蒙特卡羅方法教學(xué)課件第七章蒙特卡羅方法在積分計(jì)算中的應(yīng)用兩份文件

第七章蒙特卡羅方法在積分計(jì)算中的應(yīng)用蒙特卡羅方法求積分重要抽樣俄國(guó)輪盤(pán)賭和分裂半解析方法系統(tǒng)抽樣分層抽樣第七章蒙特卡羅方法在積分計(jì)算中的應(yīng)用

計(jì)算多重積分是蒙特卡羅方法的重要應(yīng)用領(lǐng)域之一。本章著重介紹計(jì)算定積分的蒙特卡羅方法的各種基本技巧，而這些技巧在粒子輸運(yùn)問(wèn)題中也是適用的。蒙特卡羅方法求積分

蒙特卡羅方法求積分的一般規(guī)則如下：任何一個(gè)積分，都可看作某個(gè)隨機(jī)變量的期望值，因此，可以用這個(gè)隨機(jī)變量的平均值來(lái)近似它。

設(shè)欲求積分 其中，P＝P(x1，x2，…，xs)表示s

維空間的點(diǎn)，Vs表示積分區(qū)域。取Vs上任一聯(lián)合概率密度函數(shù)f(P)，令 則 即θ是隨機(jī)變量g(P)的數(shù)學(xué)期望，P的分布密度函數(shù)為f(P)。 現(xiàn)從f(P)中抽取隨機(jī)向量P的N個(gè)樣本：Pi，i＝1，2，…，N，則 就是θ的近似估計(jì)。重要抽樣偏倚抽樣和權(quán)重因子

取Vs上任一聯(lián)合概率密度函數(shù)f1(P)，令 則有 現(xiàn)從f1(P)中抽樣N個(gè)點(diǎn)：Pi，i＝1，2，…，N，則 就是θ的又一個(gè)無(wú)偏估計(jì)。重要抽樣和零方差技巧

要使最小，就是使泛函I[f1]極小。 利用變分原理，可以得到最優(yōu)的f1(P)為

特別地，當(dāng)

g(P)≥0時(shí)，有 這時(shí) 即g1的方差為零。實(shí)際上，這時(shí)有 不管那種情況，我們稱(chēng)從最優(yōu)分布fl(P)的抽樣為重要抽樣，稱(chēng)函數(shù)|g(P)|為重要函數(shù)。 俄國(guó)輪盤(pán)賭和分裂分裂 設(shè)整數(shù)n≥1，令 則 于是計(jì)算θ的問(wèn)題，可化為計(jì)算n個(gè)θi的和來(lái)得到，而每個(gè)gi(P)為原來(lái)θ的估計(jì)g(P)的1/n

，這就是分裂技巧。俄國(guó)輪盤(pán)賭 令0＜q＜1， 則 于是θ變?yōu)橐粋€(gè)兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量ζ的期望值，

ζ的特性為： 這樣就可以通過(guò)模擬這個(gè)概率模型來(lái)得到θ，這就是俄國(guó)輪盤(pán)賭。重要區(qū)域和不重要區(qū)域 我們往往稱(chēng)對(duì)積分θ貢獻(xiàn)大的積分區(qū)域?yàn)橹匾獏^(qū)域，或感興趣的區(qū)域；稱(chēng)對(duì)積分θ貢獻(xiàn)小的區(qū)域?yàn)椴恢匾獏^(qū)域，或不感興趣的區(qū)域。 考慮二重積分 令R是V2上x(chóng)

