新高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案第57講 立體幾何中翻折問(wèn)題（微專(zhuān)題）（解析版）

第57講立體幾何中翻折問(wèn)題（微專(zhuān)題）一、題型選講題型一、展開(kāi)問(wèn)題例1、（2022·廣東佛山·高三期末）長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E為棱SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，平面SKIPIF1<0交棱SKIPIF1<0于F，則四邊形SKIPIF1<0的周長(zhǎng)的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】將幾何體展開(kāi)，利用兩點(diǎn)之間直線(xiàn)段最短即可求得截面最短周長(zhǎng)．【詳解】解：將長(zhǎng)方體展開(kāi)，如圖所示：當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn)時(shí)，截面四邊形SKIPIF1<0的周長(zhǎng)最小，最小值為SKIPIF1<0．故選：B．變式1、（2022·湖北武昌·高三期末）已知四面體ABCD的一個(gè)平面展開(kāi)圖如圖所示，其中四邊形AEFD是邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的菱形，B，C分別為AE，F(xiàn)D的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，則在該四面體中（）A．SKIPIF1<0B．BE與平面DCE所成角的余弦值為SKIPIF1<0C．四面體ABCD的內(nèi)切球半徑為SKIPIF1<0D．四面體ABCD的外接球表面積為SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】幾何體內(nèi)各相關(guān)線(xiàn)段的計(jì)算即可.【詳解】由題意得，展開(kāi)圖拼成的幾何體如下圖所示，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取AB中點(diǎn)M，CD中點(diǎn)N，MN中點(diǎn)O，連MN、OA，過(guò)O作SKIPIF1<0于H，則OH是內(nèi)切球的半徑，OA是外接球的半徑.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0對(duì)于A：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面ABN，而SKIPIF1<0平面ABN，所以SKIPIF1<0，故A正確；對(duì)于B：由于SKIPIF1<0平面ACD，故平面ABNSKIPIF1<0平面ACD，故SKIPIF1<0是BE與平面DCE所成角，故SKIPIF1<0，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：SKIPIF1<0，故C正確；對(duì)于D：SKIPIF1<0所以外接球的表面積為SKIPIF1<0，故D正確.故選：ACD變式2、【2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開(kāi)圖中，AC=1，SKIPIF1<0，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，同理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型二、折疊問(wèn)題例2、（2022·河北唐山·高三期末）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E為AB的中點(diǎn)，將SKIPIF1<0沿DE所在的直線(xiàn)翻折，使A與SKIPIF1<0重合，得到四棱錐SKIPIF1<0，則在翻折的過(guò)程中（）A．SKIPIF1<0 B．存在某個(gè)位置，使得SKIPIF1<0C．存在某個(gè)位置，使得SKIPIF1<0 D．存在某個(gè)位置，使四棱錐SKIPIF1<0的體積為1【答案】AB【分析】過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，證得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可判定A正確；取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的投影在SKIPIF1<0上時(shí)，可判定B正確；連接SKIPIF1<0，由直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是異面直線(xiàn)，可判定C錯(cuò)誤；求得SKIPIF1<0，結(jié)合體積公式求可判定D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A中，如圖所示，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以A正確；對(duì)于B中，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的投影在SKIPIF1<0上時(shí)，此時(shí)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，從而得到SKIPIF1<0，所以B正確；對(duì)于C中，連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是異面直線(xiàn)，所以不存在某個(gè)位置，使得SKIPIF1<0，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即此時(shí)四棱錐的高SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，所以不存在某個(gè)位置，使四棱錐SKIPIF1<0的體積為1，所以D錯(cuò)誤.故選：AB.變式1、（2022·江蘇宿遷·高三期末）如圖，一張長(zhǎng)?寬分別為SKIPIF1<0的矩形紙，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是其四條邊的中點(diǎn).