上海市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題（附答案）

上海市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題一、填空題（本大題滿分40分,共有10題，只要求直接填寫結(jié)果，每題填對得4分）1.復(fù)數(shù)，，若為實數(shù)，則________．2.已知為單位向量，,與的夾角為，則在方向上的投影是.3．?dāng)?shù)列中，且滿足求數(shù)列的通項公式____．4．，若，，則_________.5．已知（用反正弦表示），則.6．已知等差數(shù)列中，，公差，則使前項和取最大值的________．7．若關(guān)于x的實系數(shù)方程有兩實部為1的共軛虛根，則_____.8．已知為等邊三角形，，所在平面內(nèi)的點滿足，的最小值為________．9．在△中，，，則的取值范圍是_______.10．已知數(shù)列均為等差數(shù)列，設(shè)，且，，則使成立的的最大值為_____.二、選擇題（本大題滿分16分，共有4題，每題都給出四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號寫在題后的圓括號內(nèi)，選對得4分，否則一律得零分。）11．△ABC中，已知，且，則△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形12．已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．13．設(shè)等差數(shù)列的公差為，其前項和為，且，，則使得的正整數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．14．假設(shè)實數(shù)滿足，，，則的取值（）A.是唯一確定的B.不唯一，但有限多C.有無窮多D.不存在符合題意的三、解答題(本大題滿分44分，共有4題，解答下列各題必須寫出必要的步驟)15.（本題滿分10分,第（1）題4分，第（2）題6分）已知復(fù)數(shù)．(1)若，求m的值；(2)若z是純虛數(shù)，求的值．16．（本題滿分10分，第（1）小題5分，第（2）小題5分）函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求A，，的值；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若，且，求的值.17.（本題滿分12分，第（1）小題5分，第（2）小題7分）在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點，且交AB于點E．且交AC于點F（1）求的值；（2）求的最小值．18.（本題滿分12分，第（1）小題4分，第（2）小題4分，第（3）小題4分）設(shè)數(shù)列的前項和是，且滿足，其中為實數(shù)，.（1）求證：是等比數(shù)列.（2）當(dāng)，時，另一數(shù)列的通項公式是（其中常數(shù)是整數(shù)），對于任意，都有成立，求整數(shù)的最小值.（3）當(dāng)，時，記集合，，將中所有元素按從小到大的順序排列為一個新數(shù)列，求使成立的最小的的值.四、附加題19．（本題滿分10分）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一圓心位于原點的圓，半徑為，已知點A、B、C分別是角的終邊與該圓的交點（始邊均為軸正半軸）.（1）寫出點A、B、C的坐標(biāo)；（2）若原點O為的重心，試判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．20．（本題滿分10分）已知二次函數(shù)滿足：對任意實數(shù)，有恒成立；數(shù)列滿足．（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，是否存在非零整數(shù)，使得對任意，都有恒成立？若存在，求出所有符合的；若不存在，說明理由.答案一、填空題（本大題滿分40分,共有10題，只要求直接填寫結(jié)果，每題填對得4分）1.復(fù)數(shù)，，若為實數(shù)，則________．【正確答案】2.已知為單位向量，,與的夾角為，則在方向上的投影是.【正確答案】3．?dāng)?shù)列中，且滿足求數(shù)列的通項公式_______．【正確答案】4．，若，，則_________.【正確答案】5．已知（用反正弦表示），則.【正確答案】6．已知等差數(shù)列中，，公差，則使前項和取最大值的________．【正確答案】7．若關(guān)于x的實系數(shù)方程有兩實部為1的共軛虛根，則_____.【正確答案】8．已知為等邊三角形，，所在平面內(nèi)的點滿足，的最小值為________．【正確答案】9．在△中，，，則的取值范圍是_______.【正確答案】【詳解】，所以，顯然又有則，其中，故故的取值范圍是.10．已知數(shù)列均為等差數(shù)列，設(shè)，且，，則使成立的的最大值為_____.