的積分區(qū)域，表為R＝R1+R2，其中R1是重要區(qū)域，R2是不重要區(qū)域，兩者互不相交。又命Q為V2上相應(yīng)于y

的積分區(qū)域。則

通常蒙特卡羅方法，由f(x,y)抽樣(x,y)的步驟是：從fl(x)中抽取xi，再由f2(y|xi)中抽樣確定yi，然后用 作為θ的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)。 現(xiàn)在，改變抽樣方案如下：當(dāng)x∈R1時(shí)，定義一個(gè)整數(shù)n(xi)≥1，對(duì)一個(gè)xi，抽取

n(xi)個(gè)yij，j＝1，2，…，n(xi)。以平均值 代替上述θ估計(jì)式中的

g(yi,xi)。當(dāng)x∈R2時(shí)，定義一個(gè)函數(shù)q(xi)，0＜q(xi)＜1， 以抽樣值 代替上述θ估計(jì)式中的

g(yi,xi)。這里ξ是隨機(jī)數(shù)。 顯然，這種抽樣估計(jì)技巧，就是對(duì)x∈R1時(shí)，利用分裂技巧，而對(duì)x∈R2時(shí)，利用俄國(guó)輪盤(pán)賭，而使估計(jì)的期望值不變。由于對(duì)重要區(qū)域多抽樣，對(duì)不重要區(qū)域少觀察，因此能使估計(jì)的有效性增高。半解析（數(shù)值）方法

考慮二重積分 令 則θx為θ的無(wú)偏估計(jì)。

θx

的方差為

而由f(x,y)抽樣(x,y)，用g(x,y)作為θ的估計(jì)，其方差為系統(tǒng)抽樣

我們知道，由f(x,y)抽樣(x,y)的步驟是： 從fl(x)中抽取xi， 再由f2(y|xi)中抽樣確定yi， 現(xiàn)在改變xi的抽樣方法如下：

yi

的抽樣方法不變。 其方差為 與通常蒙特卡羅方法相比，方差減少了約分層抽樣

考慮積分 在（0，1）間插入J－1個(gè)點(diǎn)

0＝α0＜α1＜…＜αJ-1＜αJ＝1

令

則有 現(xiàn)在，用蒙特卡羅方法計(jì)算θj，對(duì)每個(gè)θj利用

fj(x)中的nj個(gè)樣本xij，那么有第三章由已知分布的隨機(jī)抽樣隨機(jī)抽樣及其特點(diǎn)直接抽樣方法挑選抽樣方法復(fù)合抽樣方法復(fù)合挑選抽樣方法替換抽樣方法隨機(jī)抽樣的一般方法隨機(jī)抽樣的其它方法作業(yè)第三章由已知分布的隨機(jī)抽樣

本章敘述由己知分布抽樣的各主要方法，并給出在粒子輸運(yùn)問(wèn)題中經(jīng)常用到的具體實(shí)例。隨機(jī)抽樣及其特點(diǎn)

由巳知分布的隨機(jī)抽樣指的是由己知分布的總體中抽取簡(jiǎn)單子樣。隨機(jī)數(shù)序列是由單位均勻分布的總體中抽取的簡(jiǎn)單子樣，屬于一種特殊的由已知分布的隨機(jī)抽樣問(wèn)題。本章所敘述的由任意已知分布中抽取簡(jiǎn)單子樣，是在假設(shè)隨機(jī)數(shù)為已知量的前提下，使用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生的。為方便起見(jiàn)，用XF表示由己知分布F(x)中產(chǎn)生的簡(jiǎn)單子樣的個(gè)體。對(duì)于連續(xù)型分布，常用分布密度函數(shù)f(x)表示總體的己知分布，用Xf表示由己知分布密度函數(shù)f(x)產(chǎn)生的簡(jiǎn)單子樣的個(gè)體。另外，在抽樣過(guò)程中用到的偽隨機(jī)數(shù)均稱(chēng)隨機(jī)數(shù)。直接抽樣方法

對(duì)于任意給定的分布函數(shù)F(x)，直接抽樣方法如下：其中，ξ1，ξ2，…，ξN為隨機(jī)數(shù)序列。為方便起見(jiàn)，將上式簡(jiǎn)化為：若不加特殊說(shuō)明，今后將總用這種類(lèi)似的簡(jiǎn)化形式表示，ξ總表示隨機(jī)數(shù)。證明

