2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章立體幾何第5講空間角與距離空間向量及應(yīng)用作業(yè)試題1含解析新人教版

PAGE第八章立體幾何第五講空間角與距離、空間向量及應(yīng)用練好題﹒考點(diǎn)自測(cè)1.[2024安徽省阜陽市模擬]在空間直角坐標(biāo)系中,A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),若A,B,C,D四點(diǎn)共面,則 ()A.2x+y+z=1 B.x+y+z=0C.x-y+z=-4 D.x+y-z=02.[廣東高考,5分]已知向量a=(1,0,-1),則下列向量中與a成60°夾角的是 ()A.(-1,1,0) B.(1,-1,0)C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)3.下列說法正確的是 ()A.直線的方向向量是唯一確定的B.若直線a的方向向量和平面α的法向量平行,則a∥αC.若兩平面的法向量平行,則兩平面平行D.若直線a的方向向量與平面α的法向量垂直,則a∥α4.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),則下列向量是平面ABC的一個(gè)法向量的是 ()A.(-1,1,1) B.(1,-1,1)C.(-QUOTE,-QUOTE,-QUOTE) D.(QUOTE,QUOTE,-QUOTE)5.[2024四川五校聯(lián)考]已知四面體ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,△ABD是邊長為2的等邊三角形,BD=DC,BD⊥CD,則異面直線AC與BD所成角的余弦值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE6.[2024全國卷Ⅰ,5分]已知∠ACB=90°,P為平面ABC外一點(diǎn),PC=2,點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC,BC的距離均為QUOTE,那么P到平面ABC的距離為.

圖8-5-17.[2024天津,15分]如圖8-5-1,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=3,點(diǎn)D,E分別在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M為棱A1B1的中點(diǎn).(Ⅰ)求證:C1M⊥B1D.(Ⅱ)求二面角B-B1E-D的正弦值.(Ⅲ)求直線AB與平面DB1E所成角的正弦值.拓展變式1.[2024山東,12分]如圖8-5-10,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.圖8-5-10(1)證明:l⊥平面PDC.(2)已知PD=AD=1,Q為l上的點(diǎn),求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.2.[2024全國卷Ⅲ,12分]如圖8-5-14,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.(1)證明:點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi).(2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A-EF-A1的正弦值.圖8-5-143.[2024山東新高考模擬]如圖8-5-23,將長方形OAA1O1(及其內(nèi)部)繞OO1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱,其中OA=1,OO1=2,圖8-5-23QUOTE的長為QUOTE,AB為☉O的直徑.(1)在QUOTE上是否存在點(diǎn)C(C,B1在平面OAA1O1的同側(cè)),使得BC⊥AB1,若存在,請(qǐng)確定其位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.(2)求二面角A1-O1B-B1的余弦值.4.[2024河北省六校第一次聯(lián)考]如圖8-5-27(1),在Rt△ABC中,B為直角,AB=BC=6,EF∥BC,AE=2,沿EF將△AEF折起,使∠AEB=QUOTE,得到如圖8-5-27(2)所示的幾何體,點(diǎn)D在線段AC上.圖8-5-27(1)求證:平面AEF⊥平面ABC.(2)若AE∥平面BDF,求直線AF與平面BDF所成角的正弦值.答案第五講空間角與距離、空間向量及應(yīng)用1.A由題意可得QUOTE=(0,1,-1),QUOTE=(-2,2,2),QUOTE=(x-1,y-1,z+2).