【正確答案】33由等差數(shù)列通項的性質(zhì)，必為關(guān)于的二次函數(shù).又因為，，故為的頂點.故設(shè)，代入得，解得.所以.計算得且，故.二、選擇題（本大題滿分16分，共有4題，每題都給出四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號寫在題后的圓括號內(nèi)，選對得4分，否則一律得零分。）11．△ABC中，已知，且，則△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【正確答案】B12．已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【正確答案】A13．設(shè)等差數(shù)列的公差為，其前項和為，且，，則使得的正整數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【正確答案】B14．假設(shè)實數(shù)滿足，，，則的取值（）A.是唯一確定的B.不唯一，但有限多C.有無窮多D.不存在符合題意的【正確答案】B在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)點，，則由題意，可推出，可推出，可推出由，圍成的△的面積.記，則，解得所以，故的取值可能為或，選B.三、解答題(本大題滿分44分，共有4題，解答下列各題必須寫出必要的步驟)15.（本題滿分10分,第（1）題4分，第（2）題6分）已知復(fù)數(shù)．(1)若，求m的值；(2)若z是純虛數(shù)，求的值．【正確答案】(1)(2)4或100(1)因為，所以，所以，所以或．①當(dāng)時，，符合題意；②當(dāng)時，，舍去．綜上可知：．(2)因為z是純虛數(shù)，所以，所以或,所以，或,所以或,所以或100．16．（本題滿分10分，第（1）小題5分，第（2）小題5分）函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求A，，的值；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若，且，求的值.【正確答案】(1)，，(2)或(1)由圖可知，，，所以，即，所以.將點代入得，，又，所以；(2)由（1）知，由題意有，所以，即，因為，所以，所以或，即或，所以的值為或.17.（本題滿分12分，第（1）小題5分，第（2）小題7分）在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點，且交AB于點E．且交AC于點F（1）求的值；（2）求的最小值．【正確答案】（1）1

（2）（1）設(shè)，，為邊長為1的等邊三角形，，，，為邊長為的等邊三角形，，，，（2），所以當(dāng)時，的最小值為.18.（本題滿分12分，第（1）小題4分，第（2）小題4分，第（3）小題4分）設(shè)數(shù)列的前項和是，且滿足，其中為實數(shù)，.（1）求證：是等比數(shù)列.（2）當(dāng)，時，另一數(shù)列的通項公式是（其中常數(shù)是整數(shù)），對于任意，都有成立，求整數(shù)的最小值.（3）當(dāng)，時，記集合，，將中所有元素按從小到大的順序排列為一個新數(shù)列，求使成立的最小的的值.【正確答案】（1）見解析（2）14（3）36（1）證：時，，作差得即，由題，，故（且）而時，，即也成立由易得，故，即是以為公比的等比數(shù)列.（2）由（1），是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.，由題意，，，所以時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減，，，由題意只需，即，所以整數(shù)的最小值為14.（3）由（1），，，故.對于數(shù)列的項，其前面的項1，3，5，…，，共有項，，共有項，所以為數(shù)列的項，且.可算得（項），，，因為，，，所以，，.，因此所求的最小值為36.四、附加題19．（本題滿分10分）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一圓心位于原點的圓，半徑為，已知點A、B、C分別是角的終邊與該圓的交點（始邊均為軸正半軸）.（1）寫出點A、B、C的坐標(biāo)；（2）若原點O為的重心，試判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【正確答案】（1）見解析（2）（1），，（2）先證明一個引理：若，則．因為，所以，所以，所以：回到原題，連結(jié)、、，則：．由三角形的重心為原點得即所以兩式平方相加可得，所以，同理，所以，故三角形面積為定值．20．（本題滿分10分）已知二次函數(shù)滿足：對任意實數(shù)，有恒成立；數(shù)列滿足．（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，是否存在非零整數(shù)，使得對任意，都有恒成立？若存在，求出所有符合的；若不存在，說明理由.【正確答案】（1）