下面證明用前面介紹的方法所確定的隨機(jī)變量序列X1，X2，…，XN具有相同分布F(x)。對(duì)于任意的n成立，因此隨機(jī)變量序列X1，X2，…，XN具有相同分布F(x)。另外，由于隨機(jī)數(shù)序列ξ1，ξ2，…，ξN是相互獨(dú)立的，而直接抽樣公式所確定的函數(shù)是波雷爾（Borel）可測(cè)的，因此，由它所確定的X1，X2，…，XN也是相互獨(dú)立的（[P.R.Halmos,Measuretheory,N.Y.VonNosrtand,1950]§45定理2）。離散型分布的直接抽樣方法

對(duì)于任意離散型分布：其中x1，x2，…為離散型分布函數(shù)的跳躍點(diǎn)，P1，P2，…為相應(yīng)的概率，根據(jù)前述直接抽樣法，有離散型分布的直接抽樣方法如下：該結(jié)果表明，為了實(shí)現(xiàn)由任意離散型分布的隨機(jī)抽樣，直接抽樣方法是非常理想的。例1.二項(xiàng)分布的抽樣

二項(xiàng)分布為離散型分布，其概率函數(shù)為：其中，P為概率。對(duì)該分布的直接抽樣方法如下：例2.泊松(Possion)分布的抽樣

泊松(Possion)分布為離散型分布，其概率函數(shù)為：其中，λ>0。對(duì)該分布的直接抽樣方法如下：例3.擲骰子點(diǎn)數(shù)的抽樣

擲骰子點(diǎn)數(shù)X=n的概率為：選取隨機(jī)數(shù)ξ，如則在等概率的情況下，可使用如下更簡(jiǎn)單的方法：其中［］表示取整數(shù)。例4.碰撞核種類(lèi)的確定

中子或光子在介質(zhì)中發(fā)生碰撞時(shí)，如介質(zhì)是由多種元素組成，需要確定碰撞核的種類(lèi)。假定介質(zhì)中每種核的宏觀總截面分別為Σ1，Σ2，…，Σn，則中子或光子與每種核碰撞的概率分別為：其中Σt＝Σ1＋Σ2＋…＋Σn。碰撞核種類(lèi)的確定方法為：產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)ξ，如果則中子或光子與第I種核發(fā)生碰撞。例5.中子與核的反應(yīng)類(lèi)型的確定

假設(shè)中子與核的反應(yīng)類(lèi)型有如下幾種:彈性散射，非彈性散射，裂變，吸收，相應(yīng)的反應(yīng)截面分別為Σel，Σin，Σf，Σa。則發(fā)生每一種反應(yīng)類(lèi)型的概率依次為：其中反應(yīng)總截面Σt＝Σel＋Σin＋Σf＋Σa。

反應(yīng)類(lèi)型的確定方法為：產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)ξ

連續(xù)型分布的直接抽樣方法

對(duì)于連續(xù)型分布，如果分布函數(shù)F(x)的反函數(shù)

F－1(x)存在，則直接抽樣方法是：例6.在［a，b］上均勻分布的抽樣

在［a，b］上均勻分布的分布函數(shù)為：則例7.β分布β分布為連續(xù)型分布，作為它的一個(gè)特例是：其分布函數(shù)為：

則例8.指數(shù)分布

指數(shù)分布為連續(xù)型分布，其一般形式如下：其分布函數(shù)為：

則因?yàn)?－ξ也是隨機(jī)數(shù)，可將上式簡(jiǎn)化為

連續(xù)性分布函數(shù)的直接抽樣方法對(duì)于分布函數(shù)的反函數(shù)存在且容易實(shí)現(xiàn)的情況，使用起來(lái)是很方便的。但是對(duì)于以下幾種情況，直接抽樣法是不合適的。分布函數(shù)無(wú)法用解析形式給出，因而其反函數(shù)也無(wú)法給出。分布函數(shù)可以給出其解析形式，但是反函數(shù)給不出來(lái)。分布函數(shù)即使能夠給出反函數(shù)，但運(yùn)算量很大。下面敘述的挑選抽樣方法是克服這些困難的比較好的方法。挑選抽樣方法