現(xiàn)將其沿圖中虛線(xiàn)折起，使得SKIPIF1<0四點(diǎn)重合為一點(diǎn)SKIPIF1<0，從而得到一個(gè)多面體，則（）A．在該多面體中，SKIPIF1<0B．該多面體是三棱錐C．在該多面體中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．該多面體的體積為SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】利用圖形翻折，結(jié)合勾股定理，確定該多面體是以SKIPIF1<0為頂點(diǎn)的三棱錐，利用線(xiàn)面垂直，判定面面垂直，以及棱錐的體積公式即可得出結(jié)論．【詳解】由于長(zhǎng)、寬分別為SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0分別是其四條邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將其沿圖中虛線(xiàn)折起，使得SKIPIF1<0四點(diǎn)重合為一點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，從而得到一個(gè)多面體SKIPIF1<0，所以該多面體是以SKIPIF1<0為頂點(diǎn)的三棱錐，故B正確；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A不正確；由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，故D正確；因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故C正確.故選：BCD變式2、（2022·江蘇海安·高三期末）如圖，ABCD是一塊直角梯形加熱片，AB∥CD，∠DAB＝60°，AB＝AD＝4dm．現(xiàn)將△BCD沿BD折起，成為二面角A－BD－C是90°的加熱零件，則AC間的距離是________dm；為了安全，把該零件放進(jìn)一個(gè)球形防護(hù)罩，則球形防護(hù)罩的表面積的最小值是________dm2．（所有器件厚度忽略不計(jì)）【答案】4【分析】設(shè)E為BD的中點(diǎn)，由題可得AE⊥平面BCD，進(jìn)而可求SKIPIF1<0，再結(jié)合條件可得△DAB的中心為棱錐SKIPIF1<0的外接球的球心，即求.【詳解】∵ABCD是一塊直角梯形加熱片，AB∥CD，∠DAB＝60°，AB＝AD＝4dm．∴△DAB為等邊三角形，SKIPIF1<0，設(shè)E為BD的中點(diǎn)，連接AE，CE，則AE⊥BD，又二面角A－BD－C是90°，∴AE⊥平面BCD，CESKIPIF1<0平面BCD，∴AE⊥CE，又CE=2dm，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設(shè)△DAB的中心為O，則OE⊥平面BCD，又E為BD的中點(diǎn)，△BCD為直角三角形，∴OB=OC=OD=OA，即O為三棱錐SKIPIF1<0的外接球的球心，又SKIPIF1<0，故球形防護(hù)罩的表面積的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：4，SKIPIF1<0.變式3、（2022·河北保定·高三期末）如圖，SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形SKIPIF1<0的中位線(xiàn)，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則四棱雉SKIPIF1<0外接球的表面積是___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】求出四邊形SKIPIF1<0外接圓的圓半徑，再設(shè)四棱錐SKIPIF1<0外接球的球心為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0求出半徑，代入球的表面積公式即可.【詳解】如圖，分別取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0外接圓的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0.設(shè)四棱錐SKIPIF1<0外接球的球心為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0.易證四邊形SKIPIF1<0是矩形，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設(shè)四棱錐SKIPIF1<0外接球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故四棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0題型三、折疊的綜合性問(wèn)題例3、（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）在邊長(zhǎng)為6的正三角形ABC中M，N分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足SKIPIF1<0，把△AMN沿著MN翻折至A′MN位置，則下列說(shuō)法中正確的有（）A．在翻折過(guò)程中，在邊A′N(xiāo)上存在點(diǎn)P，滿(mǎn)足CP∥平面A′BMB．若SKIPIF1<0，則在翻折過(guò)程中的某個(gè)位置，滿(mǎn)足平面A′BC⊥平面BCNMC．若SKIPIF1<0且二面角A′－MN－B的大小為120°，則四棱錐A′－BCNM的外接球的表面積為61πD．在翻折過(guò)程中，四棱錐A′－BCNM體積的最大值為SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】通過(guò)直線(xiàn)相交來(lái)判斷A選項(xiàng)的正確性；通過(guò)面面垂直的判定定理判斷B選項(xiàng)的正確性；通過(guò)求四棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積來(lái)判斷C選項(xiàng)的正確性；利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求得四棱錐SKIPIF1<0體積的最大值.