2024年湖南省中考數學第一輪復習課件第十四講函數與方程不等式的關系

第十四講函數與方程、不等式的關系湖南2024年數學中考第一輪復習必備知識·夯根基高頻考點·釋疑難湘約中考·檢成效必備知識·夯根基

二元一次

kx+b=0

交點

【對點練習】1.(1)如圖,直線y=ax+b(a≠0)與x軸交點的橫坐標為1,則關于x的方程ax+b=0的解為()A.1

B.-1 C.2

D.-2(2)如圖,直線y=2x與y=kx+b相交于點P(1,2),則關于x的方程kx+b=2x的解是________.

A

x=1

【課標要點】2.一次函數與不等式的關系(1)直線y=kx+b在x軸上方的點的橫坐標就是不等式___________的解集.

(2)直線y=kx+b在x軸下方的點的橫坐標就是不等式___________的解集.

(3)直線l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b2,當直線l1在直線l2上方時,y1______y2;

當直線l1在直線l2下方時,y1______y2.

kx+b>0

kx+b<0

>

<

【對點練習】2.如圖,一次函數y=x+1的圖象與一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象交于點A(m,2),則關于字母x的不等式kx+b≥x+1的解集為________.

x≤1

x<n或0<x<m

n<x<0或x>m

D【課標要點】4.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)與方程的關系(1)當y=0時,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交點的_______坐標.

(2)①b2-4ac>0?拋物線與x軸有______個交點;

②b2-4ac=0?拋物線與x軸有且只有______個交點;

③b2-4ac<0?拋物線與x軸有______個交點.

橫

2

1

0

【對點練習】4.(1)若二次函數y=x2-(m-1)x的圖象經過點(4,0),則關于x的一元二次方程,x2-(m-1)x=0的根為_________.

(2)函數y=kx2+x+1(k為常數)的圖象與坐標軸有兩個交點,則k的值為_________.

0或4

【課標要點】5.二次函數與含a,b,c不等式的關系(1)不等式ax2+bx+c>0的解集?拋物線位于________上方對應的點的橫坐標的取值范圍.

(2)不等式ax2+bx+c<0的解集?拋物線位于________下方對應的點的橫坐標的取值范圍.

(3)二次函數y=ax2+bx+c與一次函數y=kx+m相交:①ax2+bx+c<kx+m?二次函數圖象在一次函數圖象_________;

②ax2+bx+c>kx+m?二次函數圖象在一次函數圖象_________.

x軸

x軸

下方

上方

【對點練習】5.如圖,二次函數y1=x2+bx+c與一次函數為y2=mx+n的圖象相交于A,B兩點,則不等式x2+bx+c<mx+n的解為___________.

-1<x<3

高頻考點·釋疑難考點1

一次函數與方程、不等式【例1】(2023·株洲醴陵一模)已知直線y=-3x與y=kx+2相交于點P(m,3),則關于x的方程kx+2=-3x的解是

()A.x=-1 B.x=1C.x=2 D.x=3【思路點撥】先把點P(m,3)代入直線y=-3x求出m的值,可得出P點坐標,再根據交點坐標進行解答即可.A【方法技巧】一次函數與方程、不等式的兩類綜合問題1.一次函數與方程:主要是已知一次函數的函數值的問題,對應方程kx+b=0或kx+b=m;還有兩個一次函數交點問題形成的方程(組).2.一次函數與不等式:(1)已知一次函數值與某點縱坐標的大小得到的不等式;(2)兩個一次函數圖象上下位置關系形成的不等式.提醒:一次函數與相關方程、不等式等問題,解決的關鍵是相關交點的橫縱坐標.【變式訓練】1.(2023·長沙天心區(qū)二模)如圖,直線y=kx+3經過點(2,0),則關于x的不等式kx+3<0的解集是()A.x>2 B.x<2

C.x≤2 D.x≥2A

B

A【方法技巧】反比例函數與一次函數的不等式解集確定方法1.確定反比例函數與一次函數交點的橫坐標是解題關鍵.2.圖象在上方的函數值大.3.兩個交點所在的直線x=x1和x=x2(與y軸),將圖象分為幾部分,根據劃分區(qū)域,寫出解集范圍.提醒:有時不等式組的解集有兩部分,容易漏寫其一;同時兩個解集應用“或”字連接,而非“且”.

C

B考點3

二次函數與方程、不等式【例3】(2023·湘潭三模)已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列結論正確的有()A.2a+b>0 B.abc>0C.4a-2b+c>0 D.a+c>0【思路點撥】利用拋物線開口方向得a<0,利用對稱軸方程得0<b<-2a,利用拋物線與y軸的交點位置得c>0,再根據當x=-2時,y<0等可以判斷出答案.D【方法技巧】二次函數的圖象與方程、不等式的關系1.ax2+bx+c=m(a≠0)?二次函數y=ax2+bx+c在函數值y=m時對應的x的值.2.ax2+bx+c>m(a≠0)?拋物線y=ax2+bx+c在直線y=m上方對應的x的取值范圍.3.ax2+bx+c<m(a≠0)?拋物線y=ax2+bx+c在直線y=m下方對應的x的取值范圍.4.二次函數與系數a,b,c相關的不等式.

A2.(2023·衡陽衡南縣一模)如圖,拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標A(-1,3),與x軸的一個交點B(-4,0),直線y2=mx+n(m≠0)與拋物線交于A,B兩點,下列結論:①2a-b=0;②拋物線與x軸的另一個交點坐標是(2,0);③7a+c>0;④方程ax2+bx+c-2=0有兩個不相等的實數根;⑤當-4<x<-1時,則y2<y1.其中正確結論的個數為()A.2 B.3

C.4

D.5D

【方法技巧】拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點個數關系1.由Δ=b2-ac與0的大小關系,可判斷拋物線與x軸交點的個數.2.由拋物線與x軸交點個數,可得相關字母系數的不等式.【變式訓練】1.(中考初級變·2023·衡陽祁東模擬)關于x的二次函數y=x2+2kx+k-1,下列說法正確的是

()A.對任意實數k,函數與x軸都沒有交點B.存在實數n,滿足當x≥n時,函數y的值都隨x的增大而減小C.不存在實數n,滿足當x≤n時,函數y的值都隨x的增大而減小D.對任意實數k,拋物線y=x2+2kx+k-1都必定經過唯一定點D

D常規(guī)題型組

精練湖南14地市、州必考題1.(2021·株洲中考)二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,點P在x軸的正半軸上,且OP=1,設M=ac(a+b+c),則M的取值范圍為

()A.M<-1 B.-1<M<0C.M<0 D.M>0湘約中考·檢成效D2.(2023·衡陽中考)已知m>n>0,若關于x的方程x2+2x-3-m=0的解為x1,x2(x1<x2),關于x的方程x2+2x-3-n=0的解為x3,x4(x3<x4).則下列結論正確的是

()A.x3<x1<x2<x4

B.x1<x3<x4<x2C.x1<x2<x3<x4

D.x3<x4<x1<x23.(2023·郴州中考)已知拋物線y=x2-6x+m與x軸有且只有一個交點,則m=______.

B

9

創(chuàng)新題型組

感悟湖南14地市、州新考法5.(2022·永州中考改編)已知關于x的函數y=ax2+bx+c.(1)若a=1,函數的圖象經過點(1,-4)和點(2,1),求該函數的表達式和最小值;(2)若a=1,b=-2,c=m+1時,函數的圖象與x軸有