為了實(shí)現(xiàn)從己知分布密度函數(shù)f(x)抽樣，選取與f(x)取值范圍相同的分布密度函數(shù)h(x)，如果則挑選抽樣方法為：>

即從h(x)中抽樣xh，以的概率接受它。下面證明xf

服從分布密度函數(shù)f(x)。證明：對(duì)于任意x

使用挑選抽樣方法時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)：選取h(x)時(shí)要使得h(x)容易抽樣且M的值要盡量小。因?yàn)镸小能提高抽樣效率。抽樣效率是指在挑選抽樣方法中進(jìn)行挑選時(shí)被選中的概率。按此定義，該方法的抽樣效率E為：所以，M越小，抽樣效率越高。

當(dāng)f(x)在［0，1］上定義時(shí)，取h(x)=1，Xh=ξ，此時(shí)挑選抽樣方法為>例9.圓內(nèi)均勻分布抽樣

令圓半徑為R0，點(diǎn)到圓心的距離為r，則r的分布密度函數(shù)為分布函數(shù)為容易知道，該分布的直接抽樣方法是

由于開(kāi)方運(yùn)算在計(jì)算機(jī)上很費(fèi)時(shí)間，該方法不是好方法。下面使用挑選抽樣方法：取則抽樣框圖為＞≤

顯然，沒(méi)有必要舍棄ξ1＞ξ2的情況，此時(shí)，只需取就可以了，亦即另一方面，也可證明與具有相同的分布。復(fù)合抽樣方法

在實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常有這樣的隨機(jī)變量，它服從的分布與一個(gè)參數(shù)有關(guān)，而該參數(shù)也是一個(gè)服從確定分布的隨機(jī)變量，稱(chēng)這樣的隨機(jī)變量服從復(fù)合分布。例如，分布密度函數(shù)是一個(gè)復(fù)合分布。其中Pn≥0，n=1，2，…，且

fn(x)為與參數(shù)n有關(guān)的分布密度函數(shù)，n=1，2，…，參數(shù)n服從如下分布

復(fù)合分布的一般形式為：其中f2(x/y)表示與參數(shù)y有關(guān)的條件分布密度函數(shù)，F(xiàn)1(y)表示分布函數(shù)。 復(fù)合分布的抽樣方法為:首先由分布函數(shù)F1(y)或分布密度函數(shù)f1(y)中抽樣YF1或Yf1，然后再由分布密度函數(shù)f2(x/YF1)中抽樣確定Xf2(x/YF)

證明：所以，Xf所服從的分布為f

(x)。例10.指數(shù)函數(shù)分布的抽樣

指數(shù)函數(shù)分布的一般形式為：引入如下兩個(gè)分布密度函數(shù)：

則使用復(fù)合抽樣方法，首先從f1(y)中抽取y

再由f2(x/YF1)中抽取x

復(fù)合挑選抽樣方法

考慮另一種形式的復(fù)合分布如下：其中0≤H(x,y)≤M，f2(x/y)表示與參數(shù)y有關(guān)的條件分布密度函數(shù)，F(xiàn)1(y)表示分布函數(shù)。抽樣方法如下：>

