軸與直線/交于點(diǎn)”，與直線4c交于點(diǎn)N.當(dāng)SADMN=SA40C時，請

直接寫出。”的長.

專題4：動點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形或直角三角形（40-47）

40.（黃石）拋物線y=a7-2bx+〃QW0）與），軸相交于點(diǎn)C（0,-3）,且拋物線的對稱

軸為x=3,。為對稱軸與x軸的交點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在x軸上方且平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于E、F兩點(diǎn),若ADEF

是等腰直角三角形，求△DEF的面積；

(3)若P(3,力是對稱軸上一定點(diǎn)，Q是拋物線上的動點(diǎn)，求的最小值(用含r

的代數(shù)式表示).

41.(綏化)如圖，己知拋物線y=a/+/zr+5QWO)與x軸交于點(diǎn)A(-5,0),點(diǎn)、B(1,

0)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與)，軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn)，連接BD.直線丫=_1欠3

22

經(jīng)過點(diǎn)A,且與)■軸交于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)N是拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△8OV是以。N為腰的等腰三角形時，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)尸為線段4E上的一點(diǎn)，點(diǎn)G為線段04上的一點(diǎn)，連接FG,并延長FG與線

段BO交于點(diǎn)，(點(diǎn)〃在第一象限)，當(dāng)NEFG=3N8AE且，G=2FG時，求出點(diǎn)尸的

備用圖

42.(宿遷)如圖，拋物線y=-M+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(4,0),與y軸交

2

于點(diǎn)C.連接AC,BC,點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖①，若點(diǎn)P在第四象限，點(diǎn)。在外的延長線上，當(dāng)NC4Q=NCB4+45°時,

求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖②，若點(diǎn)P在第一象限，直線AP交BC于點(diǎn)尸，過點(diǎn)P作x軸的垂線交8c

于點(diǎn)H,當(dāng)△「下”為等腰三角形時，求線段PH的長.

43.(隨州)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=依2+芯+'與*軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)8,

與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,-4).

(1)直接寫出拋物線的解析式；

(2)如圖1,若點(diǎn)尸在拋物線上且滿足NPCB=NC8D,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)如圖2,M是直線2C上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MNLx軸交拋物線于點(diǎn)M。是直

線AC上一個動點(diǎn)，當(dāng)△QMN為等腰直角三角形時，直接寫出此時點(diǎn)M及其對應(yīng)點(diǎn)。

的坐標(biāo).

圖1

44.(上海)已知拋物線)，=?2+。(”#0)經(jīng)過點(diǎn)P(3,0)、Q(1,4).

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)A在直線PQ上，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)B,以A8為斜邊在其左側(cè)作等腰直

角三角形ABC.

①當(dāng)。與A重合時，求C到拋物線對稱軸的距離；

②若C在拋物線上，求C的坐標(biāo).

45.(廣安)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-/+fer+c的圖象與坐標(biāo)軸相交于A、

B、C三點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),8點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),連接AC、BC.動點(diǎn)尸從

點(diǎn)A出發(fā)，在線段AC上以每秒加個單位長度向點(diǎn)C做勻速運(yùn)動；同時，動點(diǎn)。從點(diǎn)B

出發(fā)，在線段BA上以每秒1個單位長度向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，

另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動，連接P。，設(shè)運(yùn)動時間為f秒.

(1)求氏c的值.

(2)在尸、。運(yùn)動的過程中，當(dāng)，為何值時，四邊形2CP。的面積最小，最小值為多少？

(3)在線段AC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)M,使△MPQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰

直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

46.(南充)如圖，已知拋物線y=o?+以+4(“W0)與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和B,與y軸

交于點(diǎn)C,對稱軸為直線x=$.

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,若點(diǎn)P是線段BC上的一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合)，過點(diǎn)尸作y軸的平

行線交拋物線于點(diǎn)Q，連接。。，當(dāng)線段PQ長度最大時，判斷四邊形OCP。的形狀并說

明理由；

(3)如圖2,在(2)的條件下，。是0C的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線與拋物線交于點(diǎn)E,且

ZDQE=2Z0DQ.在)，軸上是否存在點(diǎn)凡得ABE尸為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)F

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖1圖2

47.(畢節(jié)市)如圖，拋物線y=/+〃x+c與x軸相交于A,8兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C,對

稱軸為直線x=2,頂點(diǎn)為。，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0).

(1)填空：點(diǎn)A的坐標(biāo)為,點(diǎn)。的坐標(biāo)為,拋物線的解析式

為:

(2)當(dāng)二次函數(shù)y=/+Z?x+c的自變量x滿足機(jī)《機(jī)+2時，函數(shù)y的最小值為巨，求

4

m的值；

(3)P是拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,使△附C是以AC為斜邊的直角三角

形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

專題6：動點(diǎn)有關(guān)的面積問題

48.（阜新）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線3交x軸于點(diǎn)4（-1,0）,B（3,0）,

過點(diǎn)B的直線y=^x-2交拋物線于點(diǎn)C.