∵A,B,C,D四點(diǎn)共面,∴存在實(shí)數(shù)λ,μ使得QUOTE=λQUOTE+μQUOTE,即(x-1,y-1,z+2)=λ(0,1,-1)+μ(-2,2,2),∴QUOTE解得2x+y+z=1,故選A.2.B設(shè)選項(xiàng)中的向量與a的夾角為θ,對(duì)于選項(xiàng)A,由于cosθ=QUOTE=-QUOTE,此時(shí)夾角θ為120°,不滿意題意;同理可知選項(xiàng)C,D不滿意題意;對(duì)于選項(xiàng)B,由于cosθ=QUOTE=QUOTE,此時(shí)夾角θ為60°,滿意題意.故選B.3.CA中,直線的方向向量不是唯一的,有多數(shù)多個(gè),故A錯(cuò)誤;B中,由條件得a⊥α,故B錯(cuò)誤;D中,由條件得,a∥α或a?α,故D錯(cuò)誤.易知C正確,選C.4.C由題意,得QUOTE=(-1,1,0),QUOTE=(-1,0,1),設(shè)n=(x,y,z)為平面ABC的法向量,則QUOTE即QUOTE可得x=y=z.故選C.5.A由題意知CD⊥平面ABD.以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DC所在直線為x軸,DB所在直線為y軸建立如圖D8-5-1所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,1,QUOTE),C(2,0,0),B(0,2,0),D(0,0,0),QUOTE=(2,-1,-QUOTE),QUOTE=(0,-2,0),設(shè)異面直線AC與BD所成的角為α,則cosα=QUOTE=QUOTE,所以異面直線AC與BD所成角的余弦值為QUOTE,故選A.圖D8-5-16.QUOTE如圖D8-5-2,過點(diǎn)P分別作PE⊥BC交BC于點(diǎn)E,作PF⊥AC交AC于點(diǎn)F.由題意知PE=PF=QUOTE.過P作PH⊥平面ABC于點(diǎn)H,連接HE,HF,HC,易知HE=HF,則易得點(diǎn)H在∠ACB的平分線上,又∠ACB=90°,故△CEH為等腰直角三角形.在Rt△PCE中,PC=2,PE=QUOTE,則CE=1,故CH=QUOTE,在Rt△PCH中,可得PH=QUOTE,即點(diǎn)P到平面ABC的距離為QUOTE.圖D8-5-27.依題意,以C為原點(diǎn),分別以QUOTE,QUOTE,QUOTE的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖D8-5-3),可得C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,3),A1(2,0,3),B1(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3).圖D8-5-3(Ⅰ)依題意,QUOTE=(1,1,0),QUOTE=(2,-2,-2),從而QUOTE·QUOTE=2-2+0=0,所以C1M⊥B1D.(Ⅱ)依題意,QUOTE=(2,0,0)是平面BB1E的一個(gè)法向量,QUOTE=(0,2,1),QUOTE=(2,0,-1).設(shè)n=(x,y,z)為平面DB1E的法向量,則QUOTE即QUOTE不妨設(shè)x=1,可得n=(1,-1,2).因此有cosQUOTE,n=QUOTE=QUOTE,于是sinQUOTE,n=QUOTE.所以二面角B-B1E-D的正弦值為QUOTE.(Ⅲ)依題意,QUOTE=(-2,2,0).由(Ⅱ)知n=(1,-1,2)為平面DB1E的一個(gè)法向量,于是cos<QUOTE,n>=QUOTE=-QUOTE.所以,直線AB與平面DB1E所成角的正弦值為QUOTE.1.(1)因?yàn)镻D⊥底面ABCD,所以PD⊥AD.又底面ABCD為正方形,所以AD⊥DC.又PD∩DC=D,因此AD⊥平面PDC.因?yàn)锳D∥BC,AD?平面PBC,所以AD∥平面PBC.由已知得l∥AD.因此l⊥平面PDC.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),QUOTE的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖D8-5-4所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),QUOTE=(0,1,0),QUOTE=(1,1,-1).圖D8-5-4由(1)可設(shè)Q(a,0,1),則QUOTE=(a,0,1).設(shè)n=(x,y,z)是平面QCD的法向量,則QUOTE即QUOTE可取n=(-1,0,a).所以cos<n,QUOTE>=QUOTE=QUOTE.設(shè)PB與平面QCD所成角為θ,則sinθ=QUOTE×QUOTE=QUOTE.