證明：抽樣效率為：E=1/M

為了實(shí)現(xiàn)某個(gè)復(fù)雜的隨機(jī)變量y的抽樣，將其表示成若干個(gè)簡(jiǎn)單的隨機(jī)變量x1，x2，…，xn

的函數(shù) 得到x1，x2，…，xn的抽樣后，即可確定y的抽樣，這種方法叫作替換法抽樣。即替換抽樣方法例11.散射方位角余弦分布的抽樣

散射方位角φ在［0,2π］上均勻分布，則其正弦和余弦sinφ和cosφ服從如下分布： 直接抽樣方法為：

令φ=2θ，則θ在［0,π］上均勻分布，作變換 其中0≤ρ≤1，0≤ρ≤π，則

(x,y)表示上半個(gè)單位圓內(nèi)的點(diǎn)。如果(x,y)在上半個(gè)單位圓內(nèi)均勻分布，則θ在［0,π］上均勻分布，由于

因此抽樣sinφ和cosφ的問(wèn)題就變成在上半個(gè)單位圓內(nèi)均勻抽樣(x,y)的問(wèn)題。 為獲得上半個(gè)單位圓內(nèi) 的均勻點(diǎn)，采用挑選法，在 上半個(gè)單位圓的外切矩形內(nèi) 均勻投點(diǎn)（如圖）。 舍棄圓外的點(diǎn)，余下的就是所要求的點(diǎn)。 抽樣方法為： 抽樣效率

E=π/4≈0.785>

為實(shí)現(xiàn)散射方位角余弦分布抽樣，最重要的是在上半個(gè)單位圓內(nèi)產(chǎn)生均勻分布點(diǎn)。下面這種方法，首先在單位圓的半個(gè)外切正六邊形內(nèi)產(chǎn)生均勻分布點(diǎn)，如圖所示。

于是便有了抽樣效率更高的抽樣方法： 抽樣效率>≤例12.正態(tài)分布的抽樣

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)為： 引入一個(gè)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量X獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量Y，則（X,Y）的聯(lián)合分布密度為： 作變換

則（ρ,φ）的聯(lián)合分布密度函數(shù)為： 由此可知，ρ與φ相互獨(dú)立，其分布密度函數(shù)分別為 分別抽取ρ，φ

：

從而得到一對(duì)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量X和Y： 對(duì)于一般的正態(tài)分布密度函數(shù)N(μ,σ2)的抽樣，其抽樣結(jié)果為：例13.β分布的抽樣

β分布密度函數(shù)的一般形式為： 其中n，k為整數(shù)。為了實(shí)現(xiàn)β分布的抽樣，將其看作一組簡(jiǎn)單的相互獨(dú)立隨機(jī)變量的函數(shù)，通過(guò)這些簡(jiǎn)單隨機(jī)變量的抽樣，實(shí)現(xiàn)β分布的抽樣。設(shè)x1，x2，…，xn

為一組相互獨(dú)立、具有相同分布F(x)的隨機(jī)變量，ζk為x1，x2，…，xn

按大小順序排列后的第k個(gè)，記為：

則ζk的分布函數(shù)為： 當(dāng)F(x)=x

時(shí)， 不難驗(yàn)證，ζk的分布密度函數(shù)為β分布。因此，β分布的抽樣可用如下方法實(shí)現(xiàn)： 選取n個(gè)隨機(jī)數(shù)，按大小順序排列后取第k個(gè)，即隨機(jī)抽樣的一般方法

加抽樣方法

減抽樣方法乘抽樣方法乘加抽樣方法乘減抽樣方法對(duì)稱(chēng)抽樣方法積分抽樣方法加抽樣方法

加抽樣方法是對(duì)如下加分布給出的一種抽樣方法：其中Pn≥0，

，且

fn(x)為與參數(shù)n有關(guān)的分布密度函數(shù)，n=1，2，…。 由復(fù)合分布抽樣方法可知，加分布的抽樣方法為:首先抽樣確定n’，然后由fn’(x)中抽樣x，即：例14.多項(xiàng)式分布抽樣

多項(xiàng)式分布密度函數(shù)的一般形式為：將f(x)改寫(xiě)成如下形式：則該分布的抽樣方法為：例15.球殼內(nèi)均勻分布抽樣

設(shè)球殼內(nèi)半徑為R0，外半徑為R1，點(diǎn)到球心的距離為r，則r的分布密度函數(shù)為分布函數(shù)為 該分布的直接抽樣方法是

為避免開(kāi)立方根運(yùn)算，作變換： 則x∈[0,1]，其分布密度函數(shù)為： 其中

則x及r的抽樣方法為：≤≤>>減抽樣方法

減抽樣方法是對(duì)如下形式的分布密度所給出的一種抽樣方法：其中A1、A2為非負(fù)實(shí)數(shù)，f1(x)

