廣東省佛山市禪城區(qū)2024屆高三統(tǒng)一調(diào)研測試（二）數(shù)學(xué)試題含答案

禪城區(qū)2024屆高三統(tǒng)一調(diào)研測試（二）數(shù)學(xué)本試卷共5頁，滿分150分，考試時間120分鐘注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必填涂答題卷上的有關(guān)項目．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答穼涂在答題卷相應(yīng)的位置上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效．4．請考生保持答題卷的整潔．考試結(jié)束后，將答題卷交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，且，則的值為（）A． B． C．0 D．12．某人在“全球購”平臺上購買了件商品，這些商品的價格如果按美元計算，則平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，如果按人民幣計算（匯率按1美元＝7元人民幣），則平均數(shù)和方差分別為（）A．， B．， C．， D．，3已知與為兩個不共線的單位向量，則（）A． B．C．若，則 D．若，則4．如圖，是邊長為2的正三角形，記位于直線（）左側(cè)的圖形的面積為．則函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．5．設(shè)數(shù)列的前項之積為，滿足（），則（）A． B． C． D．6．若函數(shù)（）既有極大值也有極小值，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B． C． D．7．2020年12月17日，嫦娥五號的返回器攜帶1731克月球樣本成功返回地球，我國成為第三個實現(xiàn)月球采樣返回的國家，中國人朝著成功登月又邁進了重要一步．下圖展示了嫦娥五號采樣返回器從地球表面附近運行到月球表面附近的大致過程．點表示地球中心，點表示月球中心．嫦娥五號采樣返回器先沿近地球表面軌道作圓周運動，軌道半徑約為地球半徑．在地球表面附近的點處沿圓的切線方向加速變軌后，改為沿橢圓軌道運行，并且點為該橢圓的一個焦點．段時間后，再在近月球表面附近的點處減速變軌作圓周運動，此時軌道半徑約為月球半徑．已知月球中心與地球中心之間距離約為月球半徑的222倍，地球半徑約為月球半徑的3.7倍．則橢圓軌道的離心率約為（）A．0.67 B．0.77 C．0.87 D．0.978．已知函數(shù)在有且僅有兩個零點，且，則圖象的一條對稱軸是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分．共18分．在每小題給出的選項中．有多項符合題目要求．全部選對的得6分．部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知復(fù)數(shù)，均不為0，則（）A． B． C． D．110．已知函數(shù)與，記，其中，且．下列說法正確的是（）A．一定為周期函數(shù) B．若，則在上總有零點C．可能為偶函數(shù) D．在區(qū)間上的圖象過3個定點11．對于棱長為1（單位：）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計），下列說法正確的是（）A．底面半徑為，高為的圓錐形罩子（無底面）能夠罩住水平放置的該正方體B．以該正方體的三條棱作為圓錐的母線，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值為C．該正方體內(nèi)能同時整體放入兩個底面半徑為，高為的圓錐D．該正方體內(nèi)能整體放入一個體積為的圓錐三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，則的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．13．甲、乙、丙3人在公交總站上了同一輛公交車，已知3人都將在第4站至第8站的某一公交站點下車，且在每一個公交站點最多只有兩人同時下車，從同一公交站點下車的兩人不區(qū)分下車的順序，則甲、乙、丙3人下車的不同方法總數(shù)是______．14．若函數(shù)（）有2個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）如圖，在直三棱柱形木料中，為上底面上一點．（1）經(jīng)過點在上底面上畫一條直線與垂直，應(yīng)該如何畫線，請說明理由；（2）若，，，為的中點，求點到平面的距離．16．（15分）聯(lián)合國將每年的4月20日定為“聯(lián)合國中文日”，以紀(jì)念“中華文字始祖”倉頡[jié]造字的貢獻，促進聯(lián)合國六種官方語言平等使用，為宣傳“聯(lián)合國中文日”，某大學(xué)面向在校留學(xué)生舉辦中文知識競賽，競賽分為“個人賽”和“對抗賽”，競賽規(guī)則如下：①個人賽規(guī)則：每位留學(xué)生需要從“拼音類”、“成語類”、“文化類”三類問題中隨機選1道試題作答，其中“拼音類”有4道，“成語類”有6道，“文化類”有8道，若答對將獲得一份獎品．②對抗賽規(guī)則：兩位留學(xué)生進行答題比賽，每輪只有1道題目，比賽時兩位參賽者同時回答這一個問題，若一人答對且另一人答錯，則答對者獲得1分，答錯者得分；若兩人都答對或都答錯，則兩人均得0分，對抗賽共設(shè)3輪，累計得分為正者將獲得一份獎品，且兩位參賽者答對與否互不影響，每次答題的結(jié)果也互不影響．（1）留學(xué)生甲參加個人賽，根據(jù)以往答題經(jīng)驗，留學(xué)生甲答對“拼音類”、“成語類”“文化類”的概率分別為，，，求留學(xué)生甲答對了所選試題的概率．