4 §3應用案鞏固提升案

第頁[A基礎達標]1．已知集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|2<x<3}，在集合A中任取一個元素x，則事件“x∈A∩B”的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,5)解析：選A.A∩B＝{x|2<x<3}，因為集合A表示的區(qū)間長度為5－(－1)＝6，集合A∩B表示的區(qū)間長度為3－2＝1，所以事件“x∈A∩B”的概率為eq\f(1,6)，故選A.2．有四個游戲盤，如圖所示，如果撒一粒黃豆落在陰影部分，則可中獎，小明希望中獎機會大，他應當選擇的游戲盤為()解析：選A.對A，P(A)＝eq\f(3,8)；對B，P(B)＝eq\f(1,3)；對C，P(C)＝eq\f(4－π,4)<eq\f(1,4)；對D，P(D)＝eq\f(1,π)，顯然P(A)最大，因此應選游戲盤A.3.如圖所示，邊長為2的正方形內(nèi)有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域．向正方形中隨機扔一粒豆子，若它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為eq\f(2,3)，則陰影區(qū)域的面積為()A.eq\f(4,3) B.eq\f(8,3)C.eq\f(2,3) D.無法計算解析：選B.設陰影區(qū)域的面積為S，依題意，得eq\f(2,3)＝eq\f(S,2×2)，所以S＝eq\f(8,3).故選B.4．有一個底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)解析：選B.先求點P到點O的距離小于或等于1的概率，圓柱的體積V圓柱＝π×12×2＝2π，以O為球心，1為半徑且在圓柱內(nèi)部的半球的體積V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2,3)π.則點P到點O的距離小于或等于1的概率為eq\f(\f(2,3)π,2π)＝eq\f(1,3)，故點P到點O的距離大于1的概率為1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).5．已知A是圓O上固定的一點，在圓上其他位置任取一點A′，連接AA′，它是一條弦，則它的長度小于或等于半徑長度的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：選C.如圖，當AA′的長度等于半徑長度時，∠AOA′＝60°，由圓的對稱性及幾何概型得P＝eq\f(120°,360°)＝eq\f(1,3).故選C.6．廣告法對插播廣告時間有規(guī)定，某人對某臺的電視節(jié)目作了長期的統(tǒng)計后得出結論，他任意時間打開電視機看該臺節(jié)目，看不到廣告的概率約為eq\f(9,10)，那么該臺每小時約有________分鐘廣告．解析：這是一個與時間長度有關的幾何概型，這個人看不到廣告的概率為eq\f(9,10)，則看到廣告的概率約為eq\f(1,10)，故60×eq\f(1,10)＝6.答案：67．水池的容積是20m3，水池里的水龍頭A和B的水流速度都是1m3/h，它們一晝夜(0～24h)內(nèi)隨機開啟，則水池不溢水的概率為________．解析：如圖所示，橫坐標和縱坐標分別表示A，B兩水龍頭開啟的時間，則陰影部分是滿足不溢水的對應區(qū)域，因為正方形區(qū)域的面積為24×24，陰影部分的面積是eq\f(1,2)×20×20，所以所求的概率P＝eq\f(\f(1,2)×20×20,24×24)＝eq\f(25,72).答案：eq\f(25,72)8．已知方程x2＋3x＋eq\f(p,4)＋1＝0，若p在[0，10]中隨機取值，則方程有實數(shù)根的概率為________．解析：因為總的基本事件是[0，10]內(nèi)的全部實數(shù)，所以基本事件總數(shù)為無限個，符合幾何概型的條件，事件對應的測度為區(qū)間的長度，總的基本事件對應區(qū)間[0，10]，長度為10，而事件“方程有實數(shù)根”應滿足Δ≥0，即9－4×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,4)＋1))≥0，得p≤5，所以對應區(qū)間[0，5]，長度為5，所以所求概率為eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)9．平面上畫了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑r<a的硬幣任意擲在這個平面上，求硬幣不與任一條平行線相碰的概率．解：設事件A：“硬幣不與任一條平行線相碰”．為了確定硬幣的位置，由硬幣中心O向靠得最近的平行線引垂線OM，垂足為M，如圖，這樣線段OM長度(記作|OM|)的取值范圍是[0，a]，只有當r<|OM|≤a時，硬幣不與平行線相碰，其長度范圍是(r，a]．所以P(A)＝eq\f(（r，a]的長度,[0，a]的長度)＝eq\f(a－r,a).10．小明每天早上在六點半至七點半之間離開家去學校上學，小強每天早上六點至七點之間到達小明家，約小明一同前往學校，問小強能見到小明的概率是多少？