3

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一個動點(diǎn)（P不與點(diǎn)B,C重合），求△P8C面積

的最大值；

（3）若點(diǎn)M在拋物線上，將線段OM繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)90°,得到線段ON,是否存在點(diǎn)

使點(diǎn)N恰好落在直線BC上？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

49.（南通）定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個函數(shù)圖象

的“等值點(diǎn)”.例如，點(diǎn)（1，1）是函數(shù)）=菽+微的圖象的“等值點(diǎn)

(1)分別判斷函數(shù)y=x+2,y=7-x的圖象上是否存在“等值點(diǎn)”？如果存在，求出”等

值點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由；

(2)設(shè)函數(shù)y=3(x>0),y=-x+b的圖象的“等值點(diǎn)”分別為點(diǎn)A,B,過點(diǎn)B作BC

x

_Lx軸，垂足為C當(dāng)△A8C的面積為3時，求b的值；

(3)若函數(shù))，=7-2(x)機(jī))的圖象記為皿，將其沿直線翻折后的圖象記為W2.當(dāng)

Wi,W2兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點(diǎn)”時，直接寫出，"的取值范圍.

50.(哈爾濱)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過A(10,

0),B($,6)兩點(diǎn)，直線y=2x-4與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)尸為直線y

2

=2r-4上的一個動點(diǎn)，連接B4.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在第一象限時，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為r,△APC的面積為S,求S關(guān)

于，的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量/的取值范圍)；

(3)如圖2,在(2)的條件下，點(diǎn)E在｝，軸的正半軸上，且OE=O￡),連接CE,當(dāng)直

線BP交x軸正半軸于點(diǎn)L交y軸于點(diǎn)V時，過點(diǎn)P作PG〃CE交x軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)G

作y軸的平行線交線段也于點(diǎn)F，連接CF,過點(diǎn)G作GQ〃C尸交線段VL于點(diǎn)Q,Z

CFG的平分線交x軸于點(diǎn)過點(diǎn)"作M〃〃C尸交FG于點(diǎn)H,過點(diǎn)H作”RLC尸于

點(diǎn)R,若FR+MH=GQ,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

圖1圖2

51.(營口)如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，拋物線)，=37+法+c過點(diǎn)A(0,-2),B(2,

0),點(diǎn)C為第二象限拋物線上一點(diǎn)，連接48,AC,BC,其中AC與x軸交于點(diǎn)E,且

tanZOBC=2.

(1)求點(diǎn)C坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P(加，0)為線段BE上一動點(diǎn)(P不與B,E重合)，過點(diǎn)P作平行于y軸的直

線/與△ABC的邊分別交于M,N兩點(diǎn)，將沿直線MN翻折得到MN,設(shè)四

邊形8'NBM的面積為S,在點(diǎn)P移動過程中，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在(2)的條件下，若S=3SMCB.,請直接寫出所有滿足條件的，"值.

52.(雅安)已知二次函數(shù)y=f+2fcr-3b.

(1)當(dāng)該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)時，求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)在(1)的條件下，二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)B,與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)C,

點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在線段AB上以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時點(diǎn)。從點(diǎn)B

出發(fā)，在線段8c上以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，直到其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時,

兩點(diǎn)停止運(yùn)動，求△BPQ面積的最大值；

(3)若對滿足的任意實數(shù)x,都使得y20成立，求實數(shù)匕的取值范圍.

頂點(diǎn)為P的拋物線丫二分2

-2ax+c過點(diǎn)A.

(1)求出點(diǎn)A,8的坐標(biāo)及c的值;

(2)若函數(shù)了=加-2ar+c在3WxW4時有最大值為a+2,求〃的值;

(3)連接AP,過點(diǎn)A作AP的垂線交x軸于點(diǎn)M.設(shè)△?BMP的面積為S.

①直接寫出S關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式及?的取值范圍;

②結(jié)合S與a的函數(shù)圖象，直接寫出S＞工時a的取值范圍.

備用圖

54.(本溪)如圖，拋物線y=-W?+汝+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)C(-1,0),與y軸交于

4

點(diǎn)8(0,3),連接AB,BC,點(diǎn)P是拋物線第一象限上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸。，犬軸于

點(diǎn)。，交AB于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的解析式;

(2)如圖1,作PF_LP￡)于點(diǎn)P,使尸尸=2OA,以尸E,尸尸為鄰邊作矩形PEGF.當(dāng)矩

2

形PEG產(chǎn)的面積是aBOC面積的3倍時，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到拋物線的頂點(diǎn)時，點(diǎn)。在直線上，若以點(diǎn)Q、A、B為)

頂點(diǎn)的三角形是銳角三角形，請直接寫出點(diǎn)?？v坐標(biāo)”的取值范圍.

圖1圖2備用圖

55.(棗莊)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2+3與x軸交于點(diǎn)A,與)，軸交于點(diǎn)

2

B,拋物線y=」K+bx+c1經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)A,頂點(diǎn)為點(diǎn)

3

(1)求拋物線的關(guān)系式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)E是直線48下方的拋物線上一動點(diǎn)，連接EB,EA,當(dāng)△EAB的面積等于空時，

2

求E點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)將直線AB向下平移，得到過點(diǎn)M的直線y=/nr+”，且與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,取

點(diǎn)。(2,0),連接QM,求證：ZADM-ZACM=45°.

56.(賀州)如圖，拋物線y=/+法+。與x軸交于A、B兩點(diǎn),且A(-1,0),對稱軸為直

線x=2.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)直線/過點(diǎn)4且在第一象限與拋物線交于點(diǎn)C.當(dāng)NCA8=45°時，求點(diǎn)C的坐標(biāo);

(3)點(diǎn)。在拋物線上與點(diǎn)C關(guān)于對稱軸對稱，點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，令P(xp,yp),

當(dāng)1WxpWa,1WaW5時，求△%?￡)面積的最大值(可含a表示).

57.(福建)已知拋物線》=a，+公+。與x軸只有一個公共點(diǎn).

(1)若拋物線過點(diǎn)P(0,1),求的最小值；

(2)已知點(diǎn)Pi(-2