（2）留學(xué)生乙和留學(xué)生內(nèi)參加對抗賽，根據(jù)以往答題經(jīng)驗，每道題留學(xué)生乙和留學(xué)生丙答對的概率分別為，，求留學(xué)生乙獲得獎品的概率．17．（15分）在中，，，分別是角，，所對的邊，點在邊上，且滿足，．（1）求的值；（2）若，求．18．（17分）已知數(shù)列滿足，，且．（1）證明為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，且數(shù)列的前項和為，證明：當(dāng)時，．19．（17分）已知以下事實：反比例函數(shù)（）的圖象是雙曲線，兩條坐標(biāo)軸是其兩條漸近線．（1）（ⅰ）直接寫出函數(shù)的圖象的實軸長；（ⅱ）將曲線繞原點順時針轉(zhuǎn)，得到曲線，直接寫出曲線的方程．（2）已知點是曲線的左頂點．圓：（）與直線：交于、兩點，直線、分別與雙曲線交于、兩點．試問：點到直線的距離是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此時的值；若不存在，說明理由．禪城區(qū)2024屆高三統(tǒng)一調(diào)研測試（二）數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題1—4BDDA5—8CBDC7．【解析】D．設(shè)此橢圓的半長軸為，半焦距為，月球半徑為，地球半徑為，月球中心與地球中心距離為，則，，所以，，所以離心率為．8．【解析】C．依題意，則，，當(dāng)時，，因為，所以，解得．綜上，，，因為，且，所以圖象的一條對稱軸是，由，，得，結(jié)合范圍可得，，，此時圖象的對稱軸為，當(dāng)時，，故選C．二、選擇題9．ABD10．ABD11．BCD10．【解析】ABD．對于A，，，A正確；對于B，，，，因為，即，同號，所以，由零點存在定理知在上總有零點，故B正確；對于C，，，由得對恒成立，則與題意不符，故C錯誤；對于D，令，則，即，，故所有定點坐標(biāo)為，，，，又因為，所以函數(shù)過定點，，，故D正確；故選ABD．11．【解析】BCD．對于A，若高為的圓錐形罩子剛能覆蓋水平放置的正方體，考慮圓錐的軸截面，如圖，，因為，所以，所以，圓錐底面圓半徑最小為，A錯誤；對于B，如圖，以，，三條棱作為圓錐母線，底面所在平面為平面，等價于求與平面所成角的正切值，因為，所以點到平面的距離為，正切值為，B正確；對于C，如圖，以矩形的中心為圓錐底面圓圓心，半徑為0.5，分別以，的中點，為兩個圓錐的頂點，每個圓錐高的最大值為，C正確；對于D，如圖，的中點作垂線，分別交，于點，，則，以正方體的體對角線作為圓錐的軸，為圓錐頂點，為圓錐底面圓的直徑時，該圓錐的體積為，D正確．事實上，以正方體的體對角線作為軸，為頂點的圓錐的體積最大值，顯然底面圓心在線段上（不含點），設(shè)，當(dāng)與（為的四等分點）重合時，，因此，因為，所以，則，，，圓錐體積（），，所以在上單調(diào)遞增，體積的最大值為，D正確．三、填空題12．；13．120；14．．14．【解析】（）．設(shè)，明顯單增，且，，所以存在唯一的，使，如，．設(shè)，在上單增，且時，，所以當(dāng)時，存在唯一的，使，即但若時，有，則何．綜上所述，的取值范圍為．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．【解析】（1）連結(jié)，在平面上作，因為為直三棱柱，所以平面，因為平面，所以，因為，，，，平面，所以平面，因為平面，所以．（2）因為，所以，，兩兩互相垂直，以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空向直角坐標(biāo)系，，，，，則，，．設(shè)平面的一個法向量為，因為，，所以，，則，取，則，設(shè)點到平面的距離為，則因此點到平面的距離為．16．【解析】（1）設(shè)留學(xué)生甲選1道“拼音類”試題為事件，選1道“成語類”試題為事件，選1道“文化類”試題為事件，答對試題為事件，則，，，，，，所以．（2）每一輪中留學(xué)生乙得1分的概率為，每一輪中留學(xué)生乙得0分的概率為，每一輪中留學(xué)生乙得的概率為，在3輪比賽后，留學(xué)生乙得3分的概率為，在3輪比賽后，留學(xué)生乙得2分的概率為，在3輪比賽后，留學(xué)生乙得1分的概率為，所以乙最終獲得獎品的概率為．17．【解析】（1）方法1：如圖，在中，由正弦定理知，所以，所以，因為，所以，則①，由，則，因為，所以，則，在中，由余弦定理知，則②，由①②．萬法2：在中，由正弦定理知，所以，又因為，所以，由，則，因為，所以，因為，所以由，則，因為，所以，則，由正弦定理知，因為，所以，則．（或：在6分點后，因為，由正弦定理知，所以．）（2）方法1：因為，所以，，在中，由余弦定理知同理在中，，因為，所以，則，由（1）知，，所以，（注：若學(xué)生得到，則，也能得分）在中，由余弦定理知，所以．方法2：因為，所以，，所以，又因為，所以，因為，均為銳角，所以，則，所以．方法3：因為，所以，，所以．所以，由（1）知，，．在中，由余弦定理知，所以．18．【解析】（1）證明：因為，，所以，所以，因為．所以是等比數(shù)列，首項，公比，所以．（2）由（1）可得，先證明左邊：即證明，當(dāng)時，，所以，所以，再證明右邊：，因為，所以，即，下面證明，即證，即證設(shè)，，則，設(shè)，，因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，，所以，所以．綜上，．19．【解析】（1）（?。嵼S長為；（ⅱ）曲線的方程為．（2）方法一：設(shè)，，，顯然直線的斜率存在，設(shè)：，聯(lián)立：得所以，，①因為：，令，則，同理，，②依題意得，③由①②③得，，所以即或若，則：過點，不合題意；若，則：．所以，恒過，所以，．當(dāng)且僅當(dāng)即時取得，此時方程為，解得，，．綜上所述，點到直線距離的最大值為2，此時圓的半徑為方法二：設(shè)，，，，，則：，：，聯(lián)立，得．為此方程的一根，另外一根為，則代入