解：如圖所示，方形區(qū)域內(nèi)任一點的橫坐標x表示小強到達小明家的時間，縱坐標y表示小明離開家的時間，(x，y)可以看成平面中的點，試驗的全部結果構成的區(qū)域為Ω＝{(x，y)|6≤x≤7，6.5≤y≤7.5}，這是一個正方形區(qū)域，面積為SΩ＝1×1＝1.事件A表示“小強能見到小明”，所構成的區(qū)域為A＝{(x，y)|6≤x≤7，6.5≤y≤7.5，y≥x}，如圖中陰影部分所示，面積為SA＝1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(7,8).所以P(A)＝eq\f(SA,SΩ)＝eq\f(7,8)，即小強能見到小明的概率是eq\f(7,8).[B能力提升]11．在區(qū)間[0，1]上隨機取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≥eq\f(1,2)”的概率，p2為事件“|x－y|≤eq\f(1,2)”的概率，p3為事件“xy≤eq\f(1,2)”的概率，則()A．p1<p2<p3 B．p2<p3<p1C．p3<p1<p2 D．p3<p2<p1解析：選B.x，y∈[0，1]，事件“x＋y≥eq\f(1,2)”表示的區(qū)域如圖(1)中陰影部分S1，事件“|x－y|≤eq\f(1,2)”表示的區(qū)域如圖(2)中陰影部分S2，事件“xy≤eq\f(1,2)”表示的區(qū)域如圖(3)中陰影部分S3.由圖知，陰影部分的面積S2<S3<S1，正方形的面積為1×1＝1.根據(jù)幾何概型的概率計算公式，可得p2<p3<p1.12．在區(qū)間[－2，3]上任取一個實數(shù)a，則使直線ax＋y＋1＝0截圓O：x2＋y2＝1所得弦長d∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(4,5)\r(5)))的概率是________．解析：如圖．直線ax＋y＋1＝0截圓O：x2＋y2＝1所得弦長d＝AB∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(4,5)\r(5)))，則半弦長BC∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(2,5)\r(5)))，因為圓的半徑等于1，所以圓心到直線ax＋y＋1＝0的距離OC∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，\f(\r(2),2)))，即eq\f(\r(5),5)≤eq\f(1,\r(a2＋1))≤eq\f(\r(2),2)，得－2≤a≤－1，或1≤a≤2.又a∈[－2，3]，所以在區(qū)間[－2，3]上任取一個實數(shù)a，則使直線ax＋y＋1＝0截圓O：x2＋y2＝1所得弦長d∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(4,5)\r(5)))的概率是eq\f([－1－（－2）]＋（2－1）,3－（－2）)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)13．設關于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是從0，1，2，3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率；(2)若a是從區(qū)間[0，3]上任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]上任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率．解：設事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實根”．當a≥0，b≥0時，方程x2＋2ax＋b2＝0有實根的充要條件為a≥b.(1)基本事件共有12個：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值．事件A包含9個基本事件，故事件A發(fā)生的概率為P(A)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)試驗的全部結果所構成的區(qū)域為{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}．構成事件A的區(qū)域為{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．所以所求的概率為P(A)＝eq\f(3×2－\f(1,2)×22,3×2)＝eq\f(2,3).14．(選做題)如圖，已知AB是半圓O的直徑，AB＝8，M，N，P是將半圓圓周四等分的三個等分點．(1)從A，B，M，N，P這5個點中任取3個點，求這3個點組成直角三角形的概率；(2)在半圓內(nèi)任取一點S，求△SAB的面積大于8eq\r(2)的概率．解：(1)從A，B，M，N，P這5個點中任取3個點，一共可以組成10個三角形：△ABM，△ABN，△ABP，△AMN，△AMP，△ANP，△BMN，△BMP，△BNP，△MNP，其中是直角三角形的只有△ABM，△ABN，△ABP3個，所以組成直角三角形的概率為eq\f(3,10).(2)連接MP，ON，OM，OP，取線段MP的中點D，則OD⊥MP，易求得OD＝2eq\r(2)，當S