因?yàn)镼UOTE≤QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)等號(hào)成立,所以PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為QUOTE.2.如圖D8-5-5,以C1為坐標(biāo)原點(diǎn),QUOTE的方向?yàn)閤軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系C1-xyz.圖D8-5-5(1)設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c,連接C1F,則C1(0,0,0),A(a,b,c),E(a,0,QUOTEc),F(0,b,QUOTEc),QUOTE=(0,b,QUOTEc),QUOTE=(0,b,QUOTEc),得QUOTE=QUOTE,因此EA∥C1F,即A,E,F,C1四點(diǎn)共面,所以點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi).(2)由已知得A(2,1,3),E(2,0,2),F(0,1,1),A1(2,1,0),QUOTE=(0,-1,-1),QUOTE=(-2,0,-2),QUOTE=(0,-1,2),QUOTE=(-2,0,1).設(shè)n1=(x1,y1,z1)為平面AEF的法向量,則QUOTE即QUOTE可取n1=(-1,-1,1).設(shè)n2=(x2,y2,z2)為平面A1EF的法向量,則QUOTE即QUOTE可取n2=(QUOTE,2,1).因?yàn)閏os<n1,n2>=QUOTE=-QUOTE,所以二面角A-EF-A1的正弦值為QUOTE.3.(1)存在符合題意的點(diǎn)C,當(dāng)B1C為圓柱OO1的母線時(shí),BC⊥AB1.下面賜予證明:在QUOTE上取點(diǎn)C,使B1C為圓柱的母線,則B1C⊥BC,如圖D8-5-6,連接BC,AC,因?yàn)锳B為☉O的直徑,所以BC⊥AC,又B1C∩AC=C,所以BC⊥平面AB1C.因?yàn)锳B1?平面AB1C,所以BC⊥AB1.圖D8-5-6(2)取QUOTE的中點(diǎn)D(D,B1在平面OAA1O1的同側(cè)),連接OD,OC,由題意可知,OD,OA,OO1兩兩垂直,故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)D,OA,OO1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖D8-5-6所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,因?yàn)镼UOTE的長為QUOTE,所以∠AOC=∠A1O1B1=QUOTE,則O1(0,0,2),B(0,-1,0),B1(QUOTE,QUOTE,2),D(1,0,0),所以QUOTE=(0,-1,-2),QUOTE=(QUOTE,QUOTE,0).設(shè)平面O1BB1的法向量為n=(x,y,z),則QUOTE即QUOTE令z=1,得n=(2QUOTE,-2,1).易知QUOTE=(1,0,0)為平面O1A1B的一個(gè)法向量.設(shè)二面角A1-O1B-B1的大小為θ,由圖D8-5-6可知θ為銳角,則cosθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以二面角A1-O1B-B1的余弦值為QUOTE.4.(1)在△ABE中,AE=2,BE=4,∠AEB=QUOTE,由余弦定理得AB2=AE2+BE2-2AE·BEcos∠AEB=4+16-2×2×4×QUOTE=12,∴AB=2QUOTE,∴EB2=EA2+AB2,∴∠EAB=QUOTE,即EA⊥AB.易知EF⊥EB,EF⊥EA,EA∩EB=E,∴EF⊥平面ABE,又AB?平面ABE,∴EF⊥AB.又EA∩EF=E,EA,EF?平面AEF,∴AB⊥平面AEF,又AB?平面ABC,∴平面AEF⊥平面ABC.(2)如圖D8-5-7,以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AE所在直線為y軸,過點(diǎn)A垂直于平面ABE的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(2QUOTE,0,0),E(0,2,0),F(0,2,2),C(2QUOTE,0,6),∴QUOTE=(0,2,2),QUOTE=(2QUOTE,-2,-2),QUOTE=(2QUOTE,0,6).圖D8-5-7連接EC,與FB交于點(diǎn)G,連接DG,∵AE∥平面BDF,DG為平面AEC與平面BDF的交線,∴AE∥GD,∴QUOTE=QUOTE,在四邊形BCFE中,EF∥BC,∴△EFG∽△CBG,∴QUOTE=QUOTE=3,∴QUOTE=3,∴QUOTE=QU