、f2(x)均為分布密度函數(shù)。 減抽樣方法分為以下兩種形式：

以上兩種形式的抽樣方法，究竟選擇哪種好，要看f1(x)

、f2(x)哪一個(gè)容易抽樣，如相差不多，選用第一種方法抽樣效率高。

（1）將f

(x)表示為令m表示f2(x)／f1(x)的下界，使用挑選法，從f1(x)中抽取Xf1

抽樣效率為：>

（2）將f

(x)表示為使用挑選法，從f2(x)中抽取Xf2

抽樣效率為：>例16.β分布抽樣 β分布的一個(gè)特例： 取A1＝2，A2＝1，f1(x)＝1，f2(x)＝2x，此時(shí)m＝0，則根據(jù)第一種形式的減抽樣方法，有 或＞≤＞≤

由于1－ξ1可用ξ1代替，該抽樣方法可簡(jiǎn)化為： 對(duì)于ξ2＞ξ1的情況，可取Xf＝ξ1

，因此 與β分布的推論相同。＞≤

如下形式的分布稱(chēng)為乘分布：其中H(x)為非負(fù)函數(shù)，

f1(x)為任意分布密度函數(shù)。 令M為H(x)的上界，乘抽樣方法如下：抽樣效率為：乘抽樣方法≤＞例17.倒數(shù)分布抽樣

倒數(shù)分布密度函數(shù)為： 其直接抽樣方法為： 下面采用乘抽樣方法，考慮如下分布族： 其中i=1，2，…，該分布的直接抽樣方法為：

利用這一分布族，將倒數(shù)分布f(x)表示成:

其中， 乘法分布的抽樣方法如下:

該分布的抽樣效率為：＞≤例18.麥克斯韋(Maxwell)分布抽樣

麥克斯韋分布密度函數(shù)的一般形式為： 使用乘抽樣方法，令 該分布的直接抽樣方法為：

此時(shí) 則麥克斯韋分布的抽樣方法為:

該分布的抽樣效率為：＞≤

在實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到如下形式的分布：其中Hn(x)為非負(fù)函數(shù)，fn(x)為任意分布密度函數(shù)，n=1，2，…。不失一般性，只考慮n=2的情況：

將f(x)改寫(xiě)成如下的加分布形式：乘加抽樣方法

其中

乘加抽樣方法為：該方法的抽樣效率為：>>>≤

這種方法需要知道P1的值(P2=1－P1），這對(duì)有些分布是很困難的。下面的方法可以不用計(jì)算P1

：對(duì)于任意小于1的正數(shù)P1

，令P2=1－P1

；

則采用復(fù)合挑選抽樣方法，有：

當(dāng)取時(shí)，抽樣效率最高這時(shí)，乘加抽樣方法為：>>>≤

由于可知第一種方法比第二種方法的抽樣效率高。例19.光子散射后能量分布的抽樣

令光子散射前后的能量分別為

和（以m0c2

為單位，m0為電子靜止質(zhì)量，c

為光速），， 則x

的分布密度函數(shù)為： 該分布即為光子散射能量分布，它是由著名的Klin－Nishina

公式確定的。其中K(α)為歸一因子：

把光子散射能量分布改寫(xiě)成如下形式： 在［1,1+2α］上定義如下函數(shù):

則有 使用乘加抽樣方法：

光子散射能量分布的抽樣方法為： 該方法的抽樣效率為：＞＞＞≤≤≤

乘減分布的形式為： 其中H1(x)、H2(x)為非負(fù)函數(shù)，f1(x)、f2(x)為任意分布密度函數(shù)。 與減抽樣方法類(lèi)似，乘減分布的抽樣方法也分為兩種。乘減抽樣方法

