2020年初升高【數(shù)學(xué)】無(wú)憂(yōu)銜接：04 一元二次方程根的分布（原卷版）滬教版

專(zhuān)題04一元二次方程根的分布

二次方程依2+Zzx+c=0（。w0）的根從幾何意義上來(lái)說(shuō)就是二次函數(shù)/（%）=af+bx+c與x軸交點(diǎn)

的橫坐標(biāo)，所以研究。犬+法+。=0的實(shí)根的情況，可從函數(shù)的圖象上進(jìn)行研究.

若在（-8,+8）內(nèi)研究方程ax2+Z?x+c=0的實(shí)根情況，只需考查/々”af+6x+c與x軸交點(diǎn)的個(gè)

數(shù)以及交點(diǎn)橫坐標(biāo)的符號(hào)，根據(jù)判別式以及韋達(dá)定理，由△、/+々、%的值與符號(hào)，從而判斷出實(shí)

根的情況.

若在區(qū)間（私同內(nèi)研究二次方程。/+6:+。=0,則需由二次函數(shù)圖象與區(qū)間關(guān)系來(lái)確定.

一與零有關(guān)的根的分布

與尢有關(guān)的根的分布

一元二次方程根的分布

與區(qū)間（加，n）有關(guān)的根的分布

綜合應(yīng)用

分

根小于

即一個(gè)

一負(fù)根

一正根

小于0

根都

即兩

負(fù)根

兩個(gè)

大于0

根都

即兩

正根

布兩個(gè)

情

況

0)

,x>

(%>0

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0,x

(石<

<入2)

,<0

于0(X

個(gè)大

0,一

2

2

J

i

y

i

大

7

f

致

圖

象

n

）

Q>0

vy

得

A>0

出A>0

的

-A

-A

>0

<0

0

結(jié)/(0)<

2a

論la

）〉0

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大

yJ

致

圖

象

A

AI

(

O

A

<

)

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[/V

得

A>0

出A>0

的

0

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0

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結(jié)/(0)

2a

論la

<。

J⑼

<0

J⑼

綜

合

結(jié)

A>0

論A>0

(

0

-A>

-A

<0

V

<

（）<0

不?-/0

2a

討la

論

（0）>0

3

⑼>0

“

a

)

.

值范圍

根的取

求實(shí)數(shù)

根，

正實(shí)

不等

兩個(gè)

=O有

+m

+l)x

-(m

程2d

知方

】已

【例1

【例2】若方程龍2+(m—2)x+5-加=0的根滿(mǎn)足下列條件，分別求出實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

(1)方程兩實(shí)根均為正數(shù);

(2)方程有一正根一負(fù)根.

1.已知關(guān)于x的方程x2-(m2+2m-3)x+2(m+l)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù).

(1)實(shí)數(shù)機(jī)的值；

(2)關(guān)于x的方程必―(左+3加—左—5=0的根均為整數(shù)，求出所有滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)機(jī)

2.已知二次方程(2m+l)x2—2g+(m—1)=0有一正根和一負(fù)根，求實(shí)數(shù)”2的取值范圍.

【例3】若關(guān)于X的方程必+%+4=0的一個(gè)大于I、另一根小于1,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【例4】若關(guān)于x的方程/+%+4=0的兩根均小于1,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【例5】已知二次函數(shù)y=（m+2）］2一（2加+4）x+（3機(jī)+3）與九軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)大于1,一個(gè)小于1,

求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【例6】已知二次方程小2+。根—3）龍+4=0只有一個(gè)正根且這個(gè)根小于1,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【例7】若石,％2是關(guān)于1的方程Q左+1）尤+公+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且再,％2都大于1?

（1）求實(shí)數(shù)女的取值范圍；（2）若出=工，求k的值.

1.關(guān)于%的方程％2+（。2—1）%+。—2=0的一個(gè)根比1大，另一個(gè)根比1小，貝U（

A—1<a<1B|?|>1C—2<a<iDa<—2或a>l

,1

2.實(shí)數(shù)左為何值時(shí)，方程尤2—依+左—2=o的兩根都大于一.

2

3.若方程左一一Q左+3）x+4左+2=0的根滿(mǎn)足下列條件，分別求出實(shí)數(shù)人的取值范圍.

（1）方程兩實(shí)根均大于1；

（2）方程有一根比1大，一根比1小.

4.(1)已知：。,乃是方程丁+(2加一1)%+4—2相=0的兩個(gè)根，且。＜2〈力，求機(jī)的取值范圍;

(2)若尤2+依+2=0的兩根都小于-1,求〃的取值范圍.

大ylJI

y>l.n,y

致

圖

象

(,A.

<O

5m/xinx)m/xihpxA4x

))m/xixAnx

fA>0

得〈/\或

出/⑹<0f(p)>o

的

結(jié)</(?)<o

J(4<

論。

b

m<--<n

2a

<

/(p)/(q)<o

綜

合

結(jié)

論

(

不—<

討

論J(p)F(q)<o

【例8】已知關(guān)于了的二次方程￥+2必+2根+1=0,

(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(一1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求機(jī)的范圍;

(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求機(jī)的范圍.

【例9】關(guān)于龍的二次方程7f—(p+13)x+〃2—夕—2=0的兩根%，滿(mǎn)足0<C<1</<2,求實(shí)數(shù)°

的取值范圍.

【例10］二次函數(shù)y=5f一2(〃z+l)x+n?-6的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)位于區(qū)間［-1,1］上，且分居y軸

的兩側(cè)，求實(shí)數(shù)7篦的取值范圍.

【例11］若二次函數(shù)尸一%2+爾-1的圖象與兩端點(diǎn)為A(0,3),B(3,0)的線段AB有兩個(gè)不同的交

點(diǎn)，求機(jī)的取值范圍.

【例12］若關(guān)于x的方程4/—4X+7〃=0在Twxwi上至少有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)冽的取值范圍.

1.關(guān)于龍的方程3尤2—5x+a=0的兩根分別在區(qū)間(-2,0)和(1,3)內(nèi)，求a的取值范圍.

2.二次方程爐+依+2左一1=0的兩個(gè)根再與乙，當(dāng)一2＜玉＜—1且1(尤2＜2時(shí)，實(shí)數(shù)％的取值范圍

是.

3.關(guān)于％的實(shí)系數(shù)方程9—依+2b=0的一根在區(qū)間［0,1］上，另一根在區(qū)間［1,2］上，則2a+38的最大

值為.

4.求實(shí)數(shù)左為何值時(shí)，方程爐-辰+左+工=0的兩個(gè)實(shí)根.

4

(1)分別在區(qū)間(1,2)和(3,4)內(nèi)；

(2)絕對(duì)值小于1.

5.關(guān)于%的方程7%2—（°+13）%+/—。-2=0有兩個(gè)實(shí)根分別在區(qū)間（0,1）和（1,2）上，求實(shí)數(shù)a

的值.

根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間（根,〃）外，即在區(qū)間兩側(cè)％<加,々>“，（圖形分別

如下）需滿(mǎn)足的條件是

對(duì)以上的根的分布表中一些特殊情況作說(shuō)明：

兩根有且僅有一根在(私力內(nèi)有以下特殊情況：

1°若〃加)=0或〃“)=0,則此時(shí)/(〃)<0不成立，但對(duì)于這種情況是知道了方程有一根為加

或〃，可以求出另外一根，然后可以根據(jù)另一根在區(qū)間(機(jī)〃)內(nèi)，從而可以求出參數(shù)的值.如方程

mr-(m+2)x+2=0在區(qū)間(1,3)上有一根，因?yàn)?(1)=0,所以

2