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則無(wú)論點(diǎn)P在A′N(xiāo)上什么位置，都存在CP與BQ相交，折疊后為梯形BCQP，則CP不與平面A′BM平行，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則AE＞DE，所以存在某一位置使得A′D⊥DE，又因?yàn)镸N⊥A′E，MN⊥DE，且A′E∩DE＝E，所以MN⊥平面A′DE，所以MN⊥A′D，SKIPIF1<0，所以A′D⊥平面BCNM，所以A′BC⊥平面BCNM，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，若SKIPIF1<0且二面角A′－MN－B的大小為120°，則△AMN為正三角形，∠BMN＝120°，∠C＝60°，則BCNM四點(diǎn)共圓，圓心可設(shè)為點(diǎn)G，其半徑設(shè)為r，DB＝DC＝DM＝DN＝3，所以點(diǎn)G即為點(diǎn)D，所以r＝3，二面角A′－MN－B的平面角即為∠A′ED＝120°，過(guò)點(diǎn)A′作A′H⊥DE，垂足為點(diǎn)H，EH＝SKIPIF1<0，DH＝SKIPIF1<0，A′H＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)外接球球心為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得R2＝SKIPIF1<0，所以外接球的表面積為S＝4πR2＝61π，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，設(shè)SKIPIF1<0是四棱錐SKIPIF1<0的高.S△AMN＝SKIPIF1<06λ6λSKIPIF1<0＝9SKIPIF1<0λ2，S△ABC＝SKIPIF1<066SKIPIF1<0＝9SKIPIF1<0，所以S四邊形BCNM＝9SKIPIF1<0（1－λ2），則VA′－BCNM＝SKIPIF1<09SKIPIF1<0（1－λ2）h≤3SKIPIF1<0（1－λ2）A′E＝3SKIPIF1<0（1－λ2）3SKIPIF1<0λ＝27（－λ3＋λ），λ∈（0，1），可設(shè)f（λ）＝27（－λ3＋λ），λ∈（0，1），則SKIPIF1<0＝27（－3λ2＋1），令SKIPIF1<0＝0，解得λ＝SKIPIF1<0，則函數(shù)f（λ）在（0，SKIPIF1<0）上單調(diào)遞增，在（SKIPIF1<0，1）上單調(diào)遞減，所以f（λ）max＝f（SKIPIF1<0）＝6SKIPIF1<0，則四棱錐A′－BCN體積的最大值為SKIPIF1<0，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD變式1、（2021·山東濱州市·高三二模）已知正方形的邊長(zhǎng)為2，將沿AC翻折到的位置，得到四面體，在翻折過(guò)程中，點(diǎn)始終位于所在平面的同一側(cè)，且的最小值為，則下列結(jié)論正確的是（）A．四面體的外接球的表面積為B．四面體體積的最大值為C．點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為D．邊AD旋轉(zhuǎn)所形成的曲面的面積為【答案】ACD【解析】對(duì)ABCD各選項(xiàng)逐一分析即可求解.【詳解】解：對(duì)A：，AC中點(diǎn)即為四面體的外接球的球心，AC為球的直徑，，，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B：當(dāng)平面平面時(shí)，四面體體積的最大，此時(shí)高為，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C：設(shè)方形對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于O，由題意，翻折后當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，此時(shí)，所以點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心為半徑的圓心角為的圓弧，所以點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)D：結(jié)合C的分析知，邊AD旋轉(zhuǎn)所形成的曲面的面積為以A為頂點(diǎn)，底面圓為以O(shè)為圓心為半徑的圓錐的側(cè)面積的，即所求曲面的面積為，故選項(xiàng)D正確.故選:ACD.變式2、【2022·廣東省深圳市寶安區(qū)第一次調(diào)研10月】如圖甲是由正方形SKIPIF1<0，等邊SKIPIF1<0和等邊SKIPIF1<0組成的一個(gè)平面圖形，其中SKIPIF1<0，將其沿SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0折起得三棱錐SKIPIF1<0，如圖乙.（1）求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）過(guò)棱SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0交棱SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，且三棱錐SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的體積比為SKIPIF1<0，求直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）取SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即證得面面垂直；（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)和向量SKIPIF1<0的坐標(biāo)，再計(jì)算平面SKIPIF1<0法向量SKIPIF1<0，利用所求角的正弦為SKIPIF1<0即得結(jié)果.【詳解】（1）證明：如圖，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)為