（1）將f

(x)表示為 令H1(x)的上界為M1，的下界為m，使用乘抽 樣方法得到如下乘減抽樣方法：>

（2）將f

(x)表示為 令H2(x)的上界為M2，使用乘抽樣方法，得到另一種乘減抽樣方法：>例20.裂變中子譜分布抽樣

裂變中子譜分布的一般形式為： 其中A，B，C，Emin，Emax

均為與元素有關(guān)的量。令 其中λ為歸一因子，γ為任意參數(shù)。

相應(yīng)的H1(E)，H2(E)為： 于是裂變中子譜分布可以表示成乘減分布形式:

容易確定H1(E)的上界為： 為提高抽樣效率，應(yīng)取γ使得M1

達(dá)到最小，此時(shí)

取m＝0，令 則裂變中子譜分布的抽樣方法為:

抽樣效率＞≤

對(duì)稱(chēng)分布的一般形式為： 其中f1(x)為任意分布密度函數(shù)，滿足偶函數(shù)對(duì)稱(chēng)條件，H(x)為任意奇函數(shù)，即對(duì)任意x滿足： 對(duì)稱(chēng)分布的抽樣方法如下：取η=2ξ－1對(duì)稱(chēng)抽樣方法>≤

證明： 因?yàn)棣?2ξ－1，η≤x

相當(dāng)于ξ≤，因此例21.質(zhì)心系各向同性散射角余弦分布抽樣

在質(zhì)心系各向同性散射的假設(shè)下，為得到實(shí)驗(yàn)室系散射角余弦，需首先抽樣確定質(zhì)心條散射角余弦： 再利用下面轉(zhuǎn)換公式:

得到實(shí)驗(yàn)室系散射角余弦μL。其中A為碰撞核質(zhì)量，θC、θL

分別為質(zhì)心系和實(shí)驗(yàn)室系散射角。

為避免開(kāi)方運(yùn)算，可以使用對(duì)稱(chēng)分布抽樣。 根據(jù)轉(zhuǎn)換公式可得： 依照質(zhì)心系散射各向同性的假定，可得到實(shí)驗(yàn)室系散射角余弦μL

的分布如下： 該密度函數(shù)中的第一項(xiàng)為偶函數(shù)，第二項(xiàng)為奇函數(shù)，因而是對(duì)稱(chēng)分布。其中

從f1(μL)的抽樣可使用挑選法 然后再以 的概率決定接受或取負(fù)值。 上述公式涉及開(kāi)方運(yùn)算，需要進(jìn)一步簡(jiǎn)化。＞≤

注意以下事實(shí)：對(duì)于任意0≤a≤1

令 則上述挑選抽樣中的挑選條件簡(jiǎn)化為： 另一方面，在即的條件下，η2/a

在［－1,1］上均勻分布，故可令η＝η2/a，則最終決定取正負(fù)值的條件簡(jiǎn)化為：

于是，得到質(zhì)心系各向同性散射角余弦分布的抽樣方法為：＞≤＞≤

如下形式的分布密度函數(shù) 稱(chēng)為積分分布密度函數(shù)，其中f0(x，y)為任意二維分布密度函數(shù)，H(x)為任意函數(shù)。該分布密度函數(shù)的抽樣方法為：積分抽樣方法>

證明：對(duì)于任意x

例22.各向同性散射方向的抽樣

為了確定各向同性散射方向，根據(jù)公式： 對(duì)于各向同性散射，cosθ在［－1,1］上均勻分布，φ在［0,2π］上均勻分布。由于 直接抽樣需要計(jì)算三角函數(shù)和開(kāi)方。

定義兩個(gè)隨機(jī)變量： 可以證明，當(dāng)時(shí)，隨機(jī)變量x

和y

服從如下分布:

定義區(qū)域?yàn)椋?/p>

則w＝cosθ的分布可以用上述分布表示成積分分布的形式： 令，則屬于上述積分限內(nèi)的y

一定滿足 條件。

各向同性散射方向的抽樣方法為： 抽樣效率為：＞≤隨機(jī)抽樣的其它方法

偏倚抽樣方法近似抽樣方法近似-修正抽樣方法多維分布抽樣方法指數(shù)分布的抽樣

使用蒙特卡羅方法計(jì)算積分 時(shí)，可考慮將積分I改寫(xiě)為 其中f*(x)為一個(gè)與f(x)有相同定義域的新的分布密度函數(shù)。于是可以這樣計(jì)算積分I： 這里Xi

是從f*(x)中抽取的第i

個(gè)子樣。偏移抽樣方法

由此可以看出，原來(lái)由f(x)抽樣，現(xiàn)改為由另一個(gè)分布密度函數(shù)f*(x)抽樣，并附帶一個(gè)權(quán)重糾偏因子 這種方法稱(chēng)為偏倚抽樣方法。 從f(x)中抽取的Xf

，滿足 而對(duì)于偏倚抽樣，有 一般情況下，Xf

是具有分布f(x)總體的簡(jiǎn)單子樣的個(gè)體，只代表一個(gè)。Xf*

是具有分布f*(x)總體的簡(jiǎn)單子樣的個(gè)體，但不代表一個(gè)，而是代表W(Xf*)個(gè)，這時(shí)Xf*是帶權(quán)W(Xf*)服從分布f(x)。

在實(shí)際問(wèn)題中，分布密度函數(shù)的形式有時(shí)是非常復(fù)雜的，有些甚至不能用解析形式給出，只能用數(shù)據(jù)或曲線形式給出。如中子散射角余弦分布多數(shù)是以曲線形式給出的。對(duì)于這樣的分布，需要用近似分布密度函數(shù)代替原來(lái)的分布密度函數(shù)，用近似分布密度函數(shù)的抽樣代替原分布密度函數(shù)的抽樣，這種方法稱(chēng)為近似抽樣方法。近似抽樣方法

設(shè)fa(x)≈f(x)，即fa(x)是f(x)的一個(gè)近似分布密度函數(shù)。對(duì)于階梯近似，有 其中，x0，x1，…，xn為任意分點(diǎn)。在此情況下，近似抽樣方法為：或階梯近似

對(duì)于梯形近似，有 其中，c

為歸一因子，fi

＝f(xi)，x0，x1，…，xn為任意分點(diǎn)。根據(jù)對(duì)稱(chēng)抽樣方法，梯形近似抽樣方法為：梯形近似＞≤

除了上述這種近似外，近似抽樣方法還包括對(duì)直接抽樣方法中分布函數(shù)反函數(shù)的近似處理，以及用具有近似分布的隨機(jī)變量代替原分布的隨機(jī)變量。例23.正態(tài)分布的近似抽樣

我們知道，隨機(jī)數(shù)ξ的期望值為1/2，方差為1/12，則隨機(jī)變量 漸近正態(tài)分布，因此，當(dāng)n

足夠大時(shí)便可用Xn

作為正態(tài)分布的近似抽樣。特別是n＝12時(shí)，有

對(duì)于任意分布密度函數(shù)f(x)，設(shè)fa(x)是f(x)的一個(gè)近似分布密度函數(shù)，它的特點(diǎn)是抽樣簡(jiǎn)單，運(yùn)算量小。令 則分布密度函數(shù)f(x)可以表示為乘加分布形式： 其中H1(x)為非負(fù)函數(shù)，f1(x)為一分布密度函數(shù)。 對(duì)f(x)而言，fa(x)是它的近似分布密度函數(shù)，而H1(x)f1(x)正好是這種近似的修正。近似-修正抽樣方法

近似-修正抽樣方法如下： 抽樣效率 由上述近似-修正抽樣方法可以看出，如果近似